이차부등식 에서 이차부등식의 해를 구하기 위한 방법에 대해 알아보았습니다. 또한, 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계 에서 이차방정식의 실근의 존재 유무에 대해 알아보았습니다. 여기서는 이차부등식을 이차함수와 x축(
y
=
0
{\displaystyle y=0}
그래프의 개형은 최고차항이 양수인 경우만 다룹니다. 최고차항이 음수인 경우에는 양수로 만들어서 사고하시기 바랍니다.
예를 들어
a
x
2
+
b
x
+
c
>
0
(
a
>
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c>0\;(a>0)}
y
1
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y_{1}=ax^{2}+bx+c}
y
2
=
0
{\displaystyle y_{2}=0}
y
1
>
y
2
{\displaystyle y_{1}>y_{2}}
x
{\displaystyle x}
즉, 이차함수의
y
{\displaystyle y}
y
=
0
{\displaystyle y=0}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
반면에 부등호의 방향이 반대인 경우에는 이차함수의 그래프가
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
이차식의 판별식이 양수인 경우 이차방정식이 서로 다른 2개의 실근 을 갖는 경우이므로, 이차함수와
x
{\displaystyle x}
이차방정식
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
>
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\;(a>0)}
α
,
β
(
α
<
β
)
{\displaystyle \alpha ,\beta \;(\alpha <\beta )}
a
x
2
+
b
x
+
c
>
0
⇒
x
<
α
or
x
>
β
a
x
2
+
b
x
+
c
<
0
⇒
α
<
x
<
β
{\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c>0&\Rightarrow x<\alpha \;{\text{or}}\;x>\beta \\ax^{2}+bx+c<0&\Rightarrow \alpha <x<\beta \end{aligned}}}
이차식의 판별식이 0인 경우 이차방정식이 중근 을 갖는 경우이므로, 이차함수와
x
{\displaystyle x}
이차방정식
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
>
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\;(a>0)}
α
{\displaystyle \alpha }
a
x
2
+
b
x
+
c
≥
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\geq 0}
해는 모든 실수
a
x
2
+
b
x
+
c
>
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c>0}
x
≠
α
{\displaystyle x\neq \alpha }
a
x
2
+
b
x
+
c
≤
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\leq 0}
x
=
α
{\displaystyle x=\alpha }
a
x
2
+
b
x
+
c
<
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c<0}
해 없음
이차식의 판별식이 음수인 경우 이차방정식이 허근 을 갖는 경우이므로, 이차함수와
x
{\displaystyle x}
이차방정식
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
>
0
)
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\;(a>0)}
a
x
2
+
b
x
+
c
≥
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\geq 0}
해는 모든 실수
a
x
2
+
b
x
+
c
>
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c>0}
해는 모든 실수
a
x
2
+
b
x
+
c
≤
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\leq 0}
해 없음
a
x
2
+
b
x
+
c
<
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c<0}
해 없음
고등학교 교과과정에서 그래프의 개형을 그려서 문제를 해결하는 경우는 이후에 삼차방정식, 사차방정식에서 매우 유용하게 사용될 수 있습니다. 그러므로 도표를 외우기 보다는 주어지는 조건의 그래프 개형을 그려서 자연스럽게 해집합을 찾을 수 있도록 연습하는 것이 좋겠습니다.
이차함수와 일차함수 사이의 부등식 관계 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계 와 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계 는 같은 수식을 좌우변을 어떻게 나누는지에 따라 달라지는 경우임을 알아보았습니다.
마찬가지로, 이차함수
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
y
=
g
(
x
)
{\displaystyle y=g(x)}
x
{\displaystyle x}
즉,
f
(
x
)
=
a
1
x
2
+
b
1
x
+
c
1
(
a
1
>
0
)
{\displaystyle f(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}\;(a_{1}>0)}
g
(
x
)
=
m
x
+
n
{\displaystyle g(x)=mx+n}
α
,
β
(
α
<
β
)
{\displaystyle \alpha ,\beta \;(\alpha <\beta )}
f
(
x
)
>
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)>g(x)}
a
1
x
2
+
b
1
x
+
c
1
>
m
x
+
n
{\displaystyle a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}>mx+n}
a
1
x
2
+
(
b
1
−
m
)
x
+
(
c
1
−
n
)
>
0
{\displaystyle a_{1}x^{2}+(b_{1}-m)x+(c_{1}-n)>0}
여기서
a
1
=
a
,
(
b
1
−
m
)
=
b
,
(
c
1
−
n
)
=
c
{\displaystyle a_{1}=a,(b_{1}-m)=b,(c_{1}-n)=c}
h
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle h(x)=ax^{2}+bx+c}
x
{\displaystyle x}
α
,
β
(
α
<
β
)
{\displaystyle \alpha ,\beta \;(\alpha <\beta )}
그러므로
h
(
x
)
>
0
{\displaystyle h(x)>0}
x
{\displaystyle x}
x
<
α
{\displaystyle x<\alpha }
x
>
β
{\displaystyle x>\beta }
이차함수와 이차함수 사이의 부등식 관계 두 이차함수 사이의 부등식의 관계도 이차함수와
x
{\displaystyle x}
예를 들어,
f
(
x
)
=
a
1
x
2
+
b
1
x
+
c
1
(
a
1
>
0
)
{\displaystyle f(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}\;(a_{1}>0)}
g
(
x
)
=
a
2
x
2
+
b
2
x
+
c
2
(
a
2
<
0
)
{\displaystyle g(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}\;(a_{2}<0)}
α
,
β
(
α
<
β
)
{\displaystyle \alpha ,\beta \;(\alpha <\beta )}
f
(
x
)
>
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)>g(x)}
a
1
x
2
+
b
1
x
+
c
1
>
a
2
x
2
+
b
2
x
+
c
2
{\displaystyle a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}>a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}}
(
a
1
−
a
2
)
x
2
+
(
b
1
−
b
2
)
x
+
(
c
1
−
c
2
)
>
0
{\displaystyle (a_{1}-a_{2})x^{2}+(b_{1}-b_{2})x+(c_{1}-c_{2})>0}
여기서
(
a
1
−
a
2
)
=
a
,
(
b
1
−
b
2
)
=
b
,
(
c
1
−
c
2
)
=
c
{\displaystyle (a_{1}-a_{2})=a,(b_{1}-b_{2})=b,(c_{1}-c_{2})=c}
h
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle h(x)=ax^{2}+bx+c}
x
{\displaystyle x}
α
,
β
(
α
<
β
)
{\displaystyle \alpha ,\beta \;(\alpha <\beta )}
그러므로
h
(
x
)
>
0
{\displaystyle h(x)>0}
x
{\displaystyle x}
x
<
α
{\displaystyle x<\alpha }
x
>
β
{\displaystyle x>\beta }
