Unit circle

수학(mathematics)에서, 단위 원(unit circle)은 단위 반지름(radius)–즉, 1의 반지름의 원(circle)입니다.^[1] 자주, 특히 삼각법(trigonometry)에서, 단위 원은 유클리드 평면(Euclidean plane)에서 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)에서 원점 (0, 0)에 중심을 둔 반지름 1의 원입니다. 토폴로지(topology)에서, 그것은 종종 $S 1$ 로 표시되는데 왜냐하면 그것은 일-차원 단위 $n$ -구( $n$ -sphere)입니다.^[2]^{[note 1]}

만약 $(x, y)$ 가 단위 원의 둘레 위의 한 점이면, $| x |$ 와 $| y |$ 는, 그것의 빗변이 길이 1을 가진 직각 삼각형(right triangle)의 다리들의 길이입니다. 따라서, 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)에 의해, $x$ 와 $y$ 는 다음 방정식을 만족시킵니다:

x^{2}+y^{2}=1

.

모든 $x$ 에 대해 $x 2 = (- x) 2$ 이고, $x$ -축 또는 $y$ -축에 대한 단위 원 위의 임의의 점의 대칭은 역시 단위 원 위에 있기 때문에, 위의 방정식은, 첫 번째 사분면에서 그들뿐만 아니라, 단위 원 위의 모든 점 $(x, y)$ 에 대해 유지됩니다.

단위 원의 내부는 열린 단위 디스크(unit disk)라고 불리지만, 단위 원 자체와 결합된 단위 원의 내부는 닫힌 단위 디스크라고 불립니다.

우리는 역시 리만 원(Riemannian circle)과 같은, 다른 "단위 원"을 정의하기 위해 "거리(distance)"의 다른 개념을 사용할 수 있습니다; 추가적인 예제에 대해 수학적 노름(mathematical norms)에 관한 기사를 참조하십시오.

In the complex plane

단위 원은 단위 복소수(unit complex numbers), 즉, 모든 $t$ 에 대해 다음 형식의 복소수(complex number) $z$ 의 집합으로 고려될 수 있습니다: (역시 cis를 참조하십시오).

z=e^{it}=\cos t+i\sin t=\operatorname {cis} (t)

.

이 관계는 오일러의 공식(Euler's formula)을 나타냅니다. 양자 역학(quantum mechanics)에서, 이것은 위상 인수(phase factor)로 참조됩니다.

Animation of the unit circle with angles

Trigonometric functions on the unit circle

All of the trigonometric functions of the angle $θ$ (theta) can be constructed geometrically in terms of a unit circle centered at O.

각도 $θ$ 의 삼각 함수(trigonometric functions) 코사인과 사인은 단위 원 위에 다음처럼 정의될 수 있습니다: 만약 $(x, y)$ 가 단위 원 위의 한 점이고, 원점 (0, 0)에서 $(x, y)$ 로의 반직선이 양의 $x$ -축으로부터 각도(angle) $θ$ 를 만들면, (여기서 반-시계-방향 회전이 양수입니다), 다음입니다:

\cos \theta =x\quad {\text{and}}\quad \sin \theta =y.

방정식 $x 2 + y 2 = 1$ 은 다음 관계를 제공합니다:

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.

단위 원은 역시 사인(sine)과 코사인(cosine)이 주기적 함수(periodic function)임을 시연하며, 여기서 임의의 정수(integer) $k$ 에 대해 다음 항등식을 가집니다:

\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )

\sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )

단위 원 위에 구성된 삼각형은 역시 삼각 함수의 주기성을 묘사하기 위해 사용될 수 있습니다. 먼저, $0 < t < π / 2$ 를 갖는 각도 $t$ 가 $x$ -축의 양의 팔과 형성함을 만족하는 원점에서 단위 원 위의 점 $P(x 1, y 1)$ 으로의 반지름을 구성하십시오. 이제 점 $Q(x 1,0)$ 와 선분 $PQ ⊥ OQ$ 를 생각해 보십시오. $PQ$ 가 길이 $y 1$ , $OQ$ 가 길이 $x 1$ 이고, $OA$ 가 길이 1을 가지기 때문에, $sin(t) = y 1$ 및 $cos(t) = x 1$ 입니다. 이들 동등성을 설립하려면, 같은 각도 $t$ 가 $x$ -축의 음의 팔과 형성함을 만족하는 원점에서 단위 원 위의 점 $R(- x 1, y 1)$ 으로의 또 다른 반지름 OR을 취하십시오. 이제 점 $S(- x 1,0)$ 과 선분 $RS ⊥ OS$ 을 생각해 보십시오. 결과는 $∠SOR = t$ 를 갖는 직각 삼각형 $△ORS$ 입니다. 따라서, $∠ROQ = π - t$ 이기 때문에 $R$ 은 $P$ 가 $(cos(t),sin(t))$ 에 있는 것과 같은 방법에서 $(cos(π - t),sin(π - t))$ 에 있음을 알 수 있습니다. 결론은, $(- x 1, y 1)$ 가 $(cos(π - t),sin(π - t))$ 와 같고 $(x 1, y 1)$ 가 $(cos(t),sin(t))$ 와 같기 때문에, $sin(t) = sin(π - t)$ 및 $-cos(t) = cos(π - t)$ 가 참이라는 것입니다. 같은 방식에서 $tan(π - t) = -tan(t)$ 임을 추론할 수 있는데, 왜냐하면 $tan(t) = y 1 / x 1$ 및 $tan(π - t) = y 1 / - x 1$ 이기 때문입니다. 위의 간단한 시연은 상등 $sin(π / 4) = sin(3π / 4) = 1 / \sqrt 2$ 에서 알 수 있습니다.

직각 삼각형, 사인, 코사인과 다른 삼각 함수와 작업할 때, 오직 영보다 크고 $π$ /2보다 작은 각도 측정에 대해 의미가 있습니다. 어쨌든, 단위 원으로 정의될 때, 이들 함수는 임의의 실수(real)-값 각도 측정 – 심지어 2 $π$ 보다 더 큰 것에 대해 의미있는 값을 생성합니다. 실제로, 여섯 표준 삼각 함수 – 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트 및 코시컨트, 마찬가지로 벌사인(versine)과 엑시컨트(exsecant)와 같은 구식의 함수 – 는 오른쪽에 표시된 것처럼 단위 원의 관점에서 기하학적으로 정의될 수 있습니다.

단위 원을 사용하여, 이름-붙여진 각도 이외의 여러 각도에 대해 임의의 삼각 함수의 값은 각도 합과 차이 공식(angle sum and difference formulas)을 사용함으로써 계산기의 사용없이 계산될 수 있습니다.

Circle group

복소수(Complex number)는 유클리드 평면(Euclidean plane)에서 점으로 식별될 수 있으며, 즉 숫자 $a + bi$ 는 점 $(a, b)$ 로 식별됩니다. 이 식별 아래에서, 단위 원은 원 그룹이라고 불리는 곱셈 아래에서 그룹(group)입니다; 그것은 보통 $\mathbb {T}$ 으로 표시됩니다. 평면 위에서, $cos θ + i sin θ$ 에 의한 곱셈은 $θ$ 에 의한 반-시계-방향 회전을 제공합니다. 이 그룹은 수학과 과학에서 중요한 응용을 가집니다.^{[example needed]}

Complex dynamics

진화 함수(evolution function)를 갖는 이산 비-선형 동역학적 시스템(discrete nonlinear dynamical system)의 줄리아 집합(Julia set)은 단위 원입니다:

f_{0}(x)=x^{2}

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그것은 간단 단순한 경우이므로 동역학적 시스템의 연구에서 광범위하게 사용됩니다.

Notes

^ Confusingly, in geometry a unit circle is often considered to be a 2-sphere—not a 1-sphere. The unit circle is "embedded" in a 2-dimensional plane that contains both height and width—hence why it is called a 2-sphere in geometry. However, the surface of the circle itself is one-dimensional, which is why topologists classify it as a 1-sphere. For further discussion, see the technical distinction between a circle and a disk.^[2]

References

^ Weisstein, Eric W. "Unit Circle". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-05-05.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Hypersphere". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-05-06.