Integration by substitution

미적분학(calculus)에서, 치환에 의한 적분화(integration by substitution)는, u-치환(u-substitution)으로 역시 알려져 있으며, 적분(integral)을 푸는 것에 대해 한 방법입니다. 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 사용하는 것은 역도함수(antiderivative)를 찾는 것을 종종 요구합니다. 이것과 다른 이유에 대해, 치환에 의한 적분화는 수학에서 중요한 도구입니다. 그것은 미분화(differentiation)에 대해 체인 규칙(chain rule)에 대한 짝입니다.

Substitution for a single variable

Proposition

$I \subseteq R$ 를 구간으로 놓고 $φ : [a, b] \to I$ 를 적분-가능 도함수를 가진 미분-가능 함수로 놓습니다. $f : I \to R$ 은 연속 함수(continuous function)인 것으로 가정합니다. 그런-다음 다음입니다:

\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du=\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx.

라이프니츠 표기법에서, 치환 $u = φ (x)$ 는 다음을 산출합니다:

{\frac {du}{dx}}=\varphi '(x).

무한소와 함께 휴리스틱적으로 작동하면 다음 방정식을 산출합니다:

du=\varphi '(x)\,dx,

이것은 위의 치환 공식을 제안합니다. (이 방정식은 미분 형식(differential form)에 대한 명제로 그것을 해석함으로써 엄격한 기반을 놓을 수 있을 것입니다.) 우리는 적분과 도함수에 대해 라이프니츠의 표기법(Leibniz's notation)의 부분 정당화로 치환에 의한 적분화의 방법을 바라볼 수 있습니다.

그 공식은 하나의 적분을 계산하기 더 쉬운 또 다른 적분으로 변환하기 위해 사용됩니다. 따라서, 공식은 주어진 적분을 단순화하기 위해 왼쪽에서 오른쪽 또는 오른쪽에서 왼쪽으로 사용될 수 있습니다. 후자의 방법에서 사용될 때, 그것은 u-치환(u-substitution) 또는 w-치환(w-substitution)으로 때때로 알려져 있습니다.

Proof

치환에 의한 적분화는 다음에서 처럼 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)로부터 도출될 수 있습니다. $f$ 및 $φ$ 를 $f$ 가 $I$ 위에 연속이고 $φ'$ 는 닫힌 구간 $[a, b]$ 위에 적분-가능인 위의 가설을 만족시키는 두 함수로 놓습니다. 그런-다음 함수 $f (φ (x)) φ'(x)$ 는 {math|[a,b]}} 위에 역시 적분-가능입니다. 그러므로 적분

\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du

및

\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx

은 사실 존재하고, 그들이 같음을 보이는 것이 남습니다.

$f$ 는 연속이므로, 그것은 역도함수(antiderivative) $F$ 를 가집니다. 합성 함수(composite function) $F \circ φ$ 는 그런-다음 정의됩니다. $φ$ 가 미분-가능이므로, 체인 규칙(chain rule)과 역도함수의 정의를 결합하면 다음을 제공합니다:

(F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).

미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 두 번 적용하면 다음을 제공합니다:

{\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}

이것은 치환 규칙입니다.

Examples

Example 1: from right to left

다음 적분을 생각해 보십시오:

\int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx.

만약 우리가 오른쪽에서 왼쪽으로 공식을 적용하고 치환 $u = φ (x) = x 2 + 1$ 을 만들면, 우리는 $du = 2 x dx$ 을 얻고 따라서 $x dx = ½ du$ 입니다. 그러므로 다음입니다:

{\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}

아래 극한 $x = 0$ 은 $u = 0 2 + 1 = 1$ 로 대체되고, 위쪽 극한 $x = 2$ 은 $u = 2 2 + 1 = 5$ 로 대체되므로, $x$ 의 관점으로 다시-변환은 불필요한 것입니다.

Example 2: from left to right

다음 적분에 대해

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,

공식은 왼쪽에서 오른쪽으로 사용되어야 할 필요가 있습니다. 치환 $x = sin(u)$ , $dx = cos(u) du$ 은 유용한데 왜냐하면 ${\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos(u)$ 이기 때문입니다:

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos(u)\,du\\&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\,du\\&=\left({\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right){\Bigg \vert }_{0}^{\pi /2}\\&={\frac {\pi }{4}}+0={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}

결과 적분은 부분에 의한 적분(integration by parts) 또는 배-각 공식(double angle formula), $2cos 2 (u) = 1+cos(2u)$ 을 사용하여 계산될 수 있으며, 한 번 더 치환으로 이어집니다. 우리는 적분되어야 할 함수가 일의 반지름을 갖는 원의 위의-오른쪽 사등분임을 주목할 수 있고, 따라서 영에서 일까지 위의-오른쪽 사등분을 적분하면 단위 원의 1/4의 넓이, 또는 $π / 2$ 와 기하학적 동등입니다.

Example 3: antiderivatives

치환은 역도함수를 결정하기 위해 사용될 수 있습니다. 우리는 $x$ 와 $u$ 사이의 관계를 선택하고, 미분함으로써 $dx$ 와 $du$ 사이의 해당하는 관계를 결정하고, 치환을 수행합니다. 치환된 함수에 대해 역도함수는 희망적으로 결정될 수 있습니다; $u$ 와 $x$ 사이의 원래 치환은 그런-다음 취소됩니다.

위의 첫 번째 예제와 마찬가지로, 우리는 이 방법과 함께 다음 역도함수를 결정할 수 있습니다:

{\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\&={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}

여기서 C는 임의의 적분화의 상수(constant of integration)입니다.

변환하기 위해 적분 경계는 없었지만, 마지막 단계에서 우리는 원래 치환 $u = x 2 + 1$ 을 되돌려야 했음을 주목하십시오.

Substitution for multiple variables

우리는 여러 변수의 함수를 적분할 때 치환을 역시 사용할 수 있습니다. 여기서 치환 함수 $(v 1,..., v n) = φ (u 1, ..., u n)$ 는 단사(injective)이고 연속적으로 미분-가능인 것이 필요하고, 미분은 다음으로 변환됩니다:

dv_{1}\cdots dv_{n}=|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})|\,du_{1}\cdots du_{n},

여기서 $det(Dφ)(u 1, ..., u n)$ 는 점 $(u 1, ..., u n)$ 에서 $φ$ 의 부분 도함수(partial derivative)의 야코비 행렬(Jacobian matrix)의 행렬식(determinant)을 나타냅니다. 이 공식은 행렬의 행렬식의 절댓값(absolute value)이 그의 열 또는 행으로 확장된 평행다면체(parallelotope)의 부피와 같다는 사실을 나타냅니다.

보다 정확하게, 변수의 변경(change of variables) 공식은 다음 정리로 말합니다.

정리. $U$ 를 $R n$ 에서 열린 집합이고 $φ : U \to R n$ 는 연속적인 부분 도함수, $U$ 에서 모든 각 $x$ 에 대해 비-영인 것의 야코비를 갖는 단사(injective) 미분-가능 함수로 놓습니다. 그런-다음 $φ (U)$ 안에 포함된 지원을 갖는, 임의의 실수-값, 컴팩트하게 지원된 연속 함수 $f$ 에 대해, 다음입니다:

\int _{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int _{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(D\varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .

정리에 대한 조건은 다양한 방법으로 약화될 수 있습니다. 먼저, $φ$ 가 연속적으로 미분-가능이라는 요구-조건은 $φ$ 가 단지 미분-가능이고 연속적인 역을 가지는 것으로 더 약한 가정으로 대체될 수 있습니다 (Rudin 1987, Theorem 7.26). 이것은 만약 $φ$ 가 역함수 정리(inverse function theorem)에 의해 연속적으로 미분-가능이면 유지되는 것을 보증합니다. 대안적으로, $det(Dφ) \neq 0$ 인 요구-조건은 사드의 정리(Sard's theorem)를 적용함으로써 제거될 수 있습니다 (Spivak 1965).

르베그 측정-가능 함수에 대해, 정리는 다음 형식으로 말할 수 있습니다 (Fremlin 2010, Theorem 263D):

정리. $U$ 를 $R n$ 의 측정-가능 부분-집합으로 놓고 $φ : U \to R n$ 를 단사(injective) 함수로 놓고, $U$ 에서 모든 각 $x$ 에 대해, $y \to x$ 일 때 $φ (y) = φ (x) + φ' (x)(y - x) + o (|| y - x ||)$ 를 만족하는 $R n, n$ 에서 $φ'(x)$ 가 존재함을 가정합니다 (여기서 $o$ 는 작은-o 표기법입니다). 그런-다음 $φ (U)$ 는 측정-가능이고, $φ (U)$ 위에 정의된 임의의 실수-값 함수 $f$ 에 대해, 만약 양 적분이 (적절하게 무한인 것의 가능성을 포함하여) 존재하면, 그래서 나머지 하나도 존재하고, 그들은 같은 같을 가진다는 의미에서, 다음입니다:

\int _{\varphi (U)}f(v)\,dv=\int _{U}f(\varphi (u))\left|\det \varphi '(u)\right|\,du

.

측정 이론(measure theory)에서 또 다른 매우 일반적인 버전은 다음입니다 (Hewitt & Stromberg 1965, Theorem 20.3):

정리. $X$ 를 유한 라돈 측정(Radon measure) $μ$ 를 갖춘 지역적으로 컴팩트(locally compact) 하우스도르프 공간(Hausdorff space)으로 놓고, $Y$ 를 σ-유한 라돈 측정 $ρ$ 를 갖는 σ-컴팩트 하우스도르프 공간으로 놓습니다. $φ : X \to Y$ 를 연속(continuous)이고 절대적으로 연속(absolutely continuous) 함수로 놓습니다 (여기서 후자는 $μ (E) = 0$ 일 때마다 $ρ (φ (E)) = 0$ 임을 의미합니다). 그런-다음 모든 각 르베그 적분-가능(Lebesgue integrable) 함수 $f : Y \to R$ 에 대해, 함수 function $(f \circ φ) \cdot w$ 가 르베그 $X$ 위에 적분-가능이고, 다음을 만족하는 $X$ 위의 실수-값 보렐 측정-가능 함수(Borel measurable function) $w$ 가 존재합니다:

\int _{Y}f(y)\,d\rho (y)=\int _{X}(f\circ \varphi )(x)\,w(x)\,d\mu (x).

게다가, $Y$ 위의 일부 보렐 측정-가능 함수 $g$ 에 대해, 다음을 쓸 수 있습니다:

w(x)=(g\circ \varphi )(x)

.

기하학적 측정 이론(geometric measure theory)에서, 치환에 의한 적분화는 립시츠 함수(Lipschitz function)와 함께 사용됩니다. 이중-립시츠 함수는 립시츠 함수 $φ : U \to R n$ 이며 이것은 단사이고 그의 역 함수 $φ -1 : φ (U) \to U$ 는 역시 립시츠입니다. 라더마커의 정리(Rademacher's theorem)에 의해 이중-립시츠 매핑은 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 미분-가능입니다. 특히, 이중-립시츠 매핑 $det Dφ$ 의 야코비 행렬식은 거의 모든 곳에서 잘-정의됩니다. 다음 결과는 그런-다음 유지됩니다:

정리. $U$ 를 $R n$ 의 부분-집합이고 $φ : U \to R n$ 를 이중-립시츠 매핑으로 놓습니다. $f : φ (U) \to R$ 를 측정-가능으로 놓습니다. 그런-다음 만약 두 적분이 존재하면 (또는 적절하게 무한인), 그래서 다른 하나도 존재하고, 그들은 같은 값을 가지는 의미에서, 다음입니다:

\int _{U}(f\circ \varphi )(x)|\det D\varphi (x)|\,dx=\int _{\varphi (U)}f(x)\,dx

.

위의 정리는, 오일러(Euler)가 1769년에서 이중 적분(double integrals)의 개념을 개발했을 때, 그에 의해 처음 제안되었습니다. 비록 1773년에서 라그랑주(Lagrange)에 의해 삼중 적분으로 일반화되었고, 르장드르(Legendre), 라플라스(Laplace), 가우스(Gauss)에 의해 사용되었고, 1836년에서 미키일 예스트라그라스키(Mikhail Ostrogradski)에 의해 처음으로 $n$ 변수로 일반화되었을지라도, 그것은 놀랍게도 오랫동안 완전히 엄격한 공식적인 증명에 저항했었고, 1890년대 중반에 시작된 일련의 논문에서 엘리 카르탕(Élie Cartan)에 의해 125년 후 처음으로 만족스럽게 해결되었습니다 (Katz 1982; Ferzola 1994).

Application in probability

치환은 확률에서 다음 중요한 질문을 답하기 위해 사용될 수 있습니다: 확률 밀도 $p_{X}$ 를 갖는 확률 변수 $X$ 및 $Y=\phi (X)$ 를 만족하는 또 다른 확률 변수 $Y$ 가 주어지면, $Y$ 에 대해 확률 밀도는 무엇입니까?

먼저 약간 다른 질문에 대답함으로써 이 질문을 답하는 것이 가장 쉽습니다: $Y$ 가 특정 부분-집합 $S$ 에서 값을 취할 확률은 무엇입니까? 이 확률을 $P(Y\in S)$ 로 나타냅니다. 물론 만약 $Y$ 가 확률 밀도 $p_{Y}$ 를 가지면, 그 답은 다음입니다:

P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,

그러나 이것은 실제로 유용하지는 않은데 왜냐하면 우리는 $p_{Y}$ 를 알 수 없기 때문입니다; 그것은 우리가 찾고자 하는 것입니다. 우리가 변수 $X$ 에서 문제를 고려함으로써 진행할 수 있습니다. $Y$ 는, $X$ 가 $\phi ^{-1}(S)$ 에서 값을 취할 때마다 $S$ 에서 값을 가지므로, 다음입니다:

P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.

변수 $x$ 를 $y$ 로 변경하면 다음을 제공합니다:

P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.

이것을 우리의 첫 번째 질문과 결합하면 다음을 제공합니다:

\int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,

그래서 다음입니다.

p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.

$X$ 와 $Y$ 가 여러 비-상관된 변수, 즉, $p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 및 $y=\phi (x)$ 에 의존하는 경우에서, $p_{Y}$ 는 위에서 논의된 여러 변수에서 치환에 의해 구할 수 있습니다. 그 결과는 다음입니다:

p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.

References

Ferzola, Anthony P. (1994), "Euler and differentials", The College Mathematics Journal, 25 (2): 102–111, doi:10.2307/2687130
Fremlin, D.H. (2010), Measure Theory, Volume 2, Torres Fremlin, ISBN 978-0-9538129-7-4.
Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-04559-7.
Katz, V. (1982), "Change of variables in multiple integrals: Euler to Cartan", Mathematics Magazine, 55 (1): 3–11, doi:10.2307/2689856
Rudin, Walter (1987), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1.
Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Westview Press, ISBN 978-0-8053-9021-6.

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