Metric space

Original article: w:Metric space

The plane (a set of points) can be equipped with different metrics. In the taxicab metric the red, yellow, blue, and green paths have the same length (12), and are all shortest paths. In the Euclidean metric, the green path has length $6{\sqrt {2}}\approx 8.49$, and is the unique shortest path, whereas the red, yellow, and blue paths still have length 12.

수학(mathematics)에서, 메트릭 공간은 보통 점(points)이라고 하는 그것의 원소(elements) 사이의 거리(distance) 개념과 함께 집합(set)입니다. 거리는 메트릭 또는 거리 함수라고 부르는 함수(function)에 의해 측정됩니다. 메트릭 공간은 수학적 해석학(mathematical analysis)과 기하학(geometry)의 많은 개념을 연구하기 위한 가장 일반적인 설정입니다.

메트릭 공간의 가장 친숙한 예제는 보통의 거리 개념을 갖는 3-차원 유클리드 공간(3-dimensional Euclidean space)입니다. 다른 잘 알려진 예는 각도 거리(angular distance)와 쌍곡 평면(hyperbolic plane)을 갖춘 구(sphere)입니다. 메트릭은 물리적 거리 개념이 아니라 은유적 거리 개념에 해당할 수 있습니다: 예를 들어, 100-문자 유니코드 문자열의 집합은 하나의 문자열에서 또 다른 것을 얻기 위해 변경되어야 하는 문자의 개수를 측정하는 해밍 거리(Hamming distance)를 갖춘 것일 수 있습니다

그것들이 매우 일반적이기 때문에, 메트릭 공간은 다양한 수학 가지에서 사용되는 도구입니다. 많은 유형의 수학적 대상은 거리에 대한 자연스러운 개념을 가지고 따라서 리만 매니폴드(Riemannian manifolds), 노름 벡터 공간(normed vector spaces), 및 그래프(graphs)를 포함하여 메트릭 공간의 구조를 허용합니다. 추상 대수학에서, p-진수 숫자는 유리수에 대한 메트릭 구조의 완비성(completion)의 원소로 발생합니다. 메트릭 공간은 메트릭 기하학(metric geometry) 및 메트릭 공간의 해석학(analysis on metric spaces)에서도 자체적으로 연구됩니다.

공(balls), 완비성(completeness)과 마찬가지로, 균등성(uniform), 립시츠(Lipschitz), 및 훨더 연속성(Hölder continuity)을 포함한 수학적 해석학(mathematical analysis)의 많은 기본 개념은 메트릭 공간 설정에서 정의될 수 있습니다. 연속성(continuity), 컴팩트성(compactness), 및 열린(open) 및 닫힌 집합(closed sets)과 같은 다른 개념은 메트릭 공간에 대해 정의될 수 있지만, 토폴로지적 공간(topological spaces)의 훨씬 더 일반적인 설정에서도 정의될 수 있습니다.

Definition and illustration

Motivation

A diagram illustrating the great-circle distance (in cyan) and the straight-line distance (in red) between two points P and Q on a sphere.

거리에 대한 다양한 개념의 유용성을 확인하기 위해, 지구 표면을 점 집합으로 생각해 보십시오. 우리는 "까마귀가 날아갈 때" 표면을 따라 가장 짧은 경로의 길이로 두 지점 사이의 거리를 측정할 수 있습니다; 이것은 운송과 항공에 특히 유용합니다. 우리는 역시 지구 내부를 통과하는 두 점 사이의 직선 거리를 측정할 수 있습니다; 예를 들어 이 개념은 지진파가 두 지점 사이를 이동하는 데 걸리는 시간과 대략적으로 일치하기 때문에 지진학(seismology)에서 자연스럽습니다.

메트릭 공간 공리로 인코딩된 거리 개념은 요구 사항이 비교적 적습니다. 이러한 일반성은 메트릭 공간에 많은 유연성을 제공합니다. 동시에, 개념은 거리가 의미하는 바에 대한 많은 직관적인 사실을 인코딩할 만큼 충분히 강력합니다. 이것은 메트릭 공간에 대한 일반적인 결과가 다양한 문맥에 적용될 수 있음을 의미합니다.

많은 기본적인 수학적 개념과 마찬가지로, 메트릭 공간 위의 메트릭은 다양한 방법으로 해석될 수 있습니다. 특정 메트릭은 물리적 거리를 측정하는 것으로 가장 잘 생각될 수 없지만, 한 상태에서 또 다른 상태로 변경하는 비용 (측정(measures)의 공간에 대한 베샤슈타인 메트릭(Wasserstein metrics)과 마찬가지로) 또는 두 대상 사이의 차이 정도 (예를 들어, 문자의 두 문자열 사이의 해밍 거리(Hamming distance), 또는 메트릭 공간 자체 사이의 그로모프-하우스도르프(Gromov–Hausdorff distance) 거리)로 생각될 수 있습니다.

Definition

공식적으로, 메트릭 공간(metric space)은 순서쌍(ordered pair) (M, d)이며, 여기서 M은 집합이고 d는 M 위의 메트릭, 즉, 다음 함수(function)입니다: $$d\,\colon M\times M\to \mathbb {R}$$ 메트릭은 모든 점 $x,y,z\in M$에 대해 다음 공리를 만족시킵니다:

1. 한 저에서 자체로의 거리는 영입니다: $$d(x,x)=0.$$ 직관적으로, 한 지점에서 그 자체로 이동하는 데 비용이 전혀 들지 않습니다.
2. (양수성) 두 개의 개별 점 사이의 거리는 항상 양수입니다: $${\text{If }}x\neq y{\text{, then }}d(x,y)>0.$$
3. (대칭성(Symmetry)) x에서 y로의 거리는 항상 y에서 x로의 거리와 같습니다:$$d(x,y)=d(y,x).$$ 이것은 내리막보다 오르막을 걷는 것이 더 어렵다는 관찰에서 자연스럽게 발생하는 비-대칭적인 "비용"의 개념을 배제합니다.
4. 삼각형 부등식(triangle inequality)이 유지됩니다: $$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$$ 이것은 물리적 및 은유적 거리 개념의 자연스러운 속성입니다: y를 통해 우회하여 x로부터 z에 도달할 수 있지만, 이것이 가장 짧은 경로보다 더 빠른 여행을 만들지는 않습니다.

만약 메트릭 d가 모호하지 않으면, 우리는 종종 "메트릭 공간 M"에 대한 표기법의 남용에 의해 참조합니다.

Simple examples

The real numbers

절대 차이(absolute difference)에 의해 주어진 거리 함수 $d(x,y)=|y-x|$를 갖는 실수(real numbers)는 메트릭 공간을 형성합니다. 메트릭 공간과 그 사이의 함수의 많은 속성은 실수 해석학(real analysis)에서 개념의 일반화이고 실수 직선에 적용할 때 그것들 개념과 일치합니다.

Metrics on Euclidean spaces

유클리드 평면 $\mathbb {R} ^{2}$는 많은 다른 메트릭을 갖출 수 있습니다. 학교 수학에서 친숙한 유클리드 거리(Euclidean distance)는 다음과 같이 정의될 수 있습니다: $$d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$$

택시 또는 맨해튼 거리(taxicab or Manhattan distance)는 다음에 의해 정의됩니다: $$d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|$$ 그리고 기사 상단에 표시된 것처럼 한 지점에서 다른 지점으로 이동하기 위해 수평 직선과 수직 직선을 따라 이동해야 하는 거리로 생각될 수 있습니다.

최댓값, $L^{\infty }$, 또는 체비쇼프 거리(Chebyshev distance)는 다음에 의해 정의됩니다:$$d_{\infty }((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=\max\{|x_{2}-x_{1}|,|y_{2}-y_{1}|\}.$$ 이 거리는 평면에서 경로의 관점에서 쉽게 설명할 수 없지만, 여전히 메트릭 공간 공리를 만족시킵니다.

사실, 이들 세 거리는, 그것들이 서로 다른 속성을 가지고 있지만, 어떤 면에서는 비슷합니다. 비공식적으로, 하나에서 가까운 점은 다른 것에서도 가깝습니다. 이 관찰은 다음 공식으로 정량화될 수 있습니다:$$d_{\infty }(p,q)\leq d_{2}(p,q)\leq d_{1}(p,q)\leq 2d_{\infty }(p,q),$$ 이것은 모든 각 점의 쌍 $p,q\in \mathbb {R} ^{2}$에 대해 유지됩니다.

근본적으로 다른 거리는 다음을 설정함으로써 정의될 수 있습니다:$$d(p,q)={\begin{cases}0,&{\text{if }}p=q,\\1,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$ 이 이산 메트릭(discrete metric)에서, 모든 구별되는 점은 1 단위 떨어져 있습니다: 그것들 중 어떤 것도 서로 가깝지 않고, 그것들 중 어떤 것도 서로 아주 멀리 떨어져 있지도 않습니다. 직관적으로, 이산 메트릭은 더 이상 그 집합이 하나의 평면이라는 것을 기억하지 않고, 단지 미분되지 않는 점들의 집합으로 취급합니다.

이들 메트릭의 모두는 $\mathbb {R} ^{2}$와 마찬가지로 $\mathbb {R} ^{n}$에서도 의미가 있습니다.

Subspaces

메트릭 공간 (M, d)과 한 부분-집합(subset) $A\subseteq M$이 주어지면, 우리는 M에서와 같은 방법으로 거리를 측정함으로써 A를 메트릭 공간으로 고려할 수 있습니다. 공식적으로, A 위에 유도된 메트릭(induced metric)은 다음에 의해 정의된 함수 $d_{A}:A\times A\to \mathbb {R}$입니다: $$d_{A}(x,y)=d(x,y).$$ 예를 들어, 만약 우리가 $\mathbb {R} ^{3}$의 부분-집합으로 이-차원 구 S²를 취하면, $\mathbb {R} ^{3}$ 위의 유클리드 메트릭은 위에서 설명되었던 S² 위의 직선 메트릭으로 유도됩니다. 두 가지 더 유용한 예제는 실제 직선의 부분 공간으로 생각되는 열린 구간 (0, 1)과 닫힌 구간 [0, 1]입니다.

History

1906년 모리스 프레셰(Maurice Fréchet)는 함수형 해석학(functional analysis)의 맥락에서 그의 연구 Sur quelques points du calcul fonctionnel에서 메트릭 공간을 도입했습니다: 그의 주요 관심은 메트릭 공간에서 실수-값 함수를 연구하고, 여러 변수의 함수 또는 체사레 아르젤라(Cesare Arzelà)와 같은 수학자들이 개척한 것처럼 심지어 무한하게 많은 변수의 함수의 이론을 일반화하는 것이었습니다. 그 아이디어는 펠릭스 하우스도르프(Felix Hausdorff)에 의한 그의 대작 Principles of Set Theory에서의 적절한 맥락에서 더 발전되어 배치되었으며, 이는 역시 (하우스도르프) 토폴로지적 공간의 개념을 도입했습니다.

일반 메트릭 공간은 수학 교육과정의 토대 부분이 되어 왔습니다. 수학적 연구에서 메트릭 공간의 눈에 띄는 예제는 각각 미분 기하학(differential geometry)과 함수형 해석학(functional analysis)의 도메인인 리만 매니폴드와 노름 벡터 공간을 포함합니다. 프랙탈 기하학(Fractal geometry)은 일부 이국적인 메트릭 공간의 원천입니다. 다른 것들은 통계 물리학(statistical physics)에서 스케일-불변 극한(scale-invariant limits), 리만 매니폴드의 수열의 그로모프–하우스도르프 극한(Gromov–Hausdorff limits)으로 발생하는 알렉산드로프 공간(Alexandrov spaces), 및 기하학적 그룹 이론(geometric group theory)에서 경계(boundaries)와 점근 원뿔(asymptotic cones)을 포함하여 이산 또는 매끄러운 대상의 연구를 통해 극한으로 나타나 왔습니다. 마지막으로, 유한과 이산 메트릭 공간의 많은 새로운 응용은 컴퓨터 과학(computer science)에서 발생해 왔습니다.

Basic notions

거리 함수는 실수 해석학(real analysis)에서 처음 개발된 근접성과 수렴의 개념을 정의하기에 충분합니다. 메트릭 공간의 구조에 의존하는 속성은 메트릭 속성(metric properties)으로 참조됩니다. 모든 각 메트릭 공간은 토폴로지적 공간(topological space)이기도 하고, 일부 메트릭 속성은 토폴로지의 언어에서 거리를 참조하지 않고 다시 표현할 수도 있습니다; 즉, 그것들은 실제로 토폴로지적 속성(topological properties)입니다.

The topology of a metric space

메트릭 공간 M의 임의의 점 x와 임의의 실수 r > 0에 대해, x 주위의 반지름 r의 열린 공(open ball)은 x에서 최대 거리 r에 있는 점들의 집합으로 정의됩니다: $$B_{r}(x)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.$$ 이것은 x에 상대적으로 가까운 점들의 집합을 정의하는 자연스러운 방법입니다. 그러므로, 집합 $N\subseteq M$은 만약 그것이 x 주위에 어떤 r > 0에 대해 반지름 r의 열린 공을 포함하면 x의 이웃(neighborhood)입니다 (비공식적으로, 그것은 x에 "충분하게 가까운" 모든 점을 포함합니다).

열린 집합(open set)은 모든 그 점의 이웃인 집합입니다. 열린 공은 M 위에 토폴로지에 대해 기저(base)를 형성함을 따릅니다. 다시 말해서, M의 열린 집합은 정확하게 열린 공의 합집합입니다. 임의의 토폴로지에서와 마찬가지로, 닫힌 집합(closed sets)은 열린 집합의 여집합입니다. 집합은 열리고 닫힌 둘 다일 수 있을 뿐만 아니라 열려 있지도 않고 닫혀 있지도 않을 수 있습니다.

이 토폴로지는 메트릭 공간에 대한 모든 정보를 전달하지 않습니다. 예를 들어, 위에 정의된 거리 d₁, d₂, 및 d_∞는 여러 측면에서 다르게 행동하지만 $\mathbb {R} ^{2}$ 위에 같은 토폴로지를 유도합니다. 유사하게, 유클리드 메트릭을 갖는 $\mathbb {R}$과 유도된 메트릭을 갖는 그것의 부분집합 (0, 1)은 위상-동형적(homeomorphic)이지만 매우 다른 메트릭 속성을 가집니다.

반대로, 모든 각 토폴로지적 공간에 메트릭을 지정할 수 있는 것은 아닙니다. 메트릭과 호환되는 토폴로지적 공간은 메트릭-가능(metrizable)이라고 하고, 여러 면에서 특히 잘-해동합니다: 특히, 그것드은 파라컴팩트(paracompact) 하우스도르프 공간(Hausdorff spaces) (따라서 정규(normal)) 및 첫 번째-셀-수-있는(first-countable) 것입니다. Nagata– Smirnov 측정 정리는 측정 기준을 참조하지 않고 다른 토폴로지 속성 측면에서 측정 가능성의 특성을 제공합니다.

나가타-스미르노프 메트릭화 정리(Nagata–Smirnov metrization theorem)는 메트릭에 대한 참조 없이 다른 토폴로지적 속성 측면에서 메트릭-가능성의 특성을 제공합니다.

Convergence

유클리드 공간에서 수열의 수렴(Convergence of sequences)은 다음과 같이 정의됩니다:

수열 (x_n)은 모든 각 ε > 0에 대해, 모든 n > N에 대해 d(x_n, x) < ε임을 만족하는 정수 N이 있으며 점 x로 수렴합니다.

토폴로지적 공간에서 수열의 수렴은 다음과 같이 정의됩니다:

수열 (x_n)은 x를 포함하는 모든 각 열린 집합 U에 대해, n > N에 대해 $x_{n}\in U$임을 만족하는 정수 N이 있으면 점 x에 수렴합니다.

메트릭 공간에서, 이들 정의 둘 다는 의미가 있고 그것들은 동등합니다. 이것은 메트릭 공간의 토폴로지적 속성(topological properties)에 대한 일반적인 패턴입니다: 그것들이 순전하게 토폴로지적 방법에서 정의될 수 있지만, 표현하기 더 쉽거나 실수 해석학에서 더 친숙한 메트릭을 사용하는 방법이 종종 있습니다.

Completeness

Main article: Complete metric space

비공식적으로, 메트릭 공간은 "누락된 점"을 가지지 않으면 완비(complete)입니다. 무언가에 수렴해야 하는 것처럼 보이는 모든 각 수열은 ​​실제로 수렴합니다.

이것을 정확하게 하기 위해: 메트릭 공간 M에서 수열 (x_n)은 모든 각 ε > 0에 대해, 모든 m, n > N에 대해, d(x_m, x_n) < ε임을 만족하는 정수 N이 있으며 코시(Cauchy)입니다. 삼각형 부등식에 의해, 임의의 수렴 수열은 코시입니다: x_m과 x_n이 둘 다 극한에서 ε보다 작으면, 그것들은 서로로부터 2ε보다 작습니다. 그 전환이 참이면—M에서 모든 각 코시 수열이 ​​수렴하면—M은 완비입니다.

유클리드 공간은 위에서 설명된 다른 메트릭을 갖는 $\mathbb {R} ^{2}$에서와 마찬가지로 완비입니다. 완비가 아닌 공간의 두 가지 예제는 $\mathbb {R}$로부터 유도된 메트릭을 갖는 (0, 1)와 유리수입니다. 우리는 (0, 1)을 그것의 끝점 0과 1을 "누락된" 것으로 생각할 수 있습니다. 임의의 무리수가 $\mathbb {R}$에서 그것에 수렴하는 유리수의 수열 (예를 들어, 그것의 연속적인 근사)를 가지기 때문에 유리수는 모든 무리수를 누락하는 것입니다. 이들 예들은 $\mathbb {R}$은 완비이지만 동형 공간 (0, 1)은 그렇지 않기 때문에 완비성은 토폴로지적 속성이 아님을 보여줍니다.

"누락하는 점"에 대한 이 개념은 정확하게 만들 수 있습니다. 사실, 모든 각 메트릭 공간에는 고유한 완비(completion)가 있으며, 이는 주어진 공간을 조밀한(dense) 부분집합으로 포함하는 완비 공간입니다. 예를 들어, [0, 1]은 (0, 1)의 완비이고 실수는 유리수의 완비입니다.

완비 공간은 일반적으로 연구하기 더 쉽기 때문에, 완비는 수학 전반에 걸쳐 중요합니다. 예를 들어, 추상 대수학에서, p-진수 숫자(p-adic numbers)는 다른 메트릭 아래에서 유리수의 완비로 정의됩니다. 완비는 함수형 해석학(functional analysis)의 도구로 특히 공통적입니다. 종종 멋진 함수의 집합과 그들 사이의 거리를 측정하는 방법을 가집니다. 이 메트릭 공간을 완비를 취하면 덜 멋질 수 있는 새로운 함수의 집합을 제공하지만, 그럼에도 불구하고 그것들이 중요한 방법으로 원래 멋진 함수와 유사하게 동작하기 때문에 유용합니다. 예를 들어, 미분 방정식(differential equations)에 대한 약한 해(weak solutions)는 전형적으로 미분 방정식이 실제로 의미가 있는 멋진 함수의 원래 공간이 아니라 완비 (소볼레프 공간(Sobolev space))에 있습니다.

Bounded and totally bounded spaces

Diameter of a set.

See also: Bounded set

메트릭 공간 M은 만약 M에서 어떤 점 쌍도 거리 r보다 더 멀리 떨어져 있지 않음을 만족하는 r이 있으면 경계진(bounded) 것입니다. 최소의 그러한 r은 M의 지름(diameter)이라고 불립니다.

공간 M은 모든 각 r > 0에 대해, 반지름 r의 열린 공에 의해 M의 유한한 덮개(cover)가 있으면 프리컴팩트(precompact) 또는 전체 경계진(totally bounded) 것이라고 불립니다. 모든 각 전체 경계진 공간은 경계진 것입니다. 이를 확인하기 위해, 일부 임의적인 r에 대해 r-공에 의해 유한 덮개로 시작합니다. 이들 공의 중심으로 구성된 M의 부분-집합은 유한하기 때문에, 그것은 유한 반지름, 말하자면 D를 가집니다. 삼각형 부등식에 의해, 전체 공간의 지름은 최대 D + 2r입니다. 그 전환은 성립하지 않습니다: 경계진 것이지만 전체 경계진 것은 아닌 메트릭 공간의 예제는 이산 메트릭을 갖는 $\mathbb {R} ^{2}$ (또는 임의의 다른 무한 집합)입니다.

Compactness

Main article: Compact space

컴팩트성은 유클리드 공간의 닫히고 경계진 부분-집합의 속성을 일반화하는 토폴로지적 속성입니다. 메트릭 공간에서 다음과 같은 컴팩트성의 몇 가지 동등한 정의가 있습니다:

1. 메트릭 공간 M은 만약 모든 각 열린 덮개가 하나의 유한 부분-덮개를 가지면 컴팩트입니다 (보통 토폴로지적 정의).
2. 메트릭 공간 M은 만약 모든 각 수열이 하나의 수렴하는 부분-수열을 가지면 컴팩트됩니다 (일반 토폴로지적 공간에 대해 이것은 수열적 컴팩트성(sequential compactness)이라고 불리고 컴팩트성과 동등하지 않습니다.)
3. 메트릭 공간 M은 만약 그것이 완비이고 전체적으로 경계진 것이면 컴팩트합니다. (이 정의는 메트릭 속성의 관점에서 작성되었고 일반 토폴로지적 공간에 대해 의미가 없지만, 그럼에도 불구하고 그것이 컴팩트성과 동등하기 때문에 토폴로지적으로 불변입니다.)

조밀한 공간의 한 예제는 닫힌 구간 [0, 1]입니다.

컴팩트성은 완비성과 유사한 이유로 중요합니다: 그것은 극한을 쉽게 찾을 수 있게 만듭니다. 또 다른 중요한 도구는 르베그의 숫자 보조정리(Lebesgue's number lemma)로, 이는 컴팩트 공간의 임의의 열린 덮개에 대해, 모든 각 점이 덮개 집합 중 하나 내부에 상대적으로 깊다는 것을 보여줍니다.

Functions between metric spaces

Euler diagram of types of functions between metric spaces.

토폴로지적 공간 또는 그룹(groups)이나 링(rings)과 같은 대수적 구조의 경우와 달리, 메트릭 공간 사이에는 단일 "올바른" 유형의 구조-보존 함수(structure-preserving function)가 없습니다. 대신, 목적에 따라 다른 유형의 함수로 작동합니다. 이 섹션 전체에서, $(M_{1},d_{1})$과 $(M_{2},d_{2})$는 둘의 메트릭 공간입니다. "함수"와 "맵"이라는 단어는 같은 의미로 사용됩니다.

Isometries

Main article: Isometry

"구조-보존하는" 맵의 한 가지 해석은 거리 함수를 완전히 보존하는 것입니다:

함수 $f:M_{1}\to M_{2}$는 만약 M₁에서 모든 각 점의 쌍 x와 y에 대해 다음이면 거리-보존하는(distance-preserving) 것입니다:$$d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y).$$

거리-보존하는 함수가 단사라는 것은 메트릭 공간 공리에서 따릅니다. 전단사 거리-보존하는 함수는 등거리-변환(isometry)이라고 불립니다. 이 기사에서 설명하는 공간 사이의 등거리-변환의 아마도 비-명확한 한 가지 예제는 다음에 의해 정의된 맵 $f:(\mathbb {R} ^{2},d_{1})\to (\mathbb {R} ^{2},d_{\infty })$입니다: $$f(x,y)=(x+y,x-y).$$

공간 M₁과 M₂ 사이에 등거리-변환이 있으면, 그것들은 등거리적(isometric)이라고 말합니다. 등거리적인 메트릭 공간은 본질적으로 동일(essentially identical)합니다.

Continuous maps

Main article: Continuous function (topology)

스펙트럼의 다른 쪽 끝에서, 우리는 메트릭 구조에 대한 것을 완전히 잊고 토폴로지적 구조만 보존하는 연속 맵(continuous maps)을 연구할 수 있습니다. 메트릭 공간에 대해 연속성의 몇 가지 동등한 정의가 있습니다. 가장 중요한 것은 다음과 같습니다:

• 토폴로지적 정의. 함수 $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$는 만약 M₂에서 모든 각 열린 집합 U에 대해, 이전-이미지(preimage) $f^{-1}(U)$가 열린 것이면 연속입니다.
• 순차 연속성(Sequential continuity). 함수 $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$는 만약 수열 (x_n)이 M₁에서 점 x로 수렴할 때마다, 수열 $f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots$이 M₂에서 점 f(x)로 수렴하면 연속입니다.

(이들 첫 번째 두 정의는 모든 토폴로지적 공간에 대해 동등하지는 않습니다.)

• ε–δ 정의. 함수 $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$는 만약 에서 모든 각 점 x와 모든 각 ε > 0에 대해, M₁에서 모든 y에 대해 다음을 가짐을 만족하면 연속입니다:$$d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .$$

위상-동형(homeomorphism)은 그것의 역함수도 연속인 연속 맵입니다; 만약 M₁과 M₂ 사이에 위상-동형이 있으면, 그것들은 위상-동형적(homeomorphic)이라고 말합니다. 위상-동형 공간은 토폴로지의 관점에서 같지만, 매우 다른 메트릭 속성을 가질 수 있습니다. 예를 들어, $\mathbb {R}$은 무-경계진 것이고 완비이지만, (0, 1)은 경계지고 완비는 아닙니다.

Uniformly continuous maps

Main article: Uniform continuity

함수 $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$는 만약 모든 각 실수 ε > 0에 대해, M₁에서 $d(x,y)<\delta$를 만족하는 모든 점 x와 y에 대해 다음임을 만족하는 δ > 0가 존재하면 균등하게 연속(uniformly continuous)입니다: $$d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .$$

이 정의와 연속성의 ε–δ 정의 사이의 유일한 차이점은 한정어의 순서입니다: δ의 선택은 오직 ε에 의존해야 하고 점 x에 존하지 않아야 합니다. 어쨌든, 이 미묘한 변화가 큰 차이를 만듭니다. 예를 들어, 균등하게 연속 맵은 M₁에서 코시 수열을 M₂에서 코시 수열로 가져옵니다. 이것은 균등하게 연속 맵 아래에서 완비 공간의 이미지가 완비임을 의미합니다. 다시 말해서, 균등 연속성은 순수하게 토폴로지적이 아닌 일부 메트릭 속성을 보존합니다.

다른 한편으로, 하이네–칸토어 정리(Heine–Cantor theorem)는 M₁이 컴팩트이면, 모든 각 연속 맵이 균등하게 연속적이라고 말합니다. 다시 말해, 균등 연속성은 컴팩트 미터법 공간의 임의의 비-토폴로지적 특징을 구별할 수 없습니다.

Lipschitz maps and contractions

Main article: Lipschitz continuity

립시츠 맵은 많아야 경계진 인수만큼 거리를 확장하는 맵입니다. 공식적으로, 실수 K > 0가 주어지면, 맵 $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$은 만약 다음이면 K-립시츠입니다: $$d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\text{for all}}\quad x,y\in M_{1}.$$ 립시츠 맵은 그것들이 거리-보존하는 맵보다 더 많은 유연성을 제공하지만, 여전히 메트릭의 필수적인 사용을 만들기 때문에, 메트릭 기하학에서 특히 중요합니다. 예를 들어, 메트릭 공간에서 곡선이 정류-가능(rectifiable)인 것 (유한 길이를 가지는 것)과 그것이 립시츠 다시-매개변수화를 가지는 것은 필요충분 조건입니다.

1-립시츠 맵은 때때로 비-확장하는(nonexpanding) 또는 메트릭 맵(metric map)이라고 불립니다. 메트릭 맵은 공통적으로 메트릭 공간의 카테고리(category of metric spaces)의 사상으로 취합니다.

K < 1에 대해 K-립시츠 맵은 수축(contraction)이라고 불립니다. 바나흐 고정-점 정리(Banach fixed-point theorem)에 따르면 M이 완비 메트릭 공간이면, 모든 각 수축 $f:M\to M$은 고유한 고정 점(fixed point)을 허용합니다. 메트릭 공간 M이 컴팩트이면, 그 결과는 f에 대한 약간 약한 조건에 대해 유지됩니다: 맵 $f:M\to M$는 만약 다음이면 고유한 고정 점을 허용합니다:$$d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x\neq y\in M_{1}.$$

Quasi-isometries

Main article: Quasi-isometry

준-등거리변환(quasi-isometry)은 메트릭 공간의 "대규모 구조"를 보존하는 맵입니다. 준-등거리변환이 연속일 필요는 없습니다. 예를 들어, $\mathbb {R} ^{2}$와 그것의 부분공간 $\mathbb {Z} ^{2}$는 심지어 하나는 연결되어 있고 나머지 다른 하나는 이산일지라도 준-등거리변환입니다. 준-등거리변환의 동치 관계는 기하학적 그룹 이론(geometric group theory)에서 중요합니다: Švarc–Milnor lemma는 그룹이 기하학적으로 작용하는 모든 공간이 준-등거리변환이라고 말합니다.

비공식적으로, 맵 $f\,\colon M_{1}\to M_{2}$은 만약 다음을 만족하는 상수 A ≥ 1과 B ≥ 0가 존재하면 준-등거리적 삽입(quasi-isometric embedding)입니다:$${\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B\quad {\text{ for all }}\quad x,y\in M_{1}.$$ 그것은 만약 추가로 준-전사적(quasi-surjective)이면, 즉, $M_{2}$에서 모든 각 점이 이미지 $f(M_{1})$에서 일부 점에서 많아야 C 거리에 있음을 만족하는 상수 C ≥ 0가 있으면 준-등거리변환(quasi-isometry)입니다.

Notions of metric space equivalence

See also: Equivalence of metrics

둘의 메트릭 공간 $(M_{1},d_{1})$과 $(M_{2},d_{2})$가 주어지면:

• 그것들이 만약 그것들 사이에 위상-동형 (즉, 연속 역함수를 갖는 연속 전단사)이 있으면 위상-동형적 (토폴로지적으로 동형)이라고 불립니다. 만약 $M_{1}=M_{2}$이고 항등 맵이 위상-동형이면, $d_{1}$과 $d_{2}$는 토폴로지적으로 동등이라고 말합니다.
• 그것들이 만약 그것들 사이에 균등 동형(uniform isomorphism) (즉, 균등하게 연속 역함수를 갖는 균등하게 연속 전단사)가 있으면 균등-동형(uniformic) (균등하게 동형)이라고 불립니다.
• 그것들이 만약 그것들 사이에 쌍-립시츠 전단사 (즉, 립시츠 역을 갖는 립시츠 전단사)가 있으면 쌍-립시츠 위상-동형(bilipschitz homeomorphic)이라고 불립니다.
• 그것들이 만약 그들 사이에 (전단사) 등거리변환이 있으면 등거리변환적(isometric)이라고 불립니다. 이 경우에서, 두 메트릭 공간은 본질적으로 동일합니다.
• 그것들이 만약 그들 사이에 준-등거리변환이 있으면 준-등거리변환적(quasi-isometric)이라고 불립니다.

Metric spaces with additional structure

Normed vector spaces

Main article: Normed vector space

노름 벡터 공간(normed vector space)은 벡터의 길이를 측정하는 함수인 노름(norm)을 갖춘 벡터 공간입니다. 벡터 v의 노름은 전형적으로 $\lVert v\rVert$로 표시됩니다. 임의의 노름 벡터 공간은 두 벡터 x와 y 사이의 거리가 다음과 같이 주어되는 메트릭을 갖출 수 있습니다: $$d(x,y)=\lVert x-y\rVert .$$ 메트릭 d는 노름 $\lVert {\cdot }\rVert$에 의해 유도된(induced) 것이라고 말합니다. 반대로, 만약 벡터 공간(vector space) X에서 메트릭 d는 다음과 같으면,

• 평행이동 불변: X에서 모든 각 x, y, 및 a에 대해 $d(x,y)=d(x+a,y+a)$입니다; 그리고
• 절대적으로 동차: X에서 모든 각 x와 y 및 실수 α에 대해 $d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)$입니다;

그것은 다음 노름에 의해 유도된 메트릭입니다: $$\lVert x\rVert =d(x,0).$$ 유사한 관계는 반-노름(seminorms)과 유사-메트릭(pseudometrics) 사이에 유지됩니다.

노름에 의해 유도된 메트릭의 예제 중에는 $\mathbb {R} ^{2}$ 위에 메트릭 d₁, d₂ 및 d_∞가 있으며, 이는 각각 맨해튼 노름(Manhattan norm), 유클리드 노름(Euclidean norm), 및 최대 노름(maximum norm)에 의해 유도됩니다. 더 일반적으로, 쿠라토프스키 삽입(Kuratowski embedding)은 임의의 메트릭 공간을 노름 벡터 공간의 부분공간으로 보는 것을 허용합니다.

무한-차원의 노름 벡터 공간, 특히 함수의 공간은 함수형 해석학(functional analysis)에서 연구됩니다. 완비성은 이 맥락에서 특히 중요합니다: 완비 노름 벡터 공간은 바나흐 공간(Banach space)으로 알려져 있습니다. 노름 벡터 공간의 특이한 속성은 그것들 사이의 선형 변환(linear transformations)이 연속인 것과 그것들이 립시츠인 것은 필요충분 조건이라는 것입니다. 그러한 변환은 경계진 연산자(bounded operators)로 알려져 있습니다.

Length spaces

One possible approximation for the arc length of a curve. Notice that the approximation is never longer than the arc length, justifying the definition of arc length as a supremum.

Main article: Intrinsic metric

메트릭 공간 (M, d)에서 곡선(curve)은 연속 함수 $\gamma :[0,T]\to M$입니다. γ의 길이(length)는 다음에 의해 측정됩니다: $$L(\gamma )=\sup _{0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=T}\left\{\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (x_{k-1}),\gamma (x_{k}))\right\}.$$ 일반적으로, 이 상한은 무한일 수 있습니다; 유한 길이의 곡선은 정류-가능(rectifiable)이라고 불립니다. 곡선 γ의 길이가 그것의 끝점 사이의 거리와 같다고 가정합니다—즉, 그것이 끝점 사이의 가장 짧은 가능한 경로입니다. 호 길이에 의해 다시 매개변수화한 후, γ는 측지선(geodesic)이 됩니다: 거리-보존하는 함수인 곡선입니다. 측지선은 그것의 임의의 두 점 사이의 가장 짧은 가능한 경로입니다.

측지선 메트릭 공간(geodesic metric space)은 그것의 임의의 두 점 사이에 측지선을 허용하는 메트릭 공간입니다. 공간 $(\mathbb {R} ^{2},d_{1})$와 $(\mathbb {R} ^{2},d_{2})$ 둘 다는 측지선 메트릭 공간입니다. $(\mathbb {R} ^{2},d_{2})$에서, 측지선은 고유하지만, $(\mathbb {R} ^{2},d_{1})$에서, 기사 꼭대기에 그림에서 보인 것처럼, 두 점 사이에 종종 무한하게 많은 측지선이 있습니다.

공간 M은 만약 임의의 두 점 x와 y 사이의 거리가 그들 사이의 경로 길이의 하한이면, 길이 공간(length space)입니다 (또는 메트릭 d는 본질적(intrinsic)입니다). 측지선 메트릭 공간에서와 달리, 하한은 달성될 필요가 없습니다. 측지선이 아닌 길이 공간의 예제는 유클리드 평면에서 원점을 뺀 것입니다: 점 (1, 0)과 (-1, 0)은 임의적으로 2에 가까운 길이의 경로에 의해 연결될 수 있지만, 길이 2의 경로에 의해 연결되지 않습니다. 길이 공간이 아닌 메트릭 공간의 예제는 구 위의 직선 메트릭에 의해 제공됩니다: 지구 중심을 통과하는 두 점 사이의 직선은 표면을 따라가는 임의의 경로보다 더 짧습니다.

임의의 메트릭 공간 (M, d)가 주어지면, 우리는 점 x와 y 사이의 거리를 그들 사이의 경로의 d-길이의 하한으로 설정함으로써 M에 새로운, 본질적인 거리 함수 d_intrinsic를 정의할 수 있습니다. 예를 들어, d가 구 위의 직선 거리이면, d_intrinsic는 큰-원 거리입니다. 어쨌든, 어떤 경우에서 d_intrinsic가 무한 값을 가질 수 있습니다. 예를 들어, M이 $\mathbb {R} ^{2}$에서 유도된 부분공간 메트릭 d를 갖는 코크 눈송이(Koch snowflake)이면, 결과 본질적인 거리는 구별되는 임의의 점 쌍에 대해 무한입니다.

Riemannian manifolds

Main article: Riemannian manifold

리만 매니폴드(Riemannian manifold)는 모든 각 점에서 접선 벡터(tangent vectors)의 길이를 결정하는 리만 메트릭 텐서(metric tensor)를 갖춘 공간입니다. 이것은 거리의 개념을 무한적으로 정의하는 것으로 생각될 수 있습니다. 특히, 리만 매니폴드 M에서 미분-가능 경로 $\gamma :[0,T]\to M$은 경로에 대한 접선 벡터 길이의 적분으로 정의된 길이를 가집니다: $$L(\gamma )=\int _{0}^{T}|{\dot {\gamma }}(t)|dt.$$ 연결된 리만 매니폴드에서, 우리는 그런-다음 두 점 사이의 거리를 그들 사이의 매끄러운 경로 길이의 하한으로 정의합니다. 이 구성은 부분-리만(sub-Riemannian)과 핀슬러 메트릭(Finsler metrics)과 같은 매니폴드에 대한 다른 종류의 무한소 메트릭으로 일반화합니다.

리만 메트릭은 거리 함수에 의해 고유하게 결정됩니다; 이것은 원칙적으로, 리만 매니폴드에 대한 모든 정보가 그것의 거리 함수에서 복구될 수 있음을 의미합니다. 메트릭 기하학에서 한 방향은 리만 매니폴드 속성의 순수하게 메트릭 ("합성(synthetic)") 공식을 찾는 것입니다. 예를 들어, 리만 매니폴드가 CAT(k) space (순수하게 메트릭에 의존하는 합성 조건)인 것과 그것의 단면 곡률(sectional curvature)이 k에 의해 위로 경계진 것은 필요충분 조건입니다. 따라서 CAT(k) 공간은 위쪽 곡률 경계를 일반 메트릭 공간으로 일반화합니다.

Metric measure spaces

실수 해석학은 $\mathbb {R} ^{n}$ 위의 메트릭과 르베그 측정(Lebesgue measure) 둘 다의 사용을 만듭니다. 그러므로, 해석학에서 많은 아이디어의 일반화는 자연스럽게 메트릭 측정 공간(metric measure spaces)에 있습니다: 서로 호환되는 측정과 메트릭 둘 다를 가지는 공간에 있습니다. 공식적으로, 메트릭 측정 공간(metric measure space)은 모든 각 공이 양수 측정을 가짐을 만족하는 보렐 정규 측정(Borel regular measure)을 갖춘 메트릭 공간입니다. 예를 들어, 차원 n의 유클리드 공간, 더 일반적으로 n-차원 리만 매니폴드는 자연스럽게 르베그 측정(Lebesgue measure)을 갖춘 메트릭 측정 공간의 구조를 가집니다. 시에르핀스키 개스킷(Sierpiński gasket)과 같은 특정 프랙탈(fractal) 메트릭 공간은 α-차원 하우스도르프 측정(Hausdorff measure)을 갖출 수 있으며, 여기서 α는 하우스도르프 차원(Hausdorff dimension)입니다. 일반적으로, 어쨌든, 메트릭 공간은 "명백한" 측정의 항목을 가지지 않을 수 있습니다.

메트릭 측정 공간의 한 가지 응용은 리만 매니폴드를 넘어 리치 곡률(Ricci curvature)의 개념을 일반화하는 것입니다. CAT(k)와 알렉산드로프 공간(Alexandrov spaces)이 스칼라 곡률 경계를 일반화하는 것처럼, RCD 공간(RCD spaces)은 리치 곡률에 대한 아래쪽 경계를 일반화하는 메트릭 측정 공간의 클래스입니다.

Further examples and applications

Graphs and finite metric spaces

만약 그것의 유도된 토폴로지가 이산 토폴로지(discrete topology)이면 메트릭 공간은 이산입니다. 완비성과 컴팩트성과 같은 많은 개념이 그러한 공간에 대해 흥미롭지 않지만, 그것들은 그럼에도 불구하고 수학의 여러 가지에서 연구 대상입니다. 특히, 유한 메트릭 공간 (유한(finite) 숫자의 점을 갖는 것)은 조합론(combinatorics)과 이론적 컴퓨터 과학(theoretical computer science)에서 연구됩니다. 다른 메트릭 공간에서 삽입은 특히 잘-연구되었습니다. 예를 들어, 모든 각 유한 메트릭 공간이 유클리드 공간 또는 힐베르트 공간(Hilbert space)에 등거리변환적으로 삽입(isometrically embedded)될 수 있는 것은 아닙니다. 다른 한편으로, 최악의 경우에서 요구된 왜곡(쌍-립시츠 상수)은 점들의 숫자에서 로그일 뿐입니다.

임의의 무-방향화된 연결 그래프(undirected connected graph) G에 대해, G의 꼭짓점의 집합 V는 꼭짓점 x와 y 사이의 거리(distance)를 그것들을 연결하는 가장 짧은 가장자리 경로의 길이로 정의함으로써 메트릭법 공간으로 전환될 수 있습니다. 이것은 역시 최단-경로 거리(shortest-path distance) 또는 측지선 거리(geodesic distance)라고도 불립니다. 기하학적 그룹 이론(geometric group theory)에서, 이 구성은 (전형적으로 무한) 유한하게-생성된 그룹(finitely-generated group)의 케일리 그래프(Cayley graph)에 적용되어, 단어 메트릭(word metric)을 생성합니다. 쌍-립시츠 위상-동형까지, 단어 메트릭은 그룹에만 의존하고 선택된 유한 생성하는 집합에는 의존하지 않습니다.

Distances between mathematical objects

현대 수학에서, 우리는 종종 점 자체가 수학적 대상인 공간을 연구합니다. 그러한 공간에 대한 거리 함수는 일반적으로 두 대상 사이의 비-유사성을 측정하는 것을 목표로 합니다. 여기 몇 가지 예제가 있습니다:

• 메트릭으로의 함수. 만약 X가 임의의 집합이고 M이 메트릭 공간이면, 모든 경계진 함수(bounded functions) $f\colon X\to M$ (즉, 이미지가 $M$의 경계진 부분집합(bounded subset)인 그들 함수)의 집합은 두 경계진 함수 f와 g 사이의 거리를 다음으로 정의하으로써 메트릭 공간으로 전환될 수 있습니다: $$d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x)).$$ 이 메트릭은 균등 메트릭(uniform metric) 또는 상한 메트릭(supremum metric)이라고 불립니다. 만약 M이 완비이면, 이 함수 공간(function space)은 마찬가지로 완비입니다; 게다가, 만약 M이 역시 토폴로지적 공간이면, X에서 M으로의 모든 경계진 연속(continuous) 함수로 구성된 부분공간은 역시 완비입니다. X가 $\mathbb {R} ^{n}$의 부분공간일 때, 이 함수 공간은 고전적 위너 공간(classical Wiener space)으로 알려져 있습니다.
• 문자열 메트릭(String metrics)과 편집 거리(edit distances). 문자의 문자열(strings of characters) 사이의 거리를 측정하는 많은 방법이 있으며, 이는 컴퓨터 언어학(computational linguistics)에서 문장(sentences)을 나타내거나 코딩 이론(coding theory)에서 코드 단어(code words)를 나타낼 수 있습니다. 편집 거리(Edit distances)는 한 문자열에서 또 다른 문자열을 얻기 위해 필요한 변경의 숫자를 측정하려고 시도합니다. 예를 들어, 해밍 거리(Hamming distance)는 필요한 최소 치환의 숫자를 측정하지만, 레벤슈타인 거리(Levenshtein distance)는 최소 삭제, 삽입, 및 치환의 숫자를 측정합니다; 이들 두 가지 모두 적절한 그래프에서 거리로 생각될 수 있습니다.
• 그래프 편집 거리(Graph edit distance)는 한 그래프를 또 다른 그래프로 변환하는 데 필요한 그래프 편집 연산(graph edit operations)의 최소 숫자로 정의되는 두 그래프(graphs) 사이의 비-유사성의 측정입니다.
• 바샤슈타인 메트릭(Wasserstein metrics)은 같은 메트릭 공간에서 두 측정(measures) 사이의 거리를 측정합니다. 두 측정 사이의 바샤슈타인 거리는 대략 말하자면 하나를 나머지 다른 것으로 이동하는 비용입니다.
• 어떤 필드(field)에 걸쳐 모든 $m\times n$ 행렬(matrices)의 집합은 랭크(rank) 거리 $d(A,B)=\mathrm {rank} (B-A)$에 관한 메트릭 공간입니다.
• 게임 이론(game theory)의 헬리 메트릭(Helly metric)은 게임에서 전략(strategies) 사이의 차이를 측정합니다.

Hausdorff and Gromov–Hausdorff distance

수학적 대상의 공간에 대한 아이디어는 메트릭 공간 자체뿐만 아니라 메트릭 공간의 부분집합에도 적용될 수 있습니다. 하우스도르프(Hausdorff) 및 그로모프-하우스도르프 거리(Gromov–Hausdorff distance)는 각각 메트릭 공간의 컴팩트 부분집합의 집합과 컴팩트 메트릭 공간의 집합에 대한 메트릭을 정의합니다.

(M, d)가 메트릭 공간이라고 가정하고, S를 M의 부분집합으로 놓습니다. S에서 M의 점 x까지의 거리는, 비공식적으로, x에서 S의 가장 가까운 점까지의 거리입니다. 어쨌든, 단일 가장 가까운 점이 아닐 수 있기 때문에, 그것은 하한(infimum)을 통해 정의됩니다:$$d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}.$$ 특히, $d(x,S)=0$인 것과 x가 S의 클로저(closure)에 속하는 것은 필요충분 조건입니다. 게다가, 점과 집합 사이의 거리는 삼각형 부등식의 버전을 만족시킵니다: $$d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),$$ 그리고 따라서 $d_{S}(x)=d(x,S)$에 의해 정의된 맵 $d_{S}:M\to \mathbb {R}$은 연속입니다. 덧붙여서, 이것은 메트릭 공간이 완전하게 정규적(completely regular)이라는 것을 보여줍니다.

M의 두 집합 S와 T가 주어지면, 그것들의 하우스도르프 거리(Hausdorff distance)는 다음입니다:$$d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}.$$ 비공식적으로, 두 집합 S와 T는 만약 S의 원소가 T에서 너무 멀리 떨어져 있지 않고 그 반대도 마찬가지이면 하우스도르프 거리에서 서로 가깝습니다. 예를 들어, 만약 S가 유클리드 공간에서 열린 집합이고 T는 S 내부의 ε-네트(ε-net)이면 $d_{H}(S,T)<\varepsilon$입니다. 일반적으로, 하우스도르프 거리 $d_{H}(S,T)$는 무한대이거나 영일 수 있습니다. 어쨌든, 두 개의 별개의 컴팩트 세트 사이의 하우스도르프 거리는 항상 양수이고 유한입니다. 따라서 하우스도르프 거리는 M의 컴팩트 부분집합에 대한 메트릭을 정의합니다.

그로모프-하우스도르프 메트릭은 컴팩트 메트릭 공간 (의 등거리변환 클래스) 사이의 거리를 정의합니다. 컴팩트 공간 X와 Y 사이의 그로모프-하우스도르프 거리(Gromov–Hausdorff distance)는 X와 Y를 부분공간으로 포함하는 모든 메트릭 공간 Z에 걸쳐 하우스도르프 거리의 하한입니다. 그로모프-하우스도르프 거리의 정확한 값은 아는 것이 거의 유용하지 않지만, 결과 토폴로지는 많은 응용을 찾아 왔습니다.

Miscellaneous examples

• • 메트릭 공간 (X, d)이 주어지고 f(t) = 0을 만족하는 증가하는 오목 함수(concave function) $f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$는 t = 0이면 $d_{f}(x,y)=f(d(x,y))$가 역시 X 위에 메트릭이라는 것이 필요충분 조건으로 주어집니다. 만약 일부 실수 α < 1에 대해 f(t) = t^α, 그러한 메트릭은 d의 눈송이(snowflake)로 알려져 있습니다.
• 메트릭 공간의 촘촘한 스팬(tight span)은 볼록 껍질(convex hull)의 추상 버전으로 생각될 수 있는 또 다른 메트릭 공간입니다.
• 노름 벡터 공간(normed vector space)에 대한 영국 철도 메트릭 ("우체국 메트릭" 또는 "SNCF 메트릭"이라고도 함)은 별개의 점 $x$와 $y$에 대해 $d(x,y)=\lVert x\rVert +\lVert y\rVert$에 의해 정의되고, $d(x,x)=0$입니다. 보다 일반적으로, $\lVert \cdot \rVert$는 임의적인 집합 $S$를 비-음의 실수로 취하고 값 $0$을 많아야 한 번 취하는 함수 $f$로 대체될 수 있습니다: 그런-다음 메트릭은 별개의 점 $x$와 $y$에 의해 $d(x,y)=f(x)+f(y)$에 의해 정의되고, $d(x,x)=0$입니다. 그 이름은 최종 목적지와 상관없이 런던 (또는 파리)을 경유하는 철도 여행의 경향을 암시합니다.

Constructions

Product metric spaces

Main article: Product metric

만약 $(M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})$가 메트릭 공간이고, N이 $\mathbb {R} ^{n}$에서 유클리드 노름(Euclidean norm)이면, ${\bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},d_{\times }{\bigr )}$은 메트릭 공간이며, 여기서 곱 메트릭(product metric)은 다음에 의해 정의됩니다: $$d_{\times }{\bigl (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\bigr )}=N{\bigl (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\bigr )},$$ 그리고 유도된 토폴로지는 곱 토폴로지(product topology)와 일치합니다. 유한 차원에서 노름의 동등성에 의해, 토폴로지적으로 동등한 메트릭은 만약 N이 택시 노름(taxicab norm), p-노름(p-norm), 최대 노름(maximum norm), 또는 양의 n-튜플 증가의 좌표로 비-감소하는 임의의 다른 노름이면 얻습니다 (삼각형 부등식을 산출합니다).

유사하게, 셀-수-있게 많은 메트릭 공간의 토폴로지적 곱에 대한 메트릭은 다음 메트릭을 사용하여 얻을 수 있습니다:$$d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.$$셀-수-없게 많은 메트릭 공간의 토폴로지적 곱은 메트릭-가능일 필요가 없습니다. 예를 들어, $\mathbb {R}$의 복사본의 셀-수-없은 곱은 첫 번째-셀-수-있는(first-countable) 것이 아니고 따라서 메트릭-가능이 아닙니다.

Quotient metric spaces

만약 M이 메트릭 d를 갖는 메트릭 공간이고, $\sim$가 M 위에 동치 관계(equivalence relation)이면, 우리는 몫 집합 $M/\!\sim$에 유사-메트릭을 부여할 수 있습니다. 두 동치 클래스 $[x]$와 $[y]$ 사이의 거리는 다음에 의해 정의됩니다: $$d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\},$$ 여기서 하한(infimum)은 $p_{1}\sim x$, $q_{n}\sim y$, $q_{i}\sim p_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1$를 갖는 모든 유한 수열 $(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$와 $(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$에 걸쳐 취합니다. 일반적으로, 이것은 오직 유사-메트릭(pseudometric)을 정의할 것이며, 즉, $d'([x],[y])=0$이 $[x]=[y]$임을 반드시 의미하지는 않습니다. 어쨌든, 일부 동치 클래스 (예를 들어, 면을 따라 다면체를 붙임으로써 제공되는 것)에 대해, $d'$는 메트릭입니다.

몫 메트릭 $d'$는 다음 보편적 속성(universal property)에 의해 특성화됩니다. 만약 $f\,\colon (M,d)\to (X,\delta )$가 $x\sim y$일 때마다 f(x) = f(y)를 만족시키는 메트릭 공간 사이의 메트릭 (즉, 1-립시츠) 맵이면, ${\overline {f}}([x])=f(x)$에 의해 주어진 유도된 함수 ${\overline {f}}\,\colon {M/\sim }\to X$는 메트릭 맵 ${\overline {f}}\,\colon (M/\sim ,d')\to (X,\delta )$입니다.

몫 메트릭이 항상 몫 토폴로지(quotient topology)를 유도하지는 않습니다. 예를 들어, 형식 $(n,0)$의 모든 점들을 식별하는 메트릭 공간 $\mathbb {N} \times [0,1]$의 토폴로지적 몫은 메트릭-가능인데 왜냐하면 그것은 첫 번째-셀-수-있는(first-countable) 것이 아니지만, 몫 메트릭은 엉성한 토폴로지(coarser topology)를 유도하는 같은 집합 위에 잘-정의된 메트릭이기 때문입니다. 게다가, 원래 토폴로지적 공간 (셀-수-없게 많은 구간의 서로소 합집합) 위에 다른 메트릭은 몫 위에 다른 토폴로지로 이어집니다.

토폴로지적 공간이 수열적(sequential)인 것과 그것이 메트릭 공간의 (토폴로지적) 몫인 것은 필요충분 조건입니다.

Generalizations of metric spaces

메트릭 공간보다 더 적은 구조를 가지지만, 토폴로지적 공간보다 많은 구조를 가지는 토폴로지의 몇 가지 개념이 있습니다.

• 균등 공간(Uniform spaces)은 거리가 정의되지 않지만, 균등 연속성이 있는 공간입니다.
• 접근 공간(Approach spaces)은 점-대-점 거리 대신에 점-대-집합 거리가 정의된 공간입니다. 그것들은 카테고리 이론(category theory)의 관점에서 특히 좋은 속성을 가지고 있습니다.
• 연속성 공간(Continuity spaces)은 메트릭 공간과 도메인(domains)의 개념을 통합하기 위해 사용될 수 있는 메트릭 공간과 포셋(posets)의 일반화입니다.

역시 메트릭에 대해 공리를 완화하여 일반화된 메트릭 공간의 다양한 개념을 생성하는 다양한 방법이 있습니다. 이들 일반화도 결합될 수 있습니다. 그것들을 설명하기 위해 사용되는 용어는 완전하게 표준화되지 않았습니다. 가장 유명하게, 함수형 해석학에서, 유사-메트릭은 종종 벡터 공간에 대한 반-노름(seminorms)에서 비롯되고, 따라서 이를 "반-메트릭(semimetrics)"이라고 부르는 것이 자연스럽습니다. 이것은 토폴로지(topology)에서 용어의 사용과 충돌합니다.

Extended metrics

일부 저자는 거리 함수 d가 값 ∞에 도달할 수 있도록 메트릭을 정의합니다. 즉, 거리는 확장된 실수 직선(extended real number line)에서 비-음의 숫자입니다. 그러한 함수는 확장된 메트릭(extended metric) 또는 "∞-메트릭"이라고 불립니다. 모든 각 확장된 메트릭은 토폴로지적으로 동등한 유한 메트릭에 의해 대체될 수 있습니다. 이것은 영에서 영인 부분-덧셈의(subadditive) 단조적으로 증가하는 경계진 함수를 사용하여 수행될 수 있습니다. 예를 들어, $d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))$ 또는 $d''(x,y)=\min(1,d(x,y))$.

Metrics valued in structures other than the real numbers

메트릭이 $[0,\infty )$에서 값을 취하는 요구 사항은 다음을 포함하여 다른 구조에서 값을 갖는 메트릭을 고려하도록 완화될 수 있습니다:

• 순서화된 필드(Ordered fields), 일반화된 메트릭(generalised metric)의 개념을 산출합니다.
• 보다 일반적인 방향화된 집합(directed sets). 덧셈 연산이 없으면, 삼각형 부등식은 의미가 없고 초-메트릭 부등식(ultrametric inequality)으로 대체됩니다. 이것은 일반화된 초메트릭(generalized ultrametric)의 개념으로 이어집니다.

이러한 일반화는 여전히 공간 위에 균등 구조(uniform structure)를 유도합니다.

Pseudometrics

Main article: Pseudometric space

$X$ 위에 유사-메트릭(pseudometric)은 두 번째 (식별할 수 없는 것의 항등원) 대신 모든 $x$에 대해 $d(x,x)=0$만 필요하다는 점을 제외하고, 메트릭에 대해 공리를 만족시키는 함수 $d:X\times X\to \mathbb {R}$입니다. 다시 말해서, 유사-메트릭에 대해 공리는 다음과 같습니다:

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,x)=0$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.

일부 문맥에서, 유사-메트릭은 반-노름(seminorms)에 대한 그것들의 관계로 인해 반-메트릭(semimetrics)으로 참조될 수 있습니다.

Quasimetrics

때때로, 준-메트릭(quasimetric)은 가능한 대칭성의 제외와 함께 메트릭에 대해 모든 공리를 만족시키는 함수로 정의됩니다. 이 일반화의 이름은 완전하게 표준화되지는 않았습니다.

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0\iff x=y$
3. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$

준메트릭은 실생활에서 흔히 볼 수 있습니다. 예를 들어, 산악 마을의 집합 X가 주어지면, X의 원소 사이의 전형적인 도보 시간은 오르막 산행이 내리막 산행보다 더 오래 걸리기 때문에 준-메트릭을 형성합니다. 또 다른 예제는 일방-통행 도로를 갖는 도시에서 자동차를 타는 길이(length of car rides)입니다: 여기서, A 지점에서 B 지점까지의 최단 경로는 B에서 A까지의 최단 경로와 다른 거리 집합을 따라 이동하고 다른 길이를 가질 수 있습니다.

실수 위에 준-메트릭은 다음을 설정함으로써 정의될 수 있습니다:$$d(x,y)={\begin{cases}x-y&{\text{if }}x\geq y,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$ 1은, 예를 들어, 무한대에 의해 또는 $1+{\sqrt {y-x}}$에 의해 또는 y-x의 임의의 다른 부분-덧셈의(subadditive) 함수에 의해 대체될 수 있습니다. 이 준-메트릭은 금속 막대를 수정하는 비용을 설명합니다: 그것을 줄질에 의해 크기를 줄이는 것은 쉽지만, 키우는 것이 어렵거나 불가능합니다.

X 위에 준-메트릭이 주어지면, x 주위의 R-공을 집합 R으로 정의할 수 있습니다. 메트릭의 경우와 같이, 그러한 공은 X에 대한 토폴로지의 기저를 형성하지만, 이 토폴로지는 메트릭-가능일 필요는 없습니다. 예를 들어, 위에서 설명한 실수 위의 준-메트릭에 의해 유도된 토폴로지는 (반전된) 소르겐프리 직선(Sorgenfrey line)입니다.

Metametrics or partial metrics

메타메트릭(metametric)에서, 메트릭의 모든 공리는 동일한 점 사이의 거리가 반드시 영일 필요는 없다는 점을 제외하고 만족됩니다. 다시 말해서, 메타메트릭에 대한 공리는 다음과 같습니다:

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0\implies x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$

메타메트릭은 그로모프 쌍곡선 메트릭 공간(Gromov hyperbolic metric spaces)과 그 경계의 연구에 나타납니다. 그러한 공간에 대한 시각적 메타메트릭(visual metametric)은 경계 위의 점 $x$에 대해 $d(x,x)=0$를 만족시키지만, 그렇지 않으면 $d(x,x)$는 근사적으로 $x$에서 경계까지의 거리입니다. 메타메트릭은 유시 바이셀라(Jussi Väisälä)에 의해 처음 정의되었습니다. 다른 연구에서, 이들 공리를 만족시키는 함수는 부분 메트릭(partial metric) 또는 탈구된 메트릭(dislocated metric)이라고 합니다.

Semimetrics

$X$ 위의 반-메트릭(semimetric)은 처음 세 개의 공리는 만족시키지만, 삼각형 부등식을 반드시 만족시킬 필요는 없는 함수 $d:X\times X\to \mathbb {R}$입니다:

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,y)=0\iff x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$

일부 저자는 다음과 같은 삼각형 부등식의 더 약한 형식으로 연구합니다:

$d(x,z)\leq \rho \,(d(x,y)+d(y,z))$	ρ-relaxed triangle inequality
$d(x,z)\leq \rho \,\max\{d(x,y),d(y,z)\}$	ρ-inframetric inequality

ρ-인프라메트릭 부등식은 ρ-완화 삼각형 부등식 (첫 번째 공리를 가정)을 의미하고, ρ-완화 삼각형 부등식은 2ρ-인프라메트릭 부등식을 의미합니다. 이들 동치 조건을 만족시키는 반메트릭은 준-메트릭(quasimetrics), 근처-메트릭(nearmetrics), 또는 인프라메트릭(inframetrics)이라고도 참조되어 왔습니다.

ρ-인프라메트릭 부등식은 인터넷(internet)에서 왕복 지연 시간(round-trip delay times)을 모델링하기 위해 도입되었습니다. 삼각형 부등식은 2-인프라메트릭 부등식을 의미하고, 초-메트릭 부등식(ultrametric inequality)은 정확하게 1-인프라메트릭 부등식을 의미합니다.

Premetrics

마지막 세 가지 공리를 완화는 것은 이전-메트릭(premetric), 즉 다음 조건을 만족시키는 함수의 개념으로 이어집니다:

1. $d(x,y)\geq 0$
2. $d(x,x)=0$

이것은 표준 용어가 아닙니다. 때때로 그것은 유사반메트릭(pseudosemimetrics) 또는 유사메트릭(pseudometrics)과 같은 메트릭의 다른 일반화를 참조하기 위해 사용됩니다; 러시아 책의 번역에서 그것은 때때로 "프라메트릭(prametric)"으로 나타납니다. 대칭을 만족시키는 이전-메트릭, 즉 유사반메트릭은 역시 거리라고도 합니다.

임의의 이전-메트릭은 다음과 같은 토폴로지를 생성합니다. 양의 실수 $r$에 대해, 점 $p$를 중심으로 하는 $r$-공은 다음과 같이 정의됩니다:

$B_{r}(p)=\{x|d(x,p)<r\}.$

집합은 만약 집합에서 임의의 점 $p$에 대해, 그 집합에 포함된 $p$를 중심으로 하는 $r$-공이 있으면 열린(open) 것이라고 불립니다. 모든 각 이전-메트릭 공간은 토폴로지적 공간이고, 실제로는 수열적 공간(sequential space)입니다. 일반적으로, $r$-공 자체는 이 토폴로지와 관련하여 열린 집합일 필요가 없습니다. 메트릭에 대한 것처럼, 두 집합 $A$와 $B$ 사이의 거리는 다음과 같이 정의됩니다:

$d(A,B)={\underset {x\in A,y\in B}{\inf }}d(x,y).$

이것은 이전-메트릭 공간의 거듭제곱 집합(power set)에 대한 이전-메트릭을 정의합니다. 만약 우리가 (유사반-)메트릭 공간으로 시작하면, 우리는 유사반메트릭, 즉 대칭 이전-매트릭을 얻습니다. 임의의 이전-메트릭은 다음과 같이 이전-클로저 연산자(preclosure operator) $cl$을 발생시킵니다:

$cl(A)=\{x|d(x,A)=0\}.$

Pseudoquasimetrics

접두사 유사-(pseudo-), 준-(quasi-), 및 반-(semi-)도 결합될 수 있습니다. 예를 들어 유사준메트릭 (pseudoquasimetric, 때로는 hemimetric이라고도 함)은 식별-불가능성 공리와 대칭 공리를 둘 다 완화하고 단순히 삼각형 부등식을 만족시키는 이전-메트릭입니다. 유사준메트릭 공간에 대해 열린 $r$-공은 열린 집합의 기저를 형성합니다. 유사준메트릭 공간의 아주 기본적인 예제는 $d(0,1)=1$과 $d(1,0)=0$에 의해 주어진 이전-메트릭을 갖는 집합 $\{0,1\}$입니다. 결합된 토폴로지적 공간은 시에르핀스키 공간(Sierpiński space)입니다.

확장된 유사준메트릭을 갖춘 집합은 윌리엄 로비어(William Lawvere)에 의해 "일반화된 메트릭 공간"으로 연구되었습니다. 카테고리적(categorical) 관점에서, 확장된 유사메트릭 공간과 확장된 유사준메트릭 공간은, 그것들의 해당하는 비-확장 맵과 함께, 메트릭 공간 카테고리(metric space categories) 중 가장 잘 작동합니다. 우리는 임의적인 곱과 공동-곱을 취하고 주어진 카테고리 내에서 몫 대상을 형성할 수 있습니다. 만약 우리가 "확장된(extended)"를 버리면, 우리는 오직 유한 곱과 공동-곱을 취할 수 있습니다. 만약 우리가 "유사(pseudo)"를 버리면, 우리는 몫을 취할 수 없습니다.

로비어는 역시 그러한 공간을 풍부하게-된 카테고리(enriched categories)로 대체 정의했습니다. 순서화된 집합 $(\mathbb {R} ,\geq )$은 $a\geq b$이면 하나의 사상(morphism)을 갖고 그렇지 않으면 아무것도 아닌 카테고리(category)로 볼 수 있습니다. +를 텐서 곱(tensor product)으로 사용하고 0을 항등원(identity)으로 사용하면 이 카테고리를 모노이드 카테고리(monoidal category) $R^{*}$로 만듭니다. 모든 각 (확장된 유사준-)메트릭 공간 $(M,d)$는 이제 $R^{*}$에 걸쳐 풍부하게-된 카테고리 $M^{*}$으로 볼 수 있습니다:

• 카테고리의 대상은 M의 점들입니다.
• $d(x,y)<\infty$을 만족하는 점 x와 y의 모든 각 쌍에 대해, $R^{*}$의 대상 $d(x,y)$을 할당된 것인 단일 사상이 있습니다.
• 삼각형 부등식과 모든 점 x에 대해 $d(x,x)=0$이라는 사실은 풍부하게-된 카테고리에서 합성과 항등원의 속성에서 유도됩니다.
• $R^{*}$이 포셋이기 때문에, 풍부하게-된 카테고리에 대해 요구된 모든 다이어그램(diagrams)은 자동적으로 통근합니다.

Metrics on multisets

메트릭의 개념은 두 원소 사이의 거리에서 원소의 중복집합에 할당된 숫자로 일반화될 수 있습니다. 중복집합(multiset)은 원소가 한 번보다 많이 나타날 수 있는 집합의 개념의 일반화입니다. 중복집합 합집합 $U=XY$를 다음과 같이 정의합니다: 만약 원소 x가 X에서 m번 나타나고 Y에서 n번 나타나면 그것은 U에서 m + n번 나타납니다. 집합 M의 원소의 비-빈 유한 중복집합의 함수에 대한 함수 d는 만약 다음이면 메트릭입니다:

1. X의 모든 원소가 같으면 $d(X)=0$이고 그렇지 않으면 $d(X)>0$입니다 (양수 한정(positive definiteness))
2. $d(X)$는 (비-순서화된) 중복집합 X 위에만 의존합니다 (대칭(symmetry))
3. $d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)$ (삼각형 부등식(triangle inequality))

중복집합 X가 두 개의 원소를 가지는 공리 1과 2의 경우와 중복집합 X, Y, 및 Z 가 각각 하나의 원소를 가지는 공리 3의 경우를 고려함으로써, 우리는 메트릭에 대한 보통의 공리를 복구합니다. 즉, 모든 각 중복집합 메트릭은 두 원소의 집합으로 제한될 때 보통의 메트릭을 산출합니다.

단순 예제는 $d(X)=\max(X)-\min(X)$를 갖는 정수의 모든 비-빈 유한 중복집합 $X$의 집합입니다. 보다 복잡한 예제는 중복집합에서 정보 거리(information distance)입니다; 그리고 중복집합에서 정규화된 압축 거리(normalized compression distance)입니다.

See also

• Glossary of Riemannian and metric geometry
• Hilbert's fourth problem
• Metric tree
• Space (mathematics) – Mathematical set with some added structure – Mathematical set with some added structure
• Ultrametric space

References

• Weisstein, Eric W. "Product Metric". MathWorld.

External links

• "Metric space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.