Uncountable set

수학(mathematics)에서, 셀 수 없는 집합(uncountable set, 또는 셀 수 없는 무한 집합(uncountably infinite set)은^[1] 셀 수 있게(countable) 되기에는 너무 많은 원소(elements)를 포함하는 무한 집합(infinite set)입니다. 집합의 셀-수-없는-성질은 그것의 세는-숫자(cardinal number)와 밀접하게 관련되어 있습니다: 집합이 만약 그것의 세는-숫자가 모든 자연수(natural number)의 집합의 것보다 더 크면 셀 수 없습니다.

Characterizations

셀-수-없는-성질의 많은 동등한 특성이 있습니다. 집합 X가 셀-수-없는 것과 다음 조건의 임의의 것이 유지되는 것은 필요충분 조건입니다:

X에서 자연수 집합으로의 단사 함수(injective function)가 없습니다 (따라서 전단사(bijection)가 없습니다).
X는 비-빈이고 X의 요소의 모든 각 ω-수열(sequence)에 대해, 그것에 포함되지 않은 X의 적어도 하나의 원소가 존재합니다. 즉, X는 비-빈이고 자연수에서 X로의 전사 함수(surjective function)가 없습니다.
X의 카디널리티(cardinality)가 유한도 아니고 $\aleph _{0}$ (알레프-널(aleph-null), 자연수(natural number)의 카디널리티)과 같지 않습니다.
집합 X는 $\aleph _{0}$ 보다 엄격하게 더 큰 카디널리티를 가집니다.

이들 특성화 중 처음 셋은 선택의 공리(axiom of choice)없이 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)에서 동등함을 입증될 수 있지만, 세 번째와 네 번째의 동등성은 추가적인 선택 원리없이 입증될 수 없습니다.

Properties

만약 셀-수-없는 집합 X가 집합 Y의 부분집합이면, Y는 셀-수-없는 것입니다.

Examples

셀-수-없는 집합의 가장 잘 알려진 예제는 모든 실수(real number)의 집합 R입니다; 칸토어의 대각선 논증(Cantor's diagonal argument)은 이 집합이 셀-수-없는 것임을 보여줍니다. 대각화 증명 기법은 역시 자연수(natural number)의 모든 무한 수열(sequence)의 집합과 자연수의 집합의 모든 부분집합(subset)의 집합과 같은 여러 다른 집합이 셀-수-없는 것임을 보여주기 위해 사용될 수 있습니다. R의 카디널리티는 종종 연속체의 카디널리티(cardinality of the continuum)라고 불리고, ${\mathfrak {c}}$ , $2^{\aleph _{0}}$ ,^[2] 또는 $\beth _{1}$ (베트-일(beth-one))로 표시됩니다.

칸토어 집합은 R의 셀-수-없는 부분집합입니다. 칸토어 집합은 프랙탈(fractal)이고 영보다 크고 일보다 작은 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)을 가집니다 (R은 차원 일을 가집니다). 이것은 다음 사실의 예제입니다: 영보다 엄격하게 큰 하우스도르프 차원의 R의 임의의 부분집합은 셀-수-없는 것이어야 합니다.

셀-수-없는 집합의 또 다른 예제는 R에서 R로의 모든 함수(function)의 집합입니다. 이 집합은 그것의 카디널리티가 $\beth _{1}$ 보다 더 큰 것인 $\beth _{2}$ (베타-이(beth-two))이라는 의미에서 R보다 훨씬 "더 셀-수-없는" 것입니다.

셀-수-없는 집합의 보다 추상적인 예제는 Ω 또는 ω₁에 의해 표시되는 모든 셀-수-있는 순서-숫자(ordinal number)의 집합입니다.^[1] Ω의 카디널리티는 $\aleph _{1}$ (알레프-일(aleph-one))로 표시됩니다. 선택의 공리(axiom of choice)를 사용하여, $\aleph _{1}$ 은 가장-작은 셀-수-없는 세는 숫자'임을 보여줄 수 있습니다. 따라서 $\beth _{1}$ , 실수의 카디널리티가 $\aleph _{1}$ 가 같거나, 그것이 엄격하게 더 큰 중 하나입니다. 게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 $\beth _{1}$ 이 $\aleph _{1}$ 과 같은지 여부의 방정식을 처음으로 제안했습니다. 1900년에, 다비트 힐베르트(David Hilbert)는 이 질문을 그의 23 문제(23 problems) 중 첫 번째로 제시했습니다. $\aleph _{1}=\beth _{1}$ 이라는 명제는 이제 연속체 가설(continuum hypothesis)이라고 불리고 집합 이론(set theory)에 대해 (선택의 공리(axiom of choice)를 포함하여) 체르멜로–프렝켈 공리(Zermelo–Fraenkel axioms)와는 독립적인 것으로 알려져 있습니다.

Without the axiom of choice

선택의 공리*axiom of choice)없이, $\aleph _{0}$ (데데킨트-유한(Dedekind-finite) 무한 집합의 카디널리티)와 비교할-수-없는(incomparable) 카디널리티가 존재할 수 있습니다. 이들 카디널리티의 집합은 위의 처음 셋의 특성화를 만족시키지만, 네 번째 특성화를 만족시키지 않습니다. 이들 집합은 카디널리티의 의미에서 자연수보다 크지 않기 때문에, 일부는 이것들을 셀-수-없는 것으로 부르기를 원하지 않을 수 있습니다.

만약 선택의 공기가 유지되면, 세는 숫자 $\kappa$ 에 대한 다음 조건은 동등합니다:

$\kappa \nleq \aleph _{0};$
$\kappa >\aleph _{0};$ 및
$\kappa \geq \aleph _{1}$ , 여기서 $\aleph _{1}=|\omega _{1}|$ 와 $\omega _{1}$ 는 $\omega$ 보다 큰 최소 초기 순서-숫자(initial ordinal)입니다.

어쨌든, 이것들은 만약 선택한 공리가 실패하면 모두 다른 것일 수 있습니다. 따라서 공리가 실패할 때 어느 것이 "셀-수-없는-성질"의 적절한 일반화인지는 분명하지 않습니다. 이 경우에서 단어를 사용하는 것을 피하고 이것들 중 하나가 의미를 지정하는 것이 가장 좋을 수 있습니다.

References

^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Uncountably Infinite". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-05.
^ "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault. 2020-04-11. Retrieved 2020-09-05.

Bibliography

Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2

External links

Proof that R is uncountable

[:0-1] Weisstein, Eric W. "Uncountably Infinite". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-05.

[2] "Comprehensive List of Set Theory Symbols". Math Vault. 2020-04-11. Retrieved 2020-09-05.

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