Row and column spaces

선형 대수(linear algebra)에서, 행렬 A의 열 공간 (역시 치역(range) 또는 이미지(image)라고 불림)은 그것의 열 벡터(column vectors)의 스팬(span, 모든 가능한 선형 조합(linear combinations)의 집합)입니다. 행렬의 열 공간은 대응하는 행렬 변환(matrix transformation)의 이미지(image) 또는 치역(range)입니다.

$\mathbb {F}$ 를 필드(field)라고 놓습니다. $\mathbb {F}$ 에서 구성 요소를 갖는 $m \times n$ 행렬의 열 공간은 m-공간(m-space) $\mathbb {F} ^{m}$ 의 선형 부분공간(linear subspac)입니다. 열 공간의 차원(dimension)은 행렬의 랭크(rank)라고 불리고 많아야 $min(m, n)$ 입니다.^[1] 링 $\mathbb {K}$ 에 걸쳐 행렬에 대해 정의도 가능합니다.

행 공간(row space)도 비슷하게 정의됩니다.

행렬 $A$ 의 행 공간과 열 공간은 때때로 각각 $C (A T)$ 및 $C (A)$ 로 표시됩니다.^[2]

이 기사에서는 실수 행렬(real numbers)을 고려합니다. 행 공간과 열 공간은 각각 실수 공간(real spaces) $\mathbb {R} ^{n}$ 과 $\mathbb {R} ^{m}$ 의 부분공간입니다.^[3]

Overview

$A$ 를 $m$ -x- $n$ 행렬이라고 놓습니다. 그런-다음

$rank(A) = dim(rowsp(A)) = dim(colsp(A))$ ,^[4]
$rank(A)$ = $A$ 의 임의의 사다리꼴 형식에서 피벗(pivots)의 숫자,
$rank(A)$ = $A$ 의 선형적으로 독립 행 또는 열의 최대 숫자.^[5]

만약 우리가 행렬을 $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 $\mathbb {R} ^{m}$ 으로의 선형 변환(linear transformation)으로 고려하면, 행렬의 열 공간은 이 선형 변환의 이미지(image)와 같습니다.

행렬 $A$ 의 열 공간은 $A$ 에 있는 열의 모든 선형 조합의 집합입니다. 만약 $A = [a 1 \dots a n]$ 이면, $colsp(A) = span({a 1, ..., a n})$ 입니다.

행 공간의 개념은 $\mathbb {C}$ , 복소수(complex numbers)의 필드, 또는 임의의 필드(field)에 걸쳐 행렬로 일반화됩니다.

직관적으로, 행렬 $A$ 가 주어지면, 벡터 $x$ 에 대한 행렬 $A$ 의 동작은 계수로 $x$ 의 좌표에 의해 가중된 $A$ 의 열의 선형 조합을 반환할 것입니다. 이것을 보는 또 다른 방법은 (1) 먼저 $x$ 를 $A$ 의 행 공간으로 투영하고, (2) 역-가능 변환을 수행하고, (3) 결과 벡터 $y$ 를 $A$ 의 열 공간에 배치한다는 것입니다. 따라서 결과 $y = A x$ 는 $A$ 의 열 공간에 있어야 합니다. 이 두 번째 해석에 대한 자세한 내용에 대해 특이 값 분해(singular value decomposition)를 참조하십시오.

Example

행렬 $J$ 가 주어지면:

J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}

행은 $\mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}$ , $\mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$ 입니다. 결과적으로 $J$ 의 행 공간은 ${r 1, r 2, r 3, r 4}$ 에 의해 스팬된(spanned) $\mathbb {R} ^{5}$ 의 부분공간입니다. 이들 4 개의 행 벡터가 선형적으로 독립(linearly independent)이므로, 행 공간은 4-차원입니다. 더욱이, 이 경우에서, 그것들이 벡터 $n = [6, -1, 4, -4, 0]$ 에 모두 직교(orthogonal)함을 알 수 있으므로, 행 공간은 $n$ 에 직교하는 $\mathbb {R} ^{5}$ 에서 모든 벡터로 구성됨을 유추할 수 있습니다.

Column space

Definition

$K$ 를 스칼라(scalars)의 필드(field)라고 놓습니다. $A$ 를 열 벡터 $v 1, v 2, ..., v n$ 를 갖는 $m \times n$ 행렬이라고 놓습니다. 이들 벡터의 선형 조합(linear combination)은 다음 형식의 임의의 벡터입니다:

c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},

여기서 $c 1, c 2, ..., c n$ 는 스칼라입니다. $v 1, ..., v n$ 의 모든 가능한 선형 조합의 집합은 $A$ 의 열 공간(column space)이라고 불립니다. 즉, $A$ 의 열 벡터는 벡터 $v 1, ..., v n$ 의 스팬(span)입니다.

행렬 $A$ 의 열 벡터의 임의의 선형 조합은 $A$ 와 열 벡터의 곱으로 쓸 수 있습니다:

{\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}

그러므로, $A$ 의 열 공간은 $x \in K n$ 에 대해 모든 가능한 곱 $A x$ 로 구성됩니다. 이것은 대응하는 행렬 변환(matrix transformation)의 이미지(image, 또는 치역(range))와 같습니다.

Example

만약 $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ 이면, 열 벡터는 $v 1 = [1, 0, 2] T$ 및 $v 2 = [0, 1, 0] T$ 입니다. v₁과 v₂의 선형 조합은 다음 형식의 임의의 벡터입니다: $c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}$ 모든 그러한 벡터의 집합은 $A$ 의 열 공간입니다. 이 경우에서, 열 공간은 방정식 $z = 2 x$ 을 만족시키는 정확히 벡터 $(x, y, z) \in R 3$ 의 집합입니다 (데카르트 좌표(Cartesian coordinates)를 사용하여, 이 집합은 삼-차원 공간(three-dimensional space)에서 원점을 통과하는 평면(plane)입니다).

Basis

$A$ 의 열은 열 공간을 스팬하지만, 그것들은 만약 열 벡터가 선형적으로 독립(linearly independent)이 아니면 기저(basis)를 형성하지 않을 수 있습니다. 다행히, 기본 행 연산(elementary row operations)은 열 벡터 사이의 종속 관계에 영향을 주지 않습니다. 이렇게 하면 행 감소법(row reduction)을 사용하여 열 공간에 대해 기저(basis)를 찾을 수 있습니다.

예를 들어, 다음 행렬을 생각해 보십시오:

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.

이 행렬의 열은 열 공간을 스팬하지만, 그것들은 선형적으로 독립(linearly independent)이 아닐 수 있으며, 이 경우에서 그것들의 일부 부분집합이 기저를 형성할 것입니다. 이 기저를 찾기 위해, 우리는 $A$ 를 감소된 행 사다리꼴 형식(reduced row echelon form)으로 줄입니다:

{\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.

^[6]

이 시점에서, 첫 번째, 두 번째, 및 네 번째 열은 선형적으로 독립이고, 반면에 세 번째 열은 처음 두 열의 선형 조합이라는 것이 분명합니다. (구체적으로, $v 3 = -2 v 1 + v 2$ .) 그러므로, 원래 행렬의 첫 번째, 두 번째, 및 네 번째 열은 열 공간에 대해 기저입니다.

{\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.

감소된 행 사다리꼴 형식의 독립 열은 정확히 피벗(pivots)을 갖는 열입니다. 이렇게 하면 사다리꼴 형식(echelon form)으로만 감소함으로써 어떤 열이 선형적으로 독립인지 확인하는 것이 가능합니다.

위의 알고리듬은 일반적으로 임의의 벡터의 집합 사이의 종속 관계를 찾고, 임의의 스패닝 집합에서 기저를 선택하기 위해 사용될 수 있습니다. 역시 $A$ 의 열 공간에 대해 기저를 찾는 것은 전치(transpose) 행렬 $A T$ 의 행 공간에 대해 기저를 찾는 것과 같습니다.

실제 설정 (예를 들어, 큰 행렬의 경우)에서 기저를 찾기 위해, 특이-값 분해(singular-value decomposition)가 전형적으로 사용됩니다.

Dimension

열 공간의 차원(dimension)은 행렬의 랭크(rank)라고 불립니다. 랭크는 감소된 행 사다리꼴 형식(reduced row echelon form)의 피벗의 숫자와 같고, 행렬에서 선택될 수 있는 선형적으로 독립 열의 최대 숫자입니다. 예를 들어, 위의 예제에서 4 × 4 행렬은 랭크 3을 가집니다.

열 공간은 대응하는 행렬 변환(matrix transformation)의 이미지(image)이기 때문에, 행렬의 랭크는 이미지의 차원과 같습니다. 예를 들어, 위의 행렬에 의해 설명된 변환 $\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$ 는 모든 $\mathbb {R} ^{4}$ 를 일부 삼-차원 부분공간(subspace)에 매핑합니다.

행렬의 널러티(nullity)는 널 공간(null space)의 차원이고, 피벗을 가지지 않는 감소된 행 사다리꼴 형식의 열의 숫자와 같습니다.^[7] $n$ 열을 갖는 행렬 $A$ 의 랭크와 널러티는 다음 방정식에 의해 관련됩니다:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,

이것은 랭크-널러티 정리(rank–nullity theorem)로 알려져 있습니다.

Relation to the left null space

$A$ 의 왼쪽 널 공간(left null space)은 $x T A = 0 T$ 임을 만족하는 모든 벡터 $x$ 의 집합입니다. 그것은 $A$ 의 전치(transpose)의 널 공간(null space)과 같습니다. 행렬 $A T$ 와 벡터 $x$ 의 곱은 벡터의 점 곱(dot product)의 관점에서 쓸 수 있습니다:

A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

왜냐하면 $A T$ 의 행 벡터(row vectors)는 $A$ 의 열 벡터 $v k$ 의 전치이기 때문입니다. 따라서 $A T x = 0$ 인 것과 $x$ 가 $A$ 의 각 열 벡터와 직교 (수직)인 것은 필요충분 조건입니다.

따라서 왼쪽 널 공간 ( $A T$ 의 널 공간)은 $A$ 의 열 공간에 대한 직교 여(orthogonal complement)입니다.

행렬 $A$ 에 대해, 열 공간, 행 공간, 널 공간, 및 왼쪽 널 공간은 때때로 넷의 기본 부분공간(four fundamental subspaces)으로 참조됩니다.

For matrices over a ring

유사하게 열 공간 (때때로 오른쪽 열 공간으로 명확하게 됨)은 링(ring) $K$ 에 걸쳐 행렬에 대해 다음과 같이 정의될 수 있습니다:

\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}

이때 임의의 $c 1, ..., c n$ 에 대해, 벡터 $m$ -공간을 "오른쪽 자유 모듈"로 대체하여 벡터 $v k$ 와 스칼라 $c k$ 의 스칼라 곱셈(scalar multiplication)의 순서를 변경하여 비정상적인 순서 벡터-스칼라로 작성되도록 합니다.^[8]

Row space

Definition

$K$ 를 스칼라(scalars)의 필드(field)라고 놓습니다. $A$ 를 행 벡터 $r 1, r 2, ..., r m$ 를 갖는 $m \times n$ 행렬이라고 놓습니다. 이들 벡터의 선형 조합(linear combination)은 다음 형식의 임의의 벡터입니다:

c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},

여기서 $c 1, c 2, ..., c m$ 는 스칼라입니다. $r 1, ..., r m$ 의 모든 가능한 선형 조합의 집합은 $A$ 의 행 공간(row space)이라고 불립니다. 즉, $A$ 의 행 공간은 벡터 $r 1, ..., r m$ 의 스팬(span)입니다.

예를 들어, 만약 다음이면

A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},

행 벡터는 $r 1 = [1, 0, 2]$ 와 $r 2 = [0, 1, 0]$ 입니다. $r 1$ 과 $r 2$ 의 선형 조합은 다음 형식의 임의의 벡터입니다:

c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.

모든 그러한 벡터의 집합은 $A$ 의 행 공간입니다. 이 경우에서, 행 공간은 방정식 $z = 2 x$ 을 만족시키는 정확히 벡터 $(x, y, z) \in K 3$ 의 집합입니다 (데카르트 좌표(Cartesian coordinates)를 사용하여, 이 집합은 삼-차원 공간에서 원점을 통과하는 평면(plane)입니다).

동차 선형 방정식의 시스템(system of linear equations)을 나타내는 행렬에 대해, 행 공간은 시스템의 선형 방정식을 따르는 모든 선형 방정식으로 구성됩니다.

$A$ 의 열 공간은 $A T$ 의 행 공간과 같습니다.

Basis

행 공간은 기본 행 연산(elementary row operations)에 의해 영향을 받지 않습니다. 이렇게 하면 행 감소(row reduction)를 사용하여 행 공간에 대해 기저(basis)를 찾을 수 있습니다.

예를 들어, 다음 행렬을 생각해 보십시오:

A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.

이 행렬의 행은 행 공간을 스팬하지만, 그것들은 선형적으로 독립(linearly independent)이 아닐 수 있으며, 이 경우에서 행은 기저가 되지 않을 것입니다. 기저를 찾기 위해, 우리는 $A$ 를 행 사다리꼴 형식(row echelon form)으로 줄입니다:

$r 1$ , $r 2$ , $r 3$ 는 행을 표현합니다.

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

일단 행렬이 사다리꼴 형식에 있으면, 비-영 행이 행 공간에 대해 기저입니다. 이 경우에서, 기저는 ${ [1, 3, 2], [2, 7, 4] }$ 입니다. 또 다른 가능한 기저 ${ [1, 0, 2], [0, 1, 0] }$ 는 뒤따른 감소에서 나옵니다.^[9]

이 알고리듬은 일반적으로 벡터의 집합의 스팬에 대해 기저를 찾기 위해 사용될 수 있습니다. 만약 행렬이 감소된 행 사다리꼴 형식(reduced row echelon form)으로 더 단순화되면, 결과 기저는 행 공간에 의해 고유하게 결정됩니다.

대신 원래 행렬의 행 중에서 행 공간의 기저를 찾는 것이 때때로 편리합니다 (예를 들어, 이 결과는 행렬의 결정적 랭크(determinantal rank)가 그것의 랭크와 같다는 기본 증명을 제공하는 데 유용합니다). 행 연산은 행 벡터의 선형 종속 관계에 영향을 미칠 수 있기 때문에, 이러한 기저는 대신 $A T$ 의 열 공간이 $A$ 의 행 공간과 같다는 사실을 사용하여 간접적으로 찾습니다. 위의 예제 행렬 $A$ 를 사용하여, $A T$ 를 찾고 그것을 행 사다리꼴 형식으로 줄입니다:

A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.

피벗은 $A T$ 의 처음 두 열이 $A T$ 의 열 공간의 기저를 형성함을 나타냅니다. 그러므로, (임의의 행 감소법 전에) $A$ 의 처음 두 행도 $A$ 의 행 공간의 기저를 형성합니다.

Dimension

행 공간의 차원(dimension)은 행렬의 랭크(rank)라고 불립니다. 이것은 행렬에서 선택될 수 있는 선형적으로 독립 행의 최대 숫자, 또는 동등하게 피벗의 숫자와 같습니다. 예를 들어, 위의 예제에서 3 × 3 행렬은 랭크 2를 가집니다.^[9]

행렬의 랭크는 역시 열 공간(column space)의 차원과 같습니다. 널 공간(null space)의 차원은 행렬의 널러티(nullity)라고 하고, 다음 방정식에 의해 랭크와 관련됩니다:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,

여기서 $n$ 은 행렬 $A$ 의 열의 숫자입니다. 위의 방정식은 랭크-널러티 정리(rank–nullity theorem)로 알려져 있습니다.

Relation to the null space

행렬 $A$ 의 널 공간(null space)은 $A x = 0$ 인 모든 벡터 $x$ 의 집합입니다. 행렬 $A$ 와 벡터 $x$ 의 곱은 벡터의 점 곱(dot product)의 관점에서 쓸 수 있습니다:

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

여기서 $r 1, ..., r m$ 는 $A$ 의 행 벡터입니다. 따라서 $A x = 0$ 인 것과 $x$ 가 $A$ 의 각 행 벡터에 대해 수직(orthogonal) (직교)인 것은 필요충분 조건입니다.

따라서 $A$ 의 널 공간은 행 공간에 대한 직교 여(orthogonal complement)입니다. 예를 들어, 만약 행 공간이 삼-차원에서 원점을 통과하는 평면이면, 널 공간은 원점을 통과하는 수직 직선이 될 것입니다. 이것은 랭크-널러티 정리(rank–nullity theorem)의 증명을 제공합니다 (위의 차원(dimension)을 참조하십시오).

행 공간과 널 공간은 행렬 $A$ 와 결합된 넷의 기본 부분공간(four fundamental subspaces) 중 두 개입니다 (다른 두 개는 열 공간(column space)과 왼쪽 널 공간(left null space)입니다).

Relation to coimage

만약 $V$ 와 $W$ 가 벡터 공간(vector spaces)이면, 선형 변환( linear transformation) $T : V \to W$ 의 커널(kernel)은 $T (v) = 0$ 인 벡터 $v \in V$ 의 집합입니다. 선형 변환의 커널은 행렬의 널 공간과 유사합니다.

만약 $V$ 가 안의 곱 공간(inner product space)이면, 커널에 대한 직교 여는 행 공간의 일반화로 생각될 수 있습니다. 이것은 때때로 $T$ 의 코이미지(coimage)라고 불립니다. 변환 $T$ 는 그것의 코이미지에서 일-대-일이고, 코이미지는 $T$ 의 이미지(image) 위로의 동형적(isomorphically)으로 매핑됩니다.

$V$ 가 안의 곱 공간이 아닐 때, $T$ 의 코이미지는 몫 공간(quotient space) $V / ker(T)$ 으로 정의될 수 있습니다.

References & Notes

^ Linear algebra, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in Lay 2005, Meyer 2001, and Strang 2005.
^ Strang, Gilbert (2016). Introduction to linear algebra (Fifth ed.). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593.
^ Anton (1987, p. 179)
^ Anton (1987, p. 183)
^ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 254)
^ This computation uses the Gauss–Jordan row-reduction algorithm. Each of the shown steps involves multiple elementary row operations.
^ Columns without pivots represent free variables in the associated homogeneous system of linear equations.
^ Important only if $K$ is not commutative. Actually, this form is merely a product $A c$ of the matrix $A$ to the column vector $c$ from $K n$ where the order of factors is preserved, unlike the formula above.
^ ^a ^b The example is valid over the real numbers, the rational numbers, and other number fields. It is not necessarily correct over fields and rings with non-zero characteristic.

External links

[ReferenceA-1] Linear algebra, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. Almost all of the material in this article can be found in Lay 2005, Meyer 2001, and Strang 2005.

[2] Strang, Gilbert (2016). Introduction to linear algebra (Fifth ed.). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593.

[3] Anton (1987, p. 179)

[4] Anton (1987, p. 183)

[5] Beauregard & Fraleigh (1973, p. 254)

[6] This computation uses the Gauss–Jordan row-reduction algorithm. Each of the shown steps involves multiple elementary row operations.

[7] Columns without pivots represent free variables in the associated homogeneous system of linear equations.

[8] Important only if $K$ is not commutative. Actually, this form is merely a product $A c$ of the matrix $A$ to the column vector $c$ from $K n$ where the order of factors is preserved, unlike the formula above.

[example-9] The example is valid over the real numbers, the rational numbers, and other number fields. It is not necessarily correct over fields and rings with non-zero characteristic.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Row and column spaces

Overview

Example

Column space

Definition

Example

Basis

Dimension

Relation to the left null space

For matrices over a ring

Row space

Definition

Basis

Dimension

Relation to the null space

Relation to coimage

See also

References & Notes

Further reading

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