Acceleration

Acceleration
Acceleration
	In vacuum (no air resistance), objects attracted by Earth gain speed at a steady rate.
Common symbols	a
SI unit	m/s2, m·s−2, m s−2
Dimension	L T −2

역학(mechanics)에서, 가속도(acceleration)는 시간에 관한 물체의 속도(velocity)의 변화율(rate)입니다. 가속도는 벡터(vector) 양입니다 (그것에서 그들은 크기(magnitude)와 방향(direction)을 가집니다).^[1]^[2] 물체의 가속도의 방향은 해당 물체에 작용하는 순(net) 힘(force)의 방향에 의해 제공됩니다. 물체의 가속도의 크기는, 뉴턴의 두 번째 법칙(Newton's Second Law)에 의해 묘사된 것처럼,^[3] 다음 두 원인의 조합된 효과입니다:

해당 물체에 작용하는 모든 외부 힘(force)의 순 균형 — 크기는 이 순 결과 힘에 직접 비례(directly proportional)입니다;
해당 물체의 질량, 그것이 만들어지는 재료에 의존합니다 — 크기는 물체의 질량에 역으로 비례(inversely proportional)입니다.

가속도에 대해 SI 단위는 제곱 초당 미터(metre per second squared)(m s⁻²)입니다.

예를 들어, 자동차(vehicle)가 정지 상태 (참조의 관성 프레임(inertial frame of reference)에서, 영 속도)로부터 출발하고 속력을 증가하여 직선으로 움직일 때, 그것은 주행의 방향으로 가속하는 것입니다. 만약 자동차가 회전하면, 가속도는 새로운 방향으로 발생하고 그것의 운동 벡터가 변합니다. 운동의 현재 방향에서 자동차의 가속도는 선형 (또는 원형 운동(circular motion) 동안 접선) 가속도로 불리며, 그것에 대한 반작용(reaction)으로 자동차 안의 승객은 그들을 좌석에 미는 힘으로 경험합니다. 방향을 바꿀 때, 초래하는 가속도는 방사형 (원형 운동 동안 직교) 가속도로 불리며, 그것에 대한 반작용으로 승객은 원심력(centrifugal force)으로 경험합니다. 만약 자동차의 속력이 감소하면, 이것은 반대 방향에서 가속도가 있고 수학적으로 음수(negative)이며, 때때로 감속도라고 불리고, 승객들은 관성(Inertia) 힘으로 그들을 앞으로 미는 것으로 감속에 대한 반작용을 경험합니다. 그러한 음의 가속도는 종종 우주선(spacecraft)에서 레트로-로켓(retrorocket) 연소에 의해 달성됩니다.^[4] 가속과 감속 둘 다는 같은 것으로 취급되며, 그들은 속도에서 둘 다 변화입니다. 이들 가속도 (접선, 반사형, 감속)의 각각은 차량에 대한 상대 (미분) 속도가 참조(reference)에서 중화될 때까지 승객이 느껴집니다.

Definition and properties

Kinematic quantities of a classical particle: mass m, position r, velocity v, acceleration a.

Average acceleration

시간(time)의 기간에 걸쳐 물체의 평균 가속도는 속도(velocity)의 변화 $(\Delta \mathbf {v} )$ 를 기간의 지속 $(\Delta t)$ 으로 나눈 것입니다. 수학적으로,

{\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.

Instantaneous acceleration

순각 가속도는, 한편, 시간의 무한소(infinitesimal) 구간에 걸쳐 평균 가속도의 극한(limit)입니다. 미적분학(calculus(의 관점에서, 순간 가속도는 시간에 관한 속도 벡터의 도함수(derivative)입니다:

\mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}

(여기서 및 다른 곳에서, 만약 운동이 직선에 있으면, 벡터(vector) 양은 방정식에서 스칼라(scalars)에 의해 대체될 수 있습니다.)

가속도 함수 $a (t)$ 의 적분(integral)은 속도 함수 $v (t)$ 임을 알 수 있습니다; 즉, 가속도 대. 시간 ( $a$ 대. $t$ ) 그래프의 곡선 아래의 넓이는 속도에 해당합니다.

\mathbf {v} =\int \mathbf {a} \ dt

가속도가 시간 $t$ 에 관한 속도, $v$ 의 도함수로 정의되고 속도가 시간에 관한 위치, $x$ 의 도함수로 정의되므로, 가속도는 $t$ 에 관한 $x$ 의 이차 도함수(second derivative)로 생각될 수 있습니다:

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}

Units

가속도는 속도 (L/T)를 시간으로 나눈 차원(dimensions)을 가집니다, 즉 L T⁻²입니다. 가속도의 SI 단위는 제곱된 초당 미터(meter per second squared) (m s⁻²); 또는 "초당 초당 미터"인데, 왜냐하면 초당 미터에서 속도가 매 초마다 가속도 값에 따라 변하기 때문입니다.

Other forms

지구 궤도를 도는 위성과 같은 원형 운동에서 움직이는 물체는 비록 그것의 속력이 일정할 수 있을지라도, 운동의 방향의 변화로 인해 가속하는 것입니다. 이 경우에서, (중심으로 향한 방향화된) 구심 가속을 받는 것으로 말합니다.

적절한 가속도(Proper acceleration), 자유-낙하 조건에 대한 몸체의 가속도는 가속도계(accelerometer)라고 불리는 도구에 의해 측정됩니다.

고전 역학(classical mechanics)에서, 상수 질량을 갖는 몸체에 대해, 몸체의 질량 중심의 (벡터) 가속도는 그것에 작용하는 순 힘(force) 벡터 (즉, 모든 힘의 합)에 비례합니다 (뉴턴의 두 번째 법칙).

\mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \to \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}

여기서 F는 몸체 위에 작용하는 순 힘, m은 몸체의 질량(mass)이고, a는 질량의-중심 가속도입니다. 속력이 빛의 속력(speed of light)에 가까워 질수록, 상대론적 효과(relativistic effects)는 점점 커집니다.

Tangential and centripetal acceleration

시간의 함수(function)에 따라 곡선 경로에서 움직이는 입자의 속도는 다음으로 쓸 수 있습니다:

\mathbf {v} (t)=v(t){\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}=v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(t),

여기서 v(t)는 경로를 따라 움직이는 속력과 같고,

\mathbf {u} _{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}\ ,

시간에서 선택된 순간에 운동의 방향을 가리키는 경로에 접하는 단위 벡터(unit vector tangent)입니다. 변화하는 속력 v(t)와 변화하는 방향 u_t 둘 다를 고려하여, 곡선 경로에서 움직이는 입자의 가속도는 다음과 같이 두 가지 시간의 함수의 곱에 대해 미분화의 체인 규칙(chain rule)^[5]을 사용하여 쓸 수 있습니다:

{\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+v(t){\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }\ ,\\\end{alignedat}}

여기서 u_n은 입자의 궤적에 대한 단위 (내부) 법선 벡터(normal vector) (주요 법선이라고 역시 불림)이고, r은 시간 t에서 진동하는 원(osculating circle)을 기준으로 한 순간 곡률의 반지름(radius of curvature)입니다. 이들 성분은 접선 가속도(tangential acceleration) 및 법선 또는 방사형 가속도 (또는 원형 운동(circular motion)의 구심 가속도, 원형 운동 및 구심력(centripetal force)을 참조하십시오)라고 불립니다.

접선, (주요) 법선 및 쌍-법선을 설명하는 삼-차원 공간 곡선의 기하학적 분석은 프레네–세레 공식(Frenet–Serret formulas)으로 설명됩니다.^[6]^[7]

Special cases

Uniform acceleration

균등 또는 일정한 가속도는 물체의 속도(velocity)가 같은 시간 주기마다 같은 양만큼 변화하는 운동 유형입니다.

균등 가속도의 자주 인용되는 예제는 균등 중력 필드에서 자유 낙하(free fall)하는 물체의 그것입니다. 운동에 대한 저항이 없는 상태에서 떨어지는 몸체의 가속도는 중력 필드(gravitational field) 강도 g (역시 중력으로 인한 가속도로 불림)에 오직 의존합니다. 뉴턴의 두 번째 법칙(Newton's Second Law)에 의해 몸체에 작용하는 힘(force) $\mathbf {F_{g}}$ 는 다음에 의해 주어집니다:

\mathbf {F_{g}} =m\mathbf {g}

일정한 가속도의 경우의 간단한 해석적 속성이기 때문에, 변위(displacement), 초기 및 시간-종속 속도(velocities), 및 경과된 시간(time elapsed)에 대한 가속도와 관련된 간단한 공식이 있습니다:^[8]

\mathbf {s} (t)=\mathbf {s} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}=\mathbf {s} _{0}+{\frac {\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} (t)}{2}}t

\mathbf {v} (t)=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t

{v^{2}}(t)={v_{0}}^{2}+2\mathbf {a\cdot } [\mathbf {s} (t)-\mathbf {s} _{0}]

여기서

$t$ 는 경과된 시간입니다,
$\mathbf {s} _{0}$ 는 원점으로부터 초기 변위입니다,
$\mathbf {s} (t)$ 는 시간 $t$ 에서 원점으로부터 변위입니다,
$\mathbf {v} _{0}$ 는 초기 속도입니다,
$\mathbf {v} (t)$ 는 시간 $t$ 에서 속도입니다, 그리고
$\mathbf {a}$ 는 가속도의 균등 율입니다.

특히, 운동은 상기 방정식에 따라 일정한 속도의 하나와 다른 하나의, 두 직교 부분으로 분해될 수 있습니다. 갈릴레오(Galileo)가 보여 주었듯이, 순 결과는 포물선 운동이며, 이것은 예를 들어 지구의 표면 근처의 진공 상태에서 발사체의 궤적을 묘사합니다.^[9]

Circular motion

Position vector r, always points radially from the origin.

Velocity vector v, always tangent to the path of motion.

Acceleration vector a, not parallel to the radial motion but offset by the angular and Coriolis accelerations, nor tangent to the path but offset by the centripetal and radial accelerations.

Kinematic vectors in plane polar coordinates. Notice the setup is not restricted to 2d space, but may represent the osculating plane plane in a point of an arbitrary curve in any higher dimension.

원형 경로를 따라 일정한 속력으로 움직이는 균등 원형 운동(circular motion)에서, 입자는 속도 벡터의 방향의 변화에 따른 가속을 경험하지만, 그것의 크기는 일정하게 유지됩니다. 시간에 관한 곡선 위의 점의 위치의 도함수, 즉 그 속도는 이 점에서 각각 반지름과 직교하는 곡선에 항상 정확히 접하는 것으로 판명되었습니다. 균등 운동에서 접선 방향에서 속도는 변하지 않기 때문에, 가속도는 원의 중심을 가리키는 방사형 방향이어야 합니다. 이 가속도는 인접하는 점에서 접하게 되는 속도의 방향을 지속적으로 변경하며, 그것에 따라서 원을 따라 속도 벡터를 회전시킵니다.

• 주어진 속력 $v$ 에 대해, 기하학적으로 유발된 이 가속도 (구심 가속도)의 크기는 원의 반지름 $r$ 에 반비례하고 이 속력의 제곱으로 증가합니다:

a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}\;.

• 주어진 각속도(angular velocity) $\omega$ 에 대해, 구심 가속도는 반지름 $r$ 에 직접 비례함을 주목하십시오. 이것은 반지름 $r$ 에 속도 $v$ 의 의존성 때문입니다.

v=\omega r.

극 성분에서 구심 가속도 벡터를 표현하면, 여기서 $\mathbf {r}$ 은 원의 중심에서 이 거리와 같은 크기를 가진 입자까지의 벡터이고, 중심을 향한 가속도의 방향을 고려하여, 다음을 산출합니다:

\mathbf {a_{c}} =-{\frac {v^{2}}{|\mathbf {r} |}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\;.

회전에서 평소와 같이, 입자의 속력 $v$ 는 거리 $r$ 에서의 점에 관한 각속력(angular speed)으로 표현될 수 있습니다:

\omega ={\frac {v}{r}}.

따라서 $\mathbf {a_{c}} =-\omega ^{2}\mathbf {r} \;.$

이 가속도 및 입자의 질량은, 이 균등 원형 운동을 유지하기 위해 이 입자에 작용하는 순 힘으로, 원의 중심을 향한 방향화된 필요한 구심력(centripetal force)을 결정합니다. 몸체에 바깥쪽으로 작용하는 것으로 보이는 소위 '원심력(centrifugal force)'은 몸체의 선형 운동량(linear momentum), 운동의 원에 접하는 벡터로 인해, 원형 운동에서 몸체의 기준 프레임(frame of reference)에서 경험되는 소위 의사 힘(pseudo force)입니다.

불균등한 원형 운동에서, 즉 곡선 경로를 따른 속력이 변하며, 가속도는 곡선에 접하는 비-영 성분을 가지고, 주요 법선(principal normal)에 국한되지 않으며, 이것은 진동하는 원의 중심을 향하며, 구심 가속도에 대한 반지름 $r$ 을 결정하는 것입니다. 접선 성분은 각가속도 $\alpha$ , 즉, 각속력 $\omega$ 의 변화율 $\alpha ={\dot {\omega }}$ 곱하기 반지름 $r$ 에 의해 제공됩니다. 즉,

a_{t}=r\alpha .

가속도의 접선 성분의 부호는 각가속도(angular acceleration) ( $\alpha$ )의 부호에 의해 결정되고, 접선은 반지름 벡터와 직각에서 물론 항상 방향화됩니다.

Relation to relativity

Special relativity

특수 상대성은 진공에서 빛의 속력에 접근하는 속력에서 다른 물체에 관해 이동하는 물체의 동작을 설명합니다. 뉴턴 역학(Newtonian mechanics)은 현실성에 근사된 것으로 정확히 밝혀졌으며, 더 낮은 속력에서 큰 정확도에 유효합니다. 관련 속력이 빛의 속력을 향해 증가함에 따라, 가속도는 더 이상 고전 방정식을 따르지 않습니다.

속력이 빛의 속력에 접근함에 따라, 주어진 힘에 의해 생성된 가속도는 감소하고, 빛의 속력에 접근함에 따라 무한소적으로 됩니다; 질량을 갖는 물체는 이 속력에 점근적으로(asymptotically) 접근할 수 있지만, 절대 그것에 도달하지는 못합니다.

General relativity

만약 물체의 운동의 상태가 알려져 있지 않으면, 관측된 힘이 중력(gravity) 또는 가속도에 의한 것인지 구별하는 것은 불가능합니다–중력과 관성 가속도는 동일한 영향을 미칩니다. 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)은 이것을 동등성 원리(equivalence principle)이라고 불렀었고, 오직 중력을 포함하여 전혀 힘을 느끼지 않는 관측자가 그들이 가속하지 않는다는 결론을 내리는 것이 정당화된다고 말했습니다.^[10]

Conversions

Conversions between common units of acceleration
Base value	(Gal, or cm/s²)	(ft/s²)	(m/s²)	(Standard gravity, g₀)
1 Gal, or cm/s²	1	0.0328084	0.01	0.00101972
1 ft/s²	30.4800	1	0.304800	0.0310810
1 m/s²	100	3.28084	1	0.101972
1 g₀	980.665	32.1740	9.80665	1

References

^ Bondi, Hermann (1980). Relativity and Common Sense. Courier Dover Publications. pp. 3. ISBN 978-0-486-24021-3.
^ Lehrman, Robert L. (1998). Physics the Easy Way. Barron's Educational Series. pp. 27. ISBN 978-0-7641-0236-3.
^ Crew, Henry (2008). The Principles of Mechanics. BiblioBazaar, LLC. p. 43. ISBN 978-0-559-36871-4.
^ Raymond A. Serway; Chris Vuille; Jerry S. Faughn (2008). College Physics, Volume 10. Cengage. p. 32. ISBN 9780495386933.
^ Weisstein, Eric W. "Chain Rule". Wolfram MathWorld. Wolfram Research. Retrieved 2 August 2016.
^ Larry C. Andrews; Ronald L. Phillips (2003). Mathematical Techniques for Engineers and Scientists. SPIE Press. p. 164. ISBN 978-0-8194-4506-3.
^ Ch V Ramana Murthy; NC Srinivas (2001). Applied Mathematics. New Delhi: S. Chand & Co. p. 337. ISBN 978-81-219-2082-7.
^ Keith Johnson (2001). Physics for you: revised national curriculum edition for GCSE (4th ed.). Nelson Thornes. p. 135. ISBN 978-0-7487-6236-1.
^ David C. Cassidy; Gerald James Holton; F. James Rutherford (2002). Understanding physics. Birkhäuser. p. 146. ISBN 978-0-387-98756-9.
^ Brian Greene, The Fabric of the Cosmos: Space, Time, and the Texture of Reality, page 67. Vintage ISBN 0-375-72720-5

External links

Acceleration Calculator Simple acceleration unit converter
Acceleration Calculator Acceleration Conversion calculator converts units form meter per second square, kilometer per second square, millimeter per second square & more with metric conversion.

[1] Bondi, Hermann (1980). Relativity and Common Sense. Courier Dover Publications. pp. 3. ISBN 978-0-486-24021-3.

[2] Lehrman, Robert L. (1998). Physics the Easy Way. Barron's Educational Series. pp. 27. ISBN 978-0-7641-0236-3.

[3] Crew, Henry (2008). The Principles of Mechanics. BiblioBazaar, LLC. p. 43. ISBN 978-0-559-36871-4.

[4] Raymond A. Serway; Chris Vuille; Jerry S. Faughn (2008). College Physics, Volume 10. Cengage. p. 32. ISBN 9780495386933.

[5] Weisstein, Eric W. "Chain Rule". Wolfram MathWorld. Wolfram Research. Retrieved 2 August 2016.

[Andrews-6] Larry C. Andrews; Ronald L. Phillips (2003). Mathematical Techniques for Engineers and Scientists. SPIE Press. p. 164. ISBN 978-0-8194-4506-3.

[Chand-7] Ch V Ramana Murthy; NC Srinivas (2001). Applied Mathematics. New Delhi: S. Chand & Co. p. 337. ISBN 978-81-219-2082-7.

[8] Keith Johnson (2001). Physics for you: revised national curriculum edition for GCSE (4th ed.). Nelson Thornes. p. 135. ISBN 978-0-7487-6236-1.

[9] David C. Cassidy; Gerald James Holton; F. James Rutherford (2002). Understanding physics. Birkhäuser. p. 146. ISBN 978-0-387-98756-9.

[10] Brian Greene, The Fabric of the Cosmos: Space, Time, and the Texture of Reality, page 67. Vintage ISBN 0-375-72720-5

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