Analytic function

수학(mathematics)에서, 해석적 함수(analytic function)는 수렴하는(convergent) 거듭제곱 급수(power series)에 의해 지역적으로 제공되는 함수(function)입니다. 실 해석적 함수(real analytic functions)와 복소 해석적 함수(complex analytic functions) 둘 다가 존재합니다. 각 유형의 함수는 무한하게 미분-가능(infinitely differentiable)이지만, 복소 해석적 함수는 실 해석적 함수에 대해 일반적으로 유지되지 않는 속성을 나타냅니다. 함수가 해석적인 것과 x₀에 대한 그것의 테일러 급수(Taylor series)가 그것의 도메인(domain) 안의 모든 각 x₀에 대해 일부 이웃(neighborhood)에서 함수로 수렴하는 것은 필요충분 조건입니다.

Definitions

공식적으로, 함수 $f$ 는 만약 임의의 $x_{0}\in D$ 에 대해 우리가 다음을 쓸 수 있으면 실수 직선(real line)에서 열린 집합(open set) $D$ 위에 실 해석적입니다:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots

이것에서 계수 $a_{0},a_{1},\dots$ 가 실수이고 급수(series)가 $x_{0}$ 의 이웃에서 $x$ 에 대해 $f(x)$ 로 수렴(convergent)합니다.

대안적으로, 실 해석적 함수는 그것의 도메인에서 임의의 점 $x_{0}$ 에서 다음 테일러 급수(Taylor series)가

T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}

점별(pointwise) $x_{0}$ 의 이웃에서 $x$ 에 대해 $f(x)$ 로 수렴하는 것을 만족하는 무한하게 미분-가능 함수(infinitely differentiable function)입니다.^[a] 주어진 집합 $D$ 위에 모든 실 해석적 함수의 집합은 종종 $C^{\,\omega }(D)$ 로 표시됩니다.

실수 직선의 일부 부분집합 위에 정의된 함수 $f$ 는 만약 $f$ 가 실 해석적인 $x$ 의 이웃 $D$ 가 있으면 점 $x$ 에서 실 해석적으로 말합니다.

복소 해석적 함수의 정의는, 위의 정의에서, "실"을 "복소" 및 "실수 직선"을 "복소 평면"으로 대체함으로써 얻습니다. 함수가 복소 해석적인 것과 그것이 정칙(holomorphic), 즉, 그것이 복소 미분-가능인 것은 필요충분 조건입니다. 이런 이유로, 용어 "정칙"과 "해석적"은 종종 그러한 함수에 대해 교환-가능하게 사용됩니다.^[1]

Examples

해석적 함수의 전형적인 예제는 다음입니다:

모든 기본 함수(elementary function):
- 모든 다항식(polynomial): 만약 다항식이 차수 n을 가지면, 그것의 테일러 전개에서 n보다 큰 차수의 임의의 항은 즉시 0으로 사라지고, 따라서 이 급수는 자명적으로 수렴일 것입니다. 게다가, 모든 각 다항식은 자체의 매클로린 급수(Maclaurin series)입니다.
- 지수 함수(exponential function)는 해석적입니다. 이 함수에 대해 임의의 테일러 급수는 (정의에서 처럼) x₀에 충분히 가까운 x에 대한 것뿐만 아니라 x (실수 또는 복소수)의 모든 값에 대해 수렴입니다.
- 삼각 함수(trigonometric function), 로그(logarithm), 및 거듭제곱 함수(power functions)는 그것들의 도메인의 임의의 열린 집합 위에 해석적입니다.
대부분 특수 함수(special function) (적어도 복소 평면의 일부 범위에서):

해석적이 아닌 함수의 전형적인 예제는 다음입니다:

실수 또는 복소수의 집합 위에 정의될 때 절댓값(absolute value) 함수는 어디에나 해석적이 아닌데 왜냐하면 그것은 0에서 미분-가능이 아니기 때문입니다. 조각별 정의된(Piecewise defined) 함수 (다른 범위에서 다른 공식에 의해 주어진 함수)는 전형적으로 조각이 만나는 곳에서 해석적이지 않습니다.
복소 켤레(complex conjugate) 함수 z → z*는 비록 실수 직선으로 그것의 제한이 항등 함수이고 따라서 실 해석적이고, 그것이 $\mathbb {R} ^{2}$ 에서 $\mathbb {R} ^{2}$ 로의 함수로 실 해석적일지라도, 복소 해석적이 아닙니다.
다른 비-해석적 매끄러운 함수(non-analytic smooth function), 및 특히 컴팩트 지원을 갖는 임의의 매끄러운 함수, 즉, $f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ 는 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 해석적일 수 없습니다.^[2]

Alternative characterizations

다음 조건은 동등합니다:

1. $f$ 가 열린 집합 $D$ 위에 실 해석적입니다.

2. $D$ 를 포함하는 열린 집합 $G\subset \mathbb {C}$ 으로 $f$ 의 복소 해석적 확장이 있습니다.

3. $f$ 가 실수 매끄러운 것이고 모든 각 $x\in K$ 와 모든 각 비-음의 정수 $k$ 에 대해 다음 경계가 유지되는 것을 만족하는 모든 각 컴팩트 집합(compact set) $K\subset D$ 에 대해 상수 $C$ 가 존재합니다:^[3]

\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq C^{k+1}k!

복소 해석적 함수는 정칙 함수(holomorphic functions)와 정확하게 동등하고, 따라서 월씬 더 쉽게 특성화됩니다.

여러 변수를 갖는 해석적 함수의 경우에 대해 (아래를 참조), 실 해석성은 푸리에-브로스-이아고니처 변환(Fourier–Bros–Iagolnitzer transform)를 사용하여 특성화될 수 있습니다.

다변수 경우에서, 실 해석적 함수는 세 번째 특성화의 직접 일반화를 만족시킵니다.^[4] $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ 를 열린 집합으로 놓고, $f:U\to \mathbb {R}$ 라고 놓습니다.

그런-다음 $f$ 는 $U$ 위에 실 해석적인 것과 $f\in C^{\infty }(U)$ 와 모든 각 다중-인덱스 $\alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{n}$ 에 대해 다음 경계가 유지되는 것을 만족하는 모든 각 컴팩트 $K\subseteq U$ 에 대해 상수 $C$ 가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다:^[5]

\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right|\leq C^{|\alpha |+1}\alpha !

Properties of analytic functions

해석적 함수의 합, 곱, 및 합성(compositions)은 해석적입니다.
어디에도 영이 아닌 해석적 함수의 역수(reciprocal)는, 그것의 도함수(derivative)가 어디에나 영이 아닌 역가능 해석적 함수의 역에서 처럼, 해석적입니다. (역시 라그랑주 역 정리(Lagrange inversion theorem)를 참조하십시오.)
임의의 해석적 함수는 매끄러운(smooth) 것, 즉, 무한하게 미분-가능입니다. 그 전환은 실 함수에 대해 참이 아닌니다; 사실, 어떤 의미에서, 실 해석적 함수는 모든 실수 무한하게 미분-가능 함수와 비교하여 희소합니다. 복소수에 대해, 그 전환은 유효하고, 실제로 열린 집합 위에 한번 미분가능 임의의 함수는 해당 집합 위에 해석적입니다 (아래의 "해석성과 미분가능성"을 참조하십시오).
임의의 열린 집합(open set) Ω ⊆ C에 대해, 모든 해석적 함수 u : Ω → C의 집합 A(Ω)는 컴팩트 집합 위에 균등 수렴에 관한 프레셰 공간(Fréchet space)입니다. 해석적 함수의 컴팩트 집합 위에 균등 극한이 해석적이라는 사실은 모레라 정리(Morera's theorem)의 쉬운 결과입니다. 상한 노름(supremum norm)을 갖는 모든 경계진(bounded) 해석적 함수의 집합 $\scriptstyle A_{\infty }(\Omega )$ 는 바나흐 공간(Banach space)입니다.

다항식은 만약 그것이 영 다항식이 아니 한 너무 많은 점에서 영이 될 수 없습니다 (보다 정확하게, 영들의 숫자는 많아야 다항식의 차수입니다). 유사하지만 더 약한 명제가 해석적 함수에 대해 유지됩니다. 만약 해석적 함수 ƒ의 영들의 집합은 그것의 도메인(domain) 내부에 누적 점(accumulation point)을 가지면, ƒ는 누적 점을 포함하는 연결된 성분(connected component) 위의 모든 곳에서 영입니다. 달리 말해서, 만약 (r_n)이 모든 n에 대해 ƒ(r_n) = 0을 만족하는 구별되는 숫자의 수열(sequence)이고 이 수열이 D의 도메인에서 점 r로 수렴(converges)하면, ƒ는 r을 포함하는 D의 연결된 성분 위에 동일하게 영입니다. 이것은 영구성의 원리(Principle of Permanence)로 알려져 있습니다.

역시, 만약 점에서 해석적 함수의 도함수는 영이면, 그 함수는 해당하는 연결된 성분 위에 상수입니다.

이들 명제는 해석적 함수가 다항식보다 더 높은 자유도(degrees of freedom)를 가지지만, 그것들은 여전히 꽤 강직하다는 것을 의미합니다.

Analyticity and differentiability

위에서 언급했듯이, 임의의 해석적 함수 (실수 또는 복소수)는 무한하게 미분-가능입니다 (역시 매끄러움, 또는 C^∞으로 알려져 있습니다). (이 미분가능성은 실수 변수의 의미에 있음을 주목하십시오; 아래의 복소 도함수를 비교하십시오.) 해석적이 아닌 매끄러운 실수 함수가 존재합니다: 비-해석적 매끄러운 함수(non-analytic smooth function)를 참조하십시오. 실제로 많은 그러한 함수가 있습니다.

우리가 복소 해석적 함수와 복소 도함수를 고려할 때 상황은 꽤 다릅니다. 열린 집합에서 (복소수 의미에서) 미분-가능 임의의 복소 함수는 해석적이라는 것을 입증할 수 있습니다. 결과적으로, 복소 해석학(complex analysis)에서, 용어 해석석 함수는 정칙 함수(holomorphic function)와 동의어입니다.

Real versus complex analytic functions

실수 및 복소 해석적 함수는 중요한 차이점을 가집니다 (우리는 미분가능성과의 다른 관계에서도 알아차릴 수 있습니다). 복소 함수의 해석성은 더 제한적인 속성인데, 왜냐하면 그것은 보다 제한적인 필요한 조건을 가지고 복소 해석적 함수가 실수-직선 짝보다 더 많은 구조를 가지고 있기 때문입니다.^[6]

리우빌의 정리(Liouville's theorem)에 따르면, 전체 복소 평면 위에 정의된 임의의 경계진 복소 해석적 함수는 상수입니다. 복소 평면이 실수 직선으로 대체된 실 해석적 함수에 대해 해당하는 명제는 분명히 거짓입니다; 이것은 다음에 의해 설명됩니다:

f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.

역시, 만약 복소 해석적 함수가 점 x₀를 중심으로 열린 볼(ball) 안에 정의되면, x₀에서 그것의 거듭제곱 급수 전개는 전체 열린 볼 안에 수렴입니다 (정칙 함수는 해석적입니다(holomorphic functions are analytic)). (복소 평면의 열린 디스크(disk)가 아닌 실수 직선의 열린 구간(interval)을 의미하는 열린 볼과 함께) 실 해석적 함수에 대해 이 명제는 일반적으로 참이 아닙니다; 위의 예제의 함수는 x₀ = 0과 1을 초과하는 반지름의 볼에 대해 예제를 제공하는데, 왜냐하면 거듭제곱 급수 1 − x² + x⁴ − x⁶...는 |x| ≥ 1에 대해 발산합니다.

실수 직선 위의 일부 열린 집합(open set)에 대한 임의의 실 해석적 함수는 복소 평면의 일부 열린 집합에 대한 복소 해석적 함수로 확장될 수 있습니다. 어쨌든, 전체 실수 직선 위에 정의된 모든 각 실 해석적 함수가 전체 복합 평면 위에 정의된 복소 함수로 확장될 수 있는 것은 아닙니다. 위의 절에서 정의된 함수 ƒ(x)는 반대예제인데, 왜냐하면 그것은 x = ±i에 대해 정의되지 않기 때문입니다. 이것은 ƒ(x)의 테일러 급수가 |x| > 1에 대해 발산하는 이유를 설명합니다. 즉, 수렴의 반지름(radius of convergence)은 1이데 왜냐하면 복소필드 함수가 평가 점 0에서 거리 1에 극(pole)을 가지고 평가 점을 중심으로 반지름 1의 열린 디스크 안에 더 이상 극이 없기 때문입니다.