Universal set

집합 이론(set theory)에서, 우주의 집합(universal set)은 자신을 포함하여 모든 대상을 포함하는 집합입니다.^[1] 보통의 형식화된 집합 이론에서, 우주의 집합의 개념은 러셀의 역설(Russell's paradox)로 이어지고 결과적으로 허용되지 않습니다. 어쨌든, 집합 이론의 일부 비-표준 변형은 우주의 집합을 포함합니다.

Notation

주어진 집합 이론의 우주의 집합에 대해 표준 표기법은 없습니다. 공통적인 기호는 $V$ , $U$ , $ξ$ , 및 $S$ 를 포함합니다.

Reasons for nonexistence

많은 집합 이론은 우주의 집합의 존재를 허용하지 않습니다. 예를 들어, 그것은 정칙성의 공리(axiom of regularity)와 같은 공리와 직접적으로 모순되고 그것의 존재는 불일치를 의미합니다. 표준 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)은 대신 누적 계층-구조(cumulative hierarchy)를 기반으로 합니다.

Russell's paradox

러셀의 역설은 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)과 체르멜로(Zermelo)의 이해의 공리(axiom of comprehension)를 포함하는 다른 집합 이론에서 우주의 집합의 존재를 방지합니다. 이 공리는, 임의의 공식 $\varphi (x)$ 와 임의의 집합 $A$ 에 대해, $\varphi$ 를 만족시키는 $A$ 의 정확하게 그것들의 원소 $x$ 를 포함하는 다음 집합이 존재한다고 말합니다:

\{x\in A\mid \varphi (x)\}

.

결과로써, 모든 각 집합 $A$ 에 대해 우리는 포함하지 않는 집합을 찾을 수 있고, 따라서 모든 집합의 집합은 없습니다.^[2] 이것은 실제로 심지어 술어적 이해(predicative comprehension)와 직관론적 논리(Intuitionistic logic)에 걸쳐 유지됩니다.

Cantor's theorem

우주의 집합이라는 아이디어와 함께 두 번째 어려움은 모든 집합의 거듭제곱 집합(power set)에 관련합니다. 이 거듭제곱 집합은 집합의 집합이기 때문에, 두 집합이 모두 존재한다는 조건 아래에서, 반드시 모든 집합의 집합의 부분집합이어야 합니다. 어쨌든, 이것은 임의의 집합의 거듭제곱 집합 (무한 여부에 관계없음)은 항상 집합 자체보다 엄격하게 더 높은 카디널리티(cardinality)를 갖는다는 칸토어의 정리와 충돌합니다.

Theories of universality

우주의 집합과 결합된 어려움은 이해의 공리가 어떤 방법으로든 제한되는 집합 이론의 변형을 사용하거나, 집합으로 고려되지 않는 우주의 대상을 사용함으로써 피해질 수 있습니다.

Restricted comprehension

우주의 집합 $V$ 가 존재하는 (및 $V\in V$ 가 참인) (만약 보통의 집합 이론이 일관되면) 일관(consistent)된 것으로 알려진 집합 이론이 있습니다. 이들 이론에서, 체르멜로의 이해의 공리(axiom of comprehension)는 일반적으로 유지되지 않고, 소박한 집합 이론(naive set theory)의 이해의 공리는 다른 방법으로 제한됩니다. 우주의 집합을 포함하는 집합 이론은 반드시 비-바른-토대 집합 이론(non-well-founded set theory)입니다. 우주의 집합을 갖는 가장 널리 연구된 집합 이론은 윌러드 밴 오먼 콰인(Willard Van Orman Quine)의 새로운 토대(New Foundations)입니다. 알론조 처치(Alonzo Church)와 아놀드 오버셜프(Arnold Oberschelp)는 역시 그러한 집합 이론에 대한 연구를 출판했습니다. 처치는 그의 이론이 콰인의 이론과 일치하는 방식으로 확장될 수 있다고 추측했지만,^[3] ^[4] 이것은 오버셜프의 것과는 가능하지 않은데, 왜냐하면 그 이론에서 한원소 함수는 집합이며,^[5] 이것은 새로운 토대에서 즉시 역설로 이어지기 때문입니다.^[6]

또 다른 예제는 이해의 공리가 긍정 공식(positive formula) (부정을 포함하지 않는 공식)에 대해 오직 유지되도록 제한되는 긍정 집합 이론(positive set theory)입니다. 그러한 집합 이론은 토폴로지에서 클로저의 개념에 의해 동기가 부여됩니다.

Universal objects that are not sets

우주의 집합의 아이디어는 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)에서 직관적으로 바람직해 보이며, 특히 이 이론의 대부분의 버전은 모든 집합에 걸쳐 한정어를 사용할 수 있도록 허용하기 때문입니다 (보편 한정어(universal quantifier)를 참조하십시오). 역설을 생성없이 우주의 집합과 유사하게 행동하는 대상을 허용하는 한 가지 방법은 $V$ 와 유사한 큰 모음을 집합이 아닌 적절한 클래스(proper classes)로 설명하는 것입니다. 우주의 집합과 우주의 클래스(universal class) 사이의 한 가지 차이점은 우주의 클래스는 적절한 클래스(proper class)가 다른 클래스의 원소일 수 없기 때문에 자신을 포함하지 않는다는 것입니다. 러셀의 역설은 이들 이론에 적용되지 않는데, 왜냐하면 이해의 공리는 클래스가 아니라 집합에서 작동하기 때문입니다.

집합의 카테고리(category of sets)는 역시 그 자체가 집합이 아닌 우주의 대상으로 고려될 수 있습니다. 그것은 모든 집합을 원소로 가지고, 역시 한 집합에서 또 다른 집합으로의 모든 함수에 대해 화살표를 포함합니다. 다시 말하지만, 그것은 그 자체가 집합이 아니기 때문에 자신을 포함하지 않습니다.

Notes

^ Forster 1995 p. 1.
^ The proof is inspired by Russell's paradox: Given A, choose $B=\{x\in A\mid x\not \in x\}$ , that is, let $B$ contain exactly those elements of $A$ that are not a member of itself. Then $B$ is a subset of $A$ by construction. Assume for contradiction that $B$ was a member of $A$ . Then, in which case is $B$ also a member of the smaller set $B$ ? By definition of $B$ , we have $B\in B$ if, and only if, $B\not \in B$ . But this is a contradiction; hence $B$ cannot be a member of $A$ .
^ Church 1974 p. 308. See also Forster 1995 p. 136 or 2001 p. 17.
^ Flash Sheridan (2016). "A Variant of Church's Set Theory with a Universal Set in which the Singleton Function is a Set" (PDF). Logique et Analyse. 59 (233). §0.2. doi:10.2143/LEA.233.0.3149532. {{cite journal}}: Unknown parameter |lay-url= ignored (help)
^ Oberschelp 1973 p. 40.
^ Holmes 1998 p. 110.

References

Alonzo Church (1974). “Set Theory with a Universal Set,” Proceedings of the Tarski Symposium. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXV, ed. L. Henkin, American Mathematical Society, pp. 297–308.
T. E. Forster (1995). Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe (Oxford Logic Guides 31). Oxford University Press. ISBN 0-19-851477-8.
T. E. Forster (2001). “Church’s Set Theory with a Universal Set.”
Bibliography: Set Theory with a Universal Set, originated by T. E. Forster and maintained by Randall Holmes.
Arnold Oberschelp (1973). Set Theory over Classes (Dissertationes Mathematicae (Rozprawy Matematyczne)). Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk.
Willard Van Orman Quine (1937) “New Foundations for Mathematical Logic,” American Mathematical Monthly 44, pp. 70–80.

External links

Weisstein, Eric W. "Universal Set". MathWorld.

[1] Forster 1995 p. 1.

[2] The proof is inspired by Russell's paradox: Given A, choose $B=\{x\in A\mid x\not \in x\}$ , that is, let $B$ contain exactly those elements of $A$ that are not a member of itself. Then $B$ is a subset of $A$ by construction. Assume for contradiction that $B$ was a member of $A$ . Then, in which case is $B$ also a member of the smaller set $B$ ? By definition of $B$ , we have $B\in B$ if, and only if, $B\not \in B$ . But this is a contradiction; hence $B$ cannot be a member of $A$ .

[3] Church 1974 p. 308. See also Forster 1995 p. 136 or 2001 p. 17.

[4] Flash Sheridan (2016). "A Variant of Church's Set Theory with a Universal Set in which the Singleton Function is a Set" (PDF). Logique et Analyse. 59 (233). §0.2. doi:10.2143/LEA.233.0.3149532. {{cite journal}}: Unknown parameter |lay-url= ignored (help)

[5] Oberschelp 1973 p. 40.

[6] Holmes 1998 p. 110.

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