Rate (mathematics)

수학(mathematics)에서, 율(rate)은 다른 단위에서 두 관련된 양(quantities) 사이의 비율(ratio)입니다.^[1] 만약 비율의 분모가 이들 양 중 하나의 단일 단위로 표현되고, 만약 이 양이 시스템적으로 변경될 수 있다고 가정되면 (즉, 독립 변수(independent variable)이면), 비율의 분자는 다른 (종속) 변수에서 해당하는 변화의 율(rate of change)로 표현됩니다.

율의 가장 공통적인 유형은 속력(speed), 심박수(heart rate) 및 플럭스(flux)와 같은 "단위 시간 당(per unit of time)"입니다. 비-시간 분모를 가지는 비율은 환율(exchange rate), 문해율(literacy rate) 및 전기장(electric field) (볼트/미터)이 포함됩니다.

율의 단위를 설명하는 것에서, 단어 "당(per)"은 율을 계산하기 위해 사용되는 두 측정의 단위를 분리하기 위해 사용됩니다 (예를 들어 심박수(heart rate)는 "분 당 고동"으로 표현됩니다). (세율(tax rate)과 같은) 같은 단위(units) 또는 (문해율(literacy rate)과 같은) 카운트의 두 숫자를 사용하여 정의된 율은 무차원 양(dimensionless quantity)을 초래하며, 이것은 백분율(percentage) (예를 들어, 1998년에서 전세계 문해율(literacy rate)은 80%입니다) 또는 분수(fraction) 또는 배수(multiple)로 표현될 수 있습니다.

종종 율은 리듬(rhythm) 또는 주파수(frequency), 초-당 카운트 (즉, 헤르츠(Hertz))의 동의어입니다; 예를 들어 무선 주파수(radio frequencies) 또는 심박수(heart rate) 또는 표본 율(sample rate)이 있습니다.

Introduction

율과 비율은 종종 시간, 위치, 대상의 집합의 특정 원소 (또는 부분-집합), 등에 따라 변합니다. 따라서 그들은 종종 수학적 함수(mathematical functions)입니다. 예를 들어, 속도 v (선분 i 위의 대도시의 거리)는 인덱스 i의 함수입니다. 여기서 여행의 각 선분 i는 여행 경로의 부분-집합입니다.

율 (또는 비율)은 종종 넓은 의미에서 모든 고려되는, 입력-출력 비율, 이익-비용 비율(benefit-cost ratio)로 생각될 수 있을 것입니다. 예를 들어, 운송에서 시간-당-마일은 여행의 마일의 관점에서 출력 (또는 이익)이며, 이것은 우리가 (이 속도에서) 여행하는 것의 1시간 (시간에서 비용)을 소비하는 것으로부터 얻습니다.

순차적 인덱스 i의 집합은 연구 아래에서 비율의 집합의 원소 (또는 부분-집합)를 열거하기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 금융에서, 우리는 회사, 정치 부분-나눔 (예를 들어 주), 다른 투자, 등에 연속적인 정수를 할당함으로써 i를 정의할 수 있습니다. 인덱스 i를 사용하는 이유는 비율의 집합 (i=0,N)이 비율의 집합의 평균과 같은 율의 함수를 계산하기 위해 방정식에서 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 평균 속도는 위에서 언급된 v_i의 집합으로부터 찾아집니다. 평균을 찾는 것은 가중된 평균을 사용하고 아마도 조화 평균(Harmonic mean)을 사용하는 것을 포함할 수 있을 것입니다.

비율 r=a/b는 분자 "a"와 분모 "b" 둘 다를 가집니다. a 및/또는 b의 값은 실수(real number) 또는 정수(integer)일 수 있습니다. 비율 r의 역은 1/r = b/a입니다. 율은 만약 그것의 단위의 비율이 역시 역수이면 그 값의 역수로 동등하게 표현될 수 있습니다. 예를 들어, 5 마일/kWh는 1/5 kWh/마일 (또는 200 Wh/마일)과 같습니다.

율은 실생활의 많은 분야에서 발생합니다. 예를 들어: 얼마나 빨리 운전하세요? 시간-당-마일은 하나의 율입니다. 저축 계좌는 얼마의 이자를 지불합니까? 지급된 이자/년은 하나의 율입니다.

Rate of change

비율의 분자 $f$ 가 함수 $f(a)$ 이고 $a$ 가 비율 $\delta f/\delta a$ 의 분모가 되는 경우를 생각해 보십시오. $a$ 에 관한 $f$ 의 변화의 율 (여기서 $a$ 는 $h$ 만큼 증가됩니다)은 공식적으로 두 방법으로 정의될 수 있습니다:^[2]

{\begin{aligned}{\mbox{Average rate of change}}&={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\\{\mbox{Instantaneous rate of change}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\end{aligned}}

여기서 f(x)는 a로부터 a+h까지 구간에 걸쳐 x에 관한 함수입니다. 순간 변화율은 도함수(derivative)와 동등합니다.

예를 들어, 자동차의 평균 속력(speed)은 두 지점 사이를 이동한 총 거리를 이동 시간으로 나눈 값을 사용하여 계산할 수 있지만, 순간 속도는 속력계(speedometer)를 봄으로써 결정될 수 있습니다.

Temporal rates

화학 및 물리학에서:

속력(speed), 위치(position)의 변화율, 또는 단위 시간 당 위치의 변화
가속도(accelaration), 속력에서 변화율, 또는 단위 시간 당 속력에서 변화
일률(Power), 한 일(work)의 율, 또는 단위 시간 당 전달된 에너지(energy)의 총량
주파수(frequency), 단위 시간 당 반복되는 사건의 발생의 숫자
반응률(reaction rate), 화학적 반응이 발생하는 것에서 속력
부피 흐름률(volumetric flow rate), 단위 시간 당 주어진 표면을 통과하는 유체의 부피; 예를 들어 초당 세제곱(cubic meters per second)

Counts-per-time rates

방사성 붕괴(Radioactive decay), 베크렐(Becquerel)에서 측정된, 초당 일 핵이 붕괴되는 방사성 물질의 총량

컴퓨팅에서:

비트 율(Bit rate), 단위 시간 당 컴퓨터에 의해 전달되거나 처리되는 비트의 숫자
기호 율(Symbol rate), 초당 전송 매체에 대해 만들어진 기호 변경 (신호-발생 사건)의 숫자
표본 율(Sampling rate), 초당 표본 (신호 측정)의 숫자

기타 정의:

강화의 율(Rate of reinforcement), 단위 시간당, 보통 분당 강화의 숫자
심장-박동 율(Heart rate), 분당 박동에서 보통 측정됨

Economics/finance rates/ratios

환율(Exchange rate), 한 통화가 다른 통화의 관점에서 얼마나 가치 있는지
인플레이션 율(Inflation rate), 일년 동안의 일반 가격 수준에서 변화와 시작 가격 수준의 비율
이자율(Interest rate), 차용자가 자신이 소유하지 않은 돈의 사용에 대해 지불하는 가격 (차입된 금액에 대한 지불의 비율)
주가–수익 율(Price–earnings ratio), 주식 주당 시장 가격을 연간 주당 수입으로 나눈 값
수익 율(Rate of return), 투자 금액의 총량에 관한 투자로 얻거나 잃은 돈의 비율
세율(Tax rate), 세액을 과세 소득으로 나눈 값
실업률, 실업자 숫자와 노동 인구 숫자의 비율
임금률(Wage Rate), 주어진 시간 동안 (또는 표준 작업량을 수행하여) 지불 한 시간 (시간에 따른 지불의 비율)

Other rates

출생률(Birth rate), 및 사망률(mortality rate), 단위 시간당 해당 인구의 규모에 따라 조정된 출생 또는 사망의 숫자
문해율(Literacy rate), 읽고 쓸 수 있는 15세 이상의 인구 비율
성비(Sex ratio) or 성별 비율(Gender ratio), 인구에서 남성과 여성의 비율

References

^ See Webster's new international dictionary of the English language, second edition, unabridged. Merriam Webster Co. 2016. p.2065 definition 3. while this definition doesn't say "related" and while the ratio of two non-related quantities is technically a ratio, such a ratio has little (if any meaning). For example, what would be the utility of finding the ratio of such unrelated numbers as ratio of the weight of ones residence to an integer selected at random between -10⁻⁹ and +10⁹?
^ Adams, Robert A. (1995). Calculus: A Complete Course (3rd ed.). Addison-Wesley Publishers Ltd. p. 129. ISBN 0-201-82823-5.

[1] See Webster's new international dictionary of the English language, second edition, unabridged. Merriam Webster Co. 2016. p.2065 definition 3. while this definition doesn't say "related" and while the ratio of two non-related quantities is technically a ratio, such a ratio has little (if any meaning). For example, what would be the utility of finding the ratio of such unrelated numbers as ratio of the weight of ones residence to an integer selected at random between -10⁻⁹ and +10⁹?

[2] Adams, Robert A. (1995). Calculus: A Complete Course (3rd ed.). Addison-Wesley Publishers Ltd. p. 129. ISBN 0-201-82823-5.

[1]

[2]