Algebraic function

수학(mathematics)에서, 대수적 함수(algebraic function)는 다항 방정식의 근(root of a polynomial equation)으로 정의될 수 있는 함수(function)입니다. 꽤 종종 대수적 함수는 오직 대수적 연산(algebraic operations) 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 및 분수의 거듭제곱에 올리는 것을 포함하는 항의 유한 숫자를 사용하는 대수적 표현(algebraic expression)입니다. 그러한 함수의 예제는 다음입니다:

$f(x)=1/x$
$f(x)={\sqrt {x}}$
$f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}$

일부 대수적 함수는, 어쨌든, 그러한 유한 표현에 의해 표현될 수 없습니다 (이것이 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)입니다). 이것은, 예를 들어, 브링 제곱근(Bring radical)에 대한 경우이며, 이것은 다음에 의해 암시적(implicitly)으로 정의된 함수입니다:

f(x)^{5}+f(x)+x=0

.

보다 정확한 용어에서, 한 변수 $x$ 에서 차수 $n$ 의 대수적 함수는 그것의 도메인(domain)에서 연속이고 다음 다항 방정식(polynomial equation)을 만족시키는 함수 $y=f(x)$ 입니다:

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0

여기서 계수 $a i (x)$ 는 정수 계수를 갖는 $x$ 의 다항 함수(polynomial function)입니다. 함수의 같은 집합은 만약 대수적 숫자(algebraic numbers)가 $a i (x)$ 의 계수에 대해 인정되면 획득됨을 볼 수 있습니다. 초월적 숫자(transcendental number)는 함수가, 일반적으로, 대수적은 아니지만, 그것이 이들 계수에 의해 필드에 걸쳐 대수적인 계수에서 발생합니다.

유리수(rational number)에서, 및 보다 일반적으로 대수적 숫자(algebraic number)에서 대수적 함수의 값은 항상 대수적 숫자입니다. 때때로, 링(ring) $R$ 에 걸쳐 다항식인 계수 $a_{i}(x)$ 가 고려되고, 우리는 그런-다음 " $R$ 에 걸쳐 대수적 함수"에 대해 얘기합니다.

대수적이 아닌 함수는 초월적 함수(transcendental function)라고 불리는데, 왜냐하면 그것은 예를 들어 $\exp(x),\tan(x),\ln(x),\Gamma (x)$ 의 경우이기 때문입니다. 초월적 함수의 합성은 대수적 함수: $f(x)=\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$ 를 제공합니다.

차수 n의 방정식은 n 근을 가지므로, 다항 방정식은 단일 함수를 암시적으로 정의하지 않지만, n 함수, 때때로 가지(branches)라고 역시 불립니다. 단위 원(unit circle)의 방정식을 예를 들어 생각해 보십시오: $y^{2}+x^{2}=1.\,$

이것은 오직 모든-부분에서 부호까지(up to)를 제외하고 y를 결정합니다; 그에 따라서, 그것은 두 가지를 가집니다: $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,$

m 변수에서 대수적 함수는 m + 1 변수에서 다항 방정식을 푸는 함수 $y=f(x_{1},\dots ,x_{m})$ 로 비슷하게 정의됩니다:

p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.\,

통상적으로 p는 기약 다항식(irreducible polynomial)이어야 한다고 가정합니다. 대수적 함수의 존재는 그런-다음 암시적 함수 정리(implicit function theorem)에 의해 보장됩니다.

공식적으로, 필드(field) K에 걸쳐 m 변수에서 대수적 함수는 유리 함수(rational function) K(x₁,...,x_m)의 필드의 대수적 클로저(algebraic closure)의 원소입니다.

Algebraic functions in one variable

Introduction and overview

대수적 함수의 비공식적 정의는 그들의 속성에 대한 여러 가지 단서를 제공합니다. 직관적 이해를 얻기 위해, 대수적 함수를 보통의 대수적 연산(algebraic operations): 덧셈(addition), 곱셈(multiplication), 나눗셈(division), 및 n번째 근(nth root)을 취하는 것에 의해 형성될 수 있는 함수로 여기는 것이 도움이 될 수 있습니다. 이것은 지나치게 단순화된 것입니다; 갈루아 이론의 기본 정리(fundamental theorem of Galois theory)로 인해, 대수적 함수는 제곱근에 의해 표현될 필요는 없습니다.

먼저, 임의의 다항 함수(polynomial function) $y=p(x)$ 는 대수적 함수인데, 왜냐하면 그것은 다음 방정식에 대한 해 y이기 때문임을 주목하십시오:

y-p(x)=0.\,

보다 일반적으로, 임의의 유리 함수(rational function) $y={\frac {p(x)}{q(x)}}$ 는, 다음에 대한 해가 있는, 대수적입니다:

q(x)y-p(x)=0.

게다가, 임의의 다항식 $y={\sqrt[{n}]{p(x)}}$ 의 n번째 근은, 다음 방정식을 푸는, 대수적 함수입니다:

y^{n}-p(x)=0.

놀랍게도, 대수적 함수의 역함수(inverse function)는 대수적 함수입니다. x의 각 값에 대해 y가 다음 방정식에 대한 해라는 가정에 대해,

a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,

x는 역시 y의 각 값에 대해 이 방정식의 해입니다. 사실, x와 y의 역할을 서로 바꾸고 항을 모우면,

b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.

x를 y의 함수로 쓰면 역함수를 제공하며, 역시 대수적 함수입니다.

어쨌든, 모든 각 함수가 역을 가지는 것은 아닙니다. 예를 들어 y = x²는 수평 직선 테스트(horizontal line test)에 실패합니다; 그것은 일-대-일(one-to-one)이 아닙니다. 그 역은 대수적 "함수" $x=\pm {\sqrt {y}}$ 입니다. 이것을 이해하는 또 다른 방법은 대수적 함수를 정의하는 다항 방정식의 가지의 집합이 대수적 곡선(algebraic curve)의 그래프라는 것입니다.

The role of complex numbers

대수적 관점에서 볼 때, 복소수는 대수적 함수의 연구에 자연스럽게 들어갑니다. 무엇보다도 먼저, 대수학의 기본 정리(fundamental theorem of algebra)에 의해, 복소수는 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed field)입니다. 따라서 임의의 다항식 관계 p(y, x) = 0은 각 점 x에서 y에 대해 y에 대해 적어도 하나의 해 (및 일반적으로 y에서 p의 차수를 초과하지 않는 해의 숫자)을 갖도록 보장되며, 우리는 y를 실수 값뿐만 아니라 복소수를 가정할 수 있다는 조건으로 합니다. 따라서, 대수적 함수의 도메인(domain)과 관련된 문제는 안전하게 최소화될 수 있습니다.

A graph of three branches of the algebraic function y, where y³ − xy + 1 = 0, over the domain 3/2^2/3 < x < 50.

게다가, 심지어 우리가 실수 대수적 함수에 궁극적으로 관심이 있더라도, 복소수에 의지함없이, 덧셈, 곱셈, 나눗셈 및 n번째 근을 취함의 관점에서 함수를 표현할 수단이 없을 수 있습니다 (기약 경우(casus irreducibilis)를 참조하십시오). 예를 들어, 다음 방정식에 의해 결정된 대수적 함수를 생각해 보십시오:

y^{3}-xy+1=0.\,

삼차 공식(cubic formula)을 사용하여, 우리는 다음을 얻습니다:

y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.

$x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}}$ 에 대해, 제곱근은 실수이고 세제곱근은 따라서 잘 정의되며, 고유한 실수 근을 제공합니다. 다른 한편으로, $x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}}$ 에 대해, 제곱근은 실수가 아니고, 우리는, 제곱근에 대해, 비-실수 제곱근 중 하나를 선택해야 합니다. 따라서 세제곱근은 세 비-실수 사이에서 선택되어야 합니다. 만약 같은 선택이 공식의 두 항에서 행해지면, 세제곱근에 대해 세 선택은 함께 제공되는 이미지에 표시된 세 가지를 제공합니다.

심지어 결과 함수가 표시된 그래프의 도메인 위에 실수-값일지라도, 오직 실수를 사용하여 n번째 근의 관점에서 이 함수를 표현하기 위한 방법이 없다는 것이 입증될 수 있습니다.

보다 중요한 이론적 수준에서, 복소수를 사용하면 복소 해석학(complex analysis)의 강력한 기술을 대수적 함수를 논의하기 위해 사용할 수 있습니다. 특히, 편각 원리(argument principle)는 임의의 대수적 함수가, 적어도 다중-값 의미에서, 실제로 해석적 함수(analytic function)라는 것을 보여주기 위해 사용될 수 있습니다.

공식적으로, p(x, y)를 복소 변수 x와 y에서 복소 다항식으로 놓습니다. x₀ ∈ C가 y의 다항식 p(x₀,y)가 n 구별되는 영을 가짐을 만족하는 것임을 가정하십시오. 우리는 대수적 함수가 x₀의 이웃에서 해석적임을 보여줄 것입니다. 이들 영의 각각을 포함하는 n 겹치지-않는 디스크 Δ_i의 시스템을 선택하십시오. 그런-다음 편각 원리에 의해

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.

연속성에 의해, 이것은 x₀의 이웃에서 모든 x에 대해 역시 유지됩니다. 특히, p(x,y)는 잔여 정리(residue theorem)에 의해 주어진 Δ_i에서 오직 하나의 근을 가집니다.

f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy

이것은 해석적 함수입니다.

Monodromy

앞서-말한 해석성의 증명은 x가 p(x, y)의 임계점(critical point)이 아니라는 조건으로 하여, n 다른 함수 원소(function elements) f_i(x)의 시스템에 대해 표현을 유도했음을 주목하십시오. 임계점은 구별되는 영의 숫자가 p의 차수보다 작은 점이고, 이것은 p의 최고 차수 항이 사라지고, 판별식(discriminant)이 사라지는 경우에 오직 발생합니다. 따라서 오직 유한하게 많은 그러한 점 c₁, ..., c_m이 존재합니다.

임계점 근처의 함수 원소 f_i의 속성의 면밀한 해석은 모노드로미 덮개(monodromy cover)가 임계점 (및 가능한 무한대에서 점(point at infinity))에 걸쳐 분기되는(ramified) 것을 보여주기 위해 사용될 수 있습니다. 따라서 f_i의 정칙 확장은 최악의 대수적 극점과 임계점에 걸쳐 보통의 대수적 가지를 가집니다.

임계점에서 멀어지면, 우리는 다음을 가짐을 주목하십시오:

p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))

왜냐하면 f_i는 정의에 의해 p의 구별되는 영입니다. 모노드로미 그룹(monodromy group)은 인수를 순열함으로써 작용하고, 따라서 p의 갈루아 그룹(Galois group)의 모노드로미 표시(monodromy representation)를 형성합니다. (보편적인 덮는 공간(universal covering space) 위에 모노드로미 작용(monodromy action)은 리만 곡면의 이론에서 관련되지만 다른 개념입니다.)

History

대수적 함수를 둘러싼 아이디어는 적어도 르네 데카르트(René Descartes)까지 거슬러 올라갑니다. 대수적 함수에 대한 첫 번째 토론은 에드워드 웨어링(Edward Waring)의 1794년 An Essay on the Principles of Human Knowledge에 있었던 것으로 보이며, 이것에서 그는 다음과 같이 씁니다:

세로좌표를 나타내는 양을, 가로좌표 x의 대수적 함수로 놓고, 근을 분할 및 추출하는 공통적인 방법에 의해, x의 차원에 따라 오름차순 또는 내림차순으로 그것을 줄이고, 그런-다음 결과 항의 각각의 정수를 찾으십시오.

References

Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill.
van der Waerden, B.L. (1931). Modern Algebra, Volume II. Springer.

External links

Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math
Weisstein, Eric W. "Algebraic Function". MathWorld.
Algebraic Function at PlanetMath.org.
Definition of "Algebraic function" in David J. Darling's Internet Encyclopedia of Science