Time derivative

시간 도함수는 보통 함수 값의 변화율로 해석되는 시간(time)에 관한 함수의 도함수(derivative)입니다.^[1] 시간을 나타내는 변수는 보통 $t$ 로 쓰입니다.

Notation

다양한 표기법이 시간 도함수를 나타내기 위해 사용됩니다. 정규 (라이프니츠의) 표기법 이외에,

{\frac {dx}{dt}}

특히 물리학에서 사용되는 매우 공통적인 속기 표기법은 '윗-점'입니다. 즉,

{\dot {x}}

(이것은 뉴턴의 표기법(Newton's notation)이라고 불립니다.)

고차 시간 도함수는 역시 사용됩니다: 시간에 관한 이차 도함수(second derivative)는 다음으로 쓰입니다:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}

이에 해당하는 속기 표기법은 ${\ddot {x}}$ 입니다.

일반화로서, 벡터의 시간 도함수는, 말하자면:

\mathbf {v} =\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\ldots \right]

그것의 성분이 원래 벡터의 성분의 도함수인 벡터로 정의됩니다. 즉,

{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\ldots \right].

Use in physics

시간 도함수는 물리학(physics)의 핵심 개념입니다. 예를 들어, 변하는 위치(position) $x$ 에 대해, 그것의 시간 도함수 ${\dot {x}}$ 는 속도(velocity)이고, 시간에 관한 그것의 이차 도함수, ${\ddot {x}}$ 는 가속도(acceleration)입니다. 심지어 더 높은 도함수가 때때로 사용됩니다: 시간에 관한 위치의 삼차 도함수는 저크(jerk)라고 합니다. 운동 그래프와 도함수(motion graphs and derivatives)를 참조하십시오.

물리학에서 많은 기본 방정식은 양의 일차 또는 이차 도함수와 관련합니다. 과학에서 다른 많은 기본 수량은 서로의 시간 도함수입니다:

힘(force)은 운동량(momentum)의 시간 도함수입니다.
전력(power)은 에너지(energy)의 시간 도함수입니다.
전류(electric current)는 전하(electric charge)의 시간 도함수입니다.

이런 식으로 계속됩니다.

물리학에서 흔히 발생하는 것은 속도 또는 변위와 같은 벡터(vector)의 시간 도함수입니다. 그러한 도함수를 다룰 때, 크기와 방향은 모두 시간에 따라 달라질 수 있습니다.

Example: circular motion

예를 들어, 원형 경로에서 움직이는 입자를 생각해 보십시오. 그것의 위치는 그림에 정의된 것처럼, 각도 θ와 방사상 거리 r과 관련된 변위 벡터 $r=x{\hat {\imath }}+y{\hat {\jmath }}$ 에 의해 제공됩니다:

{\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}

이 예제에 대해, 우리는 θ = t임을 가정합니다. 따라서, 임의의 시간 t에서 변위 (위치)는 다음에 의해 제공됩니다:

\mathbf {r} (t)=r\cos(t){\hat {\imath }}+r\sin(t){\hat {\jmath }}

이 형식은 r(t)에 의해 설명된 운동이 r(t)의 크기가 다음에 의해 제공되기 때문에 반지름 r의 원 안에 있음을 보입니다:

|\mathbf {r} (t)|={\sqrt {\mathbf {r} (t)\cdot \mathbf {r} (t)}}={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}=r\,{\sqrt {\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)}}=r

이때, 삼각 항등식(trigonometric identity) sin²(t) + cos²(t) = 1을 사용하고 여기서 $\cdot$ 는 보통의 유클리드 점 곱입니다.

변위에 대한 이 형식과 함께, 속도는 이제 구해집니다. 변위 벡터의 시간 도함수는 속도 벡터입니다. 일반적으로, 벡터의 도함수는 각각이 원래 벡터의 해당 성분의 도함수인 성분으로 구성된 벡터입니다. 따라서, 이 경우에서, 속도 벡터는 다음과 같습니다:

{\begin{aligned}\mathbf {v} (t)={\frac {d\,\mathbf {r} (t)}{dt}}&=r\left[{\frac {d\,\cos(t)}{dt}},{\frac {d\,\sin(t)}{dt}}\right]\\&=r\ [-\sin(t),\ \cos(t)]\\&=[-y(t),x(t)].\end{aligned}}

따라서 입자의 속도는 심지어 위치의 크기 (즉, 경로의 반지름)가 일정하더라도 영이 아닙니다. 속도는 점 곱(dot product)을 사용하여 설정될 수 있는 것처럼 변위에 수직으로 향합니다:

\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =[-y,x]\cdot [x,y]=-yx+xy=0\,.

가속도는 그런-다음 속도의 시간-도함수입니다:

\mathbf {a} (t)={\frac {d\,\mathbf {v} (t)}{dt}}=[-x(t),-y(t)]=-\mathbf {r} (t)\,.

가속도는 회전축을 향해 안쪽으로 향합니다. 그것은 위치 벡터와 반대 방향을 가리키고 속도 벡터에 수직입니다. 이 안쪽으로 향하는 가속도를 구심 가속도(centripetal acceleration)라고 합니다.

In differential geometry

미분 기하학(differential geometry)에서, 양은 종종 지역 공변 기저(covariant basis) $\mathbf {e} _{i}$ 에 관해 표현될 수 있으며, 여기서 i는 차원의 숫자에 걸쳐 변합니다. 이 방법에 의해 표현된 벡터 $\mathbf {U}$ 의 성분은 아인슈타인 합계 관례(Einstein summation convention)라고 부르는 표현 $\mathbf {U} =U^{i}\mathbf {e} _{i}$ 에서 보인 것처럼 반변 텐서(tensor)로 변환합니다. 만약 우리가 $\mathbf {U} (t)=U^{i}(t)\mathbf {e} _{i}(t)$ 을 가지도록 궤적을 따라 이들 성분의 시간 도함수를 계산하기를 원하면, 우리는 새로운 연산자, 불변 도함수 $\delta$ 를 정의할 수 있으며, 이것은 반변 텐서를 계속 반환할 것입니다:^[2]

{\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}={\frac {dU^{i}}{dt}}+V^{j}\Gamma _{jk}^{i}U^{k}\\\end{aligned}}

여기서 $V^{j}={\frac {dx^{j}}{dt}}$ ( $x^{j}$ 는 j번째 좌표임)는 지역 공변 기저에서 속도의 성분을 포획하고, $\Gamma _{jk}^{i}$ 는 좌표 시스템에 대해 리스토펠 기호(Christoffel symbols)입니다. t에 대한 명시적 종속성은 표기법에서 억제되었습니다. 우리는 그런-다음 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

{\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {U} }{dt}}={\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}

마찬가지로:

{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {U} }{dt^{2}}}={\frac {\delta ^{2}U^{i}}{\delta t^{2}}}\mathbf {e} _{i}\\\end{aligned}}

공변 도함수(covariant derivative), $\nabla _{j}$ 의 관점에서, 우리는 다음을 가집니다:

{\begin{aligned}{\frac {\delta U^{i}}{\delta t}}=V^{j}\nabla _{j}U^{i}\\\end{aligned}}

Use in economics

경제학(economics)에서, 다양한 경제 변수의 진화의 많은 이론적 모델은 연속 시간(continuous time)에서 구성되고 따라서 시간 도함수를 사용합니다.^[3]^{: ch. 1-3} 한 가지 상황은 스톡 변수(stock variable)와 그것의 시간 도함수, 플로우 변수(flow variable)를 포함합니다. 예제는 다음을 포함합니다:

순 고정 투자(fixed investment)의 플로우는 자본 스톡(capital stock)의 시간 도함수입니다.
재고 투자(inventory investment)의 플로우는 재고(inventories)의 스톡의 시간 도함수입니다.
화폐 공급(money supply)의 성장률은 화폐 공급의 시간 도함수를 화폐 공급 자체로 나눈 값입니다.

때때로 플로우 변수의 시간 도함수는 다음 모델에서 나타날 수 있습니다:

산출량(output) 증가율은 산출량 흐름의 시간 도함수를 산출량 자체로 나눈 값입니다.
노동력(labor force)의 성장률은 노동력의 시간 도함수를 노동력 자체로 나눈 값입니다.

그리고 때때로 위의 예제와 달리 통화 단위로 측정되지 않는 변수의 시간 도함수가 나타납니다:

주요 이자율(interest rate)의 시간 도함수가 나타날 수 있습니다.
인플레이션율(inflation rate)은 물가 수준(price level)의 성장률–즉 물가 수준의 시간 도함수를 물가 수준 자체로 나눈 값입니다.

References

^ Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984, ch. 14, 15, 18.
^ Grinfeld, Pavel. "Tensor Calculus 6d: Velocity, Acceleration, Jolt and the New δ/δt-derivative". Archived from the original on 2021-12-13.
^ See for example Romer, David (1996). Advanced Macroeconomics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-053667-8.

[1] Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984, ch. 14, 15, 18.

[2] Grinfeld, Pavel. "Tensor Calculus 6d: Velocity, Acceleration, Jolt and the New δ/δt-derivative". Archived from the original on 2021-12-13.

[3] See for example Romer, David (1996). Advanced Macroeconomics. McGraw-Hill. ISBN 0-07-053667-8.

[1]

[2]

[3]