Medial triangle

삼각형(triangle) ABC의 중앙 삼각형(medial triangle) 또는 중점 삼각형(midpoint triangle)은 삼각형의 변 AB, AC, 및 BC의 중간점(midpoint)에 꼭짓점(vertices)을 갖는 삼각형입니다. 그것은 n 변을 갖는 다각형(polygon)의 중간점 다각형(midpoint polygon)의 n=3 경우입니다. 중점 삼각형은 중앙선 삼각형(median triangle)과 같은 것이 아니며, 중앙선 삼각형은 그것의 변이 ABC의 중앙선(medians)과 같은 길이를 갖는 삼각형입니다.

중점 삼각형의 각 변은 중간-선분(midsegment) 또는 중간-직선(midline)이라고 불립니다. 일반적으로, 삼각형의 중간-선분은 삼각형의 두 변의 중간점을 연결하는 선분입니다. 그것은 세 번째 변과 평행하고 세 번째 변의 길이의 절반과 같은 길이를 가집니다.

Properties

M: circumcenter of $\triangle ABC$ , orthocenter of $\triangle DEF$
N: incenter of $\triangle ABC$ , Nagel point of $\triangle DEF$
S: centroid of $\triangle ABC$ and $\triangle DEF$

중점 삼각형은 역시 비율 -1/2를 갖는 도형중심(centroid)에 중심을 둔 중심-닮음(homothety)에 의해 변환된 삼각형 ABC의 이미지로 보일 수 있습니다. 따라서, 중점 삼각형의 변은 삼각형 ABC의 대응하는 변에 대해 절반이고 평행합니다. 그러므로, 중점 삼각형은 반대로 닮음(similar)이고 삼각형 ABC와 같은 도형중심과 중앙선(medians)을 공유합니다. 이로부터 중점 삼각형의 둘레(perimeter)는 삼각형 ABC의 반둘레(semiperimeter)와 같고, 넓이(area)는 삼각형 ABC의 넓이의 1/4과 같음이 따라옵니다. 게다가, 원래 삼각형이 중점 삼각형으로 분할되는 네 개의 삼각형은 모두 SSS에 의해 서로 합동(congruent)이므로, 그것들의 넓이가 같고 따라서 각각의 넓이는 원래 삼각형 넓이의 1/4입니다.^[1]^: p.177

중점 삼각형의 직교중심(orthocenter)은 삼각형 ABC의 둘레중심(circumcenter)과 일치합니다. 이 사실은 둘레중심, 도형중심, 및 직교중심의 공선성(collinearity)을 증명하는 도구를 제공합니다. 중점 삼각형은 둘레중심의 페달 삼각형(pedal triangle)입니다. 아홉-점 원(nine-point circle)은 중점 삼각형을 둘레접하고, 따라서 아홉-점 중심은 중점 삼각형의 둘레중심입니다.

중점 삼각형의 나겔 점(Nagel point)은 그것의 참조 삼각형의 내중심(incenter)입니다.^[2]^{: p.161, Thm.337}

참조 삼각형의 중점 삼각형은 그것의 꼭짓점이 참조 삼각형의 직교중심(orthocenter)과 그것의 꼭짓점 사이의 중점인 삼각형과 합동(congruent)입니다.^[2]^{: p.103, #206, p.108, #1}

삼각형의 내중심(incenter)은 그것의 중점 삼각형 안에 놓입니다.^[3]^{: p.233, Lemma 1}

삼각형의 내부에 있는 한 점이 그 삼각형의 내타원(inellipse)의 중심인 것과 그 점이 중점 삼각형의 내부에 놓이는 것은 필요충분 조건입니다.^[4]^: p.139

중점 삼각형은 다른 셋의 내부 삼각형 중 어느 것도 더 작은 넓이를 가지지 않는 유일한 내접된 삼각형(inscribed triangle)입니다.^[5]^{: p. 137}

참조 삼각형과 그것의 중점 삼각형은 직교-논리 삼각형(orthologic triangles)입니다.

Coordinates

a = |BC|, b = |CA|, 및 c = |AB|를 삼각형 ABC의 변길이로 놓습니다. 중점 삼각형의 꼭짓점에 대해 삼선형 좌표(Trilinear coordinates)는 다음에 의해 제공됩니다:

X = 0 : 1/b : 1/c
Y = 1/a : 0 : 1/c
Z = 1/a : 1/b : 0

Anticomplementary triangle

만약 XYZ가 ABC의 중앙 삼각형이면, ABC는 XYZ의 역보완 삼각형(anticomplementary triangle) 또는 역중앙 삼각형(antimedial triangle)입니다. ABC의 역보완 삼각형은 ABC의 변에 평행한 세 직선: C를 통과하는 AB에 평행, B를 통과하는 CA에 평행, 및 A를 통과하는 BC에 평행한 직선에 의해 형성됩니다.

역보완 삼각형, X'Y'Z'의 꼭짓점에 대해 삼선형 좌표(Trilinear coordinates)는 다음에 의해 제공됩니다:

X' = −1/a : 1/b : 1/c
Y' = 1/a : −1/b : 1/c
Z' = 1/a : 1/b : −1/c

이름 "역보완 삼각형"은 그것의 꼭짓점이 참조 삼각형의 꼭짓점 A, B, C의 역보완이라는 사실에 해당합니다. 중점 삼각형의 꼭짓점은 A, B, C의 보완입니다.

References

^ Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.
^ ^a ^b Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover Publications, 2007.
^ Franzsen, William N.. "The distance from the incenter to the Euler line", Forum Geometricorum 11 (2011): 231–236.
^ Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.
^ Torrejon, Ricardo M. "On an Erdos inscribed triangle inequality", Forum Geometricorum 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html

External links

[PL-1] Posamentier, Alfred S., and Lehmann, Ingmar. The Secrets of Triangles, Prometheus Books, 2012.

[ac-2] Altshiller-Court, Nathan. College Geometry. Dover Publications, 2007.

[Franzsen-3] Franzsen, William N.. "The distance from the incenter to the Euler line", Forum Geometricorum 11 (2011): 231–236.

[Chakerian-4] Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.

[Torrejon-5] Torrejon, Ricardo M. "On an Erdos inscribed triangle inequality", Forum Geometricorum 5, 2005, 137–141. http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200519index.html

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Properties

Coordinates

Anticomplementary triangle

See also

References

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