Characterizations of the exponential function

Original article: w:Characterizations of the exponential function

수학(mathematics)에서, 지수 함수(exponential function)는 여러 방법으로 특성화(characterized)될 수 있습니다. 다음 특성화 (정의)가 가장 공통적입니다. 이 문서에서는 각 특성화가 의미가 있는 이유와 특성화가 서로 독립적이고 동등한(equivalent) 이유에 대해 설명합니다. 이들 고려 사항의 특별한 경우로서, 수학 상수 $e$에 대해 주어진 세 가지 가장 공통적인 정의가 서로 동등하다는 것이 입증될 것입니다.

Characterizations

실수 x에 대해 지수 함수 exp(x) = e^x의 6가지 가장 공통적인 정의는 다음과 같습니다:

1. e^x를 극한(limit)에 의해 정의합니다:$$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$
2. e^x를 무한 급수(infinite series)의 값으로 정의합니다: $$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$$ (여기서 n!은 n의 팩토리얼(factorial)을 나타냅니다. 하나의 e는 무리수라는 증명(proof that e is irrational)은 이 공식의 특별한 경우를 사용합니다.)
3. e^x를 다음을 만족하는 고유한 숫자 y > 0로 정의합니다: $$\int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.$$ 이것은 적분에 의해 정의되는 자연 로그(natural logarithm) 함수의 역함수입니다.
4. e^x를 초기 값 문제(initial value problem)에 대한 고유한 해로 정의합니다: $$y'=y,\quad y(0)=1.$$ (여기서, y′은 y의 도함수(derivative)를 나타냅니다.)
5. 지수 함수 e^x는 다음 추가적인 조건 중 임의의 하나를 만족시키는 모든 x와 y에 대해 f(1) = e와 f(x + y) = f(x) f(y)를 갖는 고유한 함수 f입니다:
   • f는 르베그-측정가능(Lebesgue-measurable)입니다 (Hewitt and Stromberg, 1965, exercise 18.46).
   • f는 적어도 하나의 점에서 연속(continuous)입니다 (Rudin, 1976, chapter 8, exercise 6). (아래에 보인 것처럼, 만약 모든 x와 y에 대해 f(x + y) = f(x) f(y)이고, f가 임의의 단일 점에서 연속이면, f는 반드시 모든 점에서 연속입니다.)
   • f는 증가하는(increasing) 것입니다. (유리수에 대한 e^x와 일치하는 증가 함수는 e^x와 같아야 합니다.)
   고유성에 대해, 위의 그것들과 같은 몇 가지 추가 조건을 부과해야 하는데, 왜냐하면 그렇지 않으면 Hewitt와 Stromberg에 의해 설명된 것처럼 다른 함수가 유리수에 걸쳐 실수에 대한 기저(basis for the real numbers over the rationals)를 사용하여 구성될 수 있기 때문입니다.
   우리는 역시 f(1) = e와 "추가 조건"을 단일 조건 f′(0) = 1으로 대체할 수 있습니다.
6. e를 다음을 만족시키는 고유한 양의 실수로 놓습니다: $$\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.$$ 이 극한은 존재하는 것으로 보일 수 있습니다. 그런-다음 e^x를 이 기저를 갖는 지수 함수로 정의합니다. 이 정의는 특히 지수 함수의 도함수를 계산하는 데 적합합니다.

Larger domains

실수 도메인보다 더 큰 도메인에 대해 지수 함수를 정의하는 한 가지 방법은 먼저 위의 특성화 중 하나를 사용하여 실수 도메인에 대해 지수 함수를 정의하고 그런-다음 임의의 해석적 함수(analytic function)에 대해 작동하는 방법에서 더 큰 도메인으로 확장하는 것입니다.

일부 문제가 발생할 수 있지만, 더 큰 도메인에 대해 직접 특성화를 사용할 수도 있습니다. (1), (2), 및 (4)는 모두 임의적인 바나흐 대수(Banach algebras)에 적합합니다. (3)은 적분할 수 있는 경로를 따라 비-동등한 경로가 있기 때문에 복소수에 대해 문제를 제시하고, (5)는 충분하지 않습니다. 예를 들어, 다음으로 ($x$와 $y$ 실수에 대해) 정의된 함수 $f$는$$f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}$$ $x+iy$의 지수 함수가 되지 않고 (5)에서 조건을 만족시킵니다. 복소수의 도메인에 대해 (5)를 충분으로 만들기 위해, 우리는 $f$가 등각 맵(conformal map)인 점이 존재한다고 규정하거나 그렇지 않으면 다음임을 규정할 수 있습니다: $$f(i)=\cos(1)+i\sin(1).$$

특히, $f'(0)=1$인 (5)에서 대안적인 조건은 $f$가 등각임을 암시적으로 규정하기 때문에 충분입니다.

Proof that each characterization makes sense

이들 정의 중 일부는 그것들이 잘-정의되었음(well-defined)을 시연하기 위해 정당성을 요구합니다. 예를 들어, 함수의 값이 극한하는 과정(limiting process) (즉, 무한 수열(infinite sequence) 또는 급수(series))의 결과로 정의될 때, 그러한 제한이 항상 존재한다는 것을 시연해야 합니다.

Characterization 2

다음이기 때문에, $$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.$$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$가 모든 $x$에 대해수렴한다는 비율 테스트(ratio test)에서 따릅니다.

Characterization 3

피적분이 $t$의 적분-가능 함수(integrable function)이므로, 적분 표현은 잘-정의됩니다. 다음으로 정의된 $\mathbb {R} ^{+}$에서 $\mathbb {R}$로의 함수가 전단사(bijection)임을 나타내야 합니다: $$x\mapsto \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$$ $1/t$는 양수 $t$에 대해 양수이기 때문에, 이 함수는 엄격하게 증가하는(strictly increasing) 것, 따라서 단사(injective)입니다. 만약 다음 두 적분이 유지되면, $${\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}&=\infty \\[8pt]\int _{1}^{0}{\frac {dt}{t}}&=-\infty \end{aligned}}$$ 그것은 마찬가지로 전사(surjective)입니다. 실제로, 이들 적분은 유지합니다; 그것들은 적분 테스트(integral test)와 조화 급수(harmonic series)의 발산에서 따릅니다.

Equivalence of the characterizations

다음 증명은 위의 $e$에 대해 제공된 처음 세 가지 특성화의 동등성을 시연합니다. 증명은 두 부분으로 구성됩니다. 먼저, 특성화 1과 2의 동등성이 설정되고, 그런-다음 특성화 1과 3의 동등성이 설정됩니다. 다른 특성화를 연결하는 논증은 역시 제공됩니다.

Characterization 1 ⇔ characterization 2

다음 논증은 Rudin, theorem 3.31, p. 63–65에서 하나의 증명으로부터 채택되었습니다.

$x\geq 0$을 고정된 비-음의 고정 실수로 놓습니다. 다음을 정의합니다:$$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}},\ t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$

이항 정리(binomial theorem)에 의해, $${\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}$$ (최종 부등식을 얻기 위해 x ≥ 0을 사용하여) 다음이 되도록 $$\limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x}$$ 여기서 $e^{x}$은 정의 2의 의미에 있습니다. 여기서, limsups이 사용되어야 하는데, 왜냐하면 $t_{n}$이 수렴하는지 알 수 없기 때문입니다. 나머지 다른 방향에 대해, 위의 $t_{n}$ 표현에 의해, 2 ≤ m ≤ n이면, $$1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.$$

m을 고정하고, n이 무한대로 접근하도록 놓습니다. 그런-다음 $$s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}$$ (다시, liminf들이 사용되어야 하는데 왜냐하면 $t_{n}$이 수렴하는지 알 수 없기 때문입니다). 이제, 위의 부등식을 취하고, m이 무한대로 접근한다고 놓고, 그것을 나머지 다른 부등식과 함께 놓으면, 이것이 됩니다: $$\limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}$$ 다음이 되도록, $$\lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.$$

이 동등성은 ${\textstyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$를 사용하고 $n$이 무한대로 갈 때 극한을 취함으로써 음의 실수로 확장될 수 있습니다.

이 극한-표현의 오차 항은 다음에 의해 설명됩니다:$$\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}+{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),$$ 여기서 분모 $n^{k}$을 갖는 항에서 ($x$에서) 다항식의 차수는 $2k$입니다.

Characterization 1 ⇔ characterization 3

여기서, 자연로그 함수는 위와 같이 정적분의 관점에서 정의됩니다. 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)의 첫 번째 부분에서, $${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}.$$

게다가, ${\textstyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {dt}{t}}=0}$

이제, $x$를 고정된 실수로 놓고, 다음이라고 놓습니다: $$y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$

Ln(y) = x이며, y = e^x임을 의미하며, 여기서 e^x는 정의 3의 의미에 있습니다. 우리는 다음을 가집니다: $$\ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$

여기서, $\ln(y)$의 연속성이 사용되며, $1/t$의 연속성에서 따릅니다: $$\ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.$$

여기서, $\ln a^{n}=n\ln a$가 사용되어 왔습니다. 이 결과는 귀납법에 의해, 또는 치환에 의한 적분을 사용하여 자연수 $n$에 대해 설정될 수 있습니다. (실수 거듭제곱으로의 확장은 ln과 exp가 서로의 역으로 설정될 때까지 기다려야 a^b가 실수 b에 대해 e^{b lna}로 정의될 수 있습니다.) $$=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}}\quad {\text{ where }}h={\frac {x}{n}}$$ $$=x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}$$ $$=x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}$$ $$\!\,=x.$$

Characterization 1 ⇔ characterization 5

다음 증명은 Hewitt and Stromberg, exercise 18.46에서 하나의 단순화된 버전입니다. 먼저, 우리는 측정-가능성 (또는 여기서, 르베그-적분가능)이 $f(x+y)=f(x)f(y)$를 만족시키는 비-영 함수$f(x)$에 대해 연속성을 의미한다는 것을 입증하고, 그런-다음 우리는 일부 $k$에 대해 $f(x)=e^{kx}$를 의미함을 입증하고, 마지막으로 $f(1)=e$는 k = 1을 의미함을 입증합니다.

먼저, $f(x+y)=f(x)f(y)$를 만족시키는 $f(x)$에서 몇 가지 기본 속성이 입증되고, $f(x)$가 동일하게 영이 아니라고 가정합니다:

• 만약 $f(x)$가 어딘가에 (말하자면 $x=y$에서) 비-영이면, 그것은 어디에서나 비-영입니다. 증명: $f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0$는 $f(x)\neq 0$를 의미합니다.
• $f(0)=1$. 증명: $f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)$이고 $f(x)$는 비-영입니다.
• $f(-x)=1/f(x)$. 증명: $1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)$.
• 만약 $f(x)$가 어딘가에 (말하자면 $x=y$에서) 연속이면, 그것은 어디에서나 연속입니다. 증명: $f(x+\delta )-f(x)=f(x-y)[f(y+\delta )-f(y)]\to 0$ as $\delta \to 0$ by continuity at y.

두 번째와 세 번째 속성은 양수 $x$에 대해 $f(x)=e^{x}$를 입증하는 것으로 충분하다는 것을 의미합니다.

만약 $f(x)$가 르베그-측정가능 함수이면, $$g(x)=\int _{0}^{x}f(x')\,dx'.$$

그것은 다음임을 따릅니다: $$g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(x')\,dx'=\int _{0}^{y}f(x+x')\,dx'=f(x)g(y).$$

$f(x)$가 비-영이기 때문에, 일부 y는 $g(y)\neq 0$를 만족하도록 선택되고 위의 표현에서 $f(x)$에 대해 해결될 수 있습니다. 그러므로: $${\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}=g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}$$

마지막 표현은 $\delta \to 0$일 때 영으로 가야 하는데 왜냐하면 $g(0)=0$이고 $g(x)$가 연속이기 때문입니다. 그것은 $f(x)$가 연속임을 따릅니다.

이제, $f(q)=e^{kq}$가, 일부 $k$에 대해, 모든 양의 유리수 $q$에 대해 입증될 수 있습니다. 양의 정수 $n$과 $m$에 대해 $q=n/m$이라고 놓습니다. 그런-다음, $n$에 대한 기본 귀납법에 의해, $$f\left({\frac {n}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}+\cdots +{\frac {1}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}\right)^{n}$$ 그러므로, $f(1/m)^{m}=f(1)$이고 따라서 $k=\ln[f(1)]$에 대해 $$f\left({\frac {n}{m}}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.$$ 만약 실수-값 $f(x)$로 제한되면, $f(x)=f(x/2)^{2}$는 어디에서나 양수이고 따랏 $k$는 실수입니다.

마지막으로, 연속성에 의해, 모든 유리수 $x$에 대해 $f(x)=e^{kx}$이므로, 그것은 모든 실수 $x$에 대해 참이어야 하는데 왜냐하면 유리수의 클로저는 실수이기 때문입니다 (즉, 임의의 실수 $x$는 유리수의 수열의 극한으로 쓸 수 있기 때문입니다). 만약 $f(1)=e$이면, $k=1$입니다. 이것은 e의 동등한 정의가 사용하는 것에 따라 특성화 1 (또는 2, 또는 3)과 동등합니다.

Characterization 2 ⇔ characterization 4

$n$을 비-음의 정수로 놓습니다. 정의 4의 의미와 귀납법에 의해, ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y$.

그러므로 ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.$

테일러 급수(Taylor series)를 사용하여, $$y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$$ 이것은 정의 4가 정의 2를 의미함을 보입니다.

정의 2의 의미에서, $${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ where }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}$$

게다가, ${\textstyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ 이것은 정의 2가 정의 4를 의미함을 보입니다.

Characterization 2 ⇒ characterization 6

정의 2의 의미에서, $${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}}{3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)\\&=\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)\\&=1\end{aligned}}$$

Characterization 3 ⇔ characterization 4

특성화 3은 지수 함수가 정의되기 전에 자연 로그를 정의하는 것을 포함합니다. 먼저, $$\log x:=\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}$$ 이것은 $x$의 자연 로그가 $t=1$과 $t=x$ 사이의 $1/t$의 그래프 아래의 (부호화된) 넓이와 같음을 의미합니다. 만약 $x<1$이면, 이 넓이는 음수로 취합니다. 그런-다음, $\exp$는 $\log$의 역으로 정의되며, 역함수의 정의에 의해 다음임을 의미합니다: $$\exp(\log(x))=x{\text{ and }}\log(\exp(x))=x$$ 만약 $a$가 양의 실수이면, $a^{x}$는 $\exp(x\log(a))$로 정의됩니다. 마지막으로, $e$가 $\log(a)=1$을 만족하는 숫자로 정의됩니다. 그런-다음 $e^{x}=\exp(x)$임을 표시할 수 있습니다: $$e^{x}=\exp(x\log(e))=\exp(x)$$ 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)에 의해, ${\textstyle \log x={\frac {1}{x}}}$의 도함수입니다. 우리는 이제 특성화 4에서 주어진 초기 값 문제의 첫 번째 부분을 만족시키는 ${\textstyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$임을 입증하기 위한 위치에 있습니다: $${\begin{aligned}{\text{Let }}y&=e^{x}=\exp(x)\\\log(y)&=\log(\exp(x))=x\\{\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}&=1\\{\frac {dy}{dx}}&=y=e^{x}\end{aligned}}$$ 그런-다음, 우리는 단지 $e^{0}=\exp(0)=1$임을 언급해야 하고, 그걸로 끝납니다. 물론, 특성화 4가 특성화 3을 의미한다는 것을 보여주는 것이 훨씬 쉽습니다. 만약 $e^{x}$가 $f'(x)=e^{x}$를 만족시키는 고유한 함수이고, $f(0)=1$이면, $\log$는 그것의 역으로 정의될 수 있습니다. $\log$의 도함수는 다음 방법에서 구할 수 있습니다: $$y=\log x\implies x=e^{y}$$ 만약 우리가 $y$에 관해 양쪽 변을 미분하면, 다음을 얻습니다: $${\begin{aligned}{\frac {dx}{dy}}&=e^{y}\\{\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}\end{aligned}}$$ 그러므로, $$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt=\left[\log t\right]_{1}^{x}=\log x-\log 1=\log x-0=\log x$$

Characterization 5 ⇒ characterization 4

조건 f'(0) = 1 및 f(x + y) = f(x) f(y)은 특성화 4에서 두 조건을 의미합니다. 실제로, 우리는 다음 방정식의 양쪽 변을 f(0)으로 나눔으로써 초기 조건 f(0) = 1을 얻고, $$f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)$$ f′(x) = f(x)라는 조건은 f′(0) = 1라는 조건과 다음처럼 도함수의 정의로부터 따릅니다: $${\begin{array}{rcccccc}f'(x)&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\[1em]&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(h)-1}{h}}&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}&=&f(x)f'(0)=f(x).\end{array}}$$

Characterization 6 ⇒ characterization 4

정의 6의 의미에서, $${\frac {d}{dx}}e^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}.$$ 방법 $e^{0}=1$에 의해, 따라서 정의 6은 정의 4를 의미합니다.

References

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition (McGraw–Hill, 1976), chapter 8.
• Edwin Hewitt and Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis (Springer, 1965).