Notation for differentiation

Original article: w:Notation for differentiation

미분 미적분학(differential calculus)에서, 단일 균등 미분화에 대해 표기법(notation for differentiation)이 없습니다. 대신에, 함수(function) 또는 변수(variable)의 도함수(derivative)에 대해 여러 다른 표기법이 다른 수학자에 의해 제안되어 왔습니다. 각 표기법의 유용성은 문맥에 따라 다르고, 주어진 문맥에서 하나 이상의 표기법을 사용하는 것이 때때로 이점이 있습니다. 미분화에 대해 가장 공통적인 표기법 (및 그의 반대 연산, 역미분화(antidifferentiation) 또는 부정 적분)은 아래에 목록화됩니다.

Leibniz's notation

dy

dx

d²y

dx²

The first and second derivatives of y with respect to x, in the Leibniz notation.

Main article: Leibniz's notation

고트프리트 라이프니츠(Gottfried Leibniz)에 의해 사용된 원래 표기법은 수학 전반에 걸쳐 사용됩니다. 방정식 y = f(x)가 종속과 독립 변수(dependent and independent variables) y와 x 사이의 함수형 관계로 고려될 때 특히 공통적입니다. 라이프니츠의 표기법은 미분을 다음과 같이 쓺으로써 이 관계를 명시적으로 만듭니다:

${\frac {dy}{dx}}.$

x에서 그의 값이 x에서 f의 도함수인 함수는 따라서 다음으로 씁니다:

${\frac {df}{dx}}(x){\text{ or }}{\frac {df(x)}{dx}}{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f(x).$

고차원 도함수는 다음으로 씁니다:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},{\frac {d^{4}y}{dx^{4}}},\ldots ,{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.$

이것은 다음에서 처럼 기호의 형식적 조작에서 오는 암시적인 표기법적 장치입니다:

${\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{3}y={\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}.$

논리적으로 말해서, 이들 방정식은 정리가 아닙니다. 대신에, 그것들은 다만 표기법의 정의입니다.

점 x = a에서 y의 도함수의 값은 라이프니츠의 표기법을 사용하여 두 방법에서 표현될 수 있습니다:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a)$.

라이프니츠의 표기법은 (이 분모에서) 미분화에 대해 변수를 지정하는 것을 허용합니다. 이것은 특히 부분 도함수(partial derivative)를 고려할 때 도움이 됩니다. 그것은 역시 체인 규칙(chain rule)을 기억하고 인식하기 쉽게 만듭니다.

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

미분화에 대해 라이프니츠의 표기법은 dx 또는 dy와 같은 기호에 자체적으로 의미를 할당할 필요가 없고, 일부 저자는 이들 기호의 의미를 할당하려고 시도하지 않습니다. 라이프니츠는 이들 기호를 무한소(infinitesimal)로 취급했습니다. 나중에 저자는 비-표준 해석학(non-standard analysis) 또는 외부 도함수(exterior derivative)에서 무한소와 같은 다른 의미를 할당해 왔습니다.

일부 저자와 저널은 이탤릭(italic) 대신에 로마 문자(roman type)에서 미분 기호 d: dx를 정합니다. ISO/IEC 80000 과학적 양식 안내서는 이 양식을 추천합니다.

Leibniz's notation for antidifferentiation

∫ y dx
∫∫ y dx²

The single and double indefinite integrals of y with respect to x, in the Leibniz notation.

For functions of 2 or more variables, see Multiple integral.

라이프니츠는 Analyseos tetragonisticae pars secunda 및 Methodi tangentium inversae exempla (둘 다 1675년)에서 적분 기호(integral symbol) ∫를 도입했습니다. 그것은 이제 적분화(integration)에 대해 표준 기호입니다.

${\begin{aligned}\int y'\,dx&=\int f'(x)\,dx=f(x)+C_{0}=y+C_{0}\\\int y\,dx&=\int f(x)\,dx=F(x)+C_{1}\\\iint y\,dx^{2}&=\int \left(\int y\,dx\right)dx=\int _{X\times X}f(x)\,dx=\int F(x)\,dx=g(x)+C_{2}\\\underbrace {\int \dots \int } _{\!\!n}y\,\underbrace {dx\dots dx} _{n}&=\int _{\underbrace {X\times \cdots \times X} _{n}}f(x)\,dx=\int s(x)\,dx=S(x)+C_{n}\end{aligned}}$

Lagrange's notation

f′(x)

A function f of x, differentiated once in Lagrange's notation.

미분화에 대해 가장 공통적인 현대 표기법 중 하나는 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)에 기인합니다. 라그랑주의 표기법에서, 프라임 기호(prime mark)는 도함수를 나타냅니다. 만약 f가 함수이면 x에서 평가된 그것의 도함수는 다음으로 쓰입니다:

$f'(x)$.

라그랑주는 미발표 연구에서 처음으로 표기법을 사용했었고, 그것은 1770년에 인쇄판에 등장했습니다.

더 높은 도함수는 추가적인 프라임 기호를 사용하여, 두 번째 도함수(second derivative)에 대해 $f''(x)$ 및 세 번째 도함수(third derivative)에 대해 $f'''(x)$에서 처럼, 가리킵니다. 반복된 프라임 기호의 사용은 결국 다루기 어려워집니다. 일부 저자는, 다음에서 처럼, 네 번째, 다섯 번째, 여섯 번째, 및 더 높은 차수 도함수를 나타내기 위해, 보통 소문자로 로마 숫자 시스템(Roman numeral)을 사용함으로써 계속합니다:

$f^{\mathrm {iv} }(x),f^{\mathrm {v} }(x),f^{\mathrm {vi} }(x),\ldots$.

다른 저자는 다음에서 처럼 괄호 안에 아라비아 숫자를 사용합니다:

$f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots .$

이 표기법은 역시 n-번째 도함수를 설명할 수 있으며, 여기서 n은 변수입니다. 이것은 다음처럼 쓰입니다:

$f^{(n)}(x).$

라그랑주 표기법과 관련된 유니코드 문자는 다음을 포함합니다:

• U+2032 ◌′ PRIME (derivative)
• U+2033 ◌″ DOUBLE PRIME (double derivative)
• U+2034 ◌‴ TRIPLE PRIME (third derivative)
• U+2057 ◌⁗ QUADRUPLE PRIME (fourth derivative)

함수 f(x,y)에 대해 두 개의 독립 변수가 있을 때, 다음 관례가 따라올 수 있습니다:

${\begin{aligned}f^{\prime }&={\frac {df}{dx}}=f_{x}\\f_{\prime }&={\frac {df}{dy}}=f_{y}\\f^{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=f_{xx}\\f_{\prime }^{\prime }&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\ =f_{xy}\\f_{\prime \prime }&={\frac {d^{2}f}{dy^{2}}}=f_{yy}\,,\end{aligned}}$

Lagrange's notation for antidifferentiation

f⁽⁻¹⁾(x)
f⁽⁻²⁾(x)

The single and double indefinite integrals of f with respect to x, in the Lagrange notation.

역도함수를 취할 때, 라그랑주는 라이프니츠의 표기법을 따랐습니다:

$f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y\,dx.$

어쨌든, 적분화는 미분화의 역이기 때문에, 고차 도함수에 대해 라그랑주 표기법은 마찬가지로 적분으로 확장됩니다. f의 반복된 적분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$f^{(-1)}(x)$ 첫 번째 적분에 대해 (이것은 역함수(inverse function) $f^{-1}(x)$과 쉽게 혼동됩니다),

$f^{(-2)}(x)$ 두 번째 적분에 대해,

$f^{(-3)}(x)$ 세 번째 적분에 대해, 및

$f^{(-n)}(x)$ n-번째 적분에 대해.

Euler's notation

D_xy
D²f

The x derivative of y and the second derivative of f, Euler notation.

레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 표기법은 루이 프랑수아 앙투안 아르보가(Louis François Antoine Arbogast)에 의해 제안된 미분 연산자(differential operator)를 사용하며, D (D 연산자) 또는 D̃ (뉴턴–라이프니츠 연산자)로 나타냅니다. 함수 f(x)에 적용할 때, 다음에 의해 정의됩니다:

$(Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}.$

고차원 도함수는 다음에서 처럼 D의 거듭제곱으로 표기됩니다:

$D^{2}f$ 두 번째 도함수에 대해,

$D^{3}f$ 세 번째 도함수에 대해, 및

$D^{n}f$ n-번째 도함수에 대해.

오일러의 표기법은 미분화가 수행되는 변수에 관해 그것을 암시적으로 남깁니다. 어쨌든, 이 변수는 역시 명시적으로 표기될 수 있습니다. f가 변수 x의 함수이면, 이것은 다음과 같이 씀으로써 행해집니다:

$D_{x}f$ 첫 번째 도함수에 대해,

$D_{x}^{2}f$ 두 번째 도함수에 대해,

$D_{x}^{3}f$ 세 번째 도함수에 대해, 및

$D_{x}^{n}f$ n-번째 도함수에 대해.

f가 여러 변수의 함수일 때, D 대신에 "∂"를 사용하는 것이 공통적입니다. 위에서 처럼, 아래첨자는 취해지는 도함수를 나타냅니다. 예를 들어, 함수 f(x, y)의 두 번째 부분 도함수는 다음입니다:

$\partial _{xx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},$

$\partial _{xy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}},$

$\partial _{yx}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}},$

$\partial _{yy}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}.$

§ Partial derivatives를 참조하십시오.

오일러 표기법은 선형 미분 방정식(linear differential equation)을 지정하고 해결하는 것에 유용한데, 왜냐하면 그것은 문제의 필수 요소를 더 쉽게 볼 수 있도록 미분 방정식의 표현을 단순화하기 때문입니다.

Euler's notation for antidifferentiation

D⁻¹
_xy
D⁻²f

The x antiderivative of y and the second antiderivative of f, Euler notation.

오일러의 표기법은 다음에서 처럼 라그랑주의 표기법이 그런 것과 같은 방법에서 역미분화에 대해 사용될 수 있습니다:

$D^{-1}f(x)$ 첫 번째 역도함수에 대해,

$D^{-2}f(x)$ 두 번째 역도함수에 대해, 및

$D^{-n}f(x)$ n-번째 역도함수에 대해.

Newton's notation

ẋẍ

The first and second derivatives of x, Newton's notation.

미분화에 대해 뉴턴(Newton)의 표기법은 (역시 점 표기법, 또는 때때로, 무례하게, 미분화에 대해 파리채 표기법이라고 불림) 종속 변수 위에 점을 놓습니다. 즉, 만약 y가 t의 함수이면, t에 관한 y의 도함수는 다음입니다:

${\dot {y}}$

더 높은 도함수는 다음처럼 여러 점을 사용하여 표현됩니다:

${\ddot {y}},{\overset {...}{y}}$

뉴턴은 이 아이디어를 상당히 확장했습니다:

${\begin{aligned}{\ddot {y}}&\equiv {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\dot {y}}{\Bigr )}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f'(t){\Bigr )}=D_{t}^{2}y=f''(t)=y''_{t}\\{\overset {...}{y}}&={\dot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}=D_{t}^{3}y=f'''(t)=y'''_{t}\\{\overset {\,4}{\dot {y}}}&={\overset {....}{y}}={\ddot {\ddot {y}}}\equiv {\frac {d^{4}y}{dt^{4}}}=D_{t}^{4}y=f^{\rm {IV}}(t)=y_{t}^{(4)}\\{\overset {\,5}{\dot {y}}}&={\ddot {\overset {...}{y}}}={\dot {\ddot {\ddot {y}}}}={\ddot {\dot {\ddot {y}}}}\equiv {\frac {d^{5}y}{dt^{5}}}=D_{t}^{5}y=f^{\rm {V}}(t)=y_{t}^{(5)}\\{\overset {\,6}{\dot {y}}}&={\overset {...}{\overset {...}{y}}}\equiv {\frac {d^{6}y}{dt^{6}}}=D_{t}^{6}y=f^{\rm {VI}}(t)=y_{t}^{(6)}\\{\overset {\,7}{\dot {y}}}&={\dot {\overset {...}{\overset {...}{y}}}}\equiv {\frac {d^{7}y}{dt^{7}}}=D_{t}^{7}y=f^{\rm {VII}}(t)=y_{t}^{(7)}\\{\overset {\,10}{\dot {y}}}&={\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {\ddot {y}}}}}}\equiv {\frac {d^{10}y}{dt^{10}}}=D_{t}^{10}y=f^{\rm {X}}(t)=y_{t}^{(10)}\\{\overset {\,n}{\dot {y}}}&\equiv {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}=D_{t}^{n}y=f^{(n)}(t)=y_{t}^{(n)}\end{aligned}}$

뉴턴 표기법과 관련된 유니코드 문자는 다음을 포함합니다:

• U+0307 ◌̇ COMBINING DOT ABOVE (derivative)
• U+0308 ◌̈ COMBINING DIAERESIS (double derivative)
• U+20DB ◌⃛ COMBINING THREE DOTS ABOVE (third derivative) ← replaced by "combining diaeresis" + "combining dot above".
• U+20DC ◌⃜ COMBINING FOUR DOTS ABOVE (fourth derivative) ← replaced by "combining diaeresis" twice.
• U+030D ◌̍ COMBINING VERTICAL LINE ABOVE (integral)
• U+030E ◌̎ COMBINING DOUBLE VERTICAL LINE ABOVE (second integral)
• U+25AD ▭ WHITE RECTANGLE (integral)
• U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE (integral)
• U+1DE0 ◌ᷠ COMBINING LATIN SMALL LETTER N (nth derivative)

뉴턴의 표기법은 일반적으로 독립 변수가 시간(time)을 나타낼 때 사용됩니다. 만약 위치 y가 t의 함수이면, ${\dot {y}}$은 속도(velocity)를 나타내고 ${\ddot {y}}$는 가속도(acceleration)를 나타냅니다. 이 표기법은 물리학(physics) 및 수학적 물리학(mathematical physics)에서 인기 있습니다. 그것은 역시 미분 방정식(differential equation)과 같은 물리학과 관련된 수학 영역에서 나타납니다. 그것은 첫 번째와 두 번째 도함수에 대해 오직 인기 있지만, 응용에서는 이들은 보통 필요한 유일한 도함수입니다.

종속 변수 y = f(x)의 도함수를 취할 때, 대안적인 표기법이 존재합니다:

${\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\dot {y}}:{\dot {x}}\equiv {\frac {dy}{dt}}:{\frac {dx}{dt}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dt}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}=Dy=f'(x)=y'$

뉴턴은 구부러진 X ( ⵋ )에 옆쪽-점을 사용하여 다음과 같은 부분 미분 연산자를 개발했습니다. 화이트사이드(Whiteside)에 의해 주어진 정의는 아래에 있습니다:

${\begin{aligned}{\mathcal {X}}\ &=\ f(x,y)\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\ &=\ x{\frac {\partial f}{\partial x}}=xf_{x}\,,\\{\mathcal {X}}\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial y}}=yf_{y}\,,\\\colon {\mathcal {X}}\,{\text{ or }}\,\cdot \left(\cdot {\mathcal {X}}\right)\ &=\ x^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=x^{2}f_{xx}\,,\\{\mathcal {X}}\colon \,{\text{ or }}\,\left({\mathcal {X}}\cdot \right)\cdot \ &=\ y^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=y^{2}f_{yy}\,,\\\cdot {\mathcal {X}}\cdot \ \ &=\ xy{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=xyf_{xy}\,,\end{aligned}}$

Newton's notation for integration

x̍x̎

The first and second antiderivatives of x, in one of Newton's notations.

뉴턴은 그의 Quadratura curvarum (1704)와 나중의 연구에서 적분화(integration)에 대해 많은 다른 표기법을 개발했습니다: 그는 fluent 또는 시간 적분 (absement)을 나타내기 위해 종속 변수 위에 작은 수직 막대 또는 프라임 (y̍ ), 앞에 붙이는 직사각형 (▭y), 또는 직사각형 안에 항의 삽입 (y)을 썼습니다.

${\begin{aligned}y&=\Box {\dot {y}}\equiv \int {\dot {y}}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}^{-1}(D_{t}y)=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\{\overset {\,\prime }{y}}&=\Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}$

다중 적분을 표시하기 위해, 뉴턴은 두 번째 시간 적분 (absity)을 나타내기 위해, 두 개의 작은 수직 막대 또는 프라임 (y̎), 또는 이전 기호의 조합 ▭y̍y̍을 사용했습니다. 두 번째 시간 적분 (absity)을 나타냅니다.

${\overset {\,\prime \prime }{y}}=\Box {\overset {\,\prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}^{-2}y=g(t)+C_{2}$

더 높은 차수 시간 적분은 다음처럼 나타냈습니다:

${\begin{aligned}{\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}^{-3}y=G(t)+C_{3}\\{\overset {\,\prime \prime \prime \prime }{y}}&=\Box {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime \prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}^{-4}y=h(t)+C_{4}\\{\overset {\;n}{\overset {\,\prime }{y}}}&=\Box {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\equiv \int {\overset {\;n-1}{\overset {\,\prime }{y}}}\,dt=\int s(t)\,dt=D_{t}^{-n}y=S(t)+C_{n}\end{aligned}}$

이 수학적 표기법(athematical notation)은 인쇄 어려움과 이프니츠–뉴턴 미적분 논쟁(eibniz–Newton calculus controversy)으로 인해 널리 퍼지지 않게 되었습니다.

Partial derivatives

f_xf_xy

A function f differentiated against x, then against x and y.

더 구체적인 유형의 미분화가, 다변수 미적분(multivariate calculus) 또는 텐서 해석학(tensor analysis)에서 처럼, 필요할 때, 다른 표기법이 공통적입니다.

함수 f(x)에 대해, 우리는 독립 변수의 아래첨자를 사용하여 도함수를 표현할 수 있습니다:

${\begin{aligned}f_{x}&={\frac {df}{dx}}\\f_{xx}&={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.\end{aligned}}$

이 유형의 표기법은 여러 변수의 함수의 부분 도함수(partial derivatives)를 취하는 것에 대해 특히 유용합니다.

∂f/∂x

A function f differentiated against x.

부분 도함수는 일반적으로 미분 연산자 d를 "∂" 기호로 대체함으로써 보통 도함수와 구별됩니다. 예를 들어, 우리는 여러 방법에서 x에 관한 것이지만, y 또는 z에 관한 것이 아닌 f(x, y, z)의 부분 도함수를 표시할 수 있습니다:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f$.

이 구분을 중요하게 만드는 것은 $\textstyle {\frac {df}{dx}}$와 같은 비-부분 도함수가, 문맥에 따라, 모든 변수가 동시에 변하는 것이 허용될 때, $x$에 관하여 $f$에서 변화의 율로 해석될 수 있지만, $\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}$와 같은 부분 도함수와 함께 그것은 오직 하나의 변수에서 변해야 하는 것이 명시적입니다.

다른 표기법은 수학, 물리학, 및 공학의 다양한 하위-분야에서 발견될 수 있으며, 예를 들어 열역학(thermodynamics)의 맥스웰 관계(Maxwell relations)를 참조하십시오. 기호 $\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{S}$는 상수 엔트로피 (아래첨자) S를 유지하는 동안 부피 V에 관한 온도 T의 도함수이지만, $\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)_{P}$는 상수 압력 P를 유지하는 동안 부피에 관한 온도의 도함수입니다. 이것은 한 변수가 다른 변수가 고정된 채로 유지되는 것에서 선택되어야 하도록 변수의 숫자가 자유도를 초과하는 상황에서 필요하게 됩니다.

한 변수에 관한 고차 부분 도함수는 다음처럼 표현됩니다:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}$

${\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=f_{xxx}.$

혼합된 부분 도함수는 다음처럼 표현될 수 있습니다:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}.$

이 마지막 경우에서, 변수는 다음처럼 표현된 두 표기법 사이에 역 순서로 쓰입니다:

$(f_{x})_{y}=f_{xy}$

${\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$

Notation in vector calculus

벡터 미적분(Vector calculus)은 벡터(vector) 또는 스칼라(scalar) 필드의 미분화(differentiation) 및 적분화(integration)에 관련됩니다. 삼-차원 유클리드 공간(Euclidean space)의 경우에 특정한 여러 표기법이 공통적입니다.

(x, y, z)가 주어진 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system), A는 성분 $\mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z})$을 갖는 벡터 필드(vector field)이고, $\varphi =\varphi (x,y,z)$는 스칼라 필드(scalar field)라고 가정합니다.

윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton)에 의해 도입된 미분 연산자는, ∇로 쓰이고 델(del) 또는 나블라로 불리며, 기호적으로 벡터의 형식에서 정의됩니다:

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right),$

여기서 용어 기호적으로는 연산자 ∇이 역시 보통의 벡터로 취급될 것임을 반영합니다.

∇φ

Gradient of the scalar field φ.

• 그래디언트(Gradient): 스칼라 필드 $\varphi$의 그래디언트 $\mathrm {grad\,} \varphi$는 벡터이며, 이것은 기호적으로 ∇과 필드 $\varphi$의 곱셈(multiplication)에 의해 표현됩니다:

${\begin{aligned}\operatorname {grad} \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi \\&=\nabla \varphi \end{aligned}}$

∇∙A

The divergence of the vector field A.

• 다이버전스(Divergence): 벡터 필드 A의 다이버전스 $\mathrm {div} \,\mathbf {A}$은 스칼라이며, 이것은 기호적으로 ∇과 벡터 A의 점 곱(dot product)에 의해 표현됩니다:

${\begin{aligned}\operatorname {div} \mathbf {A} &={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}\\&=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} \\&=\nabla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}$

∇²φ

The Laplacian of the scalar field φ.

• 라플라스(Laplacian): 스칼라 필드 $\varphi$의 라플라스 $\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi$는 스칼라이며, 이것은 기호적으로 ∇²와 스칼라 필드 φ에 의해 표현됩니다:

${\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi )\\&=(\nabla \cdot \nabla )\varphi \\&=\nabla ^{2}\varphi \\&=\Delta \varphi \\\end{aligned}}$

∇×A

The curl of vector field A.

• 회전(Rotation): 벡터 필드 A의 회전 $\mathrm {curl} \,\mathbf {A}$, 또는 $\mathrm {rot} \,\mathbf {A}$은 벡터이며, 이것은 기호적으로 ∇와 벡터 A의 교차 곱(cross product)에 의해 표현됩니다:

${\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {A} &=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\&=\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\mathbf {k} \\&={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\cfrac {\partial }{\partial x}}&{\cfrac {\partial }{\partial y}}&{\cfrac {\partial }{\partial z}}\\A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{vmatrix}}\\&=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}$

도함수의 많은 기호적 연산은 데카르트 좌표에서 그래디언트 연산자에 의해 쉬운 방법에서 일반화될 수 있습니다. 예를 들어, 단일-변수 곱 규칙(product rule)은, 다음에서 처럼, 스칼라 필드의 곱셈에서 그래디언트 연산자를 적용함으로써 직접 아날로그를 가집니다:

$(fg)'=f'g+fg'~~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi )=(\nabla \phi )\psi +\phi (\nabla \psi ).$

단일 변수 미적분으로부터 많은 다른 규칙은 그래디언트, 다이버전스, 컬, 및 라플라스에 대해 벡터 미적분 아날로그(vector calculus analogues)를 가집니다:

뒤따른 표기법은 보다 이국적인 유형의 공간에 대해 개발되어 왔습니다. 민코프스키 공간(Minkowski space)에서 계산에 대해, 달랑베르 연산자(d'Alembert operator), 역시 d'Alembertian라고 불리며, 파동 연산자, 또는 박스 연산자는 라플라스에 대해 기호와 충돌하지 않을 때 $\Box$로, 또는 $\Delta$로 표현됩니다.

See also

• Analytical Society
• Derivative
• Jacobian matrix
• Hessian matrix

External links

• Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller.