Ultraproduct

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극단-곱(ultraproduct)은 추상 대수학(abstract algebra)과 수학적 논리(mathematical logic), 특히 모델 이론(model theory)과 집합 이론(set theory)에서 주로 나타나는 수학적(mathematical) 구성입니다. 극단곱은 구조(structures)의 가족의 직접 곱(direct product)의 몫(quotient)입니다. 모든 인수는 같은 시그니처(signature)를 가져야 합니다. 극단-곱은 모든 원소가 같은 이 구성의 특별한 경우입니다.

예를 들어, 극단-거듭제곱은 주어진 필드(field)에서 새로운 필드를 구성하기 위해 사용될 수 있습니다. 초실수(hyperreal number), 실수(real numbers)의 극단-거듭제곱은 이것의 특별한 경우입니다.

극단곱의 몇 가지 눈에 띄는 응용은 컴팩트성 정리(compactness theorem)와 완비성 정리(completeness theorem)의 매우 우아한 증명, 기본 동등성의 의미론적 개념의 대수적 특성을 제공하는 키슬러(Keisler)의 극단-거듭제곱 정리, 및 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)에 의해 (컴팩트성 정리의 응용으로) 개척되었던 비표준 해석학(nonstandard analysis)의 영역의 성장으로 이어지는 해석학의 비-표준 모델을 구성하기 위해 초월구조의 사용의 Robinson-Zakon 표시와 그것들의 단사-사상(monomorphism)을 포함합니다.

Definition

극단-곱을 얻는 일반적인 방법은 인덱스 집합 I, I의 각 원소 i에 대해 구조(structure) M_i (모두 같은 시그니처(signature)), 및 I 위에 극단-필터(ultrafilter) U를 사용합니다. 우리는 보통 I가 무한이고 U가 I의 모든 여-유한(cofinite) 부분집합, 즉, U가 주요 극단-필터(principal ultrafilter)가 아니라는 경우에서 이것을 고려합니다. 주요 경우에서, 극단-곱은 인수 중 하나와 동형적입니다.

다음 데카르트 곱(Cartesian product) 위에 대수적 연산은

$\prod _{i\in I}M_{i}$

점별로 정의되고 (예를 들어, 만약 $+$가 이항 함수이면 $(a+b)_{i}=a_{i}+b_{i}$임), 동치 관계(equivalence relation)는 만약 다음이고

$\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in U,$

극단-곱은 $\sim$에 관해 몫 집합(quotient set)이면 $a\sim b$에 의해 정의됩니다. 극단-곱은 따라서 때때로 다음에 의해 정의됩니다:

$\prod _{i\in I}M_{i}/U.$

우리는 만약 A ∈ U이면 m(A) = 1이고 그렇지 않으면 m(A) = 0을 말함으로써 인덱스 집합 I 위에 유한하게 덧셈의 측정(measure) m을 정의할 수 있습니다. 그런-다음 데카르트 곱의 두 구성원은 만약 그것들이 인덱스 집합 위에 거의 모든 곳에서(almost everywhere) 같으면 정확하게 동등합니다. 극단곱은 이렇게 생성된 동치 클래스의 집합입니다.

다른 관계(relation)는 같은 방법으로 확장될 수 있습니다:

$R([a^{1}],\dots ,[a^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{M_{i}}(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n})\right\}\in U,$

여기서 [a]는 $\sim$에 관한 a의 동치 클래스를 나타냅니다.

특히, 만약 모든 각 M_i가 순서화된 필드(ordered field)이면, 극단곱도 마찬가지입니다.

극단-거듭제곱(ultrapower)은 모든 인수 M_i가 같은 극단곱입니다:

$M^{I}/U=\prod _{i\in I}M/U.\,$

보다 일반적으로, 위의 구성은 U가 I 위의 필터(filter)일 때마다 수행될 수 있습니다; 결과 모델 $\prod _{i\in I}M_{i}/U$은 그런-다음 축소된 곱(reduced product)이라고 불립니다.

Examples

초실수(hyperreal numbers)는 모든 공-유한 집합을 포함하는 자연수에 걸쳐 극단-필터에 관한 모든 각 자연수에 대해 실수(real numbers)의 하나의 복사본의 극단곱입니다. 그것들의 순서는 실수의 순서의 확장입니다. 예를 들어, ω_i = i에 의해 주어진 수열 ω는 임의의 실수보다 큰 초실수를 나타내는 동치 클래스를 정의합니다.

유사하게, 우리는 대응하는 구조의 복사본의 극단곱을 취함으로써 비표준 정수(nonstandard integer), 비표준 복소수(nonstandard complex numbers), 등을 정의할 수 있습니다.

관계를 극단곱으로 전달하는 예제로서, ψ_i = 2i에 의해 정의된 수얼 ψ을 생각해 보십시오. 모든 i에 대해 ψ_i > ω_i = i이기 때문에, ψ_i = 2i의 동치 클래스가, 그것이 원래 구성된 것보다 큰 무한 숫자로 해석될 수 있도록, ω_i = i의 동치 클래스보다 크다는 것이 따릅니다. 어쨌든, i에 대해 χ_i = i라고 놓으면 7과 같지 않지만, χ₇ = 8입니다. ω와 χ가 일치하는 인덱스의 집합은 임의의 극단필터의 구성원이므로 (왜냐하면 ω와 χ가 거의 모든 곳에서 일치하기 때문임), ω와 χ는 같은 동치 클래스에 속합니다.

큰 세는-숫자(large cardinal)의 이론에서, 표준 구성은 일부 신중하게 선택된 극단필터 U에 관해 전체 집합-이론적 우주의 극단곱을 취하는 것입니다. 이 극단필터 U의 속성은 극단곱의 (고차) 속성에 강한 영향을 미칩니다; 예를 들어, 만약 U가 σ-완비이면, 극단곱은 다시 바른-토대(well-founded)된 것일 것입니다. (원형적인 예제에 대해 측정-가능 세는-숫자(measurable cardinal)를 참조하십시오.)

Łoś's theorem

워시의 정리는, 역시 극단거듭제곱의 기본 정리라고 불리며, 예르지 워시(Jerzy Łoś)에 기인합니다. 그것은 임의의 일-차(first-order) 공식이 극단곱에서 참인 것과 그 공식이 M_i에서 참을 만족하는 인덱스 i의 집합이 U의 구성원인 것은 필요충분 조건이라고 말합니다. 보다 정확하게:

σ를 시그니처로, $U$를 집합 $I$에 걸쳐 극단필터로 놓고, 각 $i\in I$에 대해 $M_{i}$를 σ-구조로 놓습니다. $M$을 $U$에 관한 $M_{i}$의 극단곱, 즉, $M=\prod _{i\in I}M_{i}/U$으로 놓습니다. 그런-다음, 각 $a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod M_{i}$에 대해, 여기서 $a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I}$이며, 및 모든 각 σ-공식 $\phi$에 대해,

$M\models \phi [[a^{1}],\ldots ,[a^{n}]]\iff \{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i}^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\in U.$

그 정리는 공식 $\phi$의 복잡성에 대한 귀납법으로 입증됩니다. $U$가 극단필터라는 사실 (및 단지 하나의 필터가 아님)은 부정 절에서 사용되고, 선택의 공리(axiom of choice)는 존재적 한정어 단계에서 필요됩니다. 응용으로, 우리는 초실수 필드(hyperreal fields)에 대해 전달 정리(transfer theorem)를 얻습니다.

Examples

R을 구조 M에서 단항 관계라고 놓고, M의 극단거듭제곱을 형성합니다. 그런-다음 집합 $S=\{x\in M|Rx\}$은 극단거듭제곱에서 아날로그 ^*S를 가지고, S를 포함하는 일-차 공식은 역시 ^*S에 대해 유효합니다. 예를 들어, M을 실수라고 놓고, Rx는 x가 유리수이면 유지된다고 놓습니다. 그런-다음 M에서, 우리는 유리수 x와 y의 임의의 쌍에 대해, z가 유리수가 아니고, x < z < y를 만족하는 또 다른 숫자 z가 존재한다고 말할 수 있습니다. 이것은 관련 형식적 언어에서 일-차 논리적 공식으로 번역될 수 있기 때문에, 워시의 정리는 ^*S가 같은 속성을 가진다는 것을 의미합니다. 즉, 우리는 초실수의 부분집합인 초유리수의 개념을 정의할 수 있고, 그것들은 유리수와 같은 일-차 속성을 가집니다.

어쨌든, 무한 목록에서 모든 각 부등식에 대해 x > 1, x > 1 + 1, x > 1 + 1 + 1, ...을 만족하는 실수 x는 없다고 말하는 실수의 아르키메데스 속성(Archimedean property)을 생각해 보십시오. 워시의 정리는 아르키메데스 속성에 적용되지 않는데, 왜냐하면 아르키메데스 속성은 일-차 논리에서 말할 수 없기 때문입니다. 사실, 아르키메데스 속성은 위의 초실수 ω의 구성에서 볼 수 있듯이 초실수에 대해 거짓입니다.

Direct limits of ultrapowers (ultralimits)

For the ultraproduct of a sequence of metric spaces, see Ultralimit.

모델 이론(model theory)과 집합 이론(set theory)에서, 극단거듭제곱의 수열의 직접 극한(direct limit)은 종종 고려됩니다. 모델 이론(model theory)에서, 이 구성은 극단-극한(ultralimit) 또는 극한하는 극단거듭제곱(limiting ultrapower)으로 참조될 수 있습니다.

구조 A₀와 극단필터 D₀으로 시작하여 극단거듭제곱 A₁을 형성하십시오. 그런-다음 A₂를 형성하기 위한 과정을 반복하시고, 이런 식으로 계속하십시오. 각 n에 대해, 정식의 대각선 삽입 $A_{n}\to A_{n+1}$이 있습니다. A_ω와 같은 극한 단계에서, 초기 단계의 직접 극한을 형성하십시오. 우리는 초월유한으로 계속할 수 있습니다.

See also

• Compactness theorem
• Löwenheim–Skolem theorem
• Transfer principle

References

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Models and Ultraproducts: An Introduction (reprint of 1974 ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-44979-3.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. (2000) [1981]. A Course in Universal Algebra (Millennium ed.).