Uniform continuity

The graph of $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ escapes the top and/or bottom of the ${\text{height}}\times {\text{width}}=2\varepsilon \times 2\delta$ window, however small the $\delta$ , so $f(x)$ is **not** uniformly continuous. The function $g(x)={\sqrt {x}}$ , on the other hand, is uniformly continuous.

수학(mathematics)에서, 만약, 대략 말해서, 우리는 오직 x와 y가 각각 서로 충분히 가깝도록 요구함으로써 만족한 만큼 f(x)와 f(y)가 서로 가까워짐을 보장하는 것이 가능하면, 함수(function) f는 균등하게 연속(uniformly continuous)입니다; 보통의 연속성(continuity)과 달리, 여기서 f(x)와 f(y) 사이의 최대 거리는 x와 y 자체에 절대 의존할 수 없습니다.

연속 함수는 만약 그것들이 (0,1)에서 $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ 와 같은 경계진 도메인 위에 무경계지면, 또는 그것들의 기울기가 실수 직선 위의 $f(x)=x^{2}$ 와 같이 무한 도메인 위에 무경계지게 되면 균등하게 연속이 됨에 실패할 수 있습니다. 어쨌든, 메트릭 공간(metric space) 사이의 임의의 립시츠 맵(Lipschitz map)은 균등하게 연속이며, 특히 임의의 등거리-변환(isometry) (거리-보존하는 맵)이 그렇습니다.

비록 보통의 연속성이 일반적인 토폴로지적 공간 사이의 함수에 대해 정의될 수 있을지라도, 균등 연속성을 정의하는 것은 더 많은 구조를 요구합니다. 그 개념은 구별되는 점의 이웃(neighbourhood)의 크기를 비교하는 데 의존하므로, 그것은 메트릭 공간, 또는 더 일반적으로 균등 공간(uniform space)을 요구합니다.

Definition for functions on metric spaces

메트릭 공간(metric spaces) $(X,d_{1})$ 과 $(Y,d_{2})$ 이 주어지면, 함수 $f:X\to Y$ 는 만약 모든 각 실수(real number) $\varepsilon >0$ 에 대해, $d_{1}(x,y)<\delta$ 를 갖는 모든 각 $x,y\in X$ 에 대해, 우리가 $d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon$ 을 가짐을 만족하는 실수 $\delta >0$ 가 존재하면 균등하게 연속이라고 불립니다.

만약 X와 Y가 실수 직선(real line)의 부분집합이면, d₁과 d₂는 표준 일-차원 유클리드 거리가 될 수 있으며, 그 정의를 산출합니다: 모든 $\varepsilon >0$ 에 대해, 모든 $x,y\in X$ 에 대해 $|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon$ 임을 만족하는 $\delta >0$ 가 존재합니다.

각 점에서 보통의 연속성과 균등 연속성 사이의 차이는 균등 연속성에서 $\delta$ 의 값은 오직 $\varepsilon$ 에 의존하고 도메인에서 그 점이 아니라는 것입니다.

Local continuity versus global uniform continuity

연속성(Continuity) 자체는 함수의 지역적 속성입니다–즉, 함수 f는 특정 점에서 연속, 또는 그렇지 않고, 이것은 해당 점의 (임의적으로 작은) 이웃에서 함수의 값에서 오직 찾음으로써 결정될 수 있습니다. 우리가 함수가 구간(interval)에서 연속이라고 말할 때, 우리는 그것이 구간의 각 점에서 연속임을 오직 의미합니다. 대조적으로, 균등 연속성은 표준 정의가 개별 점이 아닌 점의 쌍을 참조한다는 의미에서 f의 전역적 속성입니다. 다른 한편으로, 자연 확장 f* (비표준 점에서 함수의 특성이 f의 전역적 속성에 의해 결정됨)의 관점에서 지역적인 정의를 제공하는 것은 가능하지만, 임의적인 초실수-값 함수에 대해 균등 연속성의 지역적 정의를 제공하는 것은 불가능하며, 아래를 참조하십시오.

함수가 구간 I에서 연속이라는 수학적 명제와 함수가 같은 구간에서 균등하게 연속이라는 정의는 구조적으로 매우 유사합니다. 구간의 모든 각 점 x에 대해 함수의 연속성은 따라서 다음 수량화(quantification)로 시작하는 공식에 의해 표현될 수 있습니다:

\forall x\in I\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in I:\,|x-y|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(y)|<\varepsilon \,,

반면에 균등 연속성에 대해, 첫 번째, 두 번째, 및 세 번째 수량화의 순서는 회전됩니다:

\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;\forall y\in I:\,|x-y|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(y)|<\varepsilon

따라서 각 점에서 연속성에 대해, 우리는 임의적인 점 x를 취하고, 그런-다음 거리 δ가 반드시 존재합니다:

\cdots \forall x\,\exists \delta \cdots ,

반면에 균등 연속성에 대해, 단일 δ는 모든 점 x (및 y)에 대해 균등하게 작동해야 합니다:

\cdots \exists \delta \,\forall x\,\forall y\cdots .

Examples and counterexamples

두 메트릭 공간 사이의 모든 각 립시츠 연속(Lipschitz continuous) 맵은 균등하게 연속입니다. 특히, 미분-가능이고 경계진 도함수를 가지는 모든 각 함수는 균등하게 연속입니다. 보다 일반적으로, 모든 각 횔더 연속(Hölder continuous) 함수는 균등하게 연속입니다.
어떤 곳에서도 미분-가능이 아님에도 불구하고, 바이어슈트라스 함수(Weierstrass function)는 균등하게 연속입니다.
함수의 균등하게 동등-연속(uniformly equicontinuous) 집합의 모든 각 구성원은 균등하게 연속입니다.
탄젠트 함수(tangent function)는 구간 (−π/2, π/2)에서 연속이지만 해당 구간에서는 균등하게 연속이 아닙니다.
지수 함수 x $\scriptstyle \mapsto$ e^x는 실수 직선 위의 모든 곳에서 연속이지만 그 직선에서 균등하게 연속이 아닙니다.

Properties

모든 각 균등하게 연속 함수는 연속(continuous)이지만, 그 전환은 유지되지 않습니다. 예를 들어 함수 $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$ 를 생각해 보십시오. 임의적으로 작은 양의 실수 $\varepsilon$ 가 주어지면, 균등 연속성은 $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ 를 갖는 모든 $x_{1},x_{2}$ 에 대해, 우리가 $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ 를 가짐을 만족하는 양수 $\delta$ 의 존재를 요구합니다. 그러나 다음이고

f\left(x+{\frac {\delta }{2}}\right)-f(x)=2x\cdot {\frac {\delta }{2}}+{\frac {\delta ^{2}}{4}},

모든 충분하게 큰 x에 대해 이 양은 $\varepsilon$ 보다 더 큽니다.

임의의 절대적으로 연속(absolutely continuous) 함수는 균등하게 연속입니다. 다른 한편으로, 칸토어 함수(Cantor function)는 균등하게 연속이지만 절대적으로 연속은 아닙니다.

균등하게 연속 함수 아래에서 전체적으로 경계진(totally bounded) 부분집합의 이미지는 전체적으로 경계진 것입니다. 어쨌든, 균등하게 연속 함수 아래에서 임의적인 메트릭 공간의 경계진 부분집합의 이미지는 경계진 것이 아닐 필요가 있습니다: 반대-예제로, 이산 메트릭(discrete metric)이 부여된 정수에서 보통의 유클리드 메트릭(Euclidean metric)이 부여된 정수로의 항등 함수를 생각해 보십시오.

하이네–칸토어 정리(Heine–Cantor theorem)는 컴팩트 집합(compact set)에서 모든 각 연속 함수가 균등하게 연속이라고 주장합니다. 특히, 만약 함수가 실수 직선의 닫힌 경계진 구간(closed bounded interval)에서 연속이라면, 그것은 해당 구간에서 균등하게 연속입니다. 연속 함수의 다르부 적분-가능성(Darboux integrability)은 이 정리에서 거의 즉시 따릅니다.

만약 실수-값 함수 $f$ 가 $[0,\infty )$ 에서 연속이고 $\lim _{x\to \infty }f(x)$ 가 존재하면 (및 유한이면), $f$ 는 균등하게 연속입니다. 특히, 무한대에서 사라지는 $\mathbb {R}$ 에서 연속 함수의 공간, $C_{0}(\mathbb {R} )$ 의 모든 각 원소는 균등하게 연속입니다. 이것은 위에 언급된 하이네–칸토어 정리의 일반화인데, 왜냐하면 $C_{c}(\mathbb {R} )\subset C_{0}(\mathbb {R} )$ 이기 때문입니다.

Visualization

균등하게 연속 함수에 대해, 두 값 $f(x)$ 와 $f(y)$ 가 $x$ 가 $y$ 가 $\delta$ 이상에 대해 다르지 않을 때마다 최대 거리 $\varepsilon$ 를 가짐을 만족하는 모든 각 주어진 $\varepsilon >0$ 에 대해 $\delta >0$ 가 있습니다. 따라서 우리는 그래프가 직사각형의 바로 위나 아래가 아니고 완전히 직사각형 안에 놓이게 하도록 그래프의 각 점 $(x,f(x))$ 주위에 높이 $2\varepsilon$ 와 너비 $2\delta$ 를 갖는 직사각형을 그릴 수 있습니다. 균등하게 연속이 아닌 함수에 대해, 이것은 가능하지 않습니다. 그 그래프는 그래프에서 특정 중간점에 대해 직사각형 내부에 있을 수 있지만 함수가 직사각형 위 또는 아래에 놓이는 그래프에는 항상 직사각형의 중간점이 있습니다.

For uniformly continuous functions, there is for each $\varepsilon >0$ a $\delta >0$ such that when we draw a rectangle around each point of the graph with width $2\delta$ and height $2\varepsilon$ , the graph lies completely inside the rectangle.
For functions that are not uniformly continuous, there is an $\varepsilon >0$ such that regardless of the $\delta >0$ there are always points on the graph, when we draw a $2\varepsilon \times 2\delta$ rectangle around it, there are values directly above or below the rectangle. There might be midpoints where the graph is completely inside the rectangle but this is not true for every midpoint.

History

균등 연속성의 최초의 출판된 정의는 1870년 하이네(Heine)에 의한 것이었고, 1872년 그는 열린 구간에서 연속 함수가 균등하게 연속일 필요는 없다는 증명을 발표했습니다. 증명은 디리클레(Dirichlet)에 의해 1854년 정적분에 대한 그의 강의에서 거의 그대로였습니다. 균등 연속성의 정의는 볼차노의 연구 초기에 나타났으며 여기서 그는 역시 열린 구간 위에 연속 함수가 균등하게 연속일 필요가 없다는 것을 입증했습니다. 게다가, 그는 역시 닫힌 구간 위에 연속 함수가 균등하게 연속이라고 말했지만, 그는 완전한 증명을 제공하지는 않았습니다.^[1]

Other characterisations

Non-standard analysis

비-표준 해석학(non-standard analysis)에서, 실수 변수의 실수-값 함수 f는 만약 차이 f*(a + δ) − f*(a)가 δ가 무한소일 때마다 무한소이면 정확하게 점 a에서 마이크로-연속(microcontinuous)입니다. 따라서 f는 만약 f*가 모든 각 실수 점 a ∈ A에서 마이크로-연속이면 정확하게 R에서 집합 A에 대한 연속입니다. 균등 연속성은 f가 A에서 실수 점에서 마이크로연속일 뿐만 아니라, 그것의 비-표준 짝에서 모든 점에서 ^*R에서 (자연스러운 확장) ^*A이라는 조건으로 표현될 수 있습니다. 이 기준을 충족하지만 균등하게 연속이 아닌 초실수-값 함수와 마찬가지로 이 기준을 충족하지 않는 균등하게 연속 초실수-값 함수가 있음을 주목하며, 어쨌든, 그러한 함수는 임의의 실수-값 함수 f에 대해 형식 f*에서 표현될 수 없습니다. (자세한 내용과 예제에 대해 비-표준 미적분(non-standard calculus)을 참조하십시오).

Cauchy continuity

메트릭 공간 사이의 함수에 대해, 균등 연속성은 코시 연속성(Cauchy continuity)을 의미합니다 (Fitzpatrick 2006). 보다 구체적으로, A를 Rⁿ의 부분집합으로 놓습니다. 만약 함수 f : A → R^m가 균등하게 연속이면, 다음을 만족하는 수열 x_n과 y_n의 모든 각 쌍에 대해

\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0

우리는 다음을 가집니다:

\lim _{n\to \infty }|f(x_{n})-f(y_{n})|=0.

Relations with the extension problem

X를 메트릭 공간, S를 X의 부분집합, R을 완비 메트릭 공간, 및 $f:S\rightarrow R$ 을 연속 함수라고 놓습니다. f는 언제 모든 X 위에 연속 함수로 확장될 수 있습니까?

만약 S가 X에서 닫혀 있으면, 그 답은 항상 티체 확장 정리(Tietze extension theorem)에 의해 제공됩니다. 따라서 그것은 f를 X에서 S의 클로저로의 확장하는 것이 필요와 충분입니다: 즉, 우리가 일반성의 손실 없이 S가 X에서 조밀하다고 가정할 수 있고, 이것이 만약 그 확장이 존재하면, 그것이 고유하다는 더욱 즐거운 결과를 가집니다. f에 대해 연속 함수 $f:X\rightarrow R$ 로 확장하기 위한 충분 조건이 그것이 코시-연속(Cauchy-continuous)이며, 즉, 코시 수열의 f 아래에서 이미지가 코시로 남는 것입니다. 만약 X가 완비이면 (및 따라서 S의 완비이면), X에서 메트릭 공간 Y로의 모든 각 연속 함수는 코시-연속입니다. 그러므로 X가 완비일 때, f는 연속 함수 $f:X\rightarrow R$ 로 확장되는 것과 f가 코시-연속인 것은 필요충분 조건입니다.

모든 각 균등하게 연속 함수는 코시-연속이고 따라서 X로 확장된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 그 전환은 유지되지 않는데 왜냐하면 함수 $f:R\rightarrow R,x\mapsto x^{2}$ 는, 위에서 볼 수 있듯이, 균등하게 연속이지 않지만, 그것이 연속이고 따라서 코시 연속이기 때문입니다. 일반적으로, R과 같이 무경계진 공간 위에 정의된 함수에 대해, 균등 연속성이 다소 강한 조건입니다. 확장성을 추론하기 위해 더 약한 조건을 갖는 것이 바람직합니다.

예를 들어, a > 1가 실수라고 가정합니다. 미적분-이전 수준에서, 함수 $f:x\mapsto a^{x}$ 는 x의 유리수 값에 대해 오직 정확한 정의를 제공할 수 있습니다 (사잇값 정리의 응용, 양의 실수 q번째 근의 확장을 가정합니다). 우리는 f를 R의 모두 위에 정의된 함수로 확장하고 싶습니다. 다음 항등식은

f(x+\delta )-f(x)=a^{x}\left(a^{\delta }-1\right)

f가 모든 유리수의 집합 Q 위에 균등하게 연속이 아님을 보여줍니다; 어쨌든 임의의 경계진 구간 I에 대해, $Q\cap I$ 로의 f의 제한은 균등하게 연속이고, 따라서 코시-연속이고, 따라서 f는 I 위에 연속 함수로 확장됩니다. 그러나 이것은 모든 각 I에 대해 유지되므로, 그런-다음 R의 모두 위에 연속 함수에 대한 f의 고유한 확장이 있습니다.

보다 일반적으로, S의 모든 각 경계진 부분집합으로 제한이 균등하게 연속인 연속 함수 $f:S\rightarrow R$ 는 X로 확장-가능이고, 그 전환은 X가 지역적으로 컴팩트(locally compact)이면 유지됩니다.

균등하게 연속 함수의 확장가능성의 전형적인 적용은 역 푸리에 변환(Fourier transformation) 공식의 증명입니다. 우리는 먼저 그 공식이 테스트 함수에 대해 참임을 증명하며, 그것 중 많은 수가 조밀하게 있습니다. 우리는 그런-다음 선형 맵이 연속이라는 사실을 사용하여 역 맵을 전체 공간으로 확장합니다; 따라서 균일하게 연속입니다.

Generalization to topological vector spaces

토폴로지적 벡터 공간(topological vector spaces) $V$ 와 $W$ 의 특별한 경우에서, 맵 $f:V\to W$ 의 균등 연속성의 개념은 다음이 됩니다: $W$ 에서 영의 임의의 이웃 $B$ 에 대해, $v_{1}-v_{2}\in A$ 가 $f(v_{1})-f(v_{2})\in B$ 임을 의미함을 만족하는 $V$ 에서 영의 이웃 $A$ 가 존재합니다.

선형 변환(linear transformation) $f:V\to W$ 에 대해, 균등 연속성은 연속성과 동등합니다. 이 사실은 바나흐 공간(Banach space)의 조밀한 부분공간에서 선형 맵을 확장하기 위해 함수형 해석학(functional analysis)에서 암시적으로 자주 사용됩니다.

Generalization to uniform spaces

연속성을 위한 가장 자연스럽고 일반적인 설정이 토폴로지적 공간(topological space)인 것처럼, 균등 연속성을 연구하기 위한 가장 자연스럽고 일반적인 설정은 균등 공간(uniform space)입니다. 균일 공간 사이의 함수 f : X → Y는 만약 Y에서 모든 각 측근(entourage) V에 대해, U에서 모든 각 (x₁, x₂)에 대해 우리가 V에서 (f(x₁), f(x₂))를 가짐을 만족하는 X에서 측근 U가 존재하면 균등하게 연속이라고 불립니다.

이 설정에서, 균등하게 연속 맵이 코시 수열을 코시 수열로 변환하는 것도 참입니다.

각 각 컴팩트 하우스도르프 공간은 토폴로지와 호환되는 정확하게 하나의 균등 구조를 보유합니다. 결과는 하이네–칸토어 정리의 일반화입니: 컴팩트 하우스도르프 공간에서 균등 공간으로의 각 연속 함수는 균등하게 연속입니다.

References

^ Rusnock & Kerr-Lawson 2005.