Real line

수학(mathematics)에서, 실수 직선(real line 또는 real number line)은 그것의 점(points)이 실수(real number)인 직선(line)입니다. 즉, 실수 직선은 기하학적(geometric) 공간(space), 즉 차원(dimension) 일의 유클리드 공간(Euclidean space)으로써 보이는, 모든 실수의 집합(set) $R$ 입니다. 그것은 벡터 공간(vector space) (또는 아핀 공간(affine space)), 메트릭 공간(metric space), 토폴로지적 공간(topological space), 측정 공간(measure space) 또는 선형 연속체(linear continuum)로 생각될 수 있습니다.

실수의 집합과 마찬가지로, 실수 직선은 보통 기호 $R$ (또는 대안적으로, $\mathbb {R}$ , 칠판 굵은-글씨(blackboard bold)에서 문자 “R”)로 표시됩니다. 어쨌든, 그것은 때때로 첫 번째 유클리드 공간으로서 역할을 강조하기 위해서 $R 1$ 으로 표시됩니다.

이 기사는 토폴로지(topology), 기하학(geometry) 및 실수 해석학(real analysis)에서 기하학적 공간으로 $R$ 의 관점에 초점을 맞춥니다. 실수는 역시 필드(field)로 대수(algebra)에서 중요한 역할을 하지만, 이 문맥에서 $R$ 은 직선으로 드물게 참조됩니다. 그의 외관의 모두에서 $R$ 에 대한 더 자세한 정보에 대해, 실수(real number)를 참조하십시오.

As a linear continuum

The order on the number line

실수 직선은 표준 $<$ 순서화 아래에서 선형 연속체(linear continuum)입니다. 구체적으로 특별히, 실수 직선은 $<$ 에 의해 선형적으로 순서화(linearly ordered)되고, 이 순서화는 조밀(dense)하고 최소-위쪽-경계 속성(least-upper-bound property)을 가집니다.

위의 속성 외에도, 실수 직선은 최대(maximum) 또는 최소 원소(minimum element)를 가지지 않습니다. 그것은 역시 셀-수-있는(countable) 조밀(dense) 부분집합(subset), 즉 유리수(rational number)의 집합을 가집니다. 셀-수-있는 조밀 부분집합을 갖고 최대 또는 최소 원소가 없는 선형 연속체는 실수 직선에 대한 순서-동형(order-isomorphic)이라는 정리입니다.

실수 직선은 역시 셀-수-있는 체인 조건(countable chain condition)을 만족시킵니다: $R$ 에서 서로 서로소(disjoint), 비-빈(nonempty) 열린 구간(interval)의 모든 각 모음은 셀-수-있는 것입니다. 순서 이론(order theory)에서, 유명한 수슬린 문제(Suslin problem)는 최대 또는 최소 원소를 가지지 않는 셀-수-있는 체인 조건을 만족시키는 모든 각 선형 연속체는 반드시 $R$ 에 순서-동형인지 여부를 묻습니다. 이 명제는 ZFC로 알려진 집합 이론(set theory)의 표준 공리 시스템과 독립(independent)적인 것으로 나타났습니다.

As a metric space

An

ε

-ball around a number

a

실수 직선은 절대 차이에 의해 주어진 거리 함수(distance function)와 함께 메트릭 공간(metric space)을 형성합니다:

d(x,y)=|x-y|.

메트릭 텐서(metric tensor)는 분명히 1-차원 유클리드 메트릭(Euclidean metric)입니다. $n$ -차원 유클리드 메트릭은 행렬 형식에서 $n$ -by- $n$ 항등 행렬로 표현될 수 있으므로, 실수 직선에 대한 메트릭은 단순히 1x1 항등 행렬, 즉 1입니다.

만약 $p \in R$ 및 $ε > 0$ 이면, $p$ 에 중심을 둔 $R$ 에서 $ε$ -볼(ball)은 간단히 열린 구간(interval) $(p - ε, p + ε)$ 입니다.

이 실수 직선은 메트릭 공간으로 여러 중요한 속성을 가집니다:

실수 직선은 점의 임의의 코시 수열(Cauchy sequence)이 수렴한다는 의미에서 완비 메트릭 공간(complete metric space)입니다.
실수 직선은 경로-연결된(path-connected) 것이고 측지 메트릭 공간(geodesic metric space)의 가강-간단한 예제 중 하나입니다.
실수 직선의 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)은 일과 같습니다.

As a topological space

실수 직선은 두 가지 다른 동등한 방법에서 도입될 수 있는 표준 토폴로지(topology)를 지닙니다. 첫째, 실수는 전체적으로 순서화(totally ordered)된 것이기 때문에, 그것들은 순서 토폴로지(order topology)를 지닙니다. 둘째, 실수는 위에 정의된 메트릭으로부터 메트릭 토폴로지(metric topology)를 상속합니다. $R$ 위에 순서 토폴로지와 메트릭 토폴로지는 같습니다. 토폴로지적 공간으로, 실수 직선은 열린 구간 $(0, 1)$ 에 대해 위상-동형(homeomorphic)입니다.

실수 직선은 차원(dimension) 1의 토폴로지적 매니폴드(topological manifold)입니다. 위상-동형까지, 그것은 경계(boundary)없이 오직 두 다른 연결된 1-매니폴드 중 하나이고, 다른 하나는 원(circle)입니다. 그것은 역시 그것 위에 표준 미분-가능 구조를 가지며, 그것을 미분-가능 매니폴드(differentiable manifold)로 만듭니다. (미분-동형(diffeomorphism)까지, 토폴로지적 공간이 지원하는 미분-가능 구조는 오직 하나뿐입니다.)

실수 직선은 지역적으로 컴팩트 공간(locally compact space)과 파라컴택트 공간(paracompact space), 마찬가지로 두 번째-셀-수-있는(second-countable) 및 정규(normal)입니다. 그것은 역시 경로-연결된(path-connected) 것이고, 비록 그것이 임의의 하나의 점을 제거함으로써 연결되지 않을지라도, 따라서 마찬가지로 연결된(connected) 것입니다. 실수 직선은 역시 축약-가능(contractible)이고, 이를테면 그것의 호모토피 그룹(homotopy group)과 축소된 호몰로지(reduced homology) 그룹의 모두는 영입니다.

지역적으로 컴팩트 공간으로서, 실수 직선은 여러 다른 방법에서 컴팩트될 수 있습니다. $R$ 의 한-점 컴팩트화(one-point compactification)는 원 (즉, 실수 투영적 직선(real projective line))이고, 여분의 점은 비-부호화된 무한대로 생각될 수 있습니다. 대안적으로, 실수 직선은 두 개의 끝(ends)을 가지고, 결과적으로 끝 컴팩트화는 확장된 실수 직선(extended real line) $[-\infty, +\infty]$ 입니다. 역시 실수 직선의 스톤–체흐 컴팩트화(Stone–Čech compactification)가 있으며, 이것은 무한 숫자의 추가적인 점을 더하는 것을 포함합니다.

일부 문맥에서, 낮은 극한 토폴로지(lower limit topology) 또는 자르스키 토폴로지(Zariski topology)와 같은 실수의 집합에 다른 토폴로지를 배치하는 것이 유용합니다. 실수에 대해, 후자는 유한 여 토폴로지(finite complement topology)와 같습니다.

As a vector space

실수 직선은 차원(dimension) 1의 실수의 필드(field) $R$ 에 걸쳐 (즉, 자체에 걸쳐) 벡터 공간(vector space)입니다. 그것은 보통 곱셈을 안의 곱(inner product)으로 가지며, 그것을 유클리드 벡터 공간(Euclidean vector space)으로 만듭니다. 이 안의 곱에 의해 정의된 노름(norm)은 간단히 절댓값(absolute value)입니다.

As a measure space

실수 직선은 정식의 측정(measure), 즉 르베그 측정(Lebesgue measure)을 지닙니다. 이 측정은 $R$ 위에 정의된 보렐 측정(Borel measure)의 완비(completion)로 정의될 수 있으며, 여기서 임의의 구간의 측정은 구간의 길이입니다.

실수 직선 위에 르베그 측정은 지역적으로 컴팩트 그룹(locally compact group) 위에 하르 측정(Haar measure)의 가장-간단한 예제 중 하나입니다.

In real algebras

실수 직선은 실수 대수(real algebra) A의 일-차원 부분공간(subspace)이며, 여기서 R ⊂ A입니다.^{[clarification needed]} 예를 들어, 복소 평면(complex plane) z = x + iy에서, 부분공간 {z : y = 0}은 실수 직선입니다. 유사하게, 다음 쿼터니언(quaternion)의 대수는

q = w + x i + y j + z k

부분공간 {q : x = y = z = 0 }에서 실수 직선을 가집니다.

실수 대수가 직접 합(direct sum) $A=R\oplus V$ 일 때, A에 대한 켤레(conjugation)는 부분공간 V의 매핑 $v\mapsto -v$ 에 의해 도입됩니다. 이 방법에서 실수 직선은 켤레화의 고정된 점(fixed point)으로 구성됩니다.

References

Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Rudin, Walter (1966). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-100276-6.