Leibniz's notation

dy

dx

d²y

dx²

The first and second derivatives of y with respect to x, in the Leibniz notation.

미적분학(calculus)에서, 17세기 독일 철학자(philosopher)이자 수학자(mathematician) 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)를 기리기 위해 그의 이름을 따서 지은, 라이프니츠의 표기법(Leibniz's notation)은, $Δ x$ 와 $Δ y$ 가, 각각, $x$ 와 $y$ 의 유한 증분을 나타내는 것처럼, $x$ 와 $y$ 의 무한히 작은 (또는 무한소(infinitesimal)) 증분을 나타내기 위해, 각각, 기호 $dx$ 와 $dy$ 를 사용합니다.^[1]

변수 $x$ 의 함수(function)로써 $y$ , 또는 $y$ = $f (x)$ 를 생각해 보십시오. 만약 이것이 그런 경우이면, $x$ 에 관한 $y$ 의 도함수(derivative)는, 나중에 극한(limit)으로써 다음과 같이 여겨져 왔습니다:

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}

,

라이프니츠에 따르면, 이것은 $x$ 의 미한소 증분에 의한 $y$ 의 미한소 증분의 몫(quotient), 또는 다음입니다:

{\frac {dy}{dx}}=f'(x)

,

여기서 오른쪽 변은 $x$ 에서 $f$ 의 도함수에 대해 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)의 표기법입니다. 무한소 증분은 미분(differentials)이라고 불립니다. 이것과 관련된 것이 무한소 증분이 ((예를 들어, 길이, 넓이 및 부피를 작은 조각의 합으로 계산하기 위해) 합해지는 적분(integral)이며, 이것에 대해 라이프니츠가 같은 미분을 포함하는 밀접하게 관련된 표기법, 유럽 대륙 수학의 발전에 결정적인 효율성을 나타내는 표기법을 제공했습니다.

미적분학의 기초로 사용되기에는 너무 부정확한 것으로 오랫동안 여겨지던, 라이프니츠의 무한소의 개념은 19세기에서 바이어슈트라스(Weierstrass)와 다른 사람들에 의해 개발된 엄격한 개념으로 결국 대체되었습니다. 결과적으로, 라이프니츠의 몫 표기법은 현대 정의의 극한을 나타내기 위해 다시-해석되었습니다. 어쨌든, 많은 예제에서, 기호는 실제적인 몫으로 작용하는 것처럼 보이고 그것의 유용성은 여러 경쟁 표기법에도 불구하고 대중적으로 유지되었습니다. 여러 다른 형식주의가 20세기에서 비-표준 해석학(nonstandard analysis), 접 공간(tangent space), O 표기법(O notation) 및 기타를 포함하여 무한소와 무한소 변위의 개념에 엄격한 의미를 부여할 수 있는 것으로 개발되었습니다.

미적분학의 도함수와 적분은 미분 형식(differential forms)의 현대 이론으로 포장될 수 있으며, 이것에서 도함수는 진정으로 두 미분의 비율이고, 적분은 마찬가지로 라이프니츠 표기법에 따라 정확하게 작동합니다. 어쨌든, 이것은 도함수와 적분이 먼저 다른 방법으로 정의될 것을 요구하고, 이를테면 라이프니츠 표기법의 새로운 토대를 제공하는 것이 아니라 자기-일관성과 계산 효율성을 나타냅니다.

History

무한소 미적분학(infinitesimal calculus)에 대한 뉴턴–라이프니츠 접근은 17세기에 도입되었습니다. 뉴턴은 유율(fluxion)과 플루언트를 다루었지만, 라이프니츠는 합과 차이의 일반화에 대한 그의 접근 방식을 기반으로 했습니다.^[2] 라이프니츠는 $\textstyle \int$ 문자를 사용한 것이 처음이었습니다. 그는 라틴어 단어 summa ("합")을 기반으로 했으며, 그 당시에 독일에서 공통적으로 사용되는 길쭉한 s(elongated s)와 함께 ſumma를 썼습니다. 차이를 합의 역 연산으로 봄으로써,^[3] 그는 이 역 연산을 나타 내기 위해, 라틴어 differentia의 첫 글자, 기호 $d$ 를 사용했습니다.^[2] 라이프니츠는 표기법에 대해 까다로웠습니다; 다른 수학자들과 그것에 대해 실험, 조정, 거부 및 대응하는 데 몇 년을 보냈습니다.^[4] 그가 $y$ 의 미분에 사용했던 표기법은 연속적으로 $ω$ , $l$ , 및 $y / d$ 로 변화했었고, 마침내 $dy$ 에 정착했습니다.^[5] 그의 적분 기호(integral sign)는 1686년 6월에 Acta Eruditorum에서 발표된 기사 "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" (비분할 및 무한의 숨겨진 기하학 및 해석학)에 처음으로 공개되었지만,^[6]^[7] 그는 적어도 1675년 이래로 개인적인 원고에 그것을 사용해 왔습니다.^[8]^[9]^[10] 라이프니츠는 1684년에 Acta Eruditorum에 역시 출판된 기사 "Nova Methodus pro Maximis et Minimis"에서 $dx$ 를 처음 사용했습니다.^[11] 기호 $dx / dy$ 는 1675년의 개인적인 원고에 나타나지 않지만,^[12]^[13] 위에-언급된 출판된 연구의 둘에서 이 형식으로 나타나지 않았습니다. 라이프니츠는, 어쨌든, 인쇄에서 $dy ad dx$ 및 $dy : dx$ 와 같은 형식을 사용했습니다.^[11]

영국 수학자들은 로버트 워드하우스(Robert Woodhouse)가 유럽 대륙의 표기법의 설명을 발표한 1803년까지 뉴턴의 점 표기법에 의해 방해를 받았습니다. 나중에 케임브리지 대학(Cambridge University)에서 해석 학회(Analytical Society)가 라이프니츠 표기법의 채택을 장려했습니다.

19세기 말에서, 바이어슈트라스의 추종자들은 말 그대로 도함수와 적분에 대해 라이프니츠의 표기법을 중단했습니다. 즉, 수학자들은 무한소(infinitesimal)의 개념은 발달 과정에서 논리적 모순을 포함한다고 생각했습니다. 많은 19세기 수학자 (바이어슈트라스와 다른 사람들)는 위에서 보인 것처럼 극한을 사용하여 무한소없이 도함수와 적분을 처리하는 논리적으로 엄격한 방법을 찾았지만, 코시는 무한소와 극한 둘 다를 이용했습니다 (Cours d'Analyse를 참조하십시오). 그럼에도 불구하고, 라이프니츠의 표기법은 여전히 일반적으로 사용되고 있습니다. 비록 표기법이 문자 그대로 취할 필요는 없지만, 변수의 분리(separation of variables)의 기술은 미분 방정식의 해에서 사용될 때 대안적인 것보다 보통 더 간단합니다. 물리적 응용에서, 우리는 예를 들어 f(x) dx가 미터에서 있도록 f(x)를 초당 미터로 측정된 것으로 여길 수 있고, 따라서 그것의 명확한 적분의 값입니다. 해당 방법에서 라이프니츠 표기법은 차원 해석(dimensional analysis)과 함께 조화에 있습니다.

Leibniz's notation for differentiation

종속 변수(dependent variable) $y$ 가 독립 변수 $x$ 의 함수 $f$ 로 가정합니다. 즉,

y=f(x).

그런-다음 함수 $f$ 의 도함수는, 미분화(differentiation)에 대해 라이프니츠의 표기법(notation)에서, 다음으로 쓸 수 있습니다:

{\frac {dy}{dx}}\,{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}y\,{\text{ or }}{\frac {d{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx}}.

라이프니츠 표현은, 역시, 때때로, $dy / dx$ 로 쓰이며, 도함수와 파생된 함수에 대해 사용되는 여러 표기법 중 하나입니다. 공통적인 대안은 라그랑주의 표기법입니다:

{\frac {dy}{dx}}\,=y'=f'(x).

또 다른 대안은 뉴턴의 표기법(Newton's notation)이며, (속도(velocity)와 같은) 시간에 관한 도함수에 대해 종종 사용되며, 이것은 종속 변수 (이 경우에서, $x$ )에 걸쳐 점을 배치하는 것을 요구합니다:

{\frac {dx}{dt}}={\dot {x}}.

라그랑주의 "프라임(prime)" 표기법은 파생된 함수의 논의에 특히 유용하고 특정 값에서 파생된 함수의 값을 나타내는 자연스러운 방법을 가지는 장점을 가집니다. 어쨌든, 라이프니츠 표기법은 수년 동안 인기를 유지한 다른 미덕을 가집니다.

현대 해석에서, 표현 $dy / dx$ 는 (라이프니츠가 그것을 구상한 것처럼) 두 양 $dx$ 와 $dy$ 의 나눗셈으로 읽혀야 합니다; 차라리, 전체 표현은 다음에 대해 속기인 단일 기호로 보여야 합니다:

\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}

( $Δ$ 대. $d$ 를 주목하십시오, 여기서 $Δ$ 는 유한 차이를 가리킵니다).

그 표현은 $x$ 의 함수로 여겨지는 $y$ 에 대한 미분 연산자(differential operator) $d / dx$ (다시, 단일 기호)의 적용으로 역시 생각될 수 있습니다. 이 연산자는 오일러의 표기법(Euler's notation)에서 $D$ 로 쓰입니다. 라이프니츠는 이 형식을 사용하지 않았지만, 기호 $d$ 를 그의 사용은 이 현대 개념과 상당히 밀접하게 대응합니다.

표기법에 의해 암시된 나눗셈은 없지만, 나눗셈과-같은 표기법은 유용한데, 왜냐하면 많은 상황에서, 도함수 연산자는 나눗셈처럼 행동하며, 도함수에 대한 일부 결과를 쉽게 얻고 기억할 수 있기 때문입니다.^[14] 이 표기법은 미적분학의 기하학적 및 기계학적 응용의 핵심에 도달하는 것으로 보인다는 사실로 수명이 깁니다.^[15]

Leibniz notation for higher derivatives

만약 $y = f (x)$ 이면, 라이프니츠 표기법에서 $f$ 의 $n$ 번째 도함수는 다음에 의해 제공됩니다:^[16]

f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}.

이 표기법은, 이차 도함수(second derivative)에 대해, 다음 방법에서 연산자로 $d / dx$ 를 사용함으로써 얻습니다:^[16]

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).

세 번째 도함수는, 다음으로 쓸 수 있으며,

{\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}\,,

다음으로부터 얻어질 수 있습니다:

{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right).

비슷하게, 고차 도함수는 귀납적으로 얻어질 수 있습니다.

$dy / dx$ 를 미분(differentials)의 몫으로 해석하는 것은, 신중하게 선택된 정의와 함께, 가능하지만, 이것은 더 높은 차원 형식과 함께 행해져서는 안됩니다.^[17]

이 표기법은, 어쨌든, 라이프니츠에 의해 사용되지 않았습니다. 인쇄에서 그는 여러-계층 표기법이나 (1695년 전) 숫자 지수를 사용하지 않았습니다. 예를 들어 $x 3$ 을 쓰기 위해, 그는 그 당시에 공통적이었던 $xxx$ 를 쓰게 됩니다. 미분의 제곱은, 예를 들어 호 길이(arc length) 공식에 나타날 수 있듯이, $dxdx$ 로 쓰였습니다. 어쨌든, 라이프니츠는 우리가 오늘날 연산자를 사용할 때와 같이 그의 $d$ 표기법을 사용했습니다. 즉, 그는 이차 도함수를 $ddy$ 및 삼차 도함수를 $dddy$ 로 씁니다. 1695년에 라이프니츠는 $ddx$ 와 $dddx$ 에 대해 각각 $d 2 \cdot x$ 와 $d 3 \cdot x$ 를 쓰기 시작했지만, 르피탈(l'Hôpital)은, 같은 시기에 쓰인 미적분학에 대한 그의 책에서, 라이프니츠의 원래 형식을 사용했습니다.^[18]

Use in various formulas

미적분학에서 라이프니츠의 표기법이 오랫동안 지속된 이유 중 하나는 미분화와 적분화에 대해 사용된 적절한 공식을 쉽게 기억할 수 있다는 것입니다. 예를 들어, 체인 규칙(chain rule)–함수 $g$ 가 $x$ 에서 미분-가능이고 $y = f (u)$ 가 $u = g (x)$ 에서 미분-가능이라고 가정합니다. 그런-다음 합성 함수 $y = f (g (x))$ 는 $x$ 에서 미분-가능이고, 그것의 도함수는 다음으로 라이프니츠 표기법으로 표현될 수 있습니다:^[19]

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.

이것은 여러 적절하게 정의되고 관련된 함수, $u 1, u 2, ..., u n$ 의 합성을 다루기 위해 일반화될 수 있고 다음으로 표현될 것입니다:

{\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du_{1}}}\cdot {\frac {du_{1}}{du_{2}}}\cdot {\frac {du_{2}}{du_{3}}}\cdots {\frac {du_{n}}{dx}}.

역시, 치환에 의한 적분화 공식은 다음에 의해 표현될 수 있습니다:^[20]

\int y\,dx=\int y{\frac {dx}{du}}\,du,

여기서 $x$ 는 새로운 변수 $u$ 의 함수로 생각되고 왼쪽 변에 대한 함수 $y$ 는 $x$ 의 관점에서 표현되지만 오른쪽 변에서 그것은 $u$ 의 관점에서 표현됩니다.

만약 $y = f (x)$ 이며, 여기서 $f$ 가 역-가능한(invertible) 것인 미분-가능 함수이면, 역함수의 도함수는, 그것이 존재할 때, 다음에 의해 주어질 수 있습니다:^[21]

{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\left({\frac {dy}{dx}}\right)}},

여기서 괄호는 도함수가 분수가 아니라는 사실을 강조하기 위해 더합니다.

가장 간단한 유형의 미분 방정식(differential equation) 중 하나는 다음입니다:^[22]

M(x)+N(y){\frac {dy}{dx}}=0,

여기서 $M$ 과 $N$ 은 연속 함수입니다. 그러한 방정식을 (암시적으로) 해결하는 것은 방정식을 그것의 미분 형식(differential form)으로 검사함으로써 행해질 수 있습니다:

M(x)dx+N(y)dy=0

그리고 적분화는 다음을 얻습니다:

\int M(x)\,dx+\int N(y)\,dy=C.

가능할 때, 미분 방정식을 이 형식으로 다시 작성하고 위의 주장을 적용하는 것은 그러한 방정식을 풀기 위한 변수의 분리 기술로 알려져 있습니다.

이들 예제의 각각에서 도함수에 대해 라이프니츠 표기법은 심지어 현대 해석에서 그것이 분수는 아닐지라도 분수처럼 해동하는 것으로 보입니다.

Modern justification of infinitesimals

1960년대에서, 에드윈 휴잇(Edwin Hewitt)와 예르지 워시(Jerzy Łoś)의 초기 연구를 바탕으로, 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)은 현대의 엄격함의 표준에 의해 수용될 수 있었던 라이프니츠의 무한소에 대해 수학적 설명을 개발했었고, 이들 아이디어에 기초한 [[nonstandard analysis]|비표준 해석학(nonstandard analysis)]]을 개발했습니다. 로빈슨의 방법은 오직 소수의 수학자에 의해 사용됩니다. 제롬 카이슬러(Jerome Keisler)는, 로빈슨의 접근에 기초한, 첫 해 미적분학 교과서, Elementary calculus: an infinitesimal approach을 썼습니다.

현대의 무한소 이론의 관점에서, $Δ x$ 는 무한소 $x$ -증분, $Δ y$ 는 대응하는 $y$ -증분이고, 도함수는 무한소 비율의 표준 부분(standard part)입니다:

f'(x)={\rm {st}}{\Bigg (}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}{\Bigg )}

.

그런-다음 우리는 $dx=\Delta x$ , $dy=f'(x)dx$ 를 설정하므로, 정의에 의해, $f'(x)$ 는 $dx$ 에 의한 $dy$ 의 비율입니다.

비슷하게, 비록 대부분 수학자들이 지금 다음 극한으로

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,

다음 적분을 볼지라도,

\int f(x)\,dx

,

여기서 $Δ x$ 는 $x i$ 를 포함하는 구간이며, 라이프니츠는 그것을 무한히 많은 무한소 양 $f (x) dx$ 의 합 (그에 대한 요약을 나타내는 적분 기호)로 보았습니다. 비표준 해석학의 관점에서, 적분을 그러한 무한 합의 표준 부분으로 보는 것이 정확합니다.

이들 개념의 정확성을 얻기 위해 필요한 절충점은 실수(real number)의 집합이 초실수(hyperreal number)의 집합으로 확장되어야 한다는 것입니다.

Other notations of Leibniz

라이프니츠는 다양한 수학 영역에서 많은 다른 표기법을 실험했습니다. 그는 좋은 표기법이 수학의 추구에서 기본이라고 생각했습니다. 1693년에 로피탈에게 보낸 편지에서, 그는 이렇게 말합니다:^[23]

해석학의 비밀 중 하나는 특성, 즉 사용-가능한 기호의 능숙한 고용의 기술에서 구성되고, 비에타와 데카르트가 모든 신비를 알지 못했던 작은 (판별식에 대한) 엔클로저에 의해 관찰할 것입니다.

그는 시간이 지남에 따라 좋은 표기법에 대한 자신의 기준을 세분화하고 "확장된 부분을 갖는 기호를 위한 공간을 만들기 위해 줄 사이의 간격을 넓힐 필요없이, 보통 유형과 같은 줄로 설정할 수 있는 기호를 채택하는 것"의 가치를 깨닫게 되었습니다.^[24] 예를 들어, 그의 초기 연구에서, 그는 기호의 그룹화를 나타내기 위해 괄선(vinculum)을 많이 사용했지만, 나중에 그는 이 목적을 위해 괄호의 쌍을 사용하는 아이디어를 도입했으며, 따라서 더 이상 페이지의 줄 사이의 간격을 넓히지 않아도 되는 조판자를 완화했고, 페이지를 보다 매력적으로 보이게 합니다.^[25]

라이프니츠에 의해 도입된 200개가 넘는 새로운 기호들이 오늘날에도 여전히 사용되고 있습니다.^[26] 이미 언급된 미분 $dx$ , $dy$ 및 적분 기호 ( ∫ ) 외에, 그는 나눗셈에 대해 콜론 (:), 곱셈에 대해 점 (⋅), 닮은 것 (~) 및 합동 (≅)에 대해 기하학적 기호, 비율에 대해 레코드(Recorde)의 같음 기호 (=)의 사용 (아럴드의(Oughtred's) :: 표기법으로 대체됨) 및 판별식에 대해 이중-접미사 표기법이 있습니다.^[23]

Notes

^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ ^a ^b Katz 1993, p. 524
^ Katz 1993, p. 529
^ Mazur 2014, p. 166
^ Cajori 1993, Vol. II, p. 203, footnote 4
^ Swetz, Frank J., Mathematical Treasure: Leibniz's Papers on Calculus - Integral Calculus, Convergence, Mathematical Association of America, retrieved February 11, 2017
^ Stillwell, John (1989). Mathematics and its History. Springer. p. 110.
^ Leibniz, G. W. (2005) [1920]. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Translated by Child, J. M. Dover. pp. 73–74, 80. ISBN 978-0-486-44596-0.
^ Leibniz, G. W., Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676, Berlin: Akademie Verlag, 2008, pp. 288–295 ("Analyseos tetragonisticae pars secunda", October 29, 1675) and 321–331 ("Methodi tangentium inversae exempla", November 11, 1675).
^ Aldrich, John. "Earliest Uses of Symbols of Calculus". Retrieved 20 April 2017.
^ ^a ^b Cajori 1993, Vol. II, p. 204
^ Leibniz, G. W., Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676, Berlin: Akademie Verlag, 2008, pp. 321–331 esp. 328 ("Methodi tangentium inversae exempla", November 11, 1675).
^ Cajori 1993, Vol. II, p. 186
^ Jordan, D. W.; Smith, P. (2002). Mathematical Techniques: An Introduction for the Engineering, Physical, and Mathematical Sciences. Oxford University Press. p. 58.
^ Cajori 1993, Vol. II, p. 262
^ ^a ^b Briggs & Cochran 2010, p. 141
^ Swokowski 1983, p. 135
^ Cajori 1993, pp. 204-205
^ Briggs & Cochran 2010, p. 176
^ Swokowski 1983, p. 257
^ Swokowski 1983, p. 369
^ Swokowski 1983, p. 895
^ ^a ^b Cajori 1993, Vol. II, p. 185
^ Cajori 1993, Vol. II, p. 184
^ Mazur 2014, pp. 167-168
^ Mazur 2014, p. 167

References

Briggs, William; Cochran, Lyle (2010), Calculus / Early Transcendentals / Single Variable, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-66414-3
Cajori, Florian (1993) [1928], A History of Mathematical Notations, New York: Dover, ISBN 0-486-67766-4
Katz, Victor J. (1993), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
Mazur, Joseph (2014), Enlightening Symbols / A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-17337-5
Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with Analytic Geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-87150-341-7

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

[Katz524-2] Katz 1993, p. 524

[3] Katz 1993, p. 529

[4] Mazur 2014, p. 166

[5] Cajori 1993, Vol. II, p. 203, footnote 4

[6] Swetz, Frank J., Mathematical Treasure: Leibniz's Papers on Calculus - Integral Calculus, Convergence, Mathematical Association of America, retrieved February 11, 2017

[7] Stillwell, John (1989). Mathematics and its History. Springer. p. 110.

[8] Leibniz, G. W. (2005) [1920]. The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. Translated by Child, J. M. Dover. pp. 73–74, 80. ISBN 978-0-486-44596-0.

[9] Leibniz, G. W., Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676, Berlin: Akademie Verlag, 2008, pp. 288–295 ("Analyseos tetragonisticae pars secunda", October 29, 1675) and 321–331 ("Methodi tangentium inversae exempla", November 11, 1675).

[10] Aldrich, John. "Earliest Uses of Symbols of Calculus". Retrieved 20 April 2017.

[Cajori204-11] Cajori 1993, Vol. II, p. 204

[12] Leibniz, G. W., Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe VII: Mathematische Schriften, vol. 5: Infinitesimalmathematik 1674-1676, Berlin: Akademie Verlag, 2008, pp. 321–331 esp. 328 ("Methodi tangentium inversae exempla", November 11, 1675).

[13] Cajori 1993, Vol. II, p. 186

[14] Jordan, D. W.; Smith, P. (2002). Mathematical Techniques: An Introduction for the Engineering, Physical, and Mathematical Sciences. Oxford University Press. p. 58.

[15] Cajori 1993, Vol. II, p. 262

[Briggs-16] Briggs & Cochran 2010, p. 141

[17] Swokowski 1983, p. 135

[18] Cajori 1993, pp. 204-205

[19] Briggs & Cochran 2010, p. 176

[20] Swokowski 1983, p. 257

[21] Swokowski 1983, p. 369

[22] Swokowski 1983, p. 895

[Cajori185-23] Cajori 1993, Vol. II, p. 185

[24] Cajori 1993, Vol. II, p. 184

[25] Mazur 2014, pp. 167-168

[26] Mazur 2014, p. 167

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