수열의 극한

See also: Limit (mathematics) and Limit of a sequence

수렴하는 수열 {a_n}의 그래프입니다. 그림에서 n이 증가함에 따라 극한값 0에 수렴합니다.

수열의 극한(limit)은 입력 또는 인덱스, 즉 수열의 위치가 어떤 값에 접근할 때 함수 또는 수열이 "접근"하는 값입니다. 여기서 주목할 것은 접근이라는 의미입니다. 접근은 말 그대로 점진적으로 (변화해서) 어떤 것에 이르는 것을 의미합니다. 지금까지 우리가 배운 등차수열, 조화수열, 등비수열은 시작 점이 자연수 1이고, 인덱스(위치)가 하나씩 더해지기 때문에 (변하기 때문에), 어떤 값에 도달하는지 말할 수 없습니다. 그래서 확장된 실수 직선의 개념을 도입해서, 수열의 인덱스(항 번호)가 무한대(+∞)에 도달한다는 개념을 이용합니다.

그러므로, 수열이 어떤 규칙적, 또는 불규칙적으로 변하는 것처럼 보일지라도, 궁극적(n → ∞)으로는 어떤 형태를 띄거나, 또는 그 값을 수열의 극한이라고 말합니다.

예를 들어, 다음 등차수열 {a_n}은 궁극적으로 어떤 값에 도달할까요?

1, 3, 5, 7, ...

만약 이런 과정이 계속되면, 아주 큰 값에 도달한다는 것은 자명합니다. 이것은 다음과 같이 표기할 수 있습니다:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$

여기서, 비록 무한대가 값을 나타내는 숫자처럼 이용될지라도, 무한대는 임의의 자연수, 또는 실수보다 더 큰 것을 표현하는 기호이며, 자연수의 큰 값은 정해져 있지 않고 변하기 때문에, 무한대도 역시 큰 쪽으로 변하는 상태를 의미합니다. 반면에 숫자와 마찬가지로 양의 방향은 그의 부호를 생략하고, 음의 방향은 그의 부호를 생략해서는 안됩니다.

다음 등비수열, {b_n}은 음의 방향으로 크기가 점점 커집니다.

–2, –4, –8, –16, ...

이 등비수열의 극한은 위의 등차수열과 비슷하지만, 부호가 다르기 때문에 다음처럼 나타낼 수 있습니다.

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=-\infty$

반면에 다음 조화수열 {c_n}은 값이 점점 작아집니다.

1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, ...

그렇다면, 이 수열은 극한의 기호로 어떻게 나타낼까요? 이것은 분자가 정해져 있고 분모가 점점 커져 가기 때문에, 값이 점점 작아져서 궁극적으로는 0에 가까워짐을 직관적으로 알 수 있습니다. 이럴 때에는 다음과 같이 나타냅니다.

$\lim _{n\to \infty }c_{n}=0$

무한대의 산술 연산

See also: Extended real number line

수열에 대해 본격적으로 알아보기 전에 무한대의 특징을 좀 더 알아 보겠습니다. 다음과 같은 것을 생각할 수 있습니다.

∞+100 → ∞ 또는 ∞–100 → ∞

이는 무한대에 유한한 값을 더하거나 빼더라도 무한대로 해석할 수 있음을 의미합니다.

그렇기 때문에, n → ∞이면, 유한한 실수 k에 대해 n ± k → ∞입니다. 이것은 반대로 n ± k → ∞인 경우를, 필요에 따라, n → ∞로 사고하는 것이 가능하다는 것입니다.

무한대와 관련된 산술 연산은 실수에 무한대를 포함한 확장된 실수 직선에서 다음과 같이 동작합니다. 직관적임으로 당연한 사실로 받아들여져야 합니다.

실수 $\mathbb {R}$의 산술 연산은 다음과 같이 ${\overline {\mathbb {R} }}$에 부분적으로 확장될 수 있습니다:

${\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}$

지수에 대해, Exponentiation#Limits of powers를 참조하십시오. 여기서, "$a+\infty$"은 "$a+(+\infty )$"와 "$a-(-\infty )$" 둘 다를 의미하고, 반면에 "$a-\infty$"은 "$a-(+\infty )$"와 "$a+(-\infty )$" 둘 다를 의미합니다.

(불확정 형식(indeterminate form)으로 불리는) 표현 $\infty -\infty ,0\times (\pm \infty )$ and $\pm \infty /\pm \infty$는 보통 정의되지 않은(undefined) 채 남겨집니다. 이들 규칙은 무한 극한(infinite limits)에 대한 법칙 위에 모델링 됩니다.

수열의 수렴

수열은, 위에서 소개된 것처럼, 어떤 것은 점점 커지거나, 어떤 것은 영으로 점점 다가갑니다. 수열의 이와 같은 특징은 용어 수렴과 발산을 사용하여 나타냅니다.

다음과 같은 수열도 수렴합니다:

1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2ⁿ, ... (1)

1/3, 2/5, 3/7, ..., n/2n+1, ... (2)

첫 번째 수열은 공통 비율 1/2을 가지는 등비수열입니다. 이런 경향이 계속되면, 영에 가까워집니다. 즉, 분자가 상수이고, 분모의 절댓값이 점점 커지면, 영에 수렴한다고 말합니다.

두 번째, 수열은 분자도 점점 커지고, 분모도 점점 커지는 경우입니다. 이럴 경우에는 수렴을 판단하기가 어렵습니다. 어쨌든, 우리가 알고 있는 사실은 분자가 상수이고, 분모가 커지면 영에 수렴한다는 사실입니다. 이를 이용하기 위해서 분모 분자를 n으로 나누어서, 다음과 같은 결론에 이를 수 있습니다.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2n+1}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2+{\frac {1}{n}}}}={\frac {1}{2}}$

다른 한편으로, 무한대의 특징을 이용하면, 보다 쉽게 이런 부분을 사고할 수 있습니다. 분모의 상수항은 앞의 절댓값이 점점 커지므로 무시할 수 있기 때문에, 다음처럼 생각해도 무방합니다:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2n+1}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2n}}={\frac {1}{2}}$

어쨌든, 어떤 수열이 수렴하는 경우는 반드시 하나의 값에 다가가야 합니다.

수열의 발산

수렴하지 않는 모든 수열은 발산한다고 말합니다. 예를 들어, 위에서 언급한, 모든 양의 홀수를 나타내는 등차수열은 발산합니다. 물론 방향은 다르지만, 음의 모든 홀수도 발산합니다. 이들 종류처럼, 부호에 상관없이 그의 절댓값이 점점 커지면 발산합니다.

다른 형태의 발산은 다음과 같은 수열입니다.

1, –1, 1, –1, ..., (–1)ⁿ⁺¹, ...

1, –2, 3, –4, ..., (–1)ⁿ⁺¹n, ...

첫 번째 예제는 크기는 변하지 않고, 그의 부호가 순차적으로 바뀌는 교대수열입니다. 이 수열은 둘 중 하나의 값을 가지지만, 하나의 값에 이르지 않기 때문에 발산합니다.

두 번째 예제는 그의 부호가 교대하고 절댓값이 점점 커지므로 발산합니다.

한편, 모든 교대수열이 발산하는 것은 아닙니다.

1/3, –1/5, 1/7, –1/9, ..., (–1)ⁿ⁺¹1/2n+1, ...

이 수열은 비록 분자가 {1, –1}을 가질 수 있을지라도, 분모가 무한대의 값이므로, 그의 극한은, 각각, {0, –0}으로 생각할 수 있습니다. 그렇기 때문에, 영에 수렴합니다.