Space (mathematics)

수학(mathematics)에서, 공간(space)은 어떤 더해진 구조를 갖는 집합 (때로는 우주라고 불림)입니다. 현대 수학은 유클리드 공간(Euclidean spaces), 선형 공간(linear spaces), 토폴로지적 공간(topological spaces), 힐베르트 공간(Hilbert spaces), 또는 확률 공간(probability spaces)과 같은 많은 유형의 공간을 사용하지만, 그것은 "공간" 자체의 개념을 정의하지는 않습니다.^[1]^[a]

File:Mathematical implication diagram-alt-large-print.svg

Fig. 1: Overview of types of abstract spaces. An arrow indicates is also a kind of; for instance, a normed vector space is also a metric space.

공간은 점(points)으로 취급되는 선택된 수학적 대상과 이들 점 사이의 선택된 관계로 구성됩니다. 점의 본성은 매우 다양할 수 있습니다: 예를 들어, 점은 집합의 원소(elements), 또 다른 공간 위의 함수, 또는 또 다른 공간의 부분공간일 수 있습니다. 공간의 본성을 정의하는 것은 관계입니다. 보다 정확하게, 동형적 공간은 동일한 것으로 고려되며, 여기서 두 공간 사이의 동형(isomorphism)은 관계를 보존하는 그것들의 점 사이의 일-대-일 대응입니다. 예를 들어, 3-차원 유클리드 공간의 점들 사이의 관계는 유클리드의 공리에 의해 고유하게 결정되고,^[b] 모든 3-차원 유클리드 공간은 동일한 것으로 고려됩니다.

연속성과 같은 토폴로지적 개념은 모든 각 유클리드 공간에서 자연적으로 정의를 가집니다. 어쨌든, 토폴로지는 직선과 곡선을 구분하지 않고, 따라서 유클리드 공간과 토폴로지적 공간 사이의 관계는 "망각시킴"입니다. 이러한 종류의 관계는 "Types of spaces" 섹션에서 더 자세히 다룹니다.

주어진 수학적 대상이 기하학적 "공간"으로 고려되어야 하는지, 대수적 "구조"로 고려되어야 하는지가 항상 명확한 것은 아닙니다. 부르바키(Bourbaki)에 의해 제안된^[2] "구조"의 일반적인 정의는 모든 공통적인 유형의 공간을 포함하고, 동형의 일반적인 정의를 제공하고, 동형적 구조 사이의 속성 전송을 정당화합니다.

History

Table 1 | Historical development of mathematical concepts
고전	현대
공리는 정의의 명백한 함축입니다	공리는 관습적입니다
공리는 절대적인 객관적 진리입니다	정리는 해당하는 공리의 함축입니다
점, 직선, 등의 관계는 그것들의 본성에 따라 결정됩니다	점, 직선, 등 사이의 관계가 필수적입니다; 그것들의 본성은 그렇지 않습니다
수학적 대상은 그것들의 구조와 함께 우리에게 주어집니다	각 수학적 이론은 그것들의 일부 속성에 의해 그것의 대상을 설명합니다
기하학은 실험적 현실에 해당합니다	기하학은 수학적 진리입니다
공간의 모든 기하학적 속성은 공리로부터 따릅니다	공간의 공리는 모든 기하학적 속성을 결정할 필요는 없습니다
기하학은 자율적이고 살아있는 과학입니다	고전 기하학은 수학의 보편적인 언어입니다
공간은 삼-차원입니다	공간의 종류에 따라 적용되는 차원의 개념이 다릅니다
공간은 기하학의 우주입니다	공간은 수학적 구조일 뿐이며, 그것들은 다양한 수학의 가지에서 발생합니다

Before the golden age of geometry

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Fig. 2: Homothety transforms a geometric figure into a similar one by scaling.

고대 그리스 수학에서, "공간"은 일상 생활에서 관찰되는 3차원 현실의 기하학적 추상화였습니다. 기원전 300년경, 유클리드(Euclid)는 공간의 속성에 대한 공리를 제공했습니다. 유클리드는 선분의 길이를 선택된 참조 선분의 길이와 비교함으로써 숫자를 정의하기까지 이들 기하학적 기초 위에 모든 수학을 구축했습니다.

좌표의 방법 (해석적 기하학)은 1637년 르네 데카르트(René Descartes)에 의해 채택되었습니다.^[3] 당시, 기하학적 정리는 자연 과학의 대상과 유사하게 직관과 이성을 통해 알 수 있는 절대적 객관적 진리로 취급되었습니다;^[4]^: 11 그리고 공리는 정의의 명백한 함축으로 취급되었습니다.^[4]^: 15

기하학적 도형 사이에는 합동(congruence)과 닮음(similarity)이라는 두 가지 동치 관계(equivalence relations)가 사용되었습니다. 평행이동, 회전, 및 반사는 도형을 합동 도형으로 변환합니다; 중심-닮음(homotheties)은 닮은 도형으로 변환합니다. 예를 들어, 모든 원은 서로 닮아 있지만, 타원은 원과 닮지 않습니다. 1795년 가스파르 몽주(Gaspard Monge)에 의해 도입된 세 번째 동치 관계는 투영 기하학(projective geometry)에서 발생합니다: 타원뿐만 아니라, 포물선과 쌍곡선도 적절한 투영 변환 아래에서 원으로 바뀝니다; 그것들 모두는 투영적으로 동등한 도형입니다.

두 기하학, 유클리드 기하학과 투영 기하학 사이의 관계는,^[4]^: 133 수학적 대상이 그것들의 구조와 함께 우리에게 주어지지 않는다는 것을 보여줍니다.^[4]^: 21 오히려, 각 수학적 이론은 그것들의 일부 속성, 정확히 이론의 토대에서 공리로 배치되는 속성으로 대상을 설명합니다.^[4]^: 20

거리와 각도는 투영 기하학의 정리에 나타날 수 없는데, 왜냐하면 이들 개념은 투영 기하학의 공리에서 언급되지도 않고 거기에 언급된 개념에서 정의되지도 않기 때문입니다. "삼각형의 세 각도의 합은 얼마인가"라는 질문은 유클리드 기하학에서는 의미가 있지만 투영 기하학에서는 의미가 없습니다.

19세기에는 다른 상황이 나타났습니다: 일부 기하학에서 삼각형의 세 각도의 합이 잘-정의되어 있지만, 고전적인 값 (180도)과는 다릅니다. 1829년 니콜라이 로바쳅스키(Nikolai Lobachevsky)와 1832년 보여이 야노시(János Bolyai) (및 1816년 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss), 미발표)에 의해 소개된 비-유클리드 쌍곡선 기하학(hyperbolic geometry)은 그 합이 삼각형에 의존하고 항상 180도 미만이라고 말했습니다.^[4]^: 133 1868년 에우제니오 벨트라미(Eugenio Beltrami)와 1871년 펠릭스 클라인(Felix Klein)은 비-유클리드 쌍곡선 기하학의 유클리드 "모델"을 얻었고, 그에 따라 이 이론을 논리적 가능성으로 완전하게 정당화했습니다.^[4]^: 24^[5]

이 발견은 유클리드 기하학의 절대적인 진리에 대한 주장을 포기하도록 강요했습니다. 그것은 공리가 "명백한" 것도 아니고 "정의의 함축"도 아니라는 것을 보여주었습니다. 오히려, 그것들은 가설입니다. 그것들이 실험적 현실과 어느 정도 일치합니까? 이 중요한 물리적 문제는 더 이상 수학과 관련이 없습니다. 심지어 "기하학"이 실험적 현실과 일치하지 않더라도, 그것의 정리는 여전히 "수학적 진리"로 남아 있습니다.^[4]^: 15

비-유클리드 기하학의 유클리드 모델은 비-유클리드 기하학의 모든 공리 (및 따라서 모든 정리)를 만족시키는 유클리드 공간에 존재하는 일부 대상과 이들 대상 사이의 일부 관계를 선택하는 것입니다. 이들 유클리드 대상과 관계는 고대 공연을 연기하는 현대 배우처럼 비유클리드 기하학을 "연주"합니다. 배우들은 현실에서 일어나지 않은 상황을 흉내낼 수 있습니다. 무대 위 배우들 사이의 관계는 극중 인물들 사이의 관계를 모방합니다. 마찬가지로, 유클리드 모델의 선택된 대상들 사이의 선택된 관계는 비-유클리드 관계를 모방합니다. 수학에서는 대상 사이의 관계가 필수적이지만 대상의 본질은 그렇지 않다는 것을 보여줍니다.

The golden age of geometry and afterwards

"기하학(geometry)" (고대 그리스어: geo- "지구", -metron "측정"에서 유래)이라는 단어는 처음에는 우리가 살고 있는 공간에서 길이, 영역, 및 부피를 처리하는 실용적인 방법을 의미했지만, (여기서 문제가 되는 공간 개념뿐만 아니라) 그 후 널리 확장되었습니다.

부르바키에 따르면, 1795년 (몽주의 Géométrie descriptive)과 1872년 (클라인의 "Erlangen programme") 사이의 기간은 "기하학의 황금기"라고 불릴 수 있습니다. 유클리드에 의해 조사되었던 원래 공간은 이제 3-차원 유클리드 공간이라고 불립니다. 23세기 전에 유클리드에 의해 시작된 그것의 공리화는 힐베르트의 공리(Hilbert's axioms), 타르스키의 공리(Tarski's axioms), 및 버코프의 공리(Birkhoff's axioms)로 개혁되었습니다. 이들 공리 시스템은 여러 공리(axioms)에 의해 제한되는 원시 개념(primitive notion), (예를 들어, "점", "사이", "합동")을 통해 공간을 설명합니다.

해석적 기하학은 큰 발전을 이루었고 변환 그룹의 불변을 통해 고전적 기하학의 정리를 계산으로 대체하는 데 성공했습니다. 고전 기하학의 유산은 사라지지 않았습니다.^[4]^: 134, 5 그 이후로, 고전 기하학의 새로운 정리는 전문 수학자보다 아마추어에게 더 많은 관심을 받아 왔습니다.^[4]^: 136 어쨌든, 고전 기하학의 유산은 사라지지 않았습니다. 부르바키에 따르면,^[4]^: 138 "자율적이고 살아있는 과학으로서의 역할을 넘어, 고전 기하학은 따라서 현대 수학의 보편적인 언어로 변형됩니다."

동시에, 수학의 토대로서 숫자가 기하학을 대체하기 시작했습니다. 예를 들어, 리하르트 데데킨트의 1872년 에세이Stetigkeit und irrationale Zahlen (연속성과 무리수)에서, 그는 직선 위의 점이 데데킨트 자름(Dedekind cuts)의 속성을 가져야 하고, 따라서 직선은 실수의 집합과 같은 것이라고 주장합니다. 데데킨트는 이것이 입증될 수 없는 가정이라는 점에 주의를 기울입니다. 현대 취급에서, 데데킨트의 주장은 종종 직선의 정의로 고려되어, 그에 따라 기하학을 산술로 줄입니다. 삼-차원 유클리드 공간은 그것의 원소들의 차이의 결합된 벡터 공간이 안의 곱을 갖춘 아핀 공간이라고 정의됩니다.^[6] 유클리드에서와 같이, "출발선에서부터"라는 정의는 이제 자주 사용되지 않는데, 왜냐하면 그것이 이 공간과 다른 공간의 관계를 나타내지 않기 때문입니다. 역시, 삼-차원 투영 공간(projective space)은 이제 4-차원 벡터 공간의 모든 1-차원 부분공간 (즉, 원점을 통과하는 직선)의 공간으로 정의됩니다. 이러한 토대에서 변화는 새로운 공리의 집합을 필요로 하고, 이들 공리가 채택되면, 기하학의 고전적 공리가 정리가 됩니다.

공간은 이제 점으로 취급되는 선택된 수학적 대상 (예를 들어, 또 다른 공간 위의 함수, 또는 또 다른 공간의 부분공간, 또는 단지 집합의 원소)와 이들 점 사이의 선택된 관계로 구성됩니다. 그러므로, 공간은 편의를 위한 수학적 구조일 뿐입니다. "공간"이라는 구조가 다른 수학적 대상보다 더 기하학적으로 인식된다고 예상할 수 있지만, 항상 그런 것은 아닙니다.

1854년 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)에 의한 유명한 취임 강연에 따르면, n개의 실수로 매개변수화된 모든 각 수학적 대상은 모든 그러한 대상의 n-차원 공간의 한 점으로 취급될 수 있습니다.^[4]^: 140 현대 수학자들은 이 아이디어를 일상적으로 따르고 거의 모든 곳에서 고전 기하학의 용어를 사용하는 것이 매우 암시적임을 발견합니다.^[4]^: 138

함수(Functions)는 중요한 수학적 대상입니다. 보통 그것들은 리만(Riemann)에 의해 이미 지적되고^[4]^: 141 20세기에 함수형 해석학(functional analysis)에 의해 정교화된 것처럼 무한-차원 함수 공간(function spaces)을 형성합니다.

Taxonomy of spaces

Three taxonomic ranks

각 유형의 공간은 자체 정의를 가지지만, "공간"에 대한 일반적인 아이디어는 형식화를 피합니다. 일부 구조는 공간이라고 불리고, 다른 것은 형식적 기준 없이는 그렇지 않습니다. 게다가, "구조"라는 일반적인 개념에 대한 합의가 없습니다. Pudlák에 따르면,^[7] "수학은 [...] 수학적 구조와 같은 단일 개념에 의해 완전하게 설명될 수 없습니다. 그럼에도 불구하고, 부르바키의 구조주의자 접근 방식은 우리가 가진 것 중 최고입니다." 우리는 마지막 섹션 "공간과 구조"에서 부르바키의 구조주의자 접근 방식으로 돌아갈 것이지만, 이제 부르바키의 정신으로 공간 (및 구조)의 가능한 분류를 개략적으로 설명합니다.

우리는 공간을 세 가지 수준으로 분류합니다. 각 수학적 이론이 일부 그것들의 속성으로 대상을 설명하게 주어지면, 첫 번째 질문은 다음과 같습니다: 어떤 속성이 있습니까? 이것은 첫 번째 (상위) 분류 수준으로 이어집니다. 두 번째 수준에서, 특히 중요한 질문에 대한 답변을 고려합니다 (첫 번째 수준에 따라 의미가 있는 질문 중에서). 분류의 세 번째 수준에서, 가능한 모든 질문에 대한 답변을 고려합니다.

예를 들어, 상위-수준 분류는 두 점 사이의 거리가 유클리드 공간에서 정의되지만 투영 공간에서는 정의되지 않기 때문에 유클리드 공간과 투영 공간(projective spaces) 사이를 구별합니다. 또 다른 예시. "삼각형의 세 각의 합은 무엇인가"라는 질문은 유클리드 공간에서는 의미가 있지만 투영 공간에서는 그렇지 않습니다. 비-유클리드 공간에서, 그 질문은 의미가 있지만 상위-수준 구분이 아닌 다르게 답변됩니다.

역시, 유클리드 평면과 유클리드 3-차원 공간 사이의 구분은 상위-수준 구분이 아닙니다; "차원이란 무엇인가"라는 질문은 두 경우 모두 의미가 있습니다.

두 번째-수준 분류는 예를 들어 유클리드 공간과 비-유클리드 공간; 유한-차원 공간과 무한-차원 공간 사이; 컴팩트 공간과 비-컴팩트 공간 사이 등을 구별합니다. 부르바키의 용어로,^[2] 두 번째-수준 분류는 "종"에 의한 분류입니다. 생물학적 분류와 달리, 공간은 여러 종에 속할 수 있습니다.

세 번째-수준 분류는 예를 들어 차원이 다른 공간을 구분하지만, 2-차원 유클리드 공간으로 취급되는 3-차원 유클리드 공간의 평면과, 역시 2-차원 유클리드 공간으로 취급되는 모든 실수 쌍의 집합을 구분하지 않습니다. 마찬가지로, 그것은 같은 비-유클리드 공간의 다른 유클리드 모델 사이를 구별하지 않습니다. 보다 형식적으로, 세 번째 수준은 동형(isomorphism)까지 공간을 분류합니다. 두 공간 사이의 동형은 첫 번째 수준에 따라 규정된 모든 관계를 보존하는 첫 번째 공간의 점과 두 번째 공간의 점 사이의 일-대-일 대응으로 정의됩니다. 상호 동형적 공간은 단일 공간의 복사본으로 생각됩니다. 만약 그들 중 하나가 주어진 종에 속하면 그것들 모두 그렇습니다.

동형의 개념은 상위-수준 분류에 빛을 비춰줍니다. 같은 상위-수준 클래스의 두 공간 사이의 일-대-일 대응이 주어지면, 동형인지 아닌지 물을 수 있습니다. 이 질문은 서로 다른 클래스의 두 공간에 대해 의미가 없습니다.

그 자체에 대한 동형은 자기동형(automorphism)이라고 불립니다. 유클리드 공간의 자기동형은 이동, 회전, 반사, 및 이들의 합성입니다. 유클리드 공간은 모든 각 점이 일부 자기동형에 의해 모든 각 다른 점으로 변환될 수 있다는 의미에서 동차입니다.

유클리드 공리는 자유를 남기지 않습니다; 그것들은 공간의 모든 기하학적 속성을 고유하게 결정합니다.^[b] 보다 정확하게: 모든 3-차원 유클리드 공간은 상호 동형적입니다. 이런 의미에서 우리는 "그(the)" 3-차원 유클리드 공간을 가지고 있습니다. 부르바키의 용어에서 대응하는 이론은 일가(univalent)입니다. 반대로, 토폴로지적 공간은 일반적으로 비-동형적입니다. 그들의 이론은 다가(multivalent)입니다. 수학적 논리에서도 유사한 아이디어가 발생합니다: 만약 같은 카디널리티의 모든 그것의 모델이 상호 동형적이면 이론은 카테고리적이라고 불립니다. 부르바키에 따르면,^[8] 다가 이론에 대한 연구는 현대 수학을 고전 수학과 구별하는 가장 두드러진 특징입니다.

Relations between species of spaces

토폴로지적 개념 (연속성, 수렴, 열린 집합, 닫힌 집합, 등)은 모든 각 유클리드 공간에서 자연스럽게 정의됩니다. 다시 말해, 모든 각 유클리드 공간은 토폴로지적 공간이기도 합니다. 두 유클리드 공간 사이의 모든 각 동형은 해당 토폴로지적 공간 사이의 동형이기도 하지만 ("위상동형(homeomorphism)"이라고 불림), 그 전환은 잘못된 것입니다: 위상동형은 거리를 왜곡할 수 있습니다. 부르바키의 용어에서,^[2] "토폴로지적 공간"은 "유클리드 공간" 구조의 놓여있는(underlying) 구조입니다. 유사한 아이디어가 카테고리 이론에서 발생합니다: 유클리드 공간의 카테고리는 토폴로지적 공간의 카테고리에 걸쳐 구체적인 카테고리입니다; 망각(forgetful, 또는 "벗김(stripping)") 함수자(functor)는 전자 카테고리를 후자 카테고리에 매핑합니다.

3-차원 유클리드 공간은 유클리드 공간의 특별한 경우입니다. 부르바키의 용어에서,^[2] 3-차원 유클리드 공간의 종은 유클리드 공간의 종보다 더 풍부합니다(richer). 마찬가지로, 컴팩트 토폴로지적 공간의 종은 토폴로지적 공간의 종보다 더 풍부합니다.

File:Spaces arrows.svg

Fig. 3: Example relations between species of spaces

공간들의 종 사이의 그러한 관계는 Fig. 3에서 보인 것처럼 도식적으로 표현될 수 있습니다. A에서 B로의 화살표는 모든 각 A-공간이 B-공간이기도 함을 의미하거나, B-공간으로 취급될 수도 있거나, B-공간을 제공할 수도 있거나, 등을 의미합니다. A와 B를 공간의 클래스로 취급하는 것은 화살표를 A에서 B로의 전이로 해석할 수 있습니다. (부르바키의 용어에서,^[9] A-공간에서 B-공간의 "유도의 절차"입니다. 클래스(classes) A,B가 집합이 아닌 한 함수가 아닙니다; 이 뉘앙스는 다음을 무효화하지 않습니다.) Fig. 3의 두 화살표는 뒤집을 수 없지만, 다른 이유가 있습니다.

"유클리드"에서 "토폴로지적"으로의 전이는 망각하기 쉽습니다. 토폴로지는 연속과 불연속을 구별하지만, 직선과 곡선을 구별하지 않습니다. 직감은 유클리드 구조가 토폴로지에서 복원될 수 없음을 알려줍니다. 증명은 유클리드 공간의 자기동형이 아닌 (즉, 이동, 회전, 및 반사의 합성이 아닌) 토폴로지적 공간의 자기동형 (즉, 자기-위상동형)을 사용합니다. 그러한 변환은 주어진 유클리드 구조를 (동형이지만) 다른 유클리드 구조로 바꿉니다; 두 유클리드 구조는 단일 토폴로지적 구조에 해당합니다.

대조적으로, "3-차원 유클리드"에서 "유클리드"으로의 전이는 망각되지 않습니다; 유클리드 공간은 3-차원일 필요는 없지만, 우연히 3차원이 되면, 그것은 완전한 상태가 되고, 구조가 손실되지 않습니다. 다시 말해서, 후자의 전이는 단사적 (일-대-일)이지만, 반면 전자의 전이는 단사적이 아닙니다 (다-대-일). 우리는 "→"가 아닌 "↣"라는 꼬리가 달린 화살표로 단사적 전이를 나타냅니다.

두 전환 모두 전사적(surjective)이지 않으며, 즉, 모든 각 B-공간이 일부 A-공간에서 발생하는 것은 아닙니다. 첫째, 3-차원 유클리드 공간은 유클리드 공간의 특수한 (일반적이지 않은) 경우입니다. 둘째, 유클리드 공간의 토폴로지는 토폴로지의 특수한 경우입니다 (예를 들어, 그것은 비-컴팩트여야 하고, 연결된 것이고, 등입니다). 우리는 "→"가 아닌 "↠"라는 두-머리 화살표로 전사적 전환을 나타냅니다. 예를 들어, Fig. 4를 참조하십시오; 거기에서, "실수 선형 토폴로지"에서 "실수 선형"으로의 화살표는 두-머리인데, 왜냐하면 모든 각 실수 선형 공간은 선형 구조와 호환되는 일부 (적어도 하나) 토폴로지를 허용하기 때문입니다.

그러한 토폴로지는 일반적으로 고유하지 않지만, 실수 선형 공간이 유한-차원일 때 고유합니다. 이들 공간에 대해, 그 전이는 단사적과 전사적, 즉, 전단사(bijective)입니다. Fig. 4의 "finite-dim real linear topological"에서 "finite-dim real linear"로의 화살표를 참조하십시오. 역(inverse) 전이가 존재합니다 (및 두 번째 역방향 화살표로 표시될 수 있습니다). 따라서 두 종류의 구조는 동등합니다. 실제로는, 구조의 동등한 종 사이를 구분하지 않습니다.^[10] 동등한 구조는 Fig. 4의 큰 상자와 같이 단일 구조로 취급될 수 있습니다.

화살표로 표시된 전이는 동형을 따릅니다. 즉, 두 개의 동형적 A-공간은 두 개의 동형적 B-공간으로 이어집니다.

Fig. 4의 다이어그램은 교환적(commutative)입니다. 즉, 같은 시작과 끝점을 갖는 다이어그램의 모든 방향 경로는 같은 결과로 이어집니다. 아래의 다른 다이어그램도 Fig. 9의 점선 화살표를 제외하고 교환적입니다. "topological"에서 "measurable"으로의 화살표는 거기에 설명된 이유 때문에 점선으로 표시되어 있습니다: "토폴로지적 공간을 측정-가능 공간으로 전환하기 위해, 그것에 σ-대수를 부여합니다. 보렐 집합의 σ-대수는 가장 인기가 있지만 유일한 선택은 아닙니다." 실선 화살표는 자체로 자연스럽게 암시되고 널리 사용되며, 기본적으로 암시적으로 널리 사용되는 이른바 "정식의" 전이를 나타냅니다. 예를 들어, 유클리드 공간의 연속 함수에 대해 말하면 토폴로지를 명시적으로 지정할 필요가 없습니다. 사실, 대안적인 토폴로지가 존재하고 예를 들어 미세한 토폴로지(finer topology)가 가끔 사용됩니다; 그러나 이들은 널리 사용되는 토폴로지보다 훨씬 덜 눈에 띄기 때문에 항상 명시적으로 지정됩니다. 파선 화살표는 여러 전이가 사용 중이고 아무도 널리 사용되지 않음을 나타냅니다.

Types of spaces

Linear and topological spaces

File:Spaces linear etc.svg

Fig. 4: Relations between mathematical spaces: linear, topological etc

두 개의 기본 공간은 선형 공간 (벡터 공간이라고도 함)과 토폴로지적 공간입니다.

선형 공간은 대수적 본성을 가집니다; (실수의 필드에 걸쳐) 실수 선형 공간, (복소수 필드에 걸쳐) 복소수 선형 공간, 및 더 일반적으로 임의의 필드에 걸쳐 선형 공간이 있습니다. 각 복소수는 두 개의 실수로 지정될 수 있기 때문에 모든 각 복소수 선형 공간은 실수 선형 공간이기도 합니다 (후자가 전자의 기초가 됩니다). 예를 들어, 1차원 복소 선형 공간으로 취급되는 복소 평면은 2-차원 실수 선형 공간으로 다운그레이드될 수 있습니다. 반대로, 실수 직선은 1차원 실선 공간으로 취급할 수 있지만 복소 선형 공간으로 취급할 수는 없습니다. 필드 확장도 참조하십시오. 보다 일반적으로, 필드에 걸쳐 벡터 공간은 해당 필드의 부분필드에 걸쳐 벡터 공간 구조도 가집니다. 정의에 의해 선형 공간에 주어진 선형 연산은 직선 (및 평면, 및 기타 선형 부분공간); 평행 직선; 타원 (및 타원면체)과 같은 개념으로 이어집니다. 어쨌든, 선형 공간에서 각도를 측정하는 데 사용될 수 있는 스칼라 곱과 같은 구조가 없기 때문에 직교 (수직) 직선을 정의하거나, 타원 중에서 원을 골라내는 것은 불가능합니다. 선형 공간의 차원은 선형적으로 독립 벡터의 최대 개수, 또는 동등하게, 공간을 스팬하는 벡터의 최소 개수로 정의됩니다; 그것은 유한하거나 무한할 수 있습니다. 같은 필드에 걸쳐 두 개의 선형 공간이 동형적인 것과 그것들이 같은 차원인 것은 필요충분 조건입니다. n-차원 복소 선형 공간은 2n-차원 실수 선형 공간이기도 합니다.

토폴로지적 공간은 해석적 본성을 가집니다. 정의에 의해 토폴로지적 공간에 주어진 열린 집합은 연속 함수, 경로, 맵; 수렴 수열, 극한; 내부, 경계, 외부와 같은 개념으로 이어집니다. 어쨌든, 균등 연속성, 경계진 집합, 코시 수열, 미분-가능 함수 (경로, 맵)는 정의되지 않은 상태로 유지됩니다. 토폴로지적 공간 사이의 동형은 전통적으로 위상동형(homeomorphism)이라고 불립니다; 이들은 양방향으로 연속적인 일-대-일 대응입니다. 열린 구간 (0,1)은 전체 실수 직선 (−∞,∞)에 위상동형적이지만, 닫힌 구간 [0,1]이나 원에 대해서도 위상동형적이 아닙니다. 정육면체의 표면은 구 (공의 표면)와 위상동형적이지만 토러스와 위상동형적이 아닙니다. 서로 다른 차원의 유클리드 공간은 위상동형적이 아니며, 이는 명백해 보이지만 입증하기 쉽지 않습니다. 토폴로지적 공간의 차원은 정의하기 어렵습니다; 귀납적 차원 (기하학적 도형의 경계 차원이 보통 도형 자체의 차원보다 1 작다는 관찰에 기초함) 및 르베그 덮는 차원이 사용될 수 있습니다. n-차원 유클리드 공간의 경우에서, 두 토폴로지적 차원은 모두 n과 같습니다.

토폴로지적 공간의 모든 각 부분집합은 그 자체로 토폴로지적 공간입니다 (대조적으로, 선형 공간의 선형 부분집합만 선형 공간입니다). 일반 토폴로지 (점-집합 토폴로지이라고도 함)에 의해 조사되는 임의적인 토폴로지적 공간은 위상동형까지 완전한 분류를 하기에는 너무 다양합니다. 컴팩트 토폴로지적 공간은 토폴로지적 공간의 중요한 클래스 (이 "유형"의 "종")입니다. 모든 각 연속 함수는 그러한 공간에 경계집니다. 닫힌 구간 [0,1]과 확장된 실수 직선 [−∞,∞]은 컴팩트합니다; 열린 구간 (0,1)과 직선 (−∞,∞)은 그렇지 않습니다. 기하학적 토폴로지는 매니폴드 (이 "유형"의 또 다른 "종")를 조사합니다; 이들은 유클리드 공간에 지역적으로 위상동형적인 (그리고 몇 가지 여분의 조건을 만족시키는) 토폴로지적 공간입니다. 저-차원 매니폴드는 완전히 위상동종까지 분류됩니다.

선형 구조와 토폴로지적 구조는 모두 선형 토폴로지적 공간 (다시 말해, 토폴로지적 벡터 공간) 구조의 기초가 됩니다. 선형 토폴로지적 공간은 선형 연산이 연속임을 만족하는 실수 선형 공간 또는 복소수 선형 공간 둘 다입니다. 따라서 토폴로지적이기도 한 선형 공간은 일반적으로 선형 토폴로지적 공간이 아닙니다.

모든 각 유한-차원 실수 선형 공간 또는 복소 선형 공간은 선형 토폴로지적 공간을 만드는 단 하나의 토폴로지를 전달한다는 의미에서 선형 토폴로지적 공간입니다. 따라서 "유한-차원 실수 또는 복소 선형 공간"과 "유한-차원의 선형 토폴로지적 공간"이라는 두 구조는 동등하며, 즉 서로 기초가 됩니다. 그에 따라, 유한-차원 선형 토폴로지적 공간의 모든 각 역-가능 선형 변환은 위상동형입니다. 차원의 세 가지 개념 (하나는 대수적이고 둘은 토폴로지적)은 유한-차원 실수 선형 공간에 대해 일치합니다. 무한-차원 공간에서, 어쨌든, 서로 다른 토폴로지가 주어진 선형 구조를 따를 수 있고, 역-가능 선형 변환은 일반적으로 위상동형이 아닙니다.

Affine and projective spaces

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Fig. 5: Relations between mathematical spaces: affine, projective etc

다음과 같이 선형 공간을 수단으로 아핀 공간과 투영 공간을 도입하는 것이 편리합니다. n-차원 선형 공간 그 자체인 (n+1)-차원 선형 공간의 n-차원 선형 부분공간은 동차가 아닙니다; 그것은 특별한 점, 원점을 포함하고 있습니다. 원점을 외부로 하나의 벡터에 의해 이동하여, n-차원 아핀 부분공간을 얻습니다. 그것은 동차입니다. 아핀 공간은 선형 공간에 포함될 필요는 없지만, 선형 공간의 아핀 부분공간과 동형적입니다. 주어진 필드에 걸쳐 모든 n-차원 아핀 공간은 서로 동형적입니다. 존 바에즈(John Baez)의 말을 빌리자면, "아핀 공간은 그것의 원원을 잊어버린 벡터 공간이다". 특히, 모든 각 선형 공간은 아핀 공간이기도 합니다.

(n+1)-차원 선형 공간 L에서 n-차원 아핀 부분공간 A가 주어지면, A에서 직선은 A와 교차하는 L의 2차원 선형 부분공간: 다시 말해서, A에 평행하지 않은 원점을 통과하는 평면과 A의 교차점으로 정의될 수 있습니다: A에 평행하지 않은 원점을 통과하는 평면이 있습니다. 보다 일반적으로, A의 k-차원 아핀 부분공간은 A와 교차하는 L의 (k+1)차원 선형 부분공간과 A의 교차점입니다.

아핀 부분공간 A의 모든 각 점은 A와 L의 일-차원 선형 부분공간의 교차점입니다. 어쨌든, L의 일부 일-차원 부분공간은 A와 평행합니다; 어떤 의미에서, 그것들은 무한대에서 A와 교차합니다. (n+1)-차원 선형 공간의 모든 일-차원 선형 부분공간의 집합은, 정의에 의해, n-차원 투영 공간입니다. 그리고 아핀 부분공간 A는 적절한 부분집합으로 투영 공간에 포함됩니다. 어쨌든, 투영 공간 자체는 동차입니다. 투영 공간의 직선은 (n+1)-차원 선형 공간의 이-차원 선형 부분공간에 해당합니다. 보다 일반적으로, 투영 공간의 k-차원 투영 부분공간은 (n+1)-차원 선형 공간의 (k+1)-차원 선형 부분공간에 해당하고, k-차원 투영 공간과 동형적입니다.

이런 식으로 정의된, 아핀 공간과 투영 공간은 대수적 본성을 가집니다; 그것들은 실수, 복소수, 및 더 일반적으로 임의의 필드에 걸쳐 있을 수 있습니다.

모든 각 실수 또는 복소수 아핀 또는 투영 공간은 역시 토폴로지적 공간입니다. 아핀 공간은 비-컴팩트 매니폴드입니다; 투영 공간은 컴팩트 매니폴드입니다. 실수 투영 공간에서, 직선은 원과 위상동형적이며, 따라서 선형 아핀 공간에서 직선과 대조적으로 컴팩트합니다.

Metric and uniform spaces

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Fig. 6: Relations between mathematical spaces: metric, uniform etc

점 사이의 거리는 메트릭 공간에서 정의됩니다. 메트릭 공간 사이의 동형은 등거리변환이라고 불립니다. 모든 각 메트릭 공간은 토폴로지적 공간이기도 합니다. 토폴로지적 공간은 그것이 메트릭 공간의 기초가 되면 메트릭-가능이라고 불립니다. 모든 매니폴드는 메트릭-가능입니다.

메트릭 공간에서, 경계진 집합과 코시 수열을 정의할 수 있습니다. 메트릭 공간은 만약 모든 코시 수열이 수렴하면 완비(complete)라고 불립니다. 모든 각 비-완비 공간은, 조밀한 부분집합으로, 완비 공간에 등거리-변환적으로 포함됩니다. 모든 각 컴팩트 메트릭 공간은 완비입니다; 실수 직선은 비-컴팩트이지만 완비입니다; 열린 구간 (0,1)이 비-완비입니다.

모든 각 유클리드 공간은 완비 메트릭 공간이기도 합니다. 더욱이, 유클리드 공간에 내재된 모든 기하학적 개념은 그것의 메트릭의 관점에서 특징지을 수 있습니다. 예를 들어, 주어진 두 점 A와 C를 연결하는 직선은 A와 C 사이의 거리가 A와 B 사이, B와 C 사이의 두 거리의 합과 같음을 만족하는 모든 점 B로 구성됩니다.

하우스도르프 차원 (주어진 집합을 덮는 작은 공의 숫자와 관련됨)은 메트릭 공간에 적용되고, 정수가 아닐 수 있습니다 (특히 프랙탈에 대해 그렇습니다). n-차원 유클리드 공간에 대해, 하우스도르프 차원은 n과 같습니다.

균등 공간은 거리를 도입하지 않지만, 여전히 균등 연속성, 코시 수열 (또는 필터 또는 네트), 완비성 및 완비를 사용할 수 있습니다. 모든 각 균등 공간은 토폴로지적 공간이기도 합니다. 모든 각 선형 토폴로지적 공간 (메트릭-가능 여부)도 균등 공간이고, 유한 차원에서는 완비이지만 일반적으로 무한 차원에서는 비-완비입니다. 보다 일반적으로, 모든 각 교환적 토폴로지적 그룹은 역시 균등 공간입니다. 어쨌든, 비-교환적 토폴로지적 그룹은 두 개의 균등 구조, 하나는 왼쪽-불변, 다른 하나는 오른쪽-불변을 가지고 있습니다.

Normed, Banach, inner product, and Hilbert spaces

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Fig. 7: Relations between mathematical spaces: normed, Banach etc

유클리드 공간에서 벡터는 선형 공간을 형성하지만, 각 벡터 $x$ 는 길이, 다시 말해, 노름, $\lVert x\rVert$ 도 가집니다. 노름이 부여된 실수 선형 공간 또는 복소 선형 공간은 노름화된 공간(normed space)입니다. 모든 각 노름화된 공간은 선형 토폴로지적 공간이자 메트릭 공간입니다. 바나흐 공간(Banach space)은 완비 노름화된 공간입니다. 수열 또는 함수의 많은 공간은 무한-차원 바나흐 공간입니다.

1보다 작은 노름의 모든 벡터의 집합은 노름화된 공간의 단위 공이라고 불립니다. 그것은 일반적으로 타원면체가 아닌 볼록, 중앙적으로 대칭적 집합입니다; 예를 들어, (평면에서) 다각형 또는 보다 일반적으로 (임의적인 유한 차원에서) 폴리토프일 수 있습니다. 다음 평행사변형 법칙은 (평행사변형 항등식이라고도 함)

\lVert x-y\rVert ^{2}+\lVert x+y\rVert ^{2}=2\lVert x\rVert ^{2}+2\lVert y\rVert ^{2}\ ,

일반적으로 노름된 공간에서는 실패하지만, 벡터의 제곱 유클리드 노름이 자체와의 안의 곱, $\lVert x\rVert ^{2}=(x,x)$ 이라는 사실에 따라 유클리드 공간의 벡터에 대해 유지됩니다.

안의 곱 공간(inner product space)은 쌍선형 또는 각각 반쌍선형 형식이 부여된 실수 또는 복소수 선형 공간이며, 일부 조건을 만족하고 안의 곱이라고 불립니다. 모든 각 안의 곱 공간은 역시 노름된 공간입니다. 노름된 공간은 안의 곱을 기초가 되는 것과 그것이 평행사변형 법칙을 만족하거나, 등등하게, 단위 공이 타원면체인 것은 필요충분 조건입니다. 벡터 사이의 각도는 안의 곱 공간에서 정의됩니다. 힐베르트 공간(Hilbert space)은 완전한 안의 곱 공간으로 정의됩니다. (일부 저자는 그것이 복소수여야 한다고 주장하고, 다른 저자는 실수 힐베르트 공간도 인정합니다.) 수열 또는 함수의 많은 공간은 무한-차원 힐베르트 공간입니다. 힐베르트 공간은 양자 이론(quantum theory)에서 매우 중요합니다.^[11]

모든 n-차원 실수 안의 곱 공간은 서로 동형적입니다. n-차원 유클리드 공간은 그것의 원점을 잊은 n-차원 실수 안의 곱 공간이라고 말할 수 있습니다.

Smooth and Riemannian manifolds

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Fig. 8: Relations between mathematical spaces: smooth, Riemannian etc

매끄러운 매니폴드(Smooth manifolds)는 "공간"이라고 불리지 않지만, 그럴 수 있습니다. 모든 각 매끄러운 매니폴드는 토폴로지적 매니폴드이고, 유한-차원 선형 공간에 삽입될 수 있습니다. 유한-차원 선형 공간에서 매끄러운 표면은 매끄러운 매니폴드입니다: 예를 들어, 타원면체의 표면은 매끄러운 매니폴드이고, 폴리토프는 그렇지 않습니다. 실소 또는 복소수 유한-차원 선형, 아핀, 및 투영 공간도 매끄러운 매니폴드입니다.

각 점에서, 매끄러운 매니폴드에서 매끄러운 경로는 이 점에서 매니폴드의 접 공간에 속하는 접 벡터를 가집니다. n-차원 매끄러운 매니폴드에 대한 접 공간은 n-차원 선형 공간입니다. 매끄러운 매니폴드 위에 매끄러운 함수의 미분은 각 점에서 접 공간 위에 선형 함수를 제공합니다.

리만 매니폴드(Riemannian manifold) 또는 리만 공간은 접 공간이 일부 조건을 만족시키는 안의 곱을 갖춘 매끄러운 매니폴드입니다. 유클리드 공간도 리만 공간입니다. 유클리드 공간에서 매끄러운 표면은 리만 공간입니다. 쌍곡선 비-유클리드 공간도 리만 공간입니다. 리만 공간에서 곡선은 길이를 가지고, 두 점 사이의 가장 짧은 곡선의 길이는 리만 공간은 메트릭 공간임을 만족하는 거리를 정의합니다. 한 점에서 교차하는 두 곡선 사이의 각도는 그것들의 접선 사이의 각도입니다.

접 공간 위에 안의 곱의 양수성을 포기하면, 일반 상대성(general relativity)에 매우 중요한 로렌츠 공간을 포함하는 유사-리만 공간(pseudo-Riemann spaces)을 얻습니다.

Measurable, measure, and probability spaces

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Fig. 9: Relations between mathematical spaces: measurable, measure etc

(기하학적 몸체의) 부피를 유지하면서 거리와 각도를 포기하면, 측정 이론(measure theory)에 도달합니다. 부피 외에도, 측정은 확률 이론(probability theory)에 대한 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)의 접근 방식에 따라 넓이, 길이, 질량 (또는 전하) 분포, 및 역시 확률 분포의 개념을 일반화합니다.

고전 수학의 "기하학적 몸체"는 점들의 집합보다 훨씬 규칙적입니다. 몸체의 경계는 부피가 영입니다. 따라서, 몸체의 부피는 그것의 내부 부피이고, 내부는 무한한 입방체의 연속으로 소진될 수 있습니다. 대조적으로, 임의적인 점 집합의 경계는 비-영 부피 (예를 들어, 주어진 입방체 내부의 모든 유리수 점 집합)일 수 있습니다. 측정 이론은 부피의 개념을 소위 측정-가능 집합(measurable sets)이라고 하는 방대한 종류의 집합으로 확장하는 데 성공했습니다. 실제로, 비-측정가능 집합은 응용에서 거의 발생하지 않습니다.

정의에 의해 측정-가능 공간(measurable space)에 주어진 측정-가능 집합은 측정-가능 함수와 맵으로 이어집니다. ㅣ토폴로지적 공간을 측정-가능 공간으로 바꾸기 위해, 그것에 σ-대수(σ-algebra)를 부여합니다. 보렐 집합(Borel sets)의 σ-대수가 가장 인기가 있지만, 유일한 선택은 아닙니다. (베르 집합, 보편적으로 측정-가능 집합, 등도 때때로 사용됩니다.) 토폴로지는 보렐 σ-대수에 의해 고유하게 결정되지 않습니다; 예를 들어, 분리-가능 힐베르트 공간 위에 노름 토폴로지와 약한 토폴로지는 같은 보렐 σ-대수로 이어집니다. 모든 각 σ-대수가 일부 토폴로지의 보렐 σ-대수인 것은 아닙니다.^[c] 실제로, σ-대수는 임의의 토폴로지에 관계없이 주어진 집합 (또는 함수)의 모음에 의해 생성될 수 있습니다. 측정-가능 공간의 모든 각 부분집합은 그 자체로 측정-가능 공간입니다.

표준 측정-가능 공간 (표준 보렐 공간이라고도 함)은 컴팩트 공간과 일부 유사성으로 인해 특히 유용합니다 (EoM 참조). 표준 측정-가능 공간 사이의 모든 각 전단사 측정-가능 매핑은 동형입니다; 즉, 역 매핑도 측정-가능입니다. 그리고 그러한 공간 사이의 매핑이 측정-가능인 것과 그것의 그래프가 곱 공간에서 측정-가능인 것은 필요충분 조건입니다. 유사하게, 컴팩트 메트릭 공간 사이의 모든 각 전단사 연속 매핑은 위상동형입니다; 즉, 역 매핑도 연속적입니다. 그리고 그러한 공간 사이의 매핑이 연속인 것과 그것의 그래프가 곱 공간에서 닫혀 있는 것은 필요충분 조건입니다.

보렐 σ-대수가 부여된 유클리드 공간 (및 보다 일반적으로, 완전한 분리-가능 메트릭 공간)에서 모든 각 보렐 집합은 표준 측정-가능 공간입니다. 모든 셀-수-없는 표준 측정-가능 공간은 서로 동형적입니다.

측정 공간(measure space)은 측정이 부여된 측정-가능 공간입니다. 르베그 측정(Lebesgue measure)을 갖는 유클리드 공간은 측정 공간입니다. 적분 이론(Integration theory)은 측정 공간 위에 측정-가능 함수의 적분가능성과 적분을 정의합니다.

널 집합이라고 불리는 측정 영의 집합은 무시할 수 있습니다. 그에 따라, "모드 0 동형"은 전체 측정의 부분집합 사이의 동형으로 정의됩니다 (즉, 무시할 수 있는 여를 가집니다).

확률 공간(probability space)은 전체 공간의 측정이 1과 같음을 만족하는 측정 공간입니다. 확률 공간의 임의의 가족 (유한이든 아니든)의 곱은 확률 공간입니다. 대조적으로, 일반적으로 측정 공간에 대해, 유한하게 많은 공간의 곱만 정의됩니다. 이에 따라, 많은 무한-차원의 확률 측정 (특히 가우스 측정)이 있지만, 무한-차원의 르베그 측정은 없습니다.

표준 확률 공간(Standard probability spaces)이 특히 유용합니다. 표준 확률 공간 위에 조건부 기대는 조건부 측정에 걸쳐 적분으로 취급될 수 있습니다 (정규 조건부 확률, 측정의 분해(disintegration of measure) 참조). 두 개의 표준 확률 공간이 주어지면, 측정 대수의 모든 각 준동형은 일부 측정 보존하는 맵에 의해 유도됩니다. 표준 측정-가능 공간 위에 모든 각 확률 측정은 표준 확률 공간으로 이어집니다. 표준 확률 공간의 수열 (유한이든 아니든)의 곱은 표준 확률 공간입니다. 모든 비-원자 표준 확률 공간은 서로 동형적 모드 0입니다; 그 중 하나는 르베그 측정을 갖는 구간 (0,1)입니다.

이들 공간은 덜 기하학적입니다. 특히, 모든 다른 공간에 적용 가능한 (어떤 형태로든) 차원의 아이디어는 측정-가능, 측정, 및 확률 공간에는 적용되지 않습니다.

Non-commutative geometry

수학적 해석학(mathematical analysis)으로 알려진 미적분학의 이론적 연구는 20세기 초에 실수-값 또는 복소수-값 함수의 선형 공간에 대한 고려로 이어졌습니다. 이들의 가장 초기 예제는 함수 공간(function spaces)으로, 각 공간은 고유한 문제의 클래스에 맞게 조정되었습니다. 이들 예제는 많은 공통 특색을 공유했고, 이들 특색은 곧 힐베르트 공간, 바나흐 공간, 및 보다 일반적인 토폴로지적 벡터 공간으로 추상화되었습니다. 이것들은 광범위한 수학적 문제를 해결하기 위한 강력한 툴킷이었습니다.

가장 자세한 정보는 바나흐 대수(Banach algebras)라고 불리는 공간 클래스에 의해 전달되었습니다. 이것들은 연속 곱셈 연산과 함께 바나흐 공간입니다. 중요한 초기 예제는 측정 공간 X 위에 본질적으로 경계진 측정-가능 함수의 바나흐 대수였습니다. 이 함수의 집합은 점-별 덧셈과 스칼라 곱 아래에서 바나흐 공간입니다. 점-별 곱셈의 연산과 함께, 그것은 이제 교환적 폰 노이만 대수(von Neumann algebra)라 불리는 특별한 유형의 바나흐 공간이 됩니다. 점별 곱셈은 X 위에 제곱 적분-가능 함수의 힐베르트 공간 위에 이 대수의 표현을 결정합니다. 존 폰 노이만(John von Neumann)의 초기 관찰은 이 대응이 역으로도 작동한다는 것입니다: 약간의 가벼운 기술적 가설이 주어지면, 힐베르트 공간 위에 표현과 함께 교환적 폰 노이만 대수는 측정 공간을 결정하고, 이들 두 구성 (폰 노이만 대수 + 표현과 측정 공간)은 서로 역입니다.

그런-다음 폰 노이만은 비-교환 폰 노이만 대수는 교환 폰 노이만 대수와 마찬가지로 기하학적 의미를 가져야 한다고 제안했습니다. 프랜시스 머리이(Francis Murray)와 함께, 그는 폰 노이만 대수의 분류를 만들었습니다. 직접 적분(direct integral) 구성은 임의의 폰 노이만 대수를 인수(factors)라고 불리는 더 간단한 대수의 모음으로 분해하는 방법을 보여줍니다. 폰 노이만과 머리이는 인수를 세 가지 유형으로 분류했습니다. 유형 I은 교환 사례와 거의 동일했습니다. 유형 II와 III은 새로운 현상을 보였습니다. 유형 II 폰 노이만 대수는 차원이 단지 정수가 아닌 임의의 비-음의 실수가 될 수 있다는 독특한 특색을 갖는 기하학을 결정했습니다. 유형 III 대수는 유형 I도 유형 II도 아닌 것으로, 수십 년의 노력 끝에 유형 II 인수와 밀접한 관련이 있음이 입증되었습니다.

폰 노이만과 머리이의 인수 분류 연구와 동시에 개발된 함수 공간의 기하학에 대한 약간 다른 접근 방식입니다. 이 접근 방식은 C*-대수(C*-algebras)의 이론입니다. 여기에서, 동기를 부여하는 예제는 C*-대수 $C_{0}(X)$ 이며, 여기서 X는 지역적 컴팩트한 하우스도르프 토폴로지적 공간입니다. 정의에 의해, 이것은 점-별 덧셈과 곱셈의 연산을 갖는 무한대에서 사라지는 X에 대한 연속 복소-값 함수의 대수입니다 (이는 선택된 점에서 멀어질수록 함수가 영에 가까워진다는 것을 느슨하게 의미합니다). 겔판트–나이마르크 정리(Gelfand–Naimark theorem)는 교환 C*-대수와 기하학적 대상 사이에 대응이 있음을 암시합니다: 모든 각 교환 C*-대수는 일부 지역적 컴팩트 하우스도르프 공간 X에 대해 $C_{0}(X)$ 형식입니다. 결과적으로, 순수하게 교환 C*-대수의 관점에서 지역적 컴팩트 하우스도르프 공간을 연구하는 것이 가능합니다. 비-교환 기하학은 이것을 비-교환 C*-대수의 연구에 대한 영감으로 받아들입니다: 만약 "비-교환 공간 X"와 같은 것이 있다면, 그것의 $C_{0}(X)$ 는 비-교환 C*-대수가 될 것입니다; 게다가 겔판트–나이마르크 정리가 이들 비-존재 대상에 적용되면, 공간 (교환적이든 아니든)은 C*-대수와 같을 것입니다; 따라서, 비-교환 공간의 정의에 대한 직접적인 접근 방식이 없기 때문에, 비-교환 공간은 비-교환 C*-대수로 정의됩니다. 많은 표준 기하학 도구는 C*-대수의 관점에서 다시 말할 수 있고, 이것은 비-교환 C*-대수를 연구하기 위한 기하학적으로 영감을 받은 기술을 제공합니다.

이들 두 가지 예제는 이제 비-교환 기하학(non-commutative geometry)이라는 분야의 경우입니다. 폰 노이만 대수와 C*-대수의 특정 예제는 각각 비-교환 측정-이론과 비-교환 토폴로지로 알려져 있습니다. 비-교환 기하학은 그 제체로 단순히 일반성을 추구하는 것이 아니고 단순한 호기심도 아닙니다. 비-교환 공간은 일부 구성에서 자연적으로, 심지어 필연적으로, 발생합니다. 예를 들어, 연과 다트에 의한 평면의 비-주기적 펜로즈 타일링(Penrose tilings)을 생각해 보십시오. 그러한 타일링에서, 연과 다트의 모든 각 유한한 부분이 무한히 자주 나타난다는 것이 한 정리입니다. 결과로써, 유한한 부분을 보고 두 펜로즈 타일링을 구별할 방법이 없습니다. 이로 인해 모든 타일의 집합에 전통적인 의미의 토폴로지를 할당하는 것이 불가능합니다. 이것에도 불구하고, 펜로즈 타일링은 비-교환 C*-대수를 결정하고, 결과적으로 비-교환 기하학의 기술에 의해 연구될 수 있습니다. 미분 기하학(differential geometry) 내에 큰 관심을 끄는 또 다른 예제는 매니폴드의 엽리(foliations)에서 나옵니다. 이것들은 매니폴드를 잎(leaves)이라고 불리는 더 작은-차원의 부분매니폴드로 나누는 방법이며, 각 부분매니폴드는 근처에 있는 다른 것들과 지역적으로 평행합니다. 모든 잎의 집합은 토폴로지적 공간으로 만들 수 있습니다. 어쨌든, 무리수 회전(irrational rotation)의 예제는 이 토폴로지적 공간이 고전 측정 이론의 기술에 접근할 수 없음을 보여줍니다. 어쨌든, 엽리의 잎 공간과 결합된 비-교환 폰 노이만 대수가 있고, 다시 한 번, 이것은 그렇지 않으면 달리 이해할 수 없는 공간에 좋은 기하학적 구조를 제공합니다.

Schemes

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Fig. 10: Relations between mathematical spaces: schemes, stacks etc

대수적 기하학(Algebraic geometry)은 다항(polynomial) 방정식의 기하학적 속성을 연구합니다. 다항식은 덧셈과 곱셈의 기본 산술 연산에서 정의된 함수의 유형입니다. 이것 때문에, 그것들은 대수와 밀접하게 연결되어 있습니다. 대수적 기하학은 순수 대수의 문제에 기하학적 기법을 적용하는 방법을 제공하고, 그 반대도 마찬가지입니다.

1940년대 이전에, 대수적 기하학은 복소수에 걸쳐 배타적으로 작동했고, 가장 토대적인 다양체는 투영 공간이었습니다. 투영 공간의 기하학은 원근(perspective)의 이론과 밀접한 관련이 있고, 그것의 대수는 동차 다항식(homogeneous polynomials)으로 설명됩니다. 모든 다른 다양체는 투영 공간의 부분집합으로 정의되었습니다. 투영 다양체는 동종 다항식 집합으로 정의된 부분집합입니다. 투영 다양체의 각 지점에서, 집합에서 모든 다항식은 영과 같아야 합니다. 선형 다항식의 영 집합의 여집합은 아핀 공간이고, 아핀 다양체는 투영 다양체와 아핀 공간의 교집합이었습니다.

앙드레 베유(André Weil)는 문제에서 공간이 이산적이거나 심지어 유한할 수 있는 숫자-이론적 상황에서 기하학적 추론이 때때로 적용될 수 있음을 보았습니다. 이 아이디어를 추구하면서, 베유는 대수적 기하학의 토대를 다시 작성하여, 복소수에 대한 의존에서 대수적 기하학을 해방하고, 투영 공간에 삽입되지 않은 추상 대수적 다양체(abstract algebraic varieties)를 도입했습니다. 이것들은 이제 단순히 다양체(varieties)라고 불립니다.

대부분의 현대 대수적 기하학의 기초가 되는 공간의 유형은 베유의 추상 대수적 다양체보다 훨씬 더 일반적입니다. 그것은 알렉산더 그로텐디크(Alexander Grothendieck)에 의해 소개되었고 스킴(scheme)이라고 불립니다. 스킴 이론에 대한 동기 중 하나는 다항식이 함수 사이에서 비정상적으로 구조화되고, 대수적 다양체가 결과적으로 엄격하다는 것입니다. 이것은 퇴화 상황을 연구하려고 할 때 문제를 나타냅니다. 예를 들어, 원 위의 거의 임의의 점의 쌍은 할선이라는 고유한 직선을 결정하고, 두 점이 원 주위를 이동함에 따라, 할선은 연속적으로 변합니다. 어쨌든, 두 점이 충돌하면, 할선은 접선으로 퇴화됩니다. 접선은 고유하지만, 이 구성의 기하학—원 위의 단일 점—은 고유한 직선을 결정할 만큼 표현력이 충분하지 않습니다. 이와 같은 상황을 연구하는 것은 퇴화 상황에 여분의 데이터를 할당할 수 있는 이론이 필요합니다.

스킴의 빌딩 블록 중 하나는 토폴로지적 공간입니다. 토폴로지적 공간은 연속 함수를 가지지만, 연속 함수는 놓여있는 대수적 구조를 반영하기에는 너무 일반적입니다. 그러므로, 스킴에서 다른 성분은 "구조 뭉치(structure sheaf)"라고 불리는 토폴로지적 공간 위의 뭉치(sheaf)입니다. 토폴로지적 공간의 각 열린 부분집합 위에, 뭉치는 "정규 함수"라고 불리는 함수의 모음을 지정합니다. 함수가 대수적 연산에서 나온다는 조건을 만족하려면 토폴로지적 공간과 구조 뭉치가 함께 필요합니다.

매니폴드와 마찬가지로, 스킴은 친숙한 공간에 지역적으로 모델링된 공간으로 정의됩니다. 매니폴드의 경우에서, 친숙한 공간은 유클리드 공간입니다. 스킴에 대해, 지역적 모델은 아핀 스킴(affine schemes)이라고 불립니다. 아핀 스킴은 대수적 기하학과 교환 대수(commutative algebra) 사이의 직접적인 연결을 제공합니다. 교환 대수에서 연구의 토대적인 대상은 교환 링(commutative rings)입니다. 만약 $R$ 이 교환 링이면, $R$ 의 대수적 구조를 기하학으로 변환하는 해당하는 아핀 스킴 $\operatorname {Spec} R$ 이 있습니다. 반대로, 모든 각 아핀 스킴은 교환 링, 즉, 구조 뭉치의 전역적 섹션의 링을 결정합니다. 이들 두 연산은 서로 역이므로, 아핀 스킴은 교환 대수에서 질문을 연구할 수 있는 새로운 언어를 제공합니다. 정의에 의해, 스킴에서 모든 각 점은 아핀 스킴인 열린 이웃을 가집니다.

아핀이 아닌 많은 스킴이 있습니다. 특히, 투영 공간은 컴팩트성과 유사한 것인 적절성(properness)이라고 불리는 조건을 만족시킵니다. 아핀 스킴은 적절할 수 없습니다 (스킴이 단일 점만 가질 때와 같은 자명한 상황을 제외); 그리고 따라서 투영 공간은 아핀 스킴이 아닙니다 (영-차원 투영 공간을 제외). 투영 공간의 닫힌 부분스킴으로 발생하는 것을 의미하는 투영 스킴은 스킴의 단일 가장 중요한 가족입니다.^[12]

스킴의 여러 일반화가 도입되어 왔습니다. 마이클 아틴(Michael Artin)은 에탈 사상(étale morphisms)을 정의하는 동치 관계(equivalence relations)에 의해 스킴의 몫으로 대수적 공간(algebraic space)을 정의했습니다. 대수적 공간은 스킴의 많은 유용한 속성을 유지하면서 동시에 더 유연합니다. 예를 들어, Keel–Mori 정리를 많은 모듈러스 공간(moduli spaces)이 대수적 공간임을 보여주기 위해 사용될 수 있습니다.

대수적 공간보다 더 일반적인 것은 들리뉴-멈퍼드 스택(Deligne–Mumford stack)입니다. DM 스택은 스킴과 유사하지만, 그것들은 다항식의 관점에서만 설명될 수 없는 특이점을 허용합니다. 그것들은 오비폴드(orbifolds)가 매니폴드(manifolds)에 대해 수행하는 것을 스킴에 대해 같은 역할을 합니다. 예를 들어, 원점 주위의 회전의 유한 그룹(group)에 의한 아핀 평면의 몫은 스킴 또는 대수적 공간이 아닌 들리뉴-멈퍼드 스택을 생성합니다. 원점에서 멀리 떨어진, 그룹 동작에 의한 몫은 원에서 같은 간격의 점의 유한 집합을 식별합니다. 그러나 원점에서, 원은 단 하나의 점, 즉 원점 자체로 구성되고, 그룹 동작은 이 점을 고정합니다. 어쨌든, 몫 DM 스택에서, 이 점은 몫이라는 여분의 데이터와 함께 제공됩니다. 이러한 종류의 정제된 구조는 모듈러스 공간의 이론에서 유용하고, 사실, 그것은 원래 대수적 곡선의 모듈러스(moduli of algebraic curves)를 설명하기 위해 도입되었습니다.

추가 일반화는 아틴 스택이라고도 하는 대수적 스택(algebraic stacks)입니다. DM 스택은 유한 그룹 동작에 의한 몫으로 제한됩니다. 이것은 모듈러스 이론에서 많은 문제에 대해 충분하지만, 그것은 다른 문제에 대해 너무 제한적이고 아틴 스택은 보다 일반적인 몫을 허용합니다.

Topoi

File:Spaces topoi etc.svg

Fig. 11: Relations between mathematical spaces: locales, topoi etc

베유 추측(Weil conjectures)에 대한 그로텐디크의 연구에서, 그는 현재 그로텐디크 토폴로지(Grothendieck topology)라고 불리는 새로운 유형의 토폴로지를 도입했습니다. (보통의 의미에서) 토폴로지적 공간은 "가까움"의 개념을 공리화하여, 두 점이 근처에 있는 것과 그것들이 같은 많은 열린 집합에 있는 것은 필요충분 조건이라고 만듭니다. 대조적으로, 그로텐디크 토폴로지는 "덮음"의 개념을 공리화합니다. 공간의 덮음은 주변 공간의 모든 정보를 결합적으로 포함하는 부분공간의 모음입니다. 뭉치가 덮음의 관점에서 정의되기 때문에, 그로텐디크 토폴로지는 뭉치의 이론의 공리화로도 볼 수 있습니다.

그로텐디크의 토폴로지에 대한 그의 연구는 그를 토포스(topoi) 이론으로 이끌었습니다. 그의 회고록 Récoltes et Semailles에서, 그는 그것들을 그의 "가장 방대한 개념"이라고 불렀습니다.^[13] (토폴로지 공간 위에 또는 그로텐디크 토폴로지에 관한) 뭉치는 지역적 데이터를 표현하기 위해 사용됩니다. 모든 뭉치의 카테고리(category)는 지역적 데이터를 표현하는 가능한 모든 방법을 전달합니다. 토폴로지적 공간은 자체로 일종의 지역적 데이터인 점들로 구성되기 때문에, 뭉치의 카테고리는 따라서 원래 공간에 대한 대체로 사용될 수 있습니다. 그로텐디크는 결과적으로 토포스를 뭉치의 카테고리로 정의하고 토포스를 그 자체로 관심 대상으로 연구했습니다. 이것들은 이제 그로텐디크 토포스(Grothendieck topoi)라고 불립니다.

모든 각 토폴로지적 공간은 토포스를 결정하고 그 반대도 마찬가지입니다. 결합된 토포스를 취하면 정보가 손실되는 토폴로지적 공간이 있지만, 이것들은 일반적으로 병리학적으로 고려됩니다. (필요충분 조건은 토폴로지적 공간이 차분한 공간(sober space)이어야 한다는 것입니다.) 반대로, 결합된 토폴로지적 공간이 원래 토포스를 포획하지 못하는 토포스가 있습니다. 그러나, 병리적이기는커녕, 이들 토포스는 수학적으로 매우 흥미로울 수 있습니다. 예를 들어, 그로텐디크의 에탈 코호몰로지(étale cohomology)의 이론 (결국 베유 추측의 증명으로 이어짐)은 스킴의 에탈 포토스에서 코호몰로지로 표현될 수 있고, 이 토포스는 토폴로지적 공간에서 오지 않습니다.

사실 토폴로지적 공간은 로케일(locales)이라는 매우 특별한 토포스로 이어집니다. 토폴로지적 공간의 열린 부분집합의 집합이 격자(lattice)를 결정합니다. 토폴로지적 공간에 대한 공리로 인해 이들 격자는 완비 헤이팅 대수(complete Heyting algebras)가 됩니다. 로케일 이론은 이것을 출발점으로 삼습니다. 로케일은 완비 헤이팅 대수로 정의되고, 토폴로지적 공간의 기본 속성은 이들 용어로 다시 표현되고 입증됩니다. 로케일의 개념은 모든 각 차분한 토폴로지적 공간이 고유한 로케일을 결정하지만, 많은 흥미로운 로케일은 토폴로지적 공간에서 나오지 않는다는 점에서 토폴로지적 공간보다 더 일반적인 것으로 밝혀졌습니다. 로케일은 점을 가질 필요가 없기 때문에, 로케일의 연구는 약간 농담으로 점-없는 토폴로지(pointless topology)라고 불립니다.

토포스는 역시 수학적 논리에 대한 깊은 연결을 표시합니다. 모든 그로텐디크 토포스는 부분대상 분류기라고 불리는 특수 뭉치를 가집니다. 이 부분대상 분류기는 모든 가능한 진리 값의 집합과 같은 기능을 합니다. 집합의 토포스에서, 부분대상 분류기는 "거짓(False)" 및 "참(True)"에 해당하는 집합 $\{0,1\}$ 입니다. 그러나 다른 토포스에서, 부분대상 분류기가 훨씬 더 복잡할 수 있습니다. 로비어(Lawvere)와 티어니(Tierney)는 부분대상 분류기를 공리화하는 것은 현재 기본 토포스(elementary topos)로 알려진 더 일반적인 종류의 토포스가 생성되고, 기본 토포스는 직관적 논리(intuitionistic logic)의 모델임을 인식했습니다. 논리에서 기하학에 도구를 적용하는 강력한 방법을 제공하는 것 외에도, 이것은 논리에서 기하학 방법을 사용할 수 있게 만듭니다.

Spaces and structure

케빈 칼슨(Kevin Carlson)에 따르면,

이들 단어 ["공간" 및 "구조"] 어떤 것도 하나의 수학적 정의를 가지고 있지 않습니다. 영어 단어는 본질적으로 모든 같은 상황에서 사용될 수 있지만, "공간"을 더 기하학적으로 "구조"를 더 대수적이라고 생각하는 경우가 많습니다. [...] 따라서 "구조"를 대수를 수행하는 장소로, "공간"을 기하학을 수행하는 장소로 생각할 수 있습니다. 그런-다음 토폴로지적 공간의 기본 그룹(fundamental group)이나 링의 스펙트럼(spectrum of a ring)을 볼 때와 같이 구조에서 공간으로 또는 그 반대로 이동하는 데서 많은 훌륭한 수학이 나왔습니다. 그러나 결국, 그 구별은 어렵지도 않고 빠르지도 않고 지금까지만 진행됩니다: 많은 것이 분명히 구조이자 공간이며, 일부는 분명하지 않고, 일부 사람들은 내가 여기서 말한 모든 것에 동의하지 않을 수 있습니다.^[1]

그럼에도 불구하고, "구조"의 일반적인 정의는 부르바키에 의해 제안되었습니다;^[2] 그것은 위에서 언급된 모든 공간의 유형(types of spaces), (거의?) 지금까지 사용된 모든 유형의 수학적 구조, 등을 포괄합니다. 그것은 동형의 일반적인 정의를 제공하고, 동형적 구조 사이의 속성의 전송을 정당화합니다. 어쨌든, 그것은 수학적 실습에서 적극적으로 사용된 적은 없습니다 (부르바키 자신이 작성한 수학적 논문에서도 마찬가지임). 다음은 레오 코리(Leo Corry)의 책에 대한 로버트 리드(Robert Reed)의 검토에서 나온 마지막 문구입니다:^[14]

코리는 구조에 대한 임의의 형식적 정의가 실제 수학적 실습에서 개념의 사용을 정의할 수 있다고 생각하지 않는 것 같습니다. [...] 코리의 견해는 '구조'가 본질적으로 수학을 수행하는 방법을 의미하고, 따라서 수학 자체의 문화적 인공물만큼 정확히 정의할 수 있는 개념이 아니라는 믿음으로 요약될 수 있습니다.

수학적 구조에 대한 자세한 내용에 대해, 수학적 구조(mathematical structure), 수학적 구조의 동등한 정의(equivalent definitions of mathematical structures); 및 구조의 전송(transport of structure)을 참조하십시오.

기하학적 "공간"과 대수적 "구조" 사이의 구별은 때때로 명확하고 때로는 알기 어렵습니다. 분명하게, 그룹(groups)은 대수적이지만, 유클리드 공간(Euclidean spaces)은 기하학적입니다. 링(rings)에 걸쳐 모듈(Modules)은 그룹만큼 대수적입니다. 특히, 링이 필드로 나타날 때, 모듈은 선형 공간으로 나타납니다; 그것이 대수적입니까 아니면 기하학적입니까? 특히, 그것이 유한-차원이고, 실수에 걸쳐 있고, 안의 곱이 부여될 때, 그것은 유클리드 공간이 됩니다; 이제 기하학적입니다. (대수학?) 실수의 필드는 (기하학적?) 실수 직선과 같습니다. 그것의 대수적 클로저(algebraic closure), (대수적?) 복소수의 필드는 (기하학적?) 복소 평면과 같습니다. 그것은 무엇보다도 (대수학이나 기하학이 아닌) "우리가 해석을 수행하는 장소"입니다.

"Non-commutative geometry", "Schemes", 및 "Topoi" 하위-섹션을 제외하고, 위의 "Types of spaces" 섹션에서 처리된 모든 각 공간은 일부 추가적인 구조를 갖춘 집합 (바르바키에 따르면, 구조의 "주요 기본 집합")입니다; 기본 집합의 원소는 보통 이 공간의 "점"이라고 불립니다. 대조적으로, 대수적 구조(의 기본 집합)의 원소는 보통 "점"이라고 부르지 않습니다.

어쨌든, 때때로 하나보다 많은 주요 기본 집합을 사용합니다. 예를 들어, 이-차원 투영 기하학은 점 집합과 직선의 집합이라는 두 개의 기본 집합을 통해 형식화될 수 있습니다. 더욱이, 투영 평면의 두드러진 특징은 점과 직선에 의해 수행되는 역할의 대칭입니다. 덜 기하학적인 예제: 그래프는 꼭짓점 (노드 또는 점이라고도 함) 집합과 가장자리(호 또는 직선이라고도 함) 집합의 두 기본 집합을 통해 형식화될 수 있습니다. 일반적으로, 유한하게 많은 주요 기본 집합과 유한하게 많은 보조 기본 집합은 부르바키에 의해 규정되었습니다.

위의 "Non-commutative geometry", "Schemes", 및 "Topoi" 하위-섹션에서 처리된 기하학적 풍미의 많은 수학적 구조는 점의 기본 집합을 규정하지 않습니다. 예를 들어 "점-없는 토폴로지"("pointless topology", 다른 말로, point-free topology, 또는 locale theory)는 원소가 토폴로지 공간 (그러나 점의 집합은 아님)에서 열린 집합을 모방하는 단일 기본 집합으로 시작합니다; mereotopology 및 point-free geometry도 참조하십시오.

List of mathematical spaces

Notes

^ Similarly, several types of numbers are in use (natural, integral, rational, real, complex); each one has its own definition; but just "number" is not used as a mathematical notion and has no definition.
^ ^a ^b Reformed by Hilbert, Tarski and Birkhoff in order to avoid hidden assumptions found in Euclid's Elements.
^ The space $2^{\mathbb {R} }$ (equipped with its tensor product σ-algebra) has a measurable structure which is not generated by a topology. A proof can be found in this answer on MathOverflow.

Footnotes

^ ^a ^b Carlson, Kevin (August 2, 2012). "Difference between 'space' and 'mathematical structure'?". Stack Exchange.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Bourbaki 1968, Chapter IV
^ Itô 1993, page 987
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the history of mathematics. Masson (original), Springer (translation). doi:10.1007/978-3-642-61693-8. ISBN 978-3-540-64767-6.
^ Gray, Jeremy (1989). Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean and Relativistic (second ed.). Clarendon Press. ISBN 978-0198539353.
^ Gallier, Jean (2011). "Basics of Euclidean geometry". Geometric Methods and Applications. Texts in Applied Mathematics. Vol. 38. Springer. pp. 177–212. doi:10.1007/978-1-4419-9961-0_6. ISBN 978-1-4419-9960-3. See also OpenCourseWare.
^ Pudlák, Pavel (2013). Logical Foundations of Mathematics and Computational Complexity: A Gentle Introduction. Springer Monographs in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-00119-7. ISBN 978-3-319-00118-0.
^ Bourbaki 1968, page 385
^ Bourbaki 1968, Sect.IV.1.6
^ Bourbaki 1968, Sect.IV.1.7
^ Lanczos, Cornelius (1970). Space through the Ages: The Evolution of Geometrical Ideas from Pythagoras to Hilbert and Einstein. Academic Press. p. 269. ISBN 978-0124358508.
^ Eisenbud & Harris 2000.
^ "Si le thème des schémas est comme le coeur de la géométrie nouvelle, le thème du topos en est l’enveloppe, ou la demeure. Il est ce que j’ai conçu de plus vaste, pour saisir avec finesse, par un même langage riche en résonances géométriques, une "essence" commune à des situations des plus éloignées les unes des autres, provenant de telle région ou de telle autre du vaste univers des choses mathématiques." Récoltes et Semailles, page P43.
^ Reed, Robert C. (2000). "Leo Corry, Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures". Review. Modern Logic. 8 (1–2): 182–190.

References

Bourbaki, Nicolas, Elements of mathematics, Hermann (original), Addison-Wesley (translation).
Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics: Theory of sets, Hermann (original), Addison-Wesley (translation).
Eisenbud, David; Harris, Joe (2000), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, doi:10.1007/b97680, ISBN 978-0-387-98638-8.
Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, eds. (2008), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11880-2.
Itô, Kiyosi, ed. (1993), Encyclopedic dictionary of mathematics (second ed.), Mathematical society of Japan (original), MIT press (translation).

External links

Media related to Space (mathematics) at Wikimedia Commons
Matilde Marcolli (2009) The notion of space in mathematics, from Caltech.

[2] Similarly, several types of numbers are in use (natural, integral, rational, real, complex); each one has its own definition; but just "number" is not used as a mathematical notion and has no definition.

[axioms-3] Reformed by Hilbert, Tarski and Birkhoff in order to avoid hidden assumptions found in Euclid's Elements.

[14] The space $2^{\mathbb {R} }$ (equipped with its tensor product σ-algebra) has a measurable structure which is not generated by a topology. A proof can be found in this answer on MathOverflow.

[carlson-1] Carlson, Kevin (August 2, 2012). "Difference between 'space' and 'mathematical structure'?". Stack Exchange.

[BS-4] Bourbaki 1968, Chapter IV

[EDM987-5] Itô 1993, page 987

[Bb94-6] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ Bourbaki, Nicolas (1994). Elements of the history of mathematics. Masson (original), Springer (translation). doi:10.1007/978-3-642-61693-8. ISBN 978-3-540-64767-6.

[7] Gray, Jeremy (1989). Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean and Relativistic (second ed.). Clarendon Press. ISBN 978-0198539353.

[8] Gallier, Jean (2011). "Basics of Euclidean geometry". Geometric Methods and Applications. Texts in Applied Mathematics. Vol. 38. Springer. pp. 177–212. doi:10.1007/978-1-4419-9961-0_6. ISBN 978-1-4419-9960-3. See also OpenCourseWare.

[9] Pudlák, Pavel (2013). Logical Foundations of Mathematics and Computational Complexity: A Gentle Introduction. Springer Monographs in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-3-319-00119-7. ISBN 978-3-319-00118-0.

[BSr385-10] Bourbaki 1968, page 385

[B-IV.1.6-11] Bourbaki 1968, Sect.IV.1.6

[B-IV.1.7-12] Bourbaki 1968, Sect.IV.1.7

[13] Lanczos, Cornelius (1970). Space through the Ages: The Evolution of Geometrical Ideas from Pythagoras to Hilbert and Einstein. Academic Press. p. 269. ISBN 978-0124358508.

[FOOTNOTEEisenbudHarris2000-15] Eisenbud & Harris 2000.

[16] "Si le thème des schémas est comme le coeur de la géométrie nouvelle, le thème du topos en est l’enveloppe, ou la demeure. Il est ce que j’ai conçu de plus vaste, pour saisir avec finesse, par un même langage riche en résonances géométriques, une "essence" commune à des situations des plus éloignées les unes des autres, provenant de telle région ou de telle autre du vaste univers des choses mathématiques." Récoltes et Semailles, page P43.

[17] Reed, Robert C. (2000). "Leo Corry, Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures". Review. Modern Logic. 8 (1–2): 182–190.

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