삼차방정식

Main article: Cubic equation

3 실수 근을 갖는 삼차 함수의 그래프 (여기서 곡선은 수평 축–여기서 y = 0를 가로지릅니다). 보이는 경우는 둘의 임계점을 가집니다. 여기서 함수는 f(x) = (x³ + 3x² − 6x − 8)/4입니다.

삼차 방정식이란, 최고차항의 차수가 3인 다항 방정식을 말합니다. $x$에 관한 삼차 방정식의 일반적인 모양은

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\quad a\neq 0$

와 같습니다. 여기서 계수 $a,b,c,d$는 실수만을 다루게 됩니다.

일반해가 존재하지만 고등학교 교과과정에서는 사용하지 않고, 인수분해 공식을 이용하거나 인수정리를 통해서 인수분해를 해서 해를 구합니다.

근과 계수의 관계

이차방정식의 근과 계수의 관계를 확장해서 삼차방정식으로 적용이 가능합니다.

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$의 두 근을 각각 $\alpha ,\beta ,\gamma$라고 하면,

$\alpha ,\beta ,\gamma$을 근으로 갖는 삼차방정식을 $(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=0$으로 만들 수 있습니다.

원래 삼차방정식 양변에 ${\frac {1}{a}}$를 곱하더라도 근은 변하지 않습니다.

$\displaystyle x^{3}+{\frac {b}{a}}x^{2}+{\frac {c}{a}}x+{\frac {d}{a}}=0\iff (x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )=0$

수식을 전개해서 정리하면, 계수가 같아야 하므로 다음의 식을 만족합니다.

$\displaystyle {\frac {b}{a}}=-(\alpha +\beta +\gamma ),\;{\frac {c}{a}}=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ,\;{\frac {d}{a}}=-\alpha \beta \gamma$

그러므로 삼차방정식의 근과 계수의 관계는 다음과 같이 구해집니다.

${\begin{aligned}&\alpha +\beta +\gamma =-{\frac {b}{a}}\\&\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ={\frac {c}{a}}\\&\alpha \beta \gamma =-{\frac {d}{a}}\\\end{aligned}}$

특이한 삼차방정식

$x^{3}=1$

삼차방정식의 일반해를 구할 때 중요한 역할을 했던 식입니다. 다음과 같이 인수분해를 합니다.

$(x-1)(x^{2}+x+1)=0$

삼차방정식의 해는 $x=1$ 또는 $x={-1\pm {\sqrt {3}}i \over 2}$입니다. 여기서 1개의 허근을 $\omega$라고 하면, 다음의 식을 만족합니다.

$x^{2}+x+1=0\;\{\omega ,{\overline {\omega }}\}$

먼저, 근의 성질은 값을 대입하면 식을 만족합니다.

$\omega ^{3}=1,\;{\overline {\omega }}^{3}=1$

$\omega ^{2}+\omega +1=0,\;{\overline {\omega }}^{2}+{\overline {\omega }}+1=0$

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.

$\omega +{\overline {\omega }}=-1,\;\omega \cdot {\overline {\omega }}=1$

위의 식을 변형하면, 다음이 성립합니다.

$\omega +1=-\omega ^{2},\;{\overline {\omega }}+1=-{\overline {\omega }}^{2}$

$\omega +1=-{\overline {\omega }},\;{\overline {\omega }}+1=-\omega$

그러므로 다음이 성립합니다.

$\omega ^{2}={\overline {\omega }},\;{\overline {\omega }}^{2}=\omega$

또한, $k=0,1,2,\cdots$에 대해서 다음이 성립합니다.

$\omega ^{3k+1}=\omega ,\;\omega ^{3k+2}=\omega ^{2},\;\omega ^{3k+3}=1$

$x^{3}=-1$

다음과 같이 인수분해를 합니다.

$(x+1)(x^{2}-x+1)=0$

삼차방정식의 해는 $x=-1$ 또는 $x={1\pm {\sqrt {3}}i \over 2}$입니다. 여기서 1개의 허근을 $\alpha$라고 하면, 다음의 식을 만족합니다.

$x^{2}-x+1=0\;\{\alpha ,{\overline {\alpha }}\}$

먼저, 근의 성질은 값을 대입하면 식을 만족합니다.

$\alpha ^{3}=-1,\;{\overline {\alpha }}^{3}=-1$

$\alpha ^{2}-\alpha +1=0,\;{\overline {\alpha }}^{2}-{\overline {\alpha }}+1=0$

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.

$\alpha +{\overline {\alpha }}=1,\;\alpha \cdot {\overline {\alpha }}=1$

위의 식을 변형하면, 다음이 성립합니다.

$\alpha -1=\alpha ^{2},\;{\overline {\alpha }}-1={\overline {\alpha }}^{2}$

$\alpha -1=-{\overline {\alpha }},\;{\overline {\alpha }}-1=-\alpha$

그러므로 다음이 성립합니다.

$\alpha ^{2}=-{\overline {\alpha }},\;{\overline {\alpha }}^{2}=-\alpha$

또한, $k=0,1,2,\cdots$에 대해서 다음이 성립합니다.

$\alpha ^{6k+1}=\alpha ,\;\alpha ^{6k+2}=\alpha ^{2},\;\alpha ^{6k+3}=-1$

$\alpha ^{6k+4}=-\alpha ,\;\alpha ^{6k+5}=-\alpha ^{2},\;\alpha ^{6k+6}=1$

응용예제

응용예제1

삼차방정식 $x^{3}-6x^{2}+({\sqrt {2}}+8)x-2{\sqrt {2}}=0$의 세 실근을 $\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;(\alpha <\beta <\gamma )$라 할 때, $\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+2\alpha \gamma$의 값을 구하시요.

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제1

응용예제2

삼차다항식 $f(x)$에 대하여, $f(x)+2$는 $x^{2}+x+1$로 나누어떨어지고, $f(x)-2$는 $x^{2}-x+1$로 나누어떨어질 때, $f(x)$를 구하시오.

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제2

응용예제3

방정식 $x^{3}=1$의 한 허근을 $\omega$라 하고, 자연수 $n$에 대하여

$z_{n}={\frac {1+\omega ^{n}}{1+\omega ^{2n}}}$

이라 할 때, 다음에서 옳은 것을 모두 고르시오.

(가) $z_{1}{\overline {z_{1}}}=1$ (단, ${\overline {z_{1}}}$는 $z_{1}$의 켤레복소수입니다.)

(나) $z_{1}^{2}=z_{2}$

(다) $z_{1}+z_{2}+z_{3}+\cdots +z_{17}=-1$

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제3

응용예제4

사차방정식 $x^{4}+x^{3}-x-1=0$의 한 허근을 $\omega$라 할 때, $\left(1+\omega ^{5}\right)\left(1+{\overline {\omega }}^{4}\right)$의 값은?

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제4

응용예제5

삼차방정식 $x^{3}+1=0$의 한 허근을 $\alpha$라고 할 때, 다음 중 옳은 것을 전부 고르시오.

(ㄱ) $\alpha {\overline {\alpha }}+\alpha +{\overline {\alpha }}+1=0$

(ㄴ) $(\alpha -1)^{3}+({\overline {\alpha }}-1)^{3}=2$

(ㄷ) ${\frac {1-\alpha }{1-{\overline {\alpha }}}}+\alpha =0$

(ㄹ) ${\frac {1}{1-\alpha }}+{\frac {1}{1-\alpha ^{3}}}+{\frac {1}{1-\alpha ^{5}}}+\cdots +{\frac {1}{1-\alpha ^{101}}}=51$

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제5

응용예제6

$x$에 관한 삼차방정식 $x^{3}+ax^{2}+bx+1=0$이 하나의 실근과 서로 다른 두 허근 $\alpha ,\alpha ^{2}$을 가질 때, 실수 $a,b$의 값을 구하여라.

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제6

응용예제7

$x^{3}$의 계수가 1이고, 계수가 모두 실수인 삼차방정식 $f(x)=0$의 세 근이 복소수 $z$에 대하여 $z+3i$, $z+9i$, $2z-4$일 때, $f(x)$를 구하여라.

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제7

응용예제8

삼차방정식 $x^{3}+(5-a)x^{2}+(a^{2}-5a)x-a^{3}=0$이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 정수 $a$의 개수는?

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제8

응용예제9

양의 실수 $a,b,c$에 대하여 $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$이다. 방정식 $ax^{2}-bx+c=0$을 만족시키는 $x$에 대하여 $x^{2020}+x^{152}+28$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제9

응용예제10

x에 관한 삼차방정식 $x^{3}+2kx^{2}+(k^{2}+2k-1)x+k^{2}=0$이 다음 조건을 만족시킨다.

(ㄱ) 허근 $z$를 갖는다.

(ㄴ) $z+{\frac {1}{z}}$은 실수이다.

이때, $z+{\frac {1}{z}}$의 값은? (단, k는 실수이다.)

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제10

응용예제11

$x$에 관한 삼차식 $f(x)=x^{3}+mx^{2}+nx+64$가 다음 조건을 만족시킨다.

(ㄱ) $f(x)=(x-p)(x-2q)(x-3r)$

(ㄴ) $m^{2}=3n$

이때, 실수 $m,n,p,q,r$의 값을 각각 구하시오.

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제11

응용예제12

방정식 $x^{3}=-8$의 한 허근을 $\omega$라 한다. 다음 물음에 답하시오. (단, ${\overline {\omega }}$는 $\omega$의 켤레복소수이다.)

(1) $\omega +{\overline {\omega }}$, $\omega {\overline {\omega }}$의 값을 각각 구하시오.

(2) $\omega ^{2}=p{\overline {\omega }}$, $\omega ^{2}={\frac {q}{\omega }}$일 때, 실수 $p,q$의 값을 각각 구하시오.

(3) 다음을 만족하는 유리수 $a,b$의 값을 각각 구하시오.

${\frac {\omega }{2}}+{\frac {2\omega ^{2}}{2^{2}}}+{\frac {3\omega ^{3}}{2^{3}}}+{\frac {4\omega ^{4}}{2^{4}}}+\cdots +{\frac {50\omega ^{50}}{2^{50}}}=a+b\omega$

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제12

응용예제13

$x^{3}-2(a+2)x^{2}+(a^{2}+4a+3)x-2a^{2}+2=0$이 한 근 $z=p+qi\;\;(q\neq 0)$를 갖고, $z+{\frac {1}{z}}$은 실수가 된다. 이때, $z^{2}+{\frac {1}{z^{2}}}$의 값을 구하시오. (단, $a,\;p,\;q$는 실수, $i={\sqrt {-1}}$이다.)

해설: mowoum:삼차방정식#응용예제13