Heaviside step function

헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function), 또는 단위 계단 함수(unit step function)는, 보통 $H$ 또는 $θ$ 에 의해 표시되며 (그러나 때때로 $u$ , $1$ 또는 $𝟙$ ), 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside) (1850–1925)의 이름을 따서 지은 불연속(discontinuous) 함수(function)이며, 그의 값은 음의 인수에 대해 영(zero)이고 비-음의 인수에 대해 일(one)입니다.

H(x):={\begin{cases}0,\ {\text{for}}\ x<0\\\\1,\ {\text{for}}\ x\geq 0\end{cases}}

여기서 0에서 값 $H(0)=1$ 이 선택됩니다.

그것은 계단 함수(step function)의 일반적인 클래스의 예제이며, 이것의 모두는 이 함수의 평행이동의 선형 조합(linear combinations)으로 표현될 수 있습니다.

그 함수는 원래 미분 방정식(differential equation)의 해에 대해 연산적 미적분학(operational calculus)에서 개발되었으며, 여기서 그것은 지정된 시간에 스위치를 켜고 무기한으로 스위치를 켜고 유지하는 신호를 나타냅니다. 전신 통신의 분석에서 도구로 연산적 미적분학을 개발한, 올리버 헤비사이드(Oliver Heaviside)는 $1$ 로 함수를 표현했습니다.

헤비사이드 함수는 램프 함수(ramp function)의 도함수로 정의될 수 있습니다:

H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0

디랙 델타 함수(Dirac delta function)는 헤비사이드 함수의 도함수(derivative)입니다:

\delta (x)={\frac {d}{dx}}H(x)

따라서 헤비사이드 함수는 디랙 델타 함수의 적분(integral)으로 여길 수 있습니다. 이것은 때때로 다음으로 쓰입니다:

H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds

비록 이 확장이 $x = 0$ 에 대해 유지되지 않을지라도 (또는 심지어 의미가 없을지라도), $δ$ 를 포함하는 적분에 의미를 부여하는 것에 사용되는 형식주의에 따라 다릅니다. 이 문맥에서, 헤비사이드 함수는 거의 틀림없이(almost surely) 0인 확률 변수(random variable)의 누적 분포 함수(cumulative distribution function)입니다. (상수 확률 변수(constant random variable)를 참조하십시오.)

연산적 미적분학에서, 유용한 해답은 어떤 값이 $H (0)$ 에 사용되는지에 따라 거의 좌우되지 않는데, 왜냐하면 $H$ 가 분포(distribution)로 대부분 사용되기 때문입니다. 어쨌든, 그 선택은 함수형 해석학과 게임 이론에서 일부 중요한 결과를 가질 수 있으며, 여기서 연속성의 보다 일반적인 형식이 고려됩니다. 일부 공통적인 선택은 아래(below)에서 보일 수 있습니다.

헤비사이드 계단 함수에 대한 근사는 생화학(biochemistry) 및 신경-과학(neuroscience)에서 사용되며, 여기서 (힐(Hill) 및 미케일리스–멘튼 방정식(Michaelis-Menten equations)과 같은) 계단 함수의 로지스틱(logistic) 근사는 화학적 신호에 대한 반응으로 이진 세포 스위치를 근사화하기 위해 사용될 수 있습니다.

헤비사이드 함수는 다음으로 역시 정의될 수 있습니다:

{\begin{aligned}H(x):&=(x+|x|)/2x\\H(x):&=(1/2)(|x|/x)+(1/2)\end{aligned}}

Discrete form

단위 계단의 대안적인 형식은, 함수 $H:\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$ (즉, 이산 변수 $n$ 으로 취해짐)로 대신 정의되며, 다음입니다:

H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}

또는 절반-최대 관례를 사용하여:^[1]

H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}

여기서 $n$ 은 정수(integer)입니다. 연속 경우와 달리, $H [0]$ 의 정의는 중요합니다.

이산-시간 단위 임펄스는 이산-시간 계단의 첫 번째 차이입니다:

\delta [n]=H[n]-H[n-1].

이 함수는 크로네커 델타(Kronecker delta)의 누적 합계입니다:

H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k]

여기서

\delta [k]=\delta _{k,0}

는 이산 단위 임펄스 함수(discrete unit impulse function)입니다.

Analytic approximations

계단 함수에 대한 매끄러운(smooth) 근사에 대해, 우리는 로지스틱 함수(logistic function)를 사용할 수 있습니다:

H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},

여기서 더 큰 $k$ 는 $x = 0$ 에서 더 날카로운 변화에 해당합니다. 만약 우리가 $H (0) = 1 / 2$ 을 취하면, 상등은 극한에서 유지됩니다:

H(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.

계단 함수에 대한 많은 다른 매끄럽고, 해석적 근사가 있습니다.^[2] 가능성 중에는 다음이 있습니다:

{\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\rightarrow \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}

이들 극한은 점별(pointwise)로 및 분포(distributions)의 의미에서 유지됩니다. 일반적으로, 어쨌든, 점별 수렴이 분포적 수렴을 의미할 필요가 없고, 반대로 분포적 수렴이 점별 수렴을 의미할 필요는 없습니다. (어쨌든, 만약 함수의 점별 수렴하는 수열의 모든 구성원이 일부 "좋은" 함수에 의해 균등하게 경계지면, 수렴은 역시 분포의 의미에서 유지됩니다.)

일반적으로, 영 주위로 정점에 도달하고 분산(variance)에 대해 제어하는 매개변수를 가지는 연속(continuous) 확률 분포(probability distribution)의 임의의 누적 분포 함수(cumulative distribution function)는, 분산이 영으로 접근할 때, 극한에서 근사로 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 위의 모든 세 가지 근사는 공통적인 확률 분포의 누적 분포 함수(cumulative distribution functions): 각각 로지스틱(logistic), 코시(Cauchy)와 정규(normal) 분포입니다.

Integral representations

종종 헤비사이드 계단 함수의 적분(integral) 표시가 유용합니다:

{\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau .\end{aligned}}

여기서 두 번째 표시는 첫 번째로부터 추론하는 것이 쉬운데, 계단 함수가 실수이고 따라서 그것 자체로 복소 켤레라는 것을 고려해야 합니다.

Zero argument

$H$ 는 보통 적분에서 사용되고, 단일 점에서 함수의 값은 그것의 적분에 영향을 미치지 않으므로, 어떤 특정 값이 $H (0)$ 에 선택되는지는 거의 중요하지 않습니다. 실제로 $H$ 가 $L \infty$ 의 분포(distribution) 또는 원소로 여길 때 ( $L p$ 공간 참조하십시오) 그러한 대상이 거의 모든 곳에서 오직 정의되기 때문에 영에서 값을 취하는 것이 심지어 의미가 없습니다. 만약 (위의 예제에서 처럼) 일부 해석적 근사를 사용하면 종종 영에서 관련된 극한이 되는 모든 것이 사용됩니다.

특정 값을 선택하는 것에 대해 다양한 이유가 존재합니다.

$H (0) = 1 / 2$ 이 종종 사용되는데 왜냐하면 그래프(graph)가 그때에 회전적 대칭을 가지기 때문입니다; 또 다른 방법으로 놓으면, $H - 1 / 2$ 는 그때에 홀수 함수(odd function)입니다. 이 경우에서 부호 함수(sign function)를 갖는 다음 관계가 모든 $x$ 에 대해 유지됩니다:

H(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn} (x).

$H (0) = 1$ 는 $H$ 가 오른쪽-연속(right-continuous)이어야 할 때 사용됩니다. 예를 들어 누적 분포 함수[(cumulative distribution function)는 보통 르베그–스틸티어스 적분(Lebesgue–Stieltjes integration)에 대하여 적분된 함수와 마찬가지로 오른쪽 연속으로 여겨집니다. 이 경우에서 $H$ 는 닫힌(closed) 반-무한 구간의 지시 함수(indicator function)입니다:

H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).

해당하는 확률 분포는 퇴화 분포(degenerate distribution)입니다.

$H (0) = 0$ 는 왼쪽-연속(left-continuous)이어야 할 때 사용됩니다. 이 경우에서 $H$ 는 열린(open) 반-무한 구간의 지시 함수입니다:

H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).

최적화 및 게임 이론으로부터 함수형-해석학 문맥에서, 극한하는 함수의 연속성을 보존하고 특정 해의 존재를 보장하기 위해 헤비사이드 함수를 집합-값 함수(set-valued function)로 정의하는 것이 종종 유용합니다. 이들 경우에서, 헤비사이드 함수는 가능한 해의 전체 구간, $H (0) = [0,1]$ 을 반환합니다.

Antiderivative and derivative

램프 함수(ramp function)는 헤비사이드 계단 함수의 역도함수(antiderivative)입니다:

\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.

헤비사이드 계단 함수의 분포의 도함수(distributional derivative)는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)입니다:

{\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.

Fourier transform

헤비사이드 계단 함수의 푸리에 변환(Fourier transform)은 분포입니다. 푸리에 변환의 정의에 대해 하나의 상수의 선택을 사용하여 우리는 다음을 가집니다:

{\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\mathrm {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).

여기서 $p.v. 1 / s$ 는 시험 함수를 $\int \infty -\infty φ (s) / s ds$ 의 코시 주요 값(Cauchy principal value)으로 취하는 분포(distribution)입니다. 적분에서 나타나는 극한은 (강화된) 분포의 의미에서 역시 취합니다.

Unilateral Laplace transform

헤비사이드 계단 함수의 라플라스 변환(Laplace transform)은 유리형 함수(meromorphic function)입니다. 한쪽의 라플라스 변환을 사용하여 우리는 다음을 가집니다:

{\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}

양쪽의 변환이 사용될 때, 적분은 두 부분으로 분리될 수 있고 그 결과는 같을 것입니다.

Hyperfunction representation

이것은 다음과 같이 초함수(hyperfunction)로 표현될 수 있습니다:

H(x)=\left({\frac {1}{2\pi i}}\log(z),\,{\frac {1}{2\pi i}}\log(z)-1\right).

References

^ Bracewell, Ronald Newbold (2000). The Fourier transform and its applications (3rd ed.). New York: New York: McGraw-Hill. p. 61. ISBN 0-07-303938-1. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameter: |subscription= (help)
^ Weisstein, Eric W. "Heaviside Step Function". MathWorld.

External links

Digital Library of Mathematical Functions, NIST, [1].
Berg, Ernst Julius (1936). "Unit function". Heaviside's Operational Calculus, as applied to Engineering and Physics. McGraw-Hill Education. p. 5.
Calvert, James B. (2002). "Heaviside, Laplace, and the Inversion Integral". University of Denver.
Davies, Brian (2002). "Heaviside step function". Integral Transforms and their Applications (3rd ed.). Springer. p. 28.
Duff, George F. D.; Naylor, D. (1966). "Heaviside unit function". Differential Equations of Applied Mathematics. John Wiley & Sons. p. 42.

[1] Bracewell, Ronald Newbold (2000). The Fourier transform and its applications (3rd ed.). New York: New York: McGraw-Hill. p. 61. ISBN 0-07-303938-1. {{cite book}}: Cite has empty unknown parameter: |subscription= (help)

[2] Weisstein, Eric W. "Heaviside Step Function". MathWorld.

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