Absolute continuity

미적분학(calculus)에서, 절대 연속성(absolute continuity)은 연속성(continuity)과 균등 연속성(uniform continuity)보다 더 강한 함수(function)의 매끄러움 속성입니다. 절대 연속성의 개념은 미적분(calculus)의 둘의 중심 연산–미분(differentiation)과 적분(integration) 사이의 관계의 일반화를 얻는 것을 허용합니다. 이 관계는 리만 적분(Riemann integration)의 프레임워크에서 (미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)에 의해) 공통적으로 특성화되지만, 절대 연속성과 함께 그것은 르베그 적분화(Lebesgue integration)의 관점에서 종종 공식화됩니다. 실수 직선(real line) 위에 실수-값 함수에 대해, 두 개의 상호-연관된 개념: 함수의 절대 연속성과 측정의 절대 연속성이 나타납니다. 이들 두 개념은 다른 방향에서 일반화됩니다. 함수의 보통 도함수는 측정의 라돈–니코딤 도함수(Radon–Nikodym derivative), 또는 밀도와 관련이 있습니다.

우리는 실수 직선의 컴팩트(compact) 부분집합에 걸쳐 함수에 대해 다음과 같은 포함의 체인을 가집니다:

absolutely continuous ⊆ uniformly continuous

=

continuous

그리고, 컴패그 구간에 대해:

continuously differentiable ⊆ Lipschitz continuous ⊆ absolutely continuous ⊆ bounded variation ⊆ differentiable almost everywhere

Absolute continuity of functions

연속 함수는 만약 그것이 균등하게 연속적(uniformly continuous)이지 않으면 절대적으로 연속적임에 실패하며, 이것은 만약 함수의 도메인이 컴팩트가 아니면 발생할 수 있습니다 – 예제는 $[0, π /2)$ 에 걸쳐 tan(x), 전체 실수 직선에 걸쳐 x², 및 (0, 1]에 걸쳐 sin(1/x)입니다. 그러나 연속 함수 f는 심지어 컴팩트 구간 위에 절대적으로 연속적임에 실패할 수 있습니다. 그것은 "거의 모든 곳에서 미분 가능"하지 않을 수 있습니다 (바이어슈트라스 함수(Weierstrass function)처럼, 이것은 어디에서든 미분가능하지 않습니다). 또는 그것은 거의 모든 곳에서 미분-가능(differentiable)일 수 있고 그것의 도함수 f ′는 르베그 적분-가능(Lebesgue integrable)일 수 있지만, f ′의 적분은 f의 증분 (f가 구간에 걸쳐 얼마나 변하는지)과 다릅니다. 이것은 예를 들어 칸토어 함수(Cantor function)에서 발생합니다.

Definition

$I$ 를 실수 직선(real line) $\mathbb {R}$ 에서 구간(interval)으로 놓습니다. 함수 $f\colon I\to \mathbb {R}$ 는 만약 모든 각 양수 $\varepsilon$ 에 대해, $x_{k}<y_{k}\in I$ 을 갖는 $I$ 의 쌍별 서로소(pairwise disjoint) 부분-구간 $(x_{k},y_{k})$ 의 유한 수열이 다음을 만족시킬 때마다^[1]

\sum _{k}(y_{k}-x_{k})<\delta

다음을 만족하는

\sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon

양수 $\delta$ 이 있으면 $I$ 위에 절대적으로 연속입니다.

$I$ 위에 모든 절대적으로 연속 함수의 모음은 $\operatorname {AC} (I)$ 로 표시됩니다.

Equivalent definitions

컴팩트 구간 [a,b] 위에 실수-값 함수 f에 대한 다음 조건은 동등합니다:^[2]

f는 절대적으로 연속입니다;
f는 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 도함수 f ′를 가지고, 도함수는 르베그 적분-가능이고, [a,b] 위의 모든 x에 대해 $f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt$ 입니다;
[a,b]에서 모든 x에 대해 $f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt$ 를 만족하는 [a,b] 위에 르베그 적분-가능 함수 g가 존재합니다.

만약 이들 동등한 조건이 만족되면, 필연적으로 거의 모든 곳에서 g = f ′입니다.

(1)과 (3) 사이의 동등성은 르베그(Lebesgue)로 인해 르베그 적분 미적분의 기본 정리로 알려져 있습니다.^[3]

측정의 관점에서 동등한 정의에 대해, 섹션 절대 연속성의 두 개념 사이의 관계를 참조하십시오.

Properties

두 절대적으로 연속 함수의 합과 차는 역시 절대적으로 연속입니다. 만약 두 함수가 경계진 닫힌 구간 위에 정의되면, 그것들의 곱은 역시 절대적으로 연속입니다.^[4]
만약 절대적으로 연속 함수가 경계진 닫힌 구간 위에 정의되고 아무 데도 영이 아니면 그것의 역수는 절대적으로 연속입니다.^[5]
(컴팩트 구간에 걸쳐) 모든 각 절대적으로 연속 함수는 균등하게 연속(uniformly continuous)이고, 따라서 연속(continuous)입니다. 모든 각 립시츠-연속(Lipschitz-continuous) 함수(function)는 절대적으로 연속입니다.^[6]
만약 f: [a,b] → R가 절대적으로 연속이면, 그것은 [a,b] 위에 경계진 변화(bounded variation)의 것입니다.^[7]
만약 f: [a,b] → R가 절대적으로 연속이면, 그것은 [a,b] 위의 두 단조적 비-감소하는 절대적으로 연속의 차이로 쓸 수 있습니다.
만약 f: [a,b] → R가 절대적으로 연속이면, 그것은 루진 N 속성(Luzin N property)을 가집니다 (즉, $\lambda (N)=0$ 을 만족하는 임의의 $N\subseteq [a,b]$ 에 대해, 그것은 $\lambda (f(N))=0$ 임을 유지하며, 여기서 $\lambda$ 는 R 위에 르베그 측정(Lebesgue measure)을 의미합니다).
f: I → R가 절대적으로 연속인 것과 그것이 연속인 것이 필요충분 조건이라는 것은 경계진 변화의 것이고 루진 N 속성을 가집니다.

Examples

다음 함수는 균등하게 연속이지만 절대적으로 연속이 아닙니다:

[0, 1] 위에 칸토어 함수(Cantor function) (그것은 경계진 변화의 것이지만 절대적으로 연속은 아닙니다);
원점을 포함하는 유한 구간 위에 함수 $f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}$

다음 함수는 절대적으로 연속이지만 α-훨더 연속은 아닙니다:

임의의 0 < β < α < 1에 대해, [0, c] 위에 함수 f(x) = x^β.

다음 함수는 절대적으로 연속이고 α-훨더 연속(α-Hölder continuous)이지만 립시츠 연속(Lipschitz continuous)은 아닙니다:

α ≤ 1/2에 대해, [0, c] 위에 함수 f(x) = √x.

Generalizations

(X, d)를 메트릭 공간(metric space)으로 놓고 I를 실수 직선(real line) R에서 구간(interval)으로 놓습니다. 함수 f: I → X는 만약 모든 각 양수 $\epsilon$ 에 대해, I의 쌍별 서로소(pairwise disjoint) 부분-구간 [x_k, y_k]의 유한 수열이 다음을 만족시킬 때마다,

\sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta

다음을 만족하는

\sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\epsilon

양수 $\delta$ 가 있으면 I 위에 절대적으로 연속입니다.

I에서 X로의 모든 절대적으로 연속 함수의 모음은 AC(I; X)으로 표시됩니다.

나아가서 일반화는 L^p 공간 L^p(I)에서 일부 m에 대해 다음을 만족하는 곡선 f: I → X의 공간 AC^p(I; X)입니다:^[8]

d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I

.

Properties of these generalizations

(컴팩트 구간에 걸쳐) 모든 각 절대적으로 연속 함수는 균등하게 연속(uniformly continuous)이고, 따라서, 연속(continuous)입니다. 모든 각 립시츠-연속(Lipschitz-continuous) 함수(function)는 절대적으로 연속입니다.
만약 f: [a,b] → X가 절대적으로 연속이면, 그것은 [a,b] 위에 경계진 변화(bounded variation)의 것입니다.
f ∈ AC^p(I; X)에 대해, f의 메트릭 도함수는 I에서 λ-거의 모든(almost all) 때에 존재하고, 메트릭 도함수는 다음을 만족하는 가장 작은 m ∈ L^p(I; R)입니다:^[9] $d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau {\text{ for all }}[s,t]\subseteq I.$

Absolute continuity of measures

Definition

실수 직선의 보렐 부분집합(Borel subsets) 위에 측정(measure) $\mu$ 는 만약 모든 각 측정-가능 집합 $A$ 에 대해, $\lambda (A)=0$ 가 $\mu (A)=0$ 를 의미하면 르베그 측정(Lebesgue measure) $\lambda$ 에 관해 절대적으로 연속입니다. 이것은 $\mu \ll \lambda$ 으로 쓰입니다. 우리는 $\mu$ 가 $\lambda$ 에 의해 지배적이라고 말합니다.

대부분 응용에서, 만약 실수 직선 위의 측정은 – 다른 측정값에 관해 그것이 절대적으로 연속임을 지정없이 – 단순히 절대적으로 연속이라고 말해지면 르베그 측정에 관해 절대 연속성이 의미됩니다.

같은 원칙은 $\mathbb {R} ^{n},n\geq 2$ 의 보렐 부분집합 위에 측정에 대해 유지됩니다.

Equivalent definitions

실수 직선의 보렐 부분집합 위에 유한 측정 $\mu$ 에 대한 다음 조건은 동등합니다:^[10]

$\mu$ 는 절대적으로 연속입니다;
모든 각 양수 $\varepsilon$ 에 대해, 르베그 측정의 모든 보렐 집합 $A$ 에 대해 $\mu (A)<\varepsilon$ 가 $\delta$ 보다 작음을 만족하는 양수 $\delta >0$ 가 있습니다;
실수 직선의 모든 보렐 부분집합 $A$ 에 대해 다음임을 만족하는 실수 직선 위의 르베그 적분-가능 함수 $g$ 가 존재합니다: $\mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda$

함수의 관점에서 동등한 조건에 대해 섹션 절대 연속성의 두 개념 사이의 관계를 참조하십시오.

(3)을 만족시키는 임의의 다른 함수는 거의 모든 곳에서 $g$ 와 같습니다. 그러한 함수는 절대적으로 연속 측정 $\mu$ 의 라돈–니코딤 도함수(Radon–Nikodym derivative), 또는 밀도라고 불립니다.

(1), (2), 및 (3)와 사이의 동등성은 모든 $n=1,2,3,\ldots$ 에 대해 $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 역시 유지됩니다.

따라서, $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 절대적으로 연속 측정은 정확히 밀도를 가지는 측정입니다; 특별한 경우로, 절대적으로 연속 확률 측정은 정확히 확률 밀도 함수(probability density function)를 가지는 측정입니다.

Generalizations

만약 $\mu$ 와 $\nu$ 가 같은 측정-가능 공간(measurable space) $(X,{\mathcal {A}})$ 위에 두 측정(measure)이면, $\mu$ 는 만약 $\nu (A)=0$ 인 것에 대해 모든 각 집합 $A$ 에 대해 $\mu (A)=0$ 이면 $\nu$ 에 관한 절대적으로 연속이라고 말합니다.^[11] 이것은 " $\mu \ll \nu$ "으로 쓰입니다. 즉: $\mu \ll \nu \qquad {\text{ if and only if }}\qquad {\text{ for all }}A\in {\mathcal {A}},\quad (\nu (A)=0\ {\text{ implies }}\ \mu (A)=0).$

$\mu \ll \nu$ 일 때, $\nu$ 는 $\mu$ 를 지배하는 것이라고 말합니다.

측정의 절대 연속성은 반사적(reflexive) 및 전이적(transitive)이지만, 반대칭(antisymmetric)이 아니므로, 그것은 부분 순서(partial order)보다는 준순서(preorder)입니다. 대신, 만약 $\mu \ll \nu$ 와 $\nu \ll \mu$ 이면, 측정 $\mu$ 와 $\nu$ 는 동등한(equivalent) 것으로 말합니다. 따라서 절대 연속성은 그러한 동치 클래스(equivalence class)의 부분 순서화를 유도합니다.

만약 $\mu$ 가 부호화된(signed) 또는 복소 측정(complex measure)이면, $\mu$ 가 만약 그것의 변화 $|\mu |$ 가 $|\mu |\ll \nu$ 를 만족시키면; 동등하게, $\nu (A)=0$ 인 것에 대해 모든 각 집합 $A$ 가 $\mu$ -널(null)이면 $\nu$ 에 관해 절대적으로 연속입니다.

라돈-니코딤 정리(Radon-Nikodym theorem)는^[12] 만약 $\mu$ 가 $\nu$ 에 관해 절대적으로 연속이고, 두 측정이 σ-유한(σ-finite)이면, $\mu$ 가 임의의 $\nu$ -측정가능 집합 $A$ 에 대해 우리가 다음을 가짐을 만족하는 $\mu (A)=\int _{A}f\,d\nu$ $f=d\mu /d\nu$ 에 의해 표시되는 $[0,+\infty )$ 에서 값을 취하는 $\nu$ -측정가능 함수 $f$ 가 존재함을 의미하는 $\nu$ 에 관해 밀도, "라돈-니코딤 도함수"를 가짐을 말합니다.

Singular measures

르베그의 분해 정리(Lebesgue's decomposition theorem)를 통해,^[13] 모든 각 σ-유한 측정은 또 다른 σ-유한 측정에 관해 절대적으로 연속 측정과 특이 측정의 합으로 분해될 수 있습니다. 절대적으로 연속이 아닌 측정값의 예제에 대해 특이 측정(singular measure)을 참조하십시오.

Relation between the two notions of absolute continuity

실수 직선의 보렐 부부집합(Borel subsets) 위에 유한 측정 μ가 르베그 측정(Lebesgue measure)에 관해 절대적으로 연속인 것과 다음 점 함수가 절대적으로 연속 실수 함수인 것은 필요충분 조건입니다:

F(x)=\mu ((-\infty ,x])

보다 일반적으로, 함수가 (모든 각 경계진 구간 위를 의미하는) 지역적으로 절대적 연속인 것과 그것의 분포 도함수(distributional derivative)가 르베그 측정에 관해 절대적으로 연속적인 측정인 것은 필요충분 조건입니다.

만약 절대 연속성이 유지되면 μ의 라돈-니코딤 도함수는 F의 도함수에 대한 거의 모든 곳에서 같습니다.^[14]

보다 일반적으로, 측정 μ는 (유한인 것보다는) 지역적으로 유한임을 가정하고 F(x)는 x > 0에 대해 μ((0,x]), x = 0에 대해 0, 및 x < 0에 대해 −μ((x,0])로 정의됩니다. 이 경우에서, μ는 F에 의해 생성된 르베그–스틸티어스 측정(Lebesgue–Stieltjes measure)입니다.^[15] 절대 연속성의 두 개념 사이의 관계는 여전히 유지됩니다.^[16]

Notes

^ Royden 1988, Sect. 5.4, page 108; Nielsen 1997, Definition 15.6 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval $I$ is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.
^ Nielsen 1997, Theorem 20.8 on page 354; also Royden 1988, Sect. 5.4, page 110 and Athreya & Lahiri 2006, Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130.
^ Athreya & Lahiri 2006, before Theorem 4.4.1 on page 129.
^ Royden 1988, Problem 5.14(a,b) on page 111.
^ Royden 1988, Problem 5.14(c) on page 111.
^ Royden 1988, Problem 5.20(a) on page 112.
^ Royden 1988, Lemma 5.11 on page 108.
^ Ambrosio, Gigli & Savaré 2005, Definition 1.1.1 on page 23
^ Ambrosio, Gigli & Savaré 2005, Theorem 1.1.2 on page 24
^ Equivalence between (1) and (2) is a special case of Nielsen 1997, Proposition 15.5 on page 251 (fails for σ-finite measures); equivalence between (1) and (3) is a special case of the Radon–Nikodym theorem, see Nielsen 1997, Theorem 15.4 on page 251 or Athreya & Lahiri 2006, Item (ii) of Theorem 4.1.1 on page 115 (still holds for σ-finite measures).
^ Nielsen 1997, Definition 15.3 on page 250; Royden 1988, Sect. 11.6, page 276; Athreya & Lahiri 2006, Definition 4.1.1 on page 113.
^ Royden 1988, Theorem 11.23 on page 276; Nielsen 1997, Theorem 15.4 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Item (ii) of Theorem 4.1.1 on page 115.
^ Royden 1988, Proposition 11.24 on page 278; Nielsen 1997, Theorem 15.14 on page 262; Athreya & Lahiri 2006, Item (i) of Theorem 4.1.1 on page 115.
^ Royden 1988, Problem 12.17(b) on page 303.
^ Athreya & Lahiri 2006, Sect. 1.3.2, page 26.
^ Nielsen 1997, Proposition 15.7 on page 252; Athreya & Lahiri 2006, Theorem 4.4.3 on page 131; Royden 1988, Problem 12.17(a) on page 303.

References

Ambrosio, Luigi; Gigli, Nicola; Savaré, Giuseppe (2005), Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, ISBN 3-7643-2428-7
Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Measure theory and probability theory, Springer, ISBN 0-387-32903-X
Leoni, Giovanni (2009), A First Course in Sobolev Spaces, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, pp. xvi+607 ISBN 978-0-8218-4768-8, MR2527916, Zbl 1180.46001, MAA
Nielsen, Ole A. (1997), An introduction to integration and measure theory, Wiley-Interscience, ISBN 0-471-59518-7
Royden, H.L. (1988), Real Analysis (third ed.), Collier Macmillan, ISBN 0-02-404151-3

External links

[1] Royden 1988, Sect. 5.4, page 108; Nielsen 1997, Definition 15.6 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Definitions 4.4.1, 4.4.2 on pages 128,129. The interval $I$ is assumed to be bounded and closed in the former two books but not the latter book.

[2] Nielsen 1997, Theorem 20.8 on page 354; also Royden 1988, Sect. 5.4, page 110 and Athreya & Lahiri 2006, Theorems 4.4.1, 4.4.2 on pages 129,130.

[3] Athreya & Lahiri 2006, before Theorem 4.4.1 on page 129.

[4] Royden 1988, Problem 5.14(a,b) on page 111.

[5] Royden 1988, Problem 5.14(c) on page 111.

[6] Royden 1988, Problem 5.20(a) on page 112.

[7] Royden 1988, Lemma 5.11 on page 108.

[8] Ambrosio, Gigli & Savaré 2005, Definition 1.1.1 on page 23

[9] Ambrosio, Gigli & Savaré 2005, Theorem 1.1.2 on page 24

[10] Equivalence between (1) and (2) is a special case of Nielsen 1997, Proposition 15.5 on page 251 (fails for σ-finite measures); equivalence between (1) and (3) is a special case of the Radon–Nikodym theorem, see Nielsen 1997, Theorem 15.4 on page 251 or Athreya & Lahiri 2006, Item (ii) of Theorem 4.1.1 on page 115 (still holds for σ-finite measures).

[11] Nielsen 1997, Definition 15.3 on page 250; Royden 1988, Sect. 11.6, page 276; Athreya & Lahiri 2006, Definition 4.1.1 on page 113.

[12] Royden 1988, Theorem 11.23 on page 276; Nielsen 1997, Theorem 15.4 on page 251; Athreya & Lahiri 2006, Item (ii) of Theorem 4.1.1 on page 115.

[13] Royden 1988, Proposition 11.24 on page 278; Nielsen 1997, Theorem 15.14 on page 262; Athreya & Lahiri 2006, Item (i) of Theorem 4.1.1 on page 115.

[14] Royden 1988, Problem 12.17(b) on page 303.

[15] Athreya & Lahiri 2006, Sect. 1.3.2, page 26.

[16] Nielsen 1997, Proposition 15.7 on page 252; Athreya & Lahiri 2006, Theorem 4.4.3 on page 131; Royden 1988, Problem 12.17(a) on page 303.

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