Natural number

Original article: wikipedia:Natural number

This article is about "positive integers" and "non-negative integers". For all the numbers ..., −2, −1, 0, 1, 2, ..., see Integer.

The double-struck capital N symbol, often used to denote the set of all natural numbers (see Glossary of mathematical symbols).

Natural numbers can be used for counting (one apple, two apples, three apples, ...)

수학(mathematics)에서, 자연수(natural numbers)는 ("테이블 위에 여섯 동전이 있습니다"와 같은) 세는 것(counting)과 ("이것은 그 나라에서 세 번째로 큰 도시입니다"와 같은) 순서화(ordering)에 사용되는 그것들입니다. 공통 수학적 용어에서, 세는 것에 구어체로 사용되는 단어는 "세는-숫자(cardinal numbers)"이고, 순서화에 대해 사용되는 단어는 "순서-숫자(ordinal numbers)"입니다. 자연수는, 때때로, 코드 (레이블 또는 "이름")의 편리한 집합으로써 나타날 수 있습니다. 즉, 언어 학자들(linguists)이 명목상의 숫자(nominal number)라고 부르는 것처럼, 수학적 의미에서 숫자가 되는 속성의 대부분 또는 전부를 무시합니다. 자연수의 집합은 종종 기호 $\mathbb {N}$로 표시됩니다.

표준 ISO 80000-2를 포함하여, 일부 정의는 비-음의 정수(non-negative integers) 0, 1, 2, 3, ...에 해당하는, 0과 함께 자연수를 시작하고 (종종 집합적으로 기호 $\mathbb {N}$로 표시되거나, 영이 포함된 것을 강조하기 위해 $\mathbb {N} _{0}$로 표시됨), 반면에 다른 정의는 양의 정수(positive integers) 1, 2, 3, ...에 해당하는, 1과 함께 시작합니다 (때때로 집합적으로 기호 $\mathbb {N}$으로 표시되거나, 영을 제외했음을 강조하기 위해 $\mathbb {N} _{1}$, 또는 $\mathbb {N} ^{*}$로 표시됩니다).

자연수에서 영을 제외하는 교과서는 영을 갖는 자연수를 whole numbers로 때때로 참조하고, 반면에 다른 글에서는, 해당 용어는 (음의 정수를 포함하여) 정수 대신에 사용됩니다.

자연수는 많은 다른 숫자 집합이 확장에 의해 만들어질 수 있는 기저입니다: 정수(integer), (만약 아직 포함하지 않았다면) 중립 원소(neutral element) 0과 비-영 자연수 n에 대해 덧셈의 역(additive inverse) (−n)를 포함합니다; 유리수(rational number), 각각의 비-영 정수 n에 대해 곱셈의 역(multiplicative inverse) (1/n )을 포함합니다 (및 정수에 의한 이들 역의 곱을 역시 포함합니다); 실수(real number), 유리수와 함께 유리수의 (수렴하는) 코시 수열(Cauchy sequences)의 극한(limits)을 포함합니다; 복소수(complex number), 실수와 함께 해결되지 않는 음의 일의 제곱근(square root of minus one)을 포함합니다 (및 합과 곱을 역시 포함합니다); 기타 등등. 이들 확장의 체인은 다른 숫자 시스템에서 정식으로 삽입된(embedded) (식별된) 자연수를 만듭니다.

나눔가능성(divisibility) 및 소수(prime number)의 분포와 같은, 자연수의 속성은 숫자 이론(number theory)에서 연구됩니다. 분할(partitioning) 및 열거(enumerations)와 같은 세는 것과 순서와 관련된 문제는 조합론(combinatorics)에서 연구됩니다.

공통 언어에서, 특히 초등 학교(primary school) 교육에서, 자연수는 음수 및 영을 직관적으로 배제하기 위해, 그리고 측정(measurement)의 연속성(continuity)– 실수의 검증 각인 특성 –과 세는 것(counting)의 이산성(discreteness)을 대조하기 위해, 세는-숫자(counting numbers)로 불릴 수 있습니다.

History

Ancient roots

The Ishango bone (on exhibition at the Royal Belgian Institute of Natural Sciences) is believed to have been used 20,000 years ago for natural number arithmetic.

자연수를 나타내는 가장 원시적인 방법은 각 대상에 대해 표시를 하는 것입니다. 나중에, 대상의 집합은 표시를 제거하고 집합에서 대상을 제거함으로써 상등, 초과 또는 부족에 대해 테스트될 수 있습니다.

추상화에서 첫 번째 주요 발전은 숫자를 표현하기 위해 숫자-표시(numerals)를 사용하는 것입니다. 이것은 시스템을 큰 숫자를 기록하는 것에 대해 개발되는 것을 허용했습니다. 고대 이집트인(Egyptians)은 1, 10, 및 100만까지 모든 10의 거듭제곱에 대해 별개의 상형 문자(hieroglyphs)를 가진 숫자-표시의 강력한 시스템을 개발했습니다; 기원전 1500년경까지 거슬러 올라가고 현재 파리의 루브르(Louvre) 박물관에 있는, 카르나크(Karnak)의 석재 조각은 276을 두 개의 백, 일곱 개의 십과 여섯 개의 일로 묘사합니다; 그리고 숫자 4,622에 대해 유사하게 묘사합니다. 바빌로니아(Babylonia) 사람들은, 밑수 60을 사용하여, 60에 대한 기호가 일에 대한 기호와 같아지도록, 1과 10에 대해 숫자-표시를 본질적으로 기반으로 한 자리-값(place-value) 시스템을 사용했습니다–일과 육십은 문맥에서 결정됩니다.

훨씬 후의 발전은 0이, 그것의 자체 숫자-표시와 함께, 숫자로 여길 수 있다는 아이디어의 발전이었습니다. 자리-값 표기법 (다른 숫자 내에서)에서 0 자릿수(digit)의 사용은 바빌로니아 사람들에 의해 기원전 700년으로 거슬러 올라가며, 그들은 영이 숫자에서 마지막 기호가 될 때 그러한 자릿수를 생략했습니다. 올멕(Olmec)과 마야 문명(Maya civilization)은 빠르면 기원전 1세기에 0을 별도의 숫자로 사용했지만, 이 사용은 메소-아메리카(Mesoamerica)를 넘어 퍼지지 않았습니다. 현대에서 숫자-표시 0의 사용은 기원후 628년에 인도(India)의 수학자 브라마굽타(Brahmagupta)에서 시작되었습니다. 어쨌든 0은 중세 컴퓨더스(computus) (부활절(Easter) 날짜의 계산)에서, 숫자-표시에 의해 표시되는 것없이, 기원후 525에 디오니시우스 엑시구스(Dionysius Exiguus)로 시작하여, 숫자로 사용되어 왔습니다 (표준 로마 숫자-표시(Roman numerals)에는 0에 대한 기호가 없었습니다). 대신에, "none"에 대한 라틴 단어, nullus로부터 nulla (또는 속격 형식 nullae)가 0 값을 표시하기 위해 사용되었습니다.

추상화(abstraction)로서의 숫자의 첫 번째 시스템적인 연구는 보통 그리스(Greek) 철학자 피타고라스(Pythagoras)와 아르키메데스(Archimedes)로 공인됩니다. 일부 그리스 수학자들은 숫자 1을 큰 숫자와는 다르게 취급했으며, 때로는 전혀 숫자가 아닌 것으로 취급했습니다. 유클리드(Euclid)는, 예를 들어, 먼저 단위를 정의했고 그런-다음 숫자를 단위의 단수로 정의했었고, 따라서 그의 정의에 따르면, 단위는 숫자가 아니고 고유한 숫자가 없습니다 (예를 들어, 무제한적으로 많은 단위로부터 임의의 두 단위는 2입니다).

숫자에 대한 독립적인 연구는 역시 인도(India), 중국(China), 및 메소아메리카(Mesoamerica)에서 거의 동시에 발생했습니다.

Modern definitions

19세기(19th century) 유럽(Europe)에서, 자연수의 정확한 본질에 대한 수학적이고 철학적 논의가 있었습니다. 자연주의(Naturalism)의 한 학교는 자연수가 인간 정신의 직접적인 결과라고 말했습니다. 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)는 "하느님이 정수를 만드셨고, 다른 모든 것은 인간의 작품"이라고 자신의 신념을 요약했던, 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)와 마찬가지로, 그것의 옹호자 중 한 명이었습니다.

자연주의자에 반대하여, 구성주의자(constructivists)는 수학의 기초(foundations of mathematics)에서 논리적 엄격함을 향상시킬 필요를 알았습니다. 1860년대에, 헤르만 그라스만(Hermann Grassmann)은 자연수에 대해 재귀적 정의를 제안하였으며, 따라서 그것들은 정말로 자연스러운 것이 아니라 정의의 결과라고 말했습니다. 나중에, 그러한 형식적 정의의 두 클래스가 구성되었습니다; 나중에도 여전히, 그것들은 대부분의 실제 응용에서 동등한 것으로 나타났습니다.

자연수의 집합-이론적 정의(Set-theoretical definitions of natural numbers)는 프레게(Frege)에 의해 시작되었습니다. 그는 처음에 자연수를 특정 집합과 일-대-일 대응에 있는 모든 집합의 클래스로 정의했습니다. 어쨌든, 이 정의는, 러셀의 역설(Russell's paradox)을 포함하여, 역설로 이어지는 것으로 밝혀졌습니다. 그러한 역설을 피하기 위해, 형식주의는 자연수가 특정 집합으로 정의되도록 수정했었고, 해당 집합과 일-대-일 대응에 넣을 수 있는 임의의 집합은 해당 원소의 숫자를 갖는 것으로 말합니다.

정의의 두 번째 클래스는 찰스 샌더스 퍼스(Charles Sanders Peirce)에 의해 도입되었으며, 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)에 의해 정제되었고, 주세페 페아노(Giuseppe Peano)에 의해 더 나아가서 탐구되었습니다; 이 접근 방식은 지금 페아노 산술(Peano arithmetic)이라고 불립니다. 그것은 순서-숫자(ordinal number)의 속성의 공리화(axiomatization)를 기반으로 합니다: 각 자연수는 다움수를 가지고 모든 각 비-영 자연수는 고유한 선행수를 가집니다. Peano arithmetic is equiconsistent with several weak systems of set theory. One such system is ZFC with the axiom of infinity replaced by its negation. Theorems that can be proved in ZFC but cannot be proved using the Peano Axioms include Goodstein's theorem.

모든 이들 정의와 함께, 자연수로 (빈 집합(empty set)에 해당하는) 0을 포함하는 것이 편리합니다. 0을 포함하는 것은 이제 집합 이론가(set theorists) 및 논리(logic)학자 사이에서 공통적인 관례입니다. 다른 수학자는 역시 0을 포함하고, 컴퓨터 언어는 종종 루프 카운터(loop counters), 문자열(string) 또는 배열-원소(array-elements)와 같은 항목을 열거할 때 0부터 시작합니다. 다른 한편으로, 많은 수학자들은 1을 첫 번째 자연수로 취하기 위한 오래된 전통을 유지해 왔습니다.

Notation

수학자들은 모든 자연수의 집합을 참조하기 위해 N 또는 $\mathbb {N}$ (칠판 굻은-글씨(blackboard bold)에서 N; 유니코드(Unicode): ℕ)을 사용합니다. 오래된 교과서는 역시 때때로 이 집합에 대해 기호로 J를 사용했습니다.

다른 속성이 토큰 0과 1에는 관례적으로 연관되기 때문에 (예를 들어, 각각 덧셈과 곱셈에 대한 중립 원소), 자연수의 어떤 버전이 고려중인 경우에 사용되는지 아는 것이 중요합니다. 이것은 산문으로 설명에 의해, 집합을 명시적으로 씀으로써, 또는 위첨자 또는 아래첨자로 일반 식별자를 한정함으로써 행해질 수 있습니다. 예를 들어, 다음처럼 행해집니다:

• 영없이 자연수: $\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}.$
• 영을 갖는 자연수: $\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

대안적으로, 자연수는 자연적으로 정수(integer)에 삽입(embed)되기 때문에, 그것들은 각각 양수 또는 비-음의 정수로 참조될 수 있습니다. 0이 포함되어 있는지 여부를 명확히 하기 위해, 때때로 아래첨자 (또는 위첨자) "0"이 전자의 경우에서 더해지고, 아래첨자 "*" (또는 위첨자 "1")이 후자의 경우에는 더합니다:

$\{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}$

$\{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}$

Properties

Infinity

자연수의 집합은 무한 집합(infinite set)입니다. 정의에 의해, 이 종류의 무한대(infinity)는 셀-수-있는 무한대(countable infinity)라고 불립니다. 자연수에 대한 전단사(bijective) 관계에 들어갈 수 있는 모든 집합은 이런 종류의 무한대를 가지는 것으로 말합니다. 이것은 역시 그 집합의 세는-숫자(cardinal number)가 알페프-영(aleph-nought) (ℵ₀)이라고 말함으로써 표현됩니다.

Addition

자연수의 집합 $\mathbb {N}$과 각 자연수를 그 다음 자연수로 보내는 다음수 함수(successor function) $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$가 주어지면, 우리는 모든 a, b에 대해 a + 0 = a와 a + S(b) = S(a + b)를 설정함으로써 재귀적으로 자연수의 덧셈(addition)을 정의할 수 있습니다. 그런-다음 (ℕ, +)는 항등 원소(identity element) 0을 갖는 교환적(commutative) 모노이드(monoid)입니다. 그것은 하나의 생성기에서 자유 모노이드(free monoid)입니다. 이 교환적 모노이드는 취소 속성(cancellation property)을 만족시키므로, 그것은 그룹(group)에 삽입될 수 있습니다. 자연수를 포함하는 가장 작은 그룹은 정수(integer)입니다.

만약 1이 S(0)로 정의되면, b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b)입니다. 즉, b + 1은 간단히 b의 다음수입니다.

Multiplication

유사하게, 덧셈이 정의된 것으로 주어지면, 곱셈(multiplication) 연산자 $\times$는 a × 0 = 0와 a × S(b) = (a × b) + a를 통해 정의될 수 있습니다. 이것은 (ℕ^*, ×)를 항등 원소 1을 갖는 교환적 모노이드로 바꿉니다; 이 모노이드에 대해 생성기 집합은 소수(prime number)의 집합입니다.

Relationship between addition and multiplication

덧셈과 곱셈은 양립할 수 있으며, 이것은 분배 법칙(distribution law)으로 표현됩니다: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). 덧셈과 곱셈의 이들 속성은 자연수를 교환적(commutative) 반-링(semiring)의 예제로 만듭니다. 반-링은 곱셈이 필연적으로 교환적이 아닌 곳에서 자연수의 대수적 일반화입니다. ℕ이 뺄셈 아래에서 닫혀(closed) 있지 않는다는 사실과 동일한, 덧셈의 역의 결여 (즉, 하나의 자연수에서 또 다른 자연수를 빼는 것이 항상 또 다른 자연수를 결과로 초래하지는 않습니다)은 ℕ가 링(ring)이 아님을 의미합니다; 대신에 그것은 반-링(semiring)입니다 (역시 리그(rig)로 알려져 있습니다).

만약 자연수가 "0을 제외"하고, "1에서 시작"하는 것으로 취해지면, + 및 ×의 정의는, 그것들이 a + 1 = S(a) 및 a × 1 = a으로 시작한다는 것을 제외하고 위와 같습니다.

Order

이 섹션에서, ab와 같이 병치된 변수는 곱 a × b를 나타내고, 표준 연산의 순서(order of operations)가 가정됩니다.

자연수에 대한 전체 순서(total order)는 a ≤ b를 설정함으로써 정의되는 것과 a가 a + c = b인 곳에서 또 다른 자연수 c가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다. 이 순서는 다음 의미에서 산술 연산(arithmetical operations)과 호환됩니다: 만약 a, b 및 c가 자연수이고 a ≤ b이면, a + c ≤ b + c 및 ac ≤ bc입니다.

자연수의 중요한 속성은 그것들이 바른-순서(well-order)된 것입니다: 자연수의 모든 각 비-빈 집합은 최소 원소를 가집니다. 바른-순서화된 집합 사이의 랭크는 순서-숫자(ordinal number)에 의해 표현됩니다; 자연수에 대해, 이것은 ω (오메가)로 표시됩니다.

Division

이 섹션에서, ab와 같이 병치된 변수는 곱 a × b를 나타내고, 표준 연산의 순서(order of operations)가 가정됩니다.

일반적으로 하나의 자연수를 다른 자연수로 나누고 결과로 자연수를 얻는 것은 가능하지는 않지만, 나머지를 갖는 나눗셈 또는 유클리드 나눗셈(Euclidean division)의 절차는 하나의 대용품으로 이용될 수 있습니다: b ≠ 0과 함께 임의의 두 자연수 a와 b에 대해, 다음을 만족하는 자연수 q와 r이 있습니다:

$a=bq+r{\text{ and }}r<b.$

숫자 q는 몫(quotient)이라고 불리고 r은 b에 의한 a의 나눗셈의 나머지(remainder)라고 불립니다. 숫자 q와 r은 a와 b에 의해 고유하게 결정됩니다. 이 유클리드 나눗셈은 숫자 이론에서 여러 다른 속성 (나눔가능성(divisibility)), 알고리듬 (예를 들어, 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm)), 및 아이디어의 핵심입니다.

Algebraic properties satisfied by the natural numbers

위에 정의된 것과 같은 자연수에 대한 덧셈 (+) 및 곱셈 (×) 연산은 여러 대수적 속성을 가집니다:

• 덧셈과 곱셈 아래에서 클로저(Closure): 모든 자연수 a와 b에 대해, a + b와 a × b 둘 다는 자연수입니다.
• 결합성(Associativity): 모든 자연수 a, b, 및 c에 대해, a + (b + c) = (a + b) + c 및 a × (b × c) = (a × b) × c입니다.
• 교환성(Commutativity): 모든 자연수 a와 b에 대해, a + b = b + a 및 a × b = b × a입니다.
• 항등 원소(identity element)의 존재: 모든 각 자연수 a에 대해, a + 0 = a 및 a × 1 = a입니다.
• 덧셈에 걸쳐 곱셈의 분배성(Distributivity): 모든 자연수 a, b, 및 c에 대해, a × (b + c) = (a × b) + (a × c)입니다.
• 비-영 영-제수(zero divisor) 없음: 만약 a와 b가 a × b = 0를 만족하는 자연수이면, a = 0 또는 b = 0 (또는 둘 다)입니다.

Generalizations

자연수의 두 중요한 일반화는 세는 것과 순서 매김: 세는-숫자(cardinal number)와 순서-숫자(ordinal number)의 두 사용으로 발생합니다.

• 자연수는 유한 집합의 크기를 표현하기 위해 사용될 수 있습니다; 보다 정확하게, 세는 숫자는 집합의 크기에 대한 측정이며, 이것은 심지어 무한 집합에도 적합합니다. "크기"의 이 개념은, 두 집합이 같은 크기를 가짐을 만족하는 두 집합 사이의 맵에 의존하며, 정확하게 그것들 사이에 전단사(bijection)가 있음을 만족합니다. 자연수 자체의 집합, 및 그것의 임의의 전단사 이미지는 countably infinite(셀-수-있는 무한)이고 카디널리티 알레트-영(aleph-null) (ℵ₀)을 가진다고 말합니다.
• 자연수는 언어적 순서 숫자(linguistic ordinal numbers): "첫 번째", "두 번째", "세 번째", 및 이런 식으로 계속으로 사용됩니다. 이 방법으로 그것들은 전체적으로 순서화 유한 집합의 원소, 및 역시 임의의 바른-순서(well-order)된 셀-수-있는 무한 집합의 원소에 할당될 수 있습니다. 이 할당은 순서-숫자를 산출하기 위해 셈-가능성 이상의 카디널리티를 갖는 일반적인 바른-순서화로 일반화될 수 있습니다. 순서-숫자는 역시 바른-순서된 집합에 대해 "크기"의 개념을 묘사하기 위해 사용될 수 있으며, 카디널리티와는 다른 의미에서: 만약 바른-순서된 집합 사이에 순서 동형(order isomorphism) (전단사 이상!)이 있으면, 그것들은 같은 순서-숫자를 가집니다. 자연수가 아닌 첫 번째 순서-숫자는 ω로 표현됩니다; 이것은 역시 자연수 자체의 집합의 순서-숫자입니다.

카디널리티 ℵ₀의 최소 순서-숫자 (즉, ℵ₀의 초기 순서-숫자(initial ordinal))는 ω이지만, 카디널리티 ℵ₀를 갖는 많은 바른-순서된 집합은 ω보다 더 큰 순서-숫자를 가집니다.

유한(finite) 바른-순서된 집합에 대해, 순서-숫자와 세는-숫자 사이에 일-대-일 대응이 있습니다; 그러므로 그것들은 같은 자연수, 집합의 원소의 숫자에 의해 둘 다 표현될 수 있습니다. 이 숫자는 역시 더 큰 유한, 또는 무한, 수열(sequence)에서 원소의 위치를 설명하기 위해 사용될 수 있습니다.

페아노 산술 (즉, 일차 페아노 공리)를 만족시키는 셀-수-있는 산술의 비-표준 모델(non-standard model of arithmetic)은 1933년에 스콜렘(Skolem)에 의해 개발되었습니다. 초자연수(hypernatural)는 극단-거듭제곱 구성(ultrapower construction)을 통해 보통의 자연수로 구성될 수 있는 셀-수-없는 모델입니다.

조르쥬 레브(Georges Reeb)는 소박한 정수는 ℕ을 채울 수 없다고 도발적으로 주장하기 위해 사용했습니다. 다른 일반화는 숫자(number)에 대한 기사에서 논의됩니다.

Formal definitions

Peano axioms

Main article: Peano axioms

자연수의 많은 속성은 페아노 공리(Peano axioms)로부터 유도될 수 있습니다:

1. 0은 자연수입니다.
2. 모든 각 자연수는 역시 자연수인 다음수를 가집니다.
3. 0은 임의의 자연수의 다음수가 아닙니다.
4. 만약 $x$의 다음수가 $y$의 다음수와 같으면, $x$는 $y$와 같습니다.
5. 귀납법의 공리(axiom of induction): 만약 하나의 명제가 0의 참이면, 및 만약 하나의 숫자에 대해 해당 명제의 진리가 해당 숫자의 다음수에 대해 그것의 진리를 의미하면, 그 명제는 모든 각 자연수에 대해 참입니다.

이것들은 페아노에 의해 출판된 원래 공리가 아니지만, 그의 명성에서 이름지어졌습니다. 페아노 공리의 일부 형식은 0의 자리에 1을 가집니다. 보통의 산술에서, $x$의 다음수는 $x+1$입니다. 공리 5를 공리 스키마로 대체하여, 우리는 페아노 산술(Peano arithmetic)이라고 불리는 (더 약한) 일-차 이론을 얻습니다.

Constructions based on set theory

Main article: Set-theoretic definition of natural numbers

See also: Ordinal number § Definitions

Von Neumann ordinals

집합 이론(set theory)이라고 불리는 수학 영역에서, 존 폰 노이만(John von Neumann)에 기인한 특정 구성은 자연수를 다음과 같이 정의합니다:

• 집합 0 = { }, 빈 집합(empty set),
• 모든 각 집합 a에 대해 S(a) = a ∪ {a}를 정의합니다. S(a)는 a의 다음수이고, S는 다음수 함수(successor function)라고 불립니다.
• 무한대의 공리(axiom of infinity)에 의해, 0을 포함하고 다음수 함수 아래에서 닫혀있는 집합이 존재합니다. 그러한 집합은 귀납적(inductive)이라고 말합니다. 모든 그러한 귀납적 집합의 교집합은 자연수의 집합으로 정의됩니다. 그것은 자연수의 집합이 페아노 공리(Peano axioms)를 만족시키는지 확인될 수 있습니다.
• 각 자연수는 그것보다 작은 모든 자연수의 집합과 같음을 따릅니다:

• 0 = { },
• 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{ }},
• 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{ }, {{ }}},
• 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}},
• n = n−1 ∪ {n−1} = {0, 1, ..., n−1} = {{ }, {{ }}, ..., {{ }, {{ }}, ...}}, 등.

이 정의와 함께, 자연수 n은 n 원소를 갖는 특정 집합이고, n ≤ m인 것과 n이 m의 부분집합(subset)인 것은 필요충분 조건입니다. 표준 정의는, 이제 폰 노이만 순서-숫자의 정의라고 불리며, 다음입니다: "각 순서-숫자는 모든 더 작은 순서-숫자의 바른-순서된 집합입니다."

역시, 이 정의와 함께, ℝⁿ (n-튜플 대 n을 ℝ로 매핑)과 같은 표기법의 다른 가능한 해석이 일치합니다.

심지어 우리가 무한의 공리를 받아들이지 않고 따라서 모든 자연수의 집합이 존재한다는 것을 받아들일 수 없더라도, 여전히 이들 집합 중 임의의 하나를 정의하는 것이 가능합니다.

Zermelo ordinals

비록 표준 구성이 유용하지만, 유일한 가능한 구성은 아닙니다. 에른스트 체르멜로(Ernst Zermelo)의 구성은 다음과 같습니다:

• 집합 0 = { }
• S(a) = {a}를 정의합니다,
• 그것은 그런-다음 다음임을 따릅니다:

• 0 = { },
• 1 = {0} = {{ }},
• 2 = {1} = {{{ }}},
• n = {n−1} = {{{...}}}, 등.

각 자연수는 그런-다음 단지 그것 앞에 오는 자연수를 포함하는 집합과 같습니다. 이것이 체르멜로 순서-숫자(Zermelo ordinals)의 정의입니다. 폰 노이만의 구성과 달리, 체르멜로 순서-숫자는 무한 순서-숫자에 대해 설명하지 않습니다.

See also

• Benacerraf's identification problem
• Canonical representation of a positive integer
• Countable set
• Number#Classification for other number systems (rational, real, complex etc.)
• Ordinal number
• Set-theoretic definition of natural numbers

External links

• "Natural number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Axioms and construction of natural numbers". apronus.com.