Axiom of infinity

공리적 집합 이론(axiomatic set theory)과 그것을 사용하는 수학(mathematics)과 철학(philosophy)의 가지에서, 무한대의 공리는 체르멜로–프렝켈 집합 이론(Zermelo–Fraenkel set theory)의 공리(axiom) 중 하나입니다. 그것은 적어도 하나의 무한 집합(infinite set), 즉 자연수(natural number)를 포함하는 집합의 존재를 보장합니다. 그것은 1908년 에른스트 체르멜로(Ernst Zermelo)에 의해 그의 집합 이론(set theory)의 일부로 처음 출판되었습니다.^[1]

Formal statement

체르멜로–프렝켈 공리의 형식적 언어(formal language)에서, 그 공리를 다음과 같이 읽습니다:

\exists \mathbf {I} \,(\emptyset \in \mathbf {I} \,\land \,\forall x\in \mathbf {I} \,(\,(x\cup \{x\})\in \mathbf {I} )).

말로 하자면, 빈 집합(empty set)이 I 안에 있고, 임의의 x가 I의 구성원일 때마다, x와 그것의 한원소 {x}의 합집합(union)을 취함으로써 형성된 집합이 역시 I의 구성원임을 만족하는 집합(set) I (무한대로 가정되는 집합)이 있습니다. 그러한 집합은 때때로 귀납적 집합(inductive set)이라고 불립니다.

Interpretation and consequences

이 공리는 x의 다음수(successor)가 x ∪ {x}로 정의되는 집합 이론에서 자연수의 폰 노이만 구성과 밀접하게 관련되어 있습니다. 만약 x가 집합이면, 그것은 이 다음수는 역시 고유하게 정의된 집합이라는 집합 이론의 다른 공리에서 따릅니다. 다음수는 자연수(natural number)의 일반적인 집합-이론적 인코딩을 정의하기 위해 사용됩니다. 이 인코딩에서, 영은 빈 집합입니다:

0 = {}.

숫자 1은 0의 다음수입니다:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

마찬가지로, 2는 1의 다음수입니다:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1} = { {}, {{}} },

이런 식으로 계속됩니다:

3 = {0,1,2} = { {}, {{}}, {{}, {{}}} }.

4 = {0,1,2,3} = { {}, {{}}, { {}, {{}} }, { {}, {{}}, {{}, {{}}} } }.

이 정의의 결과는 모든 각 자연수가 모든 이전의 자연수의 집합과 같다는 것입니다. 최상위 수준에서, 각 집합에서 원소의 개수는 표시된 자연수와 같고, 가장 깊게 중첩된 빈 집합 {}의 중첩 깊이는, 그것이 부분인 숫자를 표현하는 집합에서 중첩을 포함하여, 역시 그 집합이 나타내는 자연수와 같습니다.

이 구성은 자연수를 형성합니다. 어쨌든, 다른 공리는 모든 자연수의 집합, $\mathbb {N} _{0}$ 의 존재를 입증하기에 충분하지 않습니다. 그러므로, 그것의 존재는 공리 – 무한의 공리로 취급됩니다. 이 공리는 0을 포함하고 다음수를 취하는 연산 아래에서 닫힌(closed) 집합 I가 있다고 주장합니다; 즉, I의 각 원소에 대해, 해당 원소의 다음수는 역시 I에 있습니다.

따라서 공리의 본질은 다음과 같습니다:

모든 자연수를 포함하는, 집합 I가 있습니다.

무한대의 공리는 역시 폰 노이만-베르나이스-괴델 공리(von Neumann–Bernays–Gödel axioms) 중 하나입니다.

Extracting the natural numbers from the infinite set

무한 집합 I은 자연수의 초월집합입니다. 자연수 자체가 하나의 집합을 구성한다는 것을 보여주기 위해, 사양의 공리 스키마(axiom schema of specification)는 원하지 않는 원소를 제거하기 위해 적용될 수 있으며, 모든 자연수의 집합 N을 남깁니다. 이 집합은 확장성의 공리(axiom of extensionality)에 의해 고유합니다.

자연수를 추출하기 위해, 우리는 어떤 집합이 자연수인지 정의를 필요로 합니다. 자연수는 확장성의 공리(axiom of extensionality)와 귀납법의 공리(axiom of induction)를 제외하고는 임의의 공리를 가정하지 않는 방법으로 정의될 수 있습니다 – 자연수는 영 또는 다음수이고 그것의 원소의 각각은 그것의 원소의 또 다른 것의 영 또는 다음수입니다. 형식 언어에서, 그 정의는 다음과 같이 말합니다:

\forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([n=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k(n=k\cup \{k\})]\,\,\land \,\,\forall m\in n[m=\emptyset \,\,\lor \,\,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})])).

또는, 훨씬 더 형식적으로:

\forall n(n\in \mathbf {N} \iff ([\forall k(\lnot k\in n)\lor \exists k\forall j(j\in n\iff (j\in k\lor j=k))]\land

\forall m(m\in n\Rightarrow [\forall k(\lnot k\in m)\lor \exists k(k\in n\land \forall j(j\in m\iff (j\in k\lor j=k)))]))).

Alternative method

대안적인 방법은 다음과 같습니다. $\Phi (x)$ 를 "x는 귀납적입니다"라고 말하는 공식으로 놓습니다; 즉, $\Phi (x)=(\emptyset \in x\wedge \forall y(y\in x\to (y\cup \{y\}\in x)))$ . 비공식적으로, 우리가 할 일은 모든 귀납적 집합의 교집합을 취하는 것입니다. 보다 공식적으로, 우리는 다음을 만족하는 고유한 집합 $W$ 의 존재를 입증하기를 원합니다:

\forall x(x\in W\leftrightarrow \forall I(\Phi (I)\to x\in I)).

(*)

존재를 위해 우리는 사양의 공리 스키마(Axiom schema of specification)와 결합된 무한대의 공리를 사용할 것입니다. $I$ 를 무한공리에 의해 보장된 귀납적 집합이라고 놓습니다. 그런-다음 우리는 사양의 공리 스키마를 집합 $W=\{x\in I:\forall J(\Phi (J)\to x\in J)\}$ 를 정의하기 위해 사용합니다 – 즉, $W$ 는 $I$ 의 모든 요소의 집합으로, 역시 모든 각 다른 귀납적 집합의 원소로 발생합니다. 이것은 분명하게 의 가설을 만족하는데, 왜냐하면 만약 $x\in W$ 이면, $x$ 는 모든 각 귀납적 집합에 있고, 만약 $x$ 가 모든 각 귀납적 집합에 있으면, 그것은 특히 $I$ 에 있으므로, 그것은 역시 $W$ 에 있어야 하기 때문입니다.

고유성을 위해, 먼저 (*)를 만족시키는 임의의 집합은 그 자체로 귀납적이라는 점에 주목하는데, 왜냐하면 0은 모든 귀납적 집합에 있고, 만약 원소 $x$ 가 모든 귀납적 집합에 있으면, 귀납적 속성에 의해 그것의 다음수도 마찬가지이기 때문입니다. 따라서 민액 (*)를 만족시키는 또 다른 집합 $W'$ 가 있으면 우리는 $W'\subseteq W$ 임을 가지는데 왜냐하면 $W$ 는 귀납적이기 때문이고, $W\subseteq W'$ 인데 왜냐하면 $W'$ 가 귀납적이기 때문입니다. 따라서 $W=W'$ 입니다. $\omega$ 는 이 고유한 원소를 나타내는 것으로 놓습니다.

이 정의는 편리한데 왜냐하면 귀납법의 원리(principle of induction)는 즉시 다음이 따라옵니다: 만약 $I\subseteq \omega$ 가 귀납적이면, $I=\omega$ 가 되도록 역시 $\omega \subseteq I$ 입니다.

이들 방법 둘 다는 이-차 산술(second-order arithmetic)의 공리를 만족시키는 시스템을 생성하는데, 왜냐하면 거듭제곱 집합의 공리(axiom of power set)는 이-차 논리(second-order logic)에서와 같이 $\omega$ 의 거듭제곱 집합(power set)에 걸쳐 수량화하는 것을 허용하기 때문입니다. 따라서 그것들 둘 다는 동형적(isomorphic) 시스템을 완전히 결정하고, 그것들이 항등 맵(identity map) 아래에서 동형적이기 때문에, 그것들은 실제로 같아야(equal) 합니다.

An apparently weaker version

일부 오래된 텍스트는 분명하게 무한대의 공리의 더 약한 버전을 사용하며, 즉,

\exists x\,(\exists y\,(y\in x)\,\land \,\forall y(y\in x\,\rightarrow \,\exists z(z\in x\,\land \,y\subseteq z\,\land \,y\neq z)))\,.

이것은 x에 원소가 있고 x의 모든 각 원소 y에 대해 y의 엄격한 초월집합인 x의 또 다른 원소가 있음을 말합니다. 이것은 x가 그것의 구조에 대한 많이 말하지 않아도 무한 집합임을 의미합니다. 어쨌든, ZF의 다른 공리의 도움으로, 우리는 이것이 ω의 존재를 의미한다는 것을 보여줄 수 있습니다. 첫째, 만약 우리가 무한 집합 x의 거듭제곱 집합을 취하면, 해당 거즙제곱 집합은 (x의 다른 부분집합 중에서) 모든 각 유한 카디널리티(cardinality) x의 부분집합인 원소를 포함할 것입니다. 그것들 유한 부분집합의 존재를 증명하려면 분리의 공리 또는 쌍화와 합집합의 공리를 요구할 수 있습니다. 그런-다음 우리는 대체의 공리를 x의 거듭제곱 집합의 각 원소를 같은 카디널리티의 초기(initial) 순서 숫자(ordinal number) (또는 그러한 순서 숫자가 없으면 0)로 대체하기 위해 적용할 수 있습니다. 그 결과는 순서 숫자의 무한 집합이 될 것입니다. 그런-다음 우리는 ω보다 크거나 같은 순서 숫자를 얻기 위해 그것들에 합집합의 공리를 적용할 수 있습니다.

Independence

무한대의 공리는 만약 그것들이 일관되면 ZFC의 다른 공리로부터 입증될 수 없습니다. (이유를 알아보려면, $\vdash$ Con(ZFC – Infinity)와 괴델의 두 번째 불완전성 정리(Gödel's second incompleteness_theorems)를 사용함을 주목하십시오.)

무한대의 공리의 부정은 만약 그것들이 일관되면 ZFC의 공리의 나머지로부터 도출될 수 없습니다. (이것은 다른 공리들이 일관된다면 ZFC가 일괸된다고 말하는 것과 동등합니다.) 우리는 이것을 믿지만, (만약 그것이 참이라면) 그것을 입증할 수는 없습니다.

실제로, 폰 노이만 우주(von Neumann universe)를 사용하여, 우리는 ZFC – Infinity + (¬Infinity)의 모델을 구축할 수 있습니다. 그것이 $V_{\omega }\!$ , 상속된 구성원 관계를 가진 유전적으로 유한 집합(hereditarily finite set)의 클래스입니다. 만약 빈 집합의 공리가 이 시스템의 일부로 취해지지 않으면 (왜냐하면 그것이 ZF + Infinity에서 유도될 수 있기 때문에), 빈 도메인(empty domain)이 역시 ZFC – Infinity + ¬Infinity를 만족시키는데, 왜냐하면 그것의 공리의 모두가 보편적으로 정량화되고, 따라서 만약 집합이 존재하지 않으면 자명하게 만족시키기 때문입니다.

자연수 집합의 카디널리티, 알레프 널(aleph null) ( $\aleph _{0}$ )은 큰 세는-숫자(large cardinal)의 많은 속성을 가지고 있습니다. 따라서 무한대의 공리는 때때로 첫 번째 큰 세는-숫자 공리로 여겨지고, 반대로 큰 세는-숫자 공리는 때때로 더 강한 무한대의 공리라고 불립니다.

References

^ Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908), 261-281; Axiom des Unendlichen p. 266f.

Paul Halmos (1960) Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (1999). Introduction to Set Theory (3 ed.). Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7915-0.

[1] Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908), 261-281; Axiom des Unendlichen p. 266f.

[1]