Scaling (geometry)

Original article: w:Scaling (geometry)

Each iteration of the Sierpinski triangle contains triangles related to the next iteration by a scale factor of 1/2

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 균등한 스케일링(uniform scaling) (또는 등방성 스케일링(isotropic scaling))은 모든 방향에서 같은 스케일 인수(scale factor)만큼 대상을 확대 (증가) 또는 수축 (축소)하는 선형 변환(linear transformation)입니다. 균등한 스케일링의 결과는 (기하학적인 의미에서) 원본과 닮음(similar)입니다. 1의 스케일링 인수가 합동(congruent) 모양이 역시 닮은 것으로 분류되도록 통상적으로 허용됩니다. 균등한 스케일링은, 예를 들어, 사진(photograph)을 확대 또는 축소할 때, 또는 건물, 자동차, 비행기 등의 스케일 모델(scale model)을 만들 때 발생합니다.

보다 일반적인 것은 각 축 방향에 대해 별도의 스케일 인수를 갖는 스케일링입니다. 비-균등 스케일링(non-uniform scaling) (이방성 스케일링(anisotropic scaling))은 적어도 하나의 스케일링 인수가 다른 스케일링 인수와 다를 때 얻습니다; 특별한 경우는 (한 방향에서) 방향 스케일링(directional scaling) 또는 스트레칭(stretching)입니다. 비-균등 스케일링은 대상의 모양(shape)을 바꿉니다; 예를 들어, 정사각형은, 만약 그들의 변들이 스케일링 축과 평행하지 않으면, 직사각형이나 평행사변형으로 바뀔 수 있습니다 (축에 평행한 선들 사이의 각도는 유지되지만, 모든 각도가 그렇지는 않습니다). 그것은, 예를 들어, 먼 거리의 광고판이 비스듬한 각도(oblique angle)에서 보일 때, 또는 평평한 대상의 그림자가 그것에 평행하지 않은 표면에 맺힐 때 발생합니다.

스케일링 인수가 1보다 클 때, (균등 또는 비-균등) 스케일링은 때때로 팽창(dilation) 또는 확대(enlargement)라고 불립니다. 스케일링 인수가 1보다 작은 양수이면, 스케일링은 때때로 수축(contraction)라고 불립니다.

가장 일반적인 의미에서, 스케일링은 스케일링의 방향이 수직이 아닌 경우를 포함합니다. 그것은 역시 하나 이상의 스케일링 인수가 0 (투영(projection))과 같은 경우와 하나 이상의 음수 스케일 인수 (−1에 의한 방향 스케일링은 반사(reflection)와 동등함)의 경우를 포함합니다.

스케일링은 선형 변환(linear transformation)이고, 중심-닮음 변환(homothetic transformation)의 특별한 경우입니다. 대부분의 경우에, 닮음 변형은 비-선형 변환입니다.

Matrix representation

스케일링은 스케일링 행렬(matrix)에 의해 표현될 수 있습니다. 대상을 벡터(vector) v = (v_x, v_y, v_z)만큼 스케일링하기 위해, 각 점 p = (p_x, p_y, p_z)는 다음 스케일링 행렬로 곱해져야 합니다:

$S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}.$

아래 보인 것처럼, 곱셈은 예상된 결과를 제공할 것입니다:

$S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0\\0&v_{y}&0\\0&0&v_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\end{bmatrix}}.$

그러한 스케일링은 스케일 인수 사이의 인수에 의한 대상의 지름(diameter), 두 스케일 인수의 최소 및 최대 곱 사이의 계수에 의한 넓이(area), 및 모든 셋의 곱에 의한 부피(volume)를 변경합니다.

스케일링은 균등인 것과 스케일링 인수가 같은 것 (v_x = v_y = v_z)은 필요충분(iff) 조건입니다. 만약 스케일 인수 중 하나를 제외한 모두가 1이면, 우리는 방향 스케일링을 가집니다.

v_x = v_y = v_z = k인 경우에서, 스케일링은 임의의 표면의 넓이를 k²의 인수만큼 증가시키고 임의의 고체 물체의 부피를 k³의 인수만큼 증가시킵니다.

Scaling in arbitrary dimensions

$n$-차원 공간 $\mathbb {R} ^{n}$에서, 인수 $v$에 의한 균등 스케일링은 $v$를 갖는 스칼라 곱셈(scalar multiplication), 즉, 각 점의 각 좌표에 $v$를 곱함으로써 수행됩니다. 선형 변환의 특별한 경우로, 그것은 각 점 (열 벡터로 표시됨)을 대각선 위에 엔트리가 모두 $v$, 즉 $vI$와 같은 대각 행렬(diagonal matrix)과 곱함으로써 얻어질 수 있습니다.

비-균등 스케일링은 임의의 대칭 행렬(symmetric matrix)과 곱셈에 의해 수행됩니다. 행렬의 고윳값(eigenvalue)은 스케일 인수이고, 해당하는 고유벡터(eigenvector)는 각 스케일 인수가 적용되는 축입니다. 특별한 경우는 대각선을 따라 임의적인 숫자 $v_{1},v_{2},\ldots v_{n}$를 갖는 대각 행렬입니다: 스케일링의 축은 그런-다음 해당하는 축이고, 변환은 각 축 $i$를 따라 인수 $v_{i}$만큼 스케일됩니다.

비-영 인수를 갖는 균등 스케일링 인수에서, 모든 비-영 벡터는 방향을 유지하거나 (원점에서 볼 때), 모두는 스케일링 인수의 부호에 따라 방향이 반전됩니다. 비-균등 스케일링에서, 오직 고유공간(eigenspace)에 속하는 벡터가 그것들의 방향을 유지할 것입니다. 서로 다른 고유 공간에 속하는 둘 이상의 비-영 벡터의 합인 벡터는 가장 큰 고윳값을 갖는 고유공간 쪽으로 기울어질 것입니다.

Using homogeneous coordinates

종종 컴퓨터 그래픽(computer graphics)에서 사용되는 투영 기하학(projective geometry)에서, 점은 동차 좌표(homogeneous coordinates)를 사용하여 표현됩니다. 벡터(vector) v = (v_x, v_y, v_z)로 대상을 스케일링하기 위해, 각 동차 좌표 벡터 p = (p_x, p_y, p_z, 1)가 다음 투영 변환(projective transformation) 행렬에 곱해져야 합니다:

$S_{v}={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

아래에 보인 것처럼, 곱셈은 예상된 결과를 제공할 것입니다:

$S_{v}p={\begin{bmatrix}v_{x}&0&0&0\\0&v_{y}&0&0\\0&0&v_{z}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}p_{x}\\v_{y}p_{y}\\v_{z}p_{z}\\1\end{bmatrix}}.$

동차 좌표의 마지막 성분은 다른 셋의 성분의 분모로 보일 수 있으므로, 공통 인수 s (균등 스케일링)에 의해 균등 스케일링은 다음 스케일링 행렬을 사용함으로써 수행될 수 있습니다:

$S_{v}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}.$

각 벡터 p = (p_x, p_y, p_z, 1)에 대해 우리는 다음을 가집니다:

$S_{v}p={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\{\frac {1}{s}}\end{bmatrix}},$

이것은 다음과 동등일 것입니다:

${\begin{bmatrix}sp_{x}\\sp_{y}\\sp_{z}\\1\end{bmatrix}}.$

Function dilation and contraction

점 $P(x,y)$가 주어지면, 팽창은 방정식을 통해 그것을 점 $P'(x',y')$과 연관시킵니다:

${\begin{cases}x'=mx\\y'=ny\end{cases}}$ for $m,n\in \mathbb {R} ^{+}$.

그러므로, 함수 $y=f(x)$가 주어지면, 팽창된 함수의 방정식은 다음입니다:

$y=nf\left({\frac {x}{m}}\right).$

Particular cases

만약 $n=1$이면, 변환은 수평적입니다; $m>1$일 때, 그것은 팽창이고, $m<1$일 때, 그것은 수축입니다.

만약 $m=1$이면, 변환은 수직적입니다; $n>1$일 때, 그것은 팽창이고, $n<1$일 때, 그것은 수축입니다.

만약 $m=1/n$ 또는 $n=1/m$이면, 변환은 조임 매핑(squeeze mapping)입니다.

See also

• Dilation (metric space)
• Homogeneous function
• Homothetic transformation
• Scale (ratio)
• Scale (map)
• Scales of scale models
• Scale (disambiguation)
• Scaling in gravity
• Squeeze mapping
• Transformation matrix

External links

• Understanding 2D Scaling and Understanding 3D Scaling by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.