수학(mathematics) 에서, 부피 원소 (volume element )는 구형 좌표(spherical coordinates) 및 원통형 좌표(cylindrical coordinates) 와 같은 다양한 좌표 시스템에서 부피(volume) 에 관한 함수(function) 를 적분 하는 데 수단을 제공합니다. 따라서 부피 원소는 다음 형식의 표현입니다:
d
V
=
ρ
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
d
u
1
d
u
2
d
u
3
{\displaystyle \mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}
여기서
u
i
{\displaystyle u_{i}}
B
{\displaystyle B}
Volume
(
B
)
=
∫
B
ρ
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
d
u
1
d
u
2
d
u
3
.
{\displaystyle \operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}
예를 들어, 구형 좌표에서
d
V
=
u
1
2
sin
u
2
d
u
1
d
u
2
d
u
3
{\displaystyle \mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}}
ρ
=
u
1
2
sin
u
2
{\displaystyle \rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}}
부피 원소의 개념은 3차원으로 제한되지 않습니다: 2차원에서 그것은 종종 넓이 원소 (area element )로 알려져 있고, 이 설정에서 그것은 표면 적분(surface integrals) 을 수행하는 데 유용합니다. 좌표의 변경 아래에서, 부피 원소는 (변수 변경의 공식 에 의해) 좌표 변환의 야코비 행렬식(Jacobian determinant) 의 절댓값에 의해 변경됩니다. 이 사실은 부피 원소가 매니폴드(manifold) 위에 일종의 측정(measure) 으로 정의될 수 있도록 합니다. 방향-가능 미분-가능 매니폴드 위에, 부피 원소는 전형적으로 부피 형식(volume form) : 최고 차수 미분 형식(differential form) 에서 발생합니다. 비-방향가능 매니폴드 위에, 부피 원소는 전형적으로 (지역적으로 정의된) 부피 형식의 절댓값 입니다: 그것은 1-밀도(1-density) 를 정의합니다.
Volume element in Euclidean space 유클리드 공간(Euclidean space) 에서, 부피 원소는 다음과 같이 데카르트 좌표의 미분의 곱으로 제공됩니다:
d
V
=
d
x
d
y
d
z
.
{\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.}
형식
x
=
x
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle x=x(u_{1},u_{2},u_{3})}
y
=
y
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle y=y(u_{1},u_{2},u_{3})}
z
=
z
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
{\displaystyle z=z(u_{1},u_{2},u_{3})}
야코비 (행렬식)에 의해 변경 됩니다:
d
V
=
|
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
|
d
u
1
d
u
2
d
u
3
.
{\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.}
예를 들어, 구형 좌표에서 (수학적 관례)
x
=
ρ
cos
θ
sin
ϕ
y
=
ρ
sin
θ
sin
ϕ
z
=
ρ
cos
ϕ
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}
야코비 행렬식은 다음과 같습니다:
|
∂
(
x
,
y
,
z
)
∂
(
ρ
,
θ
,
ϕ
)
|
=
ρ
2
sin
ϕ
{\displaystyle \left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi }
이때,
d
V
=
ρ
2
sin
ϕ
d
ρ
d
θ
d
ϕ
.
{\displaystyle \mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .}
이는 미분 형식이 당김
F
∗
{\displaystyle F^{*}}
F
∗
(
u
d
y
1
∧
⋯
∧
d
y
n
)
=
(
u
∘
F
)
det
(
∂
F
j
∂
x
i
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
{\displaystyle F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}
Volume element of a linear subspace 다음과 같은 선형적으로 독립(linearly independent) 벡터의 모음에 의해 스팬되는 n- 차원 유클리드 공간(Euclidean space) R n 선형 부분공간(linear subspace) 을 생각해 보십시오:
X
1
,
…
,
X
k
.
{\displaystyle X_{1},\dots ,X_{k}.}
부분공간의 부피 원소를 찾기 위해,
X
i
{\displaystyle X_{i}}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
그람 행렬(Gramian matrix) 의 행렬식(determinant) 의 제곱근이라는 선형 대수로부터 사실을 아는 것이 유용합니다.
det
(
X
i
⋅
X
j
)
i
,
j
=
1
…
k
.
{\displaystyle {\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.}
부분공간에서 임의의 점
p
{\displaystyle p}
(
u
1
,
u
2
,
…
,
u
k
)
{\displaystyle (u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})}
p
=
u
1
X
1
+
⋯
+
u
k
X
k
.
{\displaystyle p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.}
점
p
{\displaystyle p}
d
u
i
{\displaystyle \mathrm {d} u_{i}}
det
(
(
d
u
i
X
i
)
⋅
(
d
u
j
X
j
)
)
i
,
j
=
1
…
k
=
det
(
X
i
⋅
X
j
)
i
,
j
=
1
…
k
d
u
1
d
u
2
⋯
d
u
k
.
{\displaystyle {\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.}
그러므로 이것은 선형 부분공간에서 부피 형식을 정의합니다.
Volume element of manifolds 차원 n 의 방향화된 리만 매니폴드(Riemannian manifold) 위에, 부피 원소는 단위 상수, 함수
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
호지 이중(Hodge dual) 과 같은 부피 형식입니다:
ω
=
⋆
1.
{\displaystyle \omega =\star 1.}
동등하게, 부피 원소는 정확히 레비-치비타 텐서(Levi-Civita tensor)
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
[1]
ω
=
ϵ
=
|
det
g
|
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
n
{\displaystyle \omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}}
det
g
{\displaystyle \det g}
메트릭 텐서(metric tensor) g 의 행렬식(determinant) 입니다.
Area element of a surface 부피 원소의 간단한 예제는 n- 차원 유클리드 공간(Euclidean space) 에 삽입된 2-차원 표면을 고려함으로써 탐색할 수 있습니다. 그러한 부피 원소는 때때로 넓이 원소 (area element )라고 불립니다. 부분집합
U
⊂
R
2
{\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
φ
:
U
→
R
n
{\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}
2-차원에서, 부피는 넓이일 뿐이고, 부피 원소는 표면 부분의 넓이를 결정하기 위한 방법을 제공합니다. 따라서 부피 원소는 다음 형식의 표현입니다:
f
(
u
1
,
u
2
)
d
u
1
d
u
2
{\displaystyle f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}}
이는 다음 적분을 계산함으로써 표면 위에 놓인 집합 B 의 넓이를 계산할 수 있습니다:
Area
(
B
)
=
∫
B
f
(
u
1
,
u
2
)
d
u
1
d
u
2
.
{\displaystyle \operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.}
여기서 우리는 보통의 의미에서 넓이를 정의하는 표면 위에 부피 원소를 찾을 것입니다. 매핑의 야코비 행렬(Jacobian matrix) 은 다음과 같습니다:
λ
i
j
=
∂
φ
i
∂
u
j
{\displaystyle \lambda _{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}}
이때 인덱스 i 는 1에서 n 까지 변하고, j 는 1부터 2까지 변합니다. n- 차원 공간에서 유클리드 메트릭(metric) 은 다음 행렬 원소를 갖는 집합 U 에서 메트릭
g
=
λ
T
λ
{\displaystyle g=\lambda ^{T}\lambda }
g
i
j
=
∑
k
=
1
n
λ
k
i
λ
k
j
=
∑
k
=
1
n
∂
φ
k
∂
u
i
∂
φ
k
∂
u
j
.
{\displaystyle g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.}
메트릭의 행렬식(determinant) 은 다음에 의해 제공됩니다:
det
g
=
|
∂
φ
∂
u
1
∧
∂
φ
∂
u
2
|
2
=
det
(
λ
T
λ
)
{\displaystyle \det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )}
정규 표면에 대해, 이 행렬식은 사라지지 않습니다; 동등하게, 야코비 행렬은 랭크 2를 가집니다.
이제 다음과 같은 미분-동형(diffeomorphism) 에 의해 주어진 U 에 대한 좌표의 변경을 생각해 보십시오:
f
:
U
→
U
,
{\displaystyle f\colon U\to U,}
이때 좌표
(
u
1
,
u
2
)
{\displaystyle (u_{1},u_{2})}
(
u
1
,
u
2
)
=
f
(
v
1
,
v
2
)
{\displaystyle (u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})}
(
v
1
,
v
2
)
{\displaystyle (v_{1},v_{2})}
F
i
j
=
∂
f
i
∂
v
j
.
{\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.}
새로운 좌표에서, 다음을 가지고:
∂
φ
i
∂
v
j
=
∑
k
=
1
2
∂
φ
i
∂
u
k
∂
f
k
∂
v
j
{\displaystyle {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}}
따라서 메트릭은 다음과 같이 변환됩니다:
g
~
=
F
T
g
F
{\displaystyle {\tilde {g}}=F^{T}gF}
여기서
g
~
{\displaystyle {\tilde {g}}}
v 좌표 시스템에서 당김 메달리스트입니다. 행렬식은 다음과 같습니다:
det
g
~
=
det
g
(
det
F
)
2
.
{\displaystyle \det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.}
위의 구조가 주어졌을 때, 방향을-보존하는 좌표의 변경 아래에서 부피 원소가 어떻게 변하지 않는지 이해하는 것이 이제 간단해야 합니다.
이 차원에서, 부피는 단지 넓이일 뿐입니다. 부분집합
B
⊂
U
{\displaystyle B\subset U}
Area
(
B
)
=
∬
B
det
g
d
u
1
d
u
2
=
∬
B
det
g
|
det
F
|
d
v
1
d
v
2
=
∬
B
det
g
~
d
v
1
d
v
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}}
따라서, 두 좌표 시스템에서, 부피 원소는 같은 표현을 취합니다; 부피 원소의 표현은 좌표의 변화 아래에서 변하지 않습니다.
위의 프레젠테이션에서 이차원에 특별한 내용이 없다는 점에 유의하십시오; 위의 내용은 임의적인 차원으로 자명하게 일반화됩니다.
Example: Sphere 예를 들어, R 3 에서 원점에 중심을 둔 반지름 r 을 갖는 구를 생각해 보십시오. 이것은 다음 맵을 갖는 구형 좌표(spherical coordinates) 를 사용하여 매개변수화될 수 있습니다:
ϕ
(
u
1
,
u
2
)
=
(
r
cos
u
1
sin
u
2
,
r
sin
u
1
sin
u
2
,
r
cos
u
2
)
.
{\displaystyle \phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).}
그런-다음
g
=
(
r
2
sin
2
u
2
0
0
r
2
)
,
{\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},}
그리고 넓이 원소는 다음과 같습니다:
ω
=
det
g
d
u
1
d
u
2
=
r
2
sin
u
2
d
u
1
d
u
2
.
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.}
See also References Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag , pp. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8
^ Carroll, Sean. Spacetime and Geometry . Addison Wesley, 2004, p. 90
