Aleph number

Original article: w:Aleph number

Aleph-nought, aleph-zero, or aleph-null, the smallest infinite cardinal number

수학(mathematics), 특히 집합 이론(set theory)에서, 알레프 숫자(aleph numbers)는 바른-순서화(well-ordered)될 수 있는 무한 집합(infinite set)의 카디널리티(cardinality) (또는 크기)를 나타내기 위해서 사용되는 숫자의 수열(sequence)입니다. 그것들은 수학자 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 의해 도입되었고 그가 그것들을 나타내기 위해 사용된 기호, 히브리(Hebrew) 문자 알레프(aleph) ($\,\aleph \,$)의 이름을 따서 지어졌습니다.

자연수의 카디널리티는 $\,\aleph _{0}\,$ (aleph-naught 또는 aleph-zero로 읽음; 용어 aleph-null이 역시 때때로 사용됨)이고, 바른-순서가능한 집합의 다음으로 큰 카디널리티는 알레프-일 $\,\aleph _{1}\,$, 다음은 $\,\aleph _{2}\,$, 이런 식으로 계속됩니다. 이런 방식으로 계속하면 아래 서술된 바와 같이 모든 각 순서-숫자(ordinal number) $\,\alpha \;,$에 대해 세는-숫자(cardinal number) $\,\aleph _{\alpha }\,$를 정의하는 것이 가능합니다

그 개념과 표기법은 게오르크 칸토어(Georg Cantor)에 기인하며, 그는 카디널리티의 개념을 정의했고 무한 집합은 다른 카디널리티를 가질 수 있음을 깨달았습니다.

알레프 숫자는 대수학과 미적분학에서 공통적으로 발견되는 무한대(infinity) ($\,\infty \,$)와 다르며, 그것에서 알레프는 집합의 크기를 측정하고, 반면에 무한대는 공통적으로 ("무한대로 발산하는(diverges)" 함수(function) 또는 수열(sequence)에 적용되는) 실수 직선(real number line)의 극단적인 극한(limit), 또는 확장된 실수 직선(extended real number line)의 극단 점으로 정의됩니다.

Aleph-nought

$\,\aleph _{0}\,$ (aleph-nought, 역시 aleph-zero or aleph-null)은 모든 자연수의 집합의 카디널리티이고, 무한 세는-숫자(infinite cardinal)입니다. $\,\omega \,$ 또는 $\,\omega _{0}\,$라고 불리는 (여기서 $\,\omega \,$는 소문자 그리스 문자 오메가임), 모든 유한 순서-숫자(ordinals)의 집합은 카디널리티 $\,\aleph _{0}\,$을 가집니다. 집합이 카디널리티 $\,\aleph _{0}\,$을 가지는 것과 그것이 셀-수-있는 무한(countably infinite)인 것, 즉, 그것과 자연수 사이의 전단사(bijection) (일-대-일 대응)가 있는 것은 필요충분 조건입니다. 그러한 집합의 예제는 다음입니다:

• 모든 정수(integer)의 집합,
• 모든 제곱 숫자(square numbers)의 집합 또는 모든 소수(prime numbers)의 집합과 같은 정수의 임의의 무한 부분집합,
• 모든 유리수(rational number)의 집합,
• 모든 구성-가능 숫자(constructible number)의 집합 (기하학적 의미에서),
• 모든 대수적 숫자(algebraic number)의 집합,
• 모든 계산-가능 숫자(computable number)의 집합,
• 유한 길이의 모든 이진 문자열(string)의 집합, 및
• 임의의 주어진 셀-수-있는 무한 집합의 모든 유한 부분집합(subset)의 집합.

이들 무한 순서-숫자: $\,\omega \;,$ $\,\omega +1\;,$ $\,\omega \,\cdot 2\,,\,$ $\,\omega ^{2}\,,$ $\,\omega ^{\omega }\,$ 및 $\,\varepsilon _{0}\,$는 셀-수-있는 무한 집합 중 하나입니다. 예를 들어, (오디널리티 ω·2를 갖는) 모든 양의 홀수 정수 뒤에 오는 모든 양의 짝수 정수의 수열은

$\,\{\,1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...\,\}\,$

양의 정수의 (카디널리티 $\aleph _{0}$을 갖는) 집합의 순서화입니다.

만약 셀-수-있는 선택의 공리(axiom of countable choice) (선택의 공리(axiom of choice)의 더 약한 버전)가 유지되면, $\,\aleph _{0}\,$은 임의의 다른 무한 세는-숫자보다 더 작습니다.

Aleph-one

"Aleph One" redirects here. For other uses, see Aleph One (disambiguation).

$\,\aleph _{1}\,$은 모든 셀-수-있는 순서-숫자(ordinal number)의 집합의 카디널리티이며, $\,\omega _{1}\,$, 또는 때때로 $\,\Omega \,$이라고 불립니다. 이 $\,\omega _{1}\,$은 자체로 모든 셀-수-있는 순서-숫자보다 더 큰 그것이므로, 셀-수-없는 집합(uncountable set)입니다. 그러므로, $\,\aleph _{1}\,$은 $\,\aleph _{0}\,$와 구별됩니다. $\,\aleph _{1}\,$의 정의는 (ZF, 선태의 공리없이 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)에서) 어느 세는-숫자도 $\,\aleph _{0}\,$와 $\,\aleph _{1}\,$ 사이에 있지 않음을 의미합니다. 만약 선택의 공리(axiom of choice)가 사용되면, 나아가서 세는-숫자 클래스가 전체적으로 순서화(totally ordered)되어 있고, 따라서 $\,\aleph _{1}\,$는 두 번째-가장 작은 무한 세는 숫자임이 입증될 수 있습니다. 선택의 공리를 사용하여, 우리는 집합 $\,\omega _{1}\,$의 가장 유용한 속성 중 하나를 표시할 수 있습니다: $\,\omega _{1}\,$의 임의의 셀-수-있는 부분집합은 $\,\omega _{1}\,$에서 위쪽 경계를 가집니다. (이것은 셀-수-있는 집합의 셀-수-있는 숫자의 합집합이 자체로 셀-수-있는 것이라는 사실에서 비롯됩니다 – 선택 공리의 가장 공통적인 응용 중 하나입니다.) 이 사실은 $\,\aleph _{0}\,$에서 상황과 유사합니다: 자연수의 모든 각 유한 집합은 역시 자연수인 최댓값을 가지고, 유한 집합의 유한 합집합(finite unions)은 유한입니다.

$\,\omega _{1}\,$은 다소 이국적으로 들리지만 실제로 유용한 개념입니다. 예제 응용은 계산-가능 연산에 관한 "닫기"입니다; 예를 들어, 임의적인 부분집합의 모음에 의해 생성된 σ-대수(σ-algebra)를 명시적으로 설명하려고 시도합니다 (예를 들어 보렐 계층(Borel hierarchy)을 참조하십시오). 이것은 대수 (벡터 공간(vector space), 그룹(group), 등)에서 "생성"의 가장 명시적인 설명보다 더 어려운데, 왜냐하면 그것들 경우에서, 우리는 오직 유한 연산 – 합, 곱 등에 관해 닫히게 하기 때문입니다. 그 과정은, 각 셀-수-있는 순서-숫자에 대해, 초월유한 귀납법(transfinite induction)을 통해, 모든 가능한 셀-수-있는 합집합과 여집합을 "던져 넣고", 모든 $\,\omega _{1}\,$에 걸쳐 모든 그것들의 합집합을 취함으로써 집합을 정의하는 것과 관련됩니다.

Continuum hypothesis

Main article: Continuum hypothesis

See also: Beth number

실수(real number) 집합의 카디널리티(cardinality) (연속체의 카디널리티(cardinality of the continuum))는 $\,2^{\aleph _{0}}\,$입니다. 그것은 이 숫자가 알레프 숫자의 계층 구조에 정확하게 맞는 ZFC (선택의 공리(axiom of choice)로 증가된 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory))으로부터 결정될 수 없지만, 그것은 ZFC로부터 연속체 가설, CH가 다음 항등식과 동등하다는 것을 따릅니다.

$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}~$

CH는 카디널리티가 정수의 그것과 실수의 그것 엄격하게 사이에 있는 집합이 없다고 말합니다. CH는 ZFC와 독립적입니다: 그것은 해당 공리 시스템의 문맥 내에서 입증될 수도 없고 반증될 수도 없습니다 (ZFC가 일관적(consistent)이라는 조건 아래에 있습니다). CH가 ZFC와 일치한다는 것은 1940년 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)이 그것의 부정이 ZFC의 정리가 아님을 보여주었을 때 그에 의해 시연되었습니다. 그것이 ZFC와 독립적이라는 것은 1963년 폴 코언(Paul Cohen)가 반대로 CH 자체가 ZFC의 정리가 아니라는 것을 (당시-새로운) 강제화(forcing)의 방법에 의해 보여주었을 때 그에 의해 시연되었습니다.

Aleph-omega

알레프-오메가는 다음입니다:

$\aleph _{\omega }=\sup \,\{\,\aleph _{n}:n\in \omega \}=\sup \,\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\}~$

여기서 가장 작은 무한 순서-숫자는 ω로 표시됩니다. 즉, 세는-숫자 $\,\aleph _{\omega }\,$는 다음의 최소 위쪽 경계(least upper bound)입니다:

$\left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}~.$

$\,\aleph _{\omega }\,$는 체르멜로–프렝켈 집합 이론 내에 모든 실수(real number)의 집합의 카디널리티와 같지 않음을 시연할 수 있는 첫 번째 셀-수-없는 세는-숫자입니다; 임의의 양의 정수 n에 대해 우리는 $\,2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}~,$임을 일관되게 가정할 수 있고 게다가 $\,2^{\aleph _{0}}\,$가 우리가 원하는 만큼 크다는 것을 가정할 수 있습니다. 우리는 오직 $\,\aleph _{0}\,$에서 그것으로의 무경계진 함수가 있음을 의미하는 공끝도(cofinality) $\,\aleph _{0}\,$를 가진 특정 특수 세는-숫자를 설정하는 것을 피하기 위해 강제됩니다 (이스턴의 정리(Easton's theorem)를 참조하십시오).

Aleph-α for general α

임의적인 순서-숫자 $\,\alpha \,$에 대해 $\,\aleph _{\alpha }\,$를 정의하기 위해, 우리는 임의의 세는-숫자 $\,\rho \,$ 다음으로 더 큰 바른-순서(well-order)화된 세는-숫자 $\,\rho ^{+}\,$를 할당하는 다음수 세는-숫자 연산(successor cardinal operation)을 정의해야 합니다 (만약 선택의 공리(axiom of choice)가 유지되면, 이것은 다음의 더 큰 세는-숫자입니다).

우리는 그런-다음 알레프 숫자를 다음처럼 정의할 수 있습니다:

$\aleph _{0}=\omega$

$\aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}~$

그리고 λ에 대해, 무한 극한 순서-숫자(limit ordinal)를 정의할 수 있습니다:

$\aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }~.$

α-번체 무한 초기 순서-숫자(initial ordinal)는 $\omega _{\alpha }$로 쓰입니다. 그것의 카디널리티는 $\,\aleph _{\alpha }\,$로 쓰입니다. ZFC에서, 알레프 함수 $\,\aleph \,$는 순서-숫자에서 무한 세는-숫자로의 전단사입니다.

Fixed points of omega

임의의 순서-숫자에 대해 우리는 다읍을 가집니다:

$\alpha \leq \omega _{\alpha }~.$

많은 경우에서 $\omega _{\alpha }$는 α보다 엄격하게 더 큽니다. 예를 들어, 임의의 다음수 순서-숫자 α에 대해 이것이 유지됩니다. 어쨌든, 정규 함수에 대해 고정-점 보조정리 때문에, 오메가 함수의 고정된 점(fixed point)인 일부 극한 순서-숫자가 있습니다. 첫 번째는 다음 수열의 극한입니다:

$\omega ,\,\omega _{\omega },\,\omega _{\omega _{\omega }},\,\ldots ~.$

임의의 약하게 접근할-수-없는 세는-숫자(weakly inaccessible cardinal)는 역시 알레프 함수의 고정된 점입니다. 이것은 ZFC에서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $\,\kappa =\aleph _{\lambda }\,$가 약하게 접근할-수-없는 세는-숫자라고 가정합니다. 만약 $\lambda$가 다음수 순서-숫자(successor ordinal)이면, $\,\aleph _{\lambda }\,$는 다음수 세는-숫자일 것이고 따라서 약하게 접근할-수-없는 것이 아닙니다. 만약 $\,\lambda \,$가 $\,\kappa \,$보다 작은 극한 순서-숫자(limit ordinal)이면 그것의 공끝도 (및 따라서 $\aleph _{\lambda }$의 공끝도)는 $\,\kappa \,$보다 작을 것이고 따라서 $\,\kappa \,$는 정규가 아닐 것이고 따라서 약하게 접근할-수-없는 것이 아닙니다. 따라서 $\,\lambda \geq \kappa \,$이고 결론적으로 그것을 고정된 점으로 만드는 $\,\lambda =\kappa \,$입니다.

Role of axiom of choice

임의의 무한 순서-숫자(ordinal number)의 카디널리티는 하나의 알레프 숫자입니다. 모든 각 알레프는 일부 순서-숫자의 카디널리티입니다. 이들 중 가장 작은 것은 초기 순서-숫자(initial ordinal)입니다. 카디널리티가 알레프인 임의의 집합은 순서-숫자와 같게-많은(equinumerous) 것이고 따라서 바른-순서(well-order)가능입니다.

각 유한 집합(finite set)은 바른-순서가능이지만, 알레프를 그것의 카디널리티로 가지지 않습니다.

각 무한 집합(infinite set)의 카디널리티가 알레프 숫자라는 가정은 ZF에 걸쳐 모든 각 집합의 바른-순서화의 존재와 동등하며, 이것은 차례로 선택의 공리(axiom of choice)와 동등합니다. 선택의 공리를 포함하는 ZFC 집합 이론은 모든 각 무한 집합이 알레프 숫자를 그것의 카디널리티로 가지고 (즉, 초기 순서-숫자와 같게-많음), 따라서 알레프 숫자의 초기 순서-숫자가 모든 가능한 무한 세는-숫자에 대해 대표의 클래스 역할을 한다는 것을 의미합니다.

카디널리티가 ZF에서 선택의 공리없이 연구될 때, 각 무한 집합이 어떤 알레프 숫자를 그것의 카디널리티로 갖는다는 것을 더 이상 증명할 수 없습니다; 카디널리티가 알레프 숫자인 집합은 정확하게 바른-순서화될 수 있는 무한 집합입니다. 스콧의 트릭(Scott's trick)의 방법은 때때로 ZF의 설정에서 세는-숫자에 대해 대표를 구성하는 대안적인 방법으로 사용됩니다. 예를 들어, 우리가 card(S) 를 최소 가능한 랭크의 S와 같은 카디널리티를 가진 집합의 집합으로 정의할 수 있습니다. 이것은 card(S) = card(T) 인 것과 S와 T가 같은 카디널리티를 갖는 것은 필요충분 조건이라는 속성을 가집니다. (집합 card(S) 는 일반적으로 S와 같은 카디널리티를 갖지 않지만, 모든 그것의 원소는 그렇습니다.)

See also

• Beth number
• Gimel function
• Regular cardinal
• Transfinite number
• Ordinal number

External links

• "Aleph-zero", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Aleph-0". MathWorld.