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수학(mathematics)에서, 함수(function)의 코도메인(codomain) 또는 목적지 집합(set of destination)은 함수의 모든 출력이 그것에 떨어지도록 제한되는 집합(set)입니다. 그것은 표기법 $f : X \to Y$ 에서 집합 $Y$ 입니다. 용어 치역(range)이 때때로 함수의 코도메인 또는 이미지(image)를 참조하기 위해 모호하게 사용됩니다.

코도메인은 $f$ 가 세-쌍 $(X, Y, F)$ 으로 정의되는 함수 $f$ 의 일부이며 여기서 $X$ 는 $f$ 의 도메인(domain), $Y$ 는 코도메인, 및 $G$ 는 그래프(graph)라고 불립니다.^[1] 형식 $f (x)$ 의 모든 원소의 집합은, 여기서 $x$ 는 도메인(domain) $X$ 의 원소에 걸쳐 있으며, $f$ 의 이미지(image)라고 불립니다. 함수의 이미지는 그의 코도메인의 부분-집합이므로 그것과 일치하지 않을 수 있습니다. 즉, 전사(surjective)가 아닌 함수는 방정식 $f (x) = y$ 가 해를 가지지 않는 그것의 코도메인에 원소 $y$ 를 가집니다.

코도메인은 만약 $f$ 가 단지 그래프로 정의되면 함수 $f$ 의 일부가 아닙니다.^[2]^[3] 예를 들어, 집합 이론에서, 함수의 도메인이 적절한 클래스(proper class) $X$ 가 되도록 허용하는 것이 바람직하며, 이 경우에서 공식적으로 세-쌍 $(X, Y, F)$ 와 같은 것은 없습니다. 그러한 정의와 함께, 함수는 비록 일부 저자는 형식 $f : X \to Y$ 내의 함수를 소개한 후에 비공식적으로 그것을 여전히 사용하지만 코도메인을 가지지 않습니다.^[4]

Examples

다음 함수에 대해

f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

다음에 의해 정의됩니다:

f\colon \,x\mapsto x^{2},{\text{ or equivalently }}f(x)\ =\ x^{2},

$f$ 의 코도메인은 $\textstyle \mathbb {R}$ 이지만, $f$ 는 임의의 음수를 매핑하지 않습니다. 따라서 $f$ 의 이미지는 집합 $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$ ; 즉, 구간(interval) $[0, \infty)$ 입니다.

대안적인 함수 $g$ 는 따라서 정의됩니다:

g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}

g\colon \,x\mapsto x^{2}.

$f$ 와 $g$ 는 주어진 $x$ 를 같은 숫자로 매핑하지만, 그것들은, 이 관점에서, 같은 함수가 아닌데 왜냐하면 그것들은 다른 코도메인을 가지기 때문입니다. 세 번째 함수 $h$ 는 이유를 시연하기 위해 정의될 수 있습니다:

h\colon \,x\mapsto {\sqrt {x}}.

$h$ 의 도메인은 $\textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}$ 로 정의되어야 합니다:

h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} .

합성(compositions)은 다음과 같이 표시됩니다:

h\circ f,

h\circ g.

검사에서, $h \circ f$ 는 유용하지 않습니다. 달리 정의되지 않은 한, $f$ 의 이미지가 알 수 없다는 것은 참입니다; $\textstyle \mathbb {R}$ 의 부분집합인 것이 오직 알려져 있습니다. 이러한 이유로, $h$ 는, $f$ 가 합성될 때, 출력이 정의되지 않은 인수를 받을 수 있는 것이 가능합니다 – 음수는 제곱근 함수(square root function)인 $h$ 의 도메인의 원소가 아닙니다.

함수 합성은 따라서 합성의 오른쪽에 있는 함수의 코도메인 (함수의 결과이고 합성의 수준에서 알 수 없는 이미지가 아님)은 왼쪽에 있는 함수의 도메인의 부분집합일 때 오직 유용한 개념입니다.

코도메인은 함수가 전사(surjection)인지 여부에 영향을 미칩니다. 그것에서 함수가 전사인 것과 그것의 코도메인이 이미지와 같은 것은 필요충분 조건입니다. 이 예제에서, $g$ 는 전사이지만 $f$ 는 그렇지 않습니다. 코도메인은 함수가 단사(injection)인지 여부에 영향을 미치지 않습니다.

코도메인과 이미지 사이의 차이의 두 번째 예제는 두 벡터 공간(vector space) 사이의 선형 변환(linear transformation)에 의해 시연됩니다 – 특히, $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ 에서 자체로의 모든 선형 변환, 이것은 실수 계수를 갖는 $2\times2$ 행렬(matrices)로 표현될 수 있습니다. 각 행렬은 도메인 $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ 과 코도메인 $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ 을 갖는 맵을 나타냅니다. 어쨌든, 이미지는 불확실합니다. 일부 변환은 (랭크(rank) $2$ 를 갖는 행렬에서) 전체 코도메인과 같은 이미지를 가질 수 있지만, 많은 것이 그렇지 않으며, 대신에 일부 더 작은 부분공간 (랭크 $1$ 또는 $0$ 을 갖는 행렬)으로 매핑합니다. 예를 들어, 다음에 의해 정의된 행렬 $T$ 를 취하십시오:

T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}

이것은 점 $(x, y)$ 를 $(x, x)$ 로 매핑하는 선형 변환을 나타냅니다. 점 $(2, 3)$ 은 $T$ 의 이미지가 아니지만, 여전히 코도메인에 있는데 왜냐하면 $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ 에서 $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ 로의 선형 변환은 명시적 관련성의 것이기 때문입니다. 모든 $2\times2$ 행렬처럼, $T$ 는 해당 집합의 구성원을 나타냅니다. 이미지와 코도메인 사이의 차이를 조사하면 종종 질문에서 함수의 속성을 발견하는 것에 유용할 수 있습니다. 예를 들어, $T$ 는 가득 찬 랭크를 가지지 않는데 왜냐하면 그것의 이미지가 전체 코도메인보다 더 작기 때문이라고 결론 지을 수 있습니다.

Notes

^ Bourbaki 1970, p. 76
^ Bourbaki 1970, p. 77
^ Forster 2003, pp. 10–11
^ Eccles 1997, p. 91 (quote 1, quote 2); Mac Lane 1998, p. 8; Mac Lane, in Scott & Jech 1967, p. 232; Sharma 2004, p. 91; Stewart & Tall 1977, p. 89

References

Bourbaki, Nicolas (1970). Théorie des ensembles. Éléments de mathématique. Springer. ISBN 9783540340348.
Eccles, Peter J. (1997), An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets, and Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59718-0
Forster, Thomas (2003), Logic, Induction and Sets, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53361-4
Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the working mathematician (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-98403-2
Scott, Dana S.; Jech, Thomas J. (1967), Axiomatic set theory, Symposium in Pure Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0245-8
Sharma, A.K. (2004), Introduction To Set Theory, Discovery Publishing House, ISBN 978-81-7141-877-0
Stewart, Ian; Tall, David Orme (1977), The foundations of mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853165-4

[1] Bourbaki 1970, p. 76

[2] Bourbaki 1970, p. 77

[3] Forster 2003, pp. 10–11

[4] Eccles 1997, p. 91 (quote 1, quote 2); Mac Lane 1998, p. 8; Mac Lane, in Scott & Jech 1967, p. 232; Sharma 2004, p. 91; Stewart & Tall 1977, p. 89

[1]

[2]

[3]

[4]

Examples

See also

Notes

References