Centroid

Original article: w:Centroid

Centroid of a triangle

수학(mathematics) 및 물리학(physics)에서, 평면 그림(plane figure)의 도형-중심(centroid) 또는 기하학적 중심(geometric center)은 그림에서 모든 점의 산술 평균(arithmetic mean) 위치입니다. 비공식적으로, 그것은 모양의 차단이 핀의 끝 위에서 완벽하게 균형-잡힐 수 있는 점입니다.

정의는 n-차원(dimension)의 공간(space)에서 임의의 대상으로 확장됩니다: 그의 도형-중심은 모든 좌표 방향에서 모든 점의 평균 위치입니다.

기하학(geometry)에서 단어 베리센터(barycenter)는 센트로이드(centroid)에 대한 동의어이지만, 천체-물리학(astrophysics) 및 천문학(astronomy)에서, 베리센터(barycenter)는 서로 궤도를 도는(orbit) 두 개 이상의 몸체의 질량의 중심(center of mass)입니다. 물리학(physics)에서, 질량의 중심은 지역 밀도 또는 특정 무게(specific weight)에 의해 가중된(weighted) 모든 점의 산술 평균입니다. 만약 물리적 대상이 균등 밀도를 가지면, 그것의 질량의 중심은 그의 모양의 도형-중심과 같습니다.

지리학(geography)에서, 바다 기준(해발)에 대한 지구 표면의 지역의 방사형 투영의 도형-중심은 그 지역의 지리적 중심(geographical center)입니다.

History

용어 "centroid"는 최근의 만들어진 것 (1814)입니다. 그것은, 그 점의 순수하게 기하학적 관점이 강조될 때, 더 오래된 용어 "무게의 중심(center of gravity)" 및 "질량의 중심(center of mass)"을 대체하는 것으로 사용됩니다. 그 용어는 영어에 대한 독특한 것입니다. 프랑스인은 대부분 "centre de gravité"을 사용하고, 다른 사람들은 비슷한 의미의 용어를 사용합니다.

그 이름에서 알 수 있듯이, 무게의 중심은 역학, 대체로 건축 활동과 관련하여 생겨난 개념입니다. 언제, 어디서, 및 누구에 의해 그것이 발명되었는지는 알져져 있지 않는데, 왜냐하면 그것은 작은 차이로 많은 사람들에게서 개별적으로 발생할 수 있는 개념이기 때문입니다.

유클리드(Euclid)는, 아르키메데스(Archimedes)의 유년기 (기원전 287-212 동안 알렉산드리아(Alexandria)에서 여전히 활동적이었을 수 있지만, 아르키메데스가 알렉산드리아를 방문했을 때 유클리드는 더 이상 그 곳에 있지 않았을 것이라는 것은 확실합니다. 따라서 아르키메데스는 삼각형의 중선이 그 점—삼각형의 무게 중심과 만나는 정리를 유클리드로부터 직접 배우지는 않았을 것인데, 왜냐하면 이 전제는 유클리드의 원론(Euclid's Elements)에 없기 때문입니다. 이 전제의 첫 번째 명백한 명제는 알렉산드리아의 헤론(Heron of Alexandria) (아마도 기원전 1세기)에 기인하고 그의 역학에서 발생합니다. 그것은, 시간이 지나면서, 전제가 19세기까지 평면 기하학에 관한 교과서에서 공통적으로 되지는 않은 채로 더해졌을 수 있을 것입니다.

아르키메데스는 그 전제를 명시적으로 말하지는 않았지만, 그는, 그것에 잘 알고 있었음을 암시하는, 그것에 대한 간접적 참조를 만듭니다. 어쨌든, 장 이티엔 몽티클라(Jean Etienne Montucla) (1729-1799), 수학의 첫 역사 (1758)의 저자는 고체의 무게의 중심이 아르키메데스가 접하지 않은 주제라고 카테고리적으로 선언합니다 (1 권, p. 463).

1802년에서, 찰스 보싯(Charles Bossut) (1730-1813)은 2-권의 Essai aur PhisMire generale des mathematiques를 출판했습니다. 이 책은 동시대의 사람들에게 높은 평가를 받았으며, 출판 후 2년 이내에 이태리어 (1802–03), 영어 (1803), 및 독일어 (1804)로 이미 번역되어 있었다는 점에서 판단할 수 있습니다. 보싯은 아르키메데스가 평면 그림의 도형-중심을 찾은 것으로 인정하지만, 고체에 대해 말할 것은 아무것도 없는 것으로 표현했습니다.

Properties

볼록한(convex) 물체의 기하학적 도형-중심은 항상 물체 안에 놓입니다. 볼록하지 않은 물체는 그림 자체 밖에 도형-중심을 가질 수 있을 것입니다. 반지(ring) 또는 사발(bowl)의 도형-중심은, 예를 들어, 물체의 중앙 빈 곳에 놓입니다.

만약 도형-중심이 정의되면, 그것은 그의 대칭 그룹(symmetry group)에서 모든 등거리-변환(isometries)의 고정된 점입니다. 특히, 물체의 기하학적 도형-중심은 대칭(symmetry)의 모든 초평면(hyperplane)의 교차에 놓입니다. 많은 그림 (정규 다각형(regular polygon), 정규 다면체(regular polyhedron), 원기둥(cylinder), 직사각형(rectangle), 마름모(rhombus), 원(circle), 구(sphere), 타원(ellipse), 타원면체(ellipsoid), 초-타원(superellipse), 초-타원면체(superellipsoid), 기타 등등)의 도형-중심은 이 원리 단독으로 결정될 수 있습니다.

특히, 평행사변형(parallelogram)의 도형-중심은 그의 두 대각선(diagonal)의 만나는 점입니다. 이것은 다른 사변형(quadrilateral)에 대해 참이 아닙니다.

같은 이유에 대해, 평행이동의 대칭(translational symmetry)과 함께 물체의 도형-중심은 정의되지 않는데 (또는 둘러싼 공간 밖에 놓이는데), 왜냐하면 평행-이동은 고정된 점을 가지지 않기 때문입니다.

Examples

삼각형의 도형-중심은 삼각형의 세 중앙-선(medians)의 교차점입니다 (각 중앙-선은 꼭짓점을 대변의 중점과 연결합니다).

삼각형의 도형-중심의 다른 속성에 대해, 아래(below)를 참조하십시오.

Locating

Plumb line method

아래의 그림 (a)에서 처럼, 균일하게 밀집한 평면 얇은-판(planar lamina)의 도형-중심은 같은 모양을 갖는 균일한 밀도의 얇은 몸체의 공존 질량 중심을 찾기 위해 추선(plumbline)과 압정을 사용하여 실험적으로 결정될 수 있을 것입니다. 몸체는 압정을 중심으로 자유롭게 회전할 수 있는 방식으로 추정된 도형-중심 밖의 한 점에서 삽입된 압정에 의해 고정됩니다; 추선은 그런-다음 핀에서 떨어 뜨립니다 (그림 b). 추선의 위치는 표면에서 그려지고, 과정은 몸체의 도형-중심 밖의 임의의 다른 점 (또는 여러 점들)에 삽입된 압정과 함께 반복됩니다. 이들 직선의 고유한 교점은 도형-중심일 것입니다 (그림 c). 몸체가 균일한 밀도인 것으로 제공되면, 이런 방식으로 만들어진 모든 직선은 도형-중심을 포함할 것이고, 모든 직선은 정확히 같은 위치에서 교차할 것입니다.

(a)	(b)	(c)

이 방법은 도형-중심이 모양 외부에 놓일 수 있는 오목한 형상에 대해 (이론적으로) 확장될 수 있고, 도형-중심이 몸체 안에 놓일 수 있는 (다시, 균일한 밀도) 고체에 대해 실질적으로 확장될 수 있습니다. 추선의 (가상) 위치는 모양을 따라 그리는 것 이외의 방법으로 기록될 필요가 있습니다.

Balancing method

볼록한 이-차원 모양에 대해, 도형-중심은, 좁은 원기둥의 꼭대기에서 처럼, 더 작은 모양으로 모양을 균형-조정함으로써 찾아질 수 있습니다. 도형-중심은 두 모양 사이의 접촉 범위 안에서 (및 모양이 압정 위에 균형을 이루는 정확하게 그 점에서) 어딘가에 발생합니다. 원칙적으로, 점진적으로 좁아지는 원기둥은 임의의 정밀도에 대한 도형-중심을 찾기 위해 사용될 수 있습니다. 실제로, 공기 흐름은 이것을 불가능하게 만듭니다. 어쨌든, 여러 저울에서 겹치는 범위를 표시함으로써, 우리는 상당한 수준의 정확도를 달성할 수 있습니다.

Of a finite set of points

$\mathbb {R} ^{n}$에서 ${k}$ 점 $\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}$의 유한한 집합의 도형-중심은 다읍입니다:

$\mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}$.

이 점은 집합에서 자체와 서로 사이의 제곱된 유클리드 거리의 합을 최소화합니다.

By geometric decomposition

평면 그림 $X$의 도형-중심은, 각 부분의 도형-중심 $C_{i}$ 및 넓이 $A_{i}$를 계산하여, 더-간단한 그림 $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$의 유한한 숫자로 그것을 나눔으로써 계산될 수 있고, 그런-다음 다음으로 계산합니다.

$C_{x}={\frac {\sum C_{i_{x}}A_{i}}{\sum A_{i}}},C_{y}={\frac {\sum C_{i_{y}}A_{i}}{\sum A_{i}}}$

그림 $X$, 부분들 사이의 겹침, 또는 그림 외부로 연장하는 부분들은 음의 넓이 $A_{i}$를 사용하여 전부 처리될 수 있습니다. 즉, 측정 $A_{i}$는, 주어진 점 $p$를 감싸는 모든 부분에 대해 $A_{i}$의 부호의 합은, 만약 $p$가 $X$에 속하면, 1이고, 그렇지 않으면 0인 그러한 방법으로 양 및 음의 부호를 취해야 합니다.

예를 들어, 아래 그림 (a)는 정사각형 및 삼각형, 양의 넓이를 가진 두 개 및 음의 넓이를 가진 원형 구멍으로 쉽게 나뉩니다 (b).

(a) 2D Object

(b) Object described using simpler elements

(c) Centroids of elements of the object

각 부분의 도형-중심은 임의의 단순 모양의 도형-중심의 목록에서 찾아질 수 있습니다 (c). 그런-다음 그림의 도형-중심은 세 점의 가중된 평균입니다. 그림의 왼쪽 가장자리로부터, 도형-중심의 수평 위치는 다음입니다:

$x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi 2.5^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2.5^{2}}}\approx 8.5{\mbox{ units}}.$

도형-중심의 수직 위치는 같은 방법으로 찾아집니다.

같은 공식은, 각 $A_{i}$가 그의 넓이라기 보다는 $X_{i}$의 부피여야 한다는 것을 제외하고 임의의 삼-차원 물체에 대해 유지됩니다. 그것은, $\mathbb {R} ^{d}$의 임의의 부분-집합에 대해, 임의의 차원 $d$에 대해, 넓이를 부분의 $d$-차원 측정(measure)으로 대체하는 것과 함께 역시 유지됩니다.

By integral formula

$\mathbb {R} ^{n}$의 부분-집합 X의 도형-중심은 다음 적분(integral)에 의해 역시 계산될 수 있습니다:

$C={\frac {\int xg(x)\;dx}{\int g(x)\;dx}}$

여기서 적분은 전체 공간 $\mathbb {R} ^{n}$에 걸쳐 취해지고, g는 부분-집합의 특성 함수(characteristic function)이며, 이것은 X 안쪽에서 1이고 그것의 바깥에서 0입니다. 분모는 집합 X의 단순한 측정(measure)임을 주목하십시오. 이 공식은, 만약 집합 X가 영 측정을 가지면, 또는 만약 두 적분이 발산하면, 적용될 수 없습니다.

도형-중심에 대해 또 다른 공식은 다음입니다:

$C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\;dz}{\int S_{k}(z)\;dz}}$

여기서 C_k는 C의 k-번째 좌표이고, S_k(z)는 방정식 x_k = z에 의해 정의된 초평면과 함께 X의 교차의 측정입니다. 다시, 분모는 X의 단순한 측정입니다.

평면 그림에 대해, 특히, 베리센터 좌표는 다음입니다:

$C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\;dx}{A}}$

$C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\;dy}{A}}$

여기서 A는 그림 X의 넓이입니다; S_y(x)는 앱시서(abscissa) x에서 수직 직선과 함께 X의 교차의 길이입니다; 그리고 S_x(y)는 교체된 축에 대해 유사한 양입니다.

Of a bounded region

구간 $[a,b]$, $a\leq x\leq b$, 위에 $f(x)\geq g(x)$를 만족하는 연속 함수(continuous function) $f$ 및 $g$의 그래프에 의해 경계진 영역의 도형-중심 $({\bar {x}},\;{\bar {y}})$은 다음으로 제공됩니다:

${\bar {x}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x[f(x)-g(x)]\;dx$

${\bar {y}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}\left[{\frac {f(x)+g(x)}{2}}\right][f(x)-g(x)]\;dx,$

여기서 $A$는, $\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\;dx$에 의해 제공되는, 영역의 넓이입니다.

Of an L-shaped object

이것은 L-모양의 물체의 도형-중심을 결정하는 방법입니다.

1. 모양을, 그림 2에서 보이는 것처럼, 두 직사각형으로 나누십시오. 이들 두 직사각형의 도형-중심을 대각선을 그려서 찾으십시오. 도형-중심을 연결하여 직선을 그리십시오. 모양의 도형-중심은 이 직선 AB 위에 반드시 놓입니다.
2. 모양을, 그림 3에서 보이는 것처럼, 두 다른 직사각형으로 나누십시오. 이들 두 직사각형의 도형-중심을 대각선을 그려서 찾으십시오. 도형-중심을 연결하여 직선을 그리십시오. L-모양의 도형-중심은 반드시 이 직선 CD 위에 놓입니다.
3. 모양의 도형-중심은 AB를 따라 반드시 놓이고 역시 CD를 따라 놓이기 때문에, 그것은 반드시 이들 두 직선의 교점, O에 있습니다. 점 O는 L-모양 물체의 안쪽 또는 바깥에 놓일 수 있을 것입니다.

Of a triangle

삼각형(triangle)의 도형-중심은 그의 중앙-선(medians) (각 꼭짓점(vertex)과 대변의 중점을 연결하는 직선)의 교차의 점입니다. 도형-중심은 비율(ratio) 2:1로 중앙-선의 각각을 나누고, 즉 그것은 각 변으로부터 반대 꼭짓점까지 거리의 ⅓에 위치됩니다 (오른쪽에 그림을 참조하십시오). 그의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)는 세 꼭짓점의 좌표의 평균(means)입니다. 즉, 만약 세 꼭짓점이 $L=(x_{L},y_{L}),$ $M=(x_{M},y_{M}),$ 및 $N=(x_{N},y_{N})$이면, 도형-중심은 다음입니다 (여기서 C로 표시되지만 삼각형 기하학(triangle geometry)에서 가장 공통적으로 G로 표시됩니다):

$C={\frac {1}{3}}(L+M+N)=\left({\frac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),\;\;{\frac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N})\right).$

도형-중심은 그러므로 베리센터의 좌표(barycentric coordinates)에서 ${\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}$에 있습니다.

삼-선형 좌표(trilinear coordinates)에서, 도형-중심은 변 길이 a, b, c 및 꼭짓 각 L, M, N의 관점에서 이들 동등한 방법의 임의의 것으로 표현될 수 있습니다:

${\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M\\[6pt]&=\sec L+\sec M\cdot \sec N:\sec M+\sec N\cdot \sec L:\sec N+\sec L\cdot \sec M.\end{aligned}}$

도형-중심은, 만약 삼각형이 삼각형이 균일한 재료의 얇은-판으로 만들어지면; 또는 모든 질량이 세 꼭짓점에 집중되어 있고, 그것들 사이에 균등하게 나뉘어 있으면, 역시 물리적 질량의 중심입니다. 다른 한편으로, 만약 질량이, 균등 선형 밀도로, 삼각형의 둘레를 따라 분포되면, 질량의 중심은 슈피커 중심(Spieker center) (중점 삼각형(medial triangle)의 내심(incenter))에 놓이며, 이것은 (일반적으로) 완전한 삼각형의 기하학적 도형-중심과 일치하지 않습니다.

삼각형의 넓이는 임의 변의 길이 곱하기 변으로부터 도형-중심까지 수직 거리의 1.5배입니다.

삼각형의 도형-중심은 그의 수직-중심(orthocenter) H와 그의 둘레-중심(circumcenter) O 사이의 그의 오일러 직선 위에, 정확하게 전자보다 후자에 두 배 가까운 곳에 놓입니다.

${\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.$

게다가, 내심(incenter) I 및 아홉-점 중심(nine-point center) N에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

${\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}}\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}}\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}}\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}}\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}\end{aligned}}$

만약 G가 삼각형 ABC의 도형-중심이면, 다음입니다:

$\displaystyle ({\text{Area of }}\triangle \mathrm {ABG} )=({\text{Area of }}\triangle \mathrm {ACG} )=({\text{Area of }}\triangle \mathrm {BCG} )={\frac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle \mathrm {ABC} )$

삼각형의 도형-중심의 등각형 켤레(isogonal conjugate)는 그의 대칭-중앙 점(symmedian point)입니다.

도형-중심을 통과하는 세 중앙-선의 임의의 것은 삼각형의 넓이를 반으로 나눕니다. 이것은 도형-중심을 통과하는 다른 직선에 대해 참이 아닙니다; 같은-넓이 분할에서 가장-큰 이탈은 도형-중심을 통과하는 직선이 삼각형의 변과 평행할 때 발생하며, 더 작은 삼각형과 사다리꼴(trapezoid)을 만듭니다; 이 경우에서 사다리꼴의 넓이는 그 삼각형의 넓이의 5/9입니다.

P를 꼭짓점 A, B, 및 C와 도헝-중심 G를 가진 삼각형의 평면에서 임의의 점으로 놓습니다. 그런-다음 세 꼭짓점으로부터 P의 제곱된 거리의 합은 꼭짓점으로부터 도형-중심 G의 제곱된 거리의 합을 P와 G 사이의 제곱된 거리의 세 배 만큼 초과합니다.

$PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.$

삼각형의 변의 제곱의 합은 꼭짓점으로부터 도형-중심의 제곱된 거리의 합의 세 배와 같습니다:

$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).$

삼각형의 도형-중심은 삼각형의 변-직선으로부터 점의 제곱된 거리의 곱을 최대화하는 점입니다.

ABC를 삼각형으로 놓고, G를 도형-중심으로 놓고, D, E, 및 F를, 각각, BC, CA, 및 AB의 중간-점으로 놓습니다. ABC의 평면에서 임의의 점 P에 대해, 그런-다음

$PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.$

Of a polygon

n 꼭짓점 (x₀,y₀), (x₁,y₁), ..., (x_n−1,y_n−1)으로 정의된 비-자기-교차하는 닫힌 다각형(polygon)의 도형-중심은 점 (C_x, C_y)이며, 여기서

$C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})$ , 및

$C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})$ ,

및 여기서 A는 다각형의 부호화된 넓이이며, 신발끈 공식(shoelace formula)에 의해 다음으로 묘사됩니다:

$A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).$

이들 공식에서, 꼭짓점은 다각형의 둘레를 따라 그들의 발생의 순서에서 번호가 매겨지는 것으로 가정합니다; 게다가, 꼭짓점 ( x_n, y_n )은 ( x₀, y₀ )과 같은 것으로 가정되며, 마지막 경우의 $i+1$은 $i=0$에서 돌아서 루프를 형성해야 함을 의미합니다. (만약 그 점들이 시계-방향 순서로 번호가 매겨지면, 넓이 A는, 위에서 계산된 것처럼, 음수가 될 것입니다; 어쨌든, 도형-중심 좌표는 심지어 이 경우에서 정확하게 될 것입니다.)

Of a cone or pyramid

원뿔(cone) 또는 피라미드(pyramid)의 도형-중심은 꼭대기(apex)를 밑면의 도형-중심에 연결하는 선분 위에 위치합니다. 속이-꽉찬 원뿔 또는 피라미드에 대해, 도형-중심은 밑면에서 꼭대기로의 거리의 1/4입니다. 밑면이 없는 단지 껍질 (구멍)인 원뿔 또는 피라미드에 대해, 도형-중심은 밑의 평면에서 꼭대기로의 거리의 1/3입니다.

Of a tetrahedron and n-dimensional simplex

사면체(tetrahedron)은 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 면(faces)으로 네 삼각형을 가지는 물체입니다. 삼각뿔의 꼭짓점와 반대 면의 도형-중심을 연결하는 선분은 중앙-선(median)으로 불리고, 두 반대 가장자리의 중간-점을 연결하는 선분은 쌍-중앙선(bimedian)으로 불립니다. 그러므로 네 개의 중앙-선과 세 개의 쌍-중앙-선이 있습니다. 이들 일곱 선분 모두는 삼각뿔의 도형-중심에서 만납니다. 중앙-선은 비율 3:1에서 도형-중심에 의해 나뉩니다. 삼각뿔의 도형-중심은 그의 몽주 점(Monge point)와 둘레-중심 (외접하는 구의 중심) 사이의 중간 점입니다. 이들 세 점은 삼각뿔의 오일러 직선을 정의하고 삼각형의 오일러 직선(Euler line)과 유사합니다.

이들 결과는 다음 방법으로 n-차원 심플렉스(simplex)로 일반화됩니다. 만약 심플렉스의 꼭짓점의 집합이 ${v_{0},\ldots ,v_{n}}$이면, 꼭짓점을 벡터(vectors)로 고려하여, 도형-중심은 다음입니다:

$C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.$

기하학적 도형-중심은, 만약 질량이 전체 심플렉스에 걸쳐 균등하게 분포, 또는 n 같은 질량으로 꼭짓점에 집중되면, 질량의 중심과 일치합니다.

Of a hemisphere

속이-꽉찬 반구의 도형-중심은 구의 중심을 반구의 극에 연결하는 선분을 비율 3:5에서 나눕니다 (즉, 그것은 중심에서 극으로의 방향의 3/8에 놓입니다). 구멍 반구의 도형-중심은 구의 중심을 반구의 극에 연결하는 선분을 반으로 나눕니다.

See also

• Chebyshev center
• Fréchet mean
• k-means algorithm
• List of centroids
• Locating the center of mass
• Medoid
• Pappus's centroid theorem
• Spectral centroid
• Triangle center

References

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble, LCCN 52013504
• Bourke, Paul (July 1997). "Calculating the area and centroid of a polygon".
• Johnson, Roger A. (2007), Advanced Euclidean Geometry, Dover
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston, LCCN 69012075
• Larson, Roland E.; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (1998), Calculus of a Single Variable (6th ed.), Houghton Mifflin Company
• Protter, Murray H.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042

External links

• Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X(2).
• Characteristic Property of Centroid at cut-the-knot
• Barycentric Coordinates at cut-the-knot
• Interactive animations showing Centroid of a triangle and Centroid construction with compass and straightedge
• Experimentally finding the medians and centroid of a triangle at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch using the gravity simulator of Cinderella.