Commuting matrices

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선형 대수(linear algebra)에서, 두 행렬(matrices) $A$와 $B$는 만약 $AB=BA$이면, 또는 동등하게 그것들의 교환자(commutator) $[A,B]=AB-BA$가 영이면 교환한다(commute)고 말합니다. 행렬 $A_{1},\ldots ,A_{k}$의 집합(set)은 만약 그것들이 쌍별로 교환하면 교환한다(commute)고 말하며, 집합에서 모든 각 행렬 쌍이 서로 교환함을 의미합니다.

Characterizations and properties

• 교환하는 행렬은 서로의 고유공간(eigenspaces)을 보존합니다. 결과적으로, 대수적으로 닫힌 필드(algebraically closed field)에 걸쳐 교환하는 행렬은 동시에 삼각화-가능(simultaneously triangularizable)입니다; 즉, 그것들이 둘 다 위쪽 삼각(upper triangular)인 기저(bases)가 있습니다. 다시 말해서, 만약 $A_{1},\ldots ,A_{k}$가 교환하면, $P^{-1}A_{i}P$가 모든 $i\in \{1,\ldots ,k\}$에 대해 위쪽 삼각 행렬임을 만족하는 닮음 행렬 $P$가 존재합니다. 그 전환(converse)은 반드시 참은 아니며, 다음 반대예제에서 볼 수 있습니다:

  ${\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\0&3\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1&5\\0&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}.$

어쨌든, 두 행렬의 교환자의 제곱이 영이면, 즉, $[A,B]^{2}=0$이면, 그 전환은 참입니다.

• 대각화가능 행렬 $A$와 $B$는 만약 그것들이 동시에 대각화가능(simultaneously diagonalizable)이면 교환합니다 ($AB=BA$) (즉, $P^{-1}AP$와 $P^{-1}BP$ 둘 다가 대각(diagonal)임을 만족하는 역가능 행렬 $P$가 존재합니다). 그 전환은 역시 참입니다; 즉, 만약 두 대각화가능 행렬이 교환하면, 그것들은 동시에 대각화가능입니다. 그러나 교환하는 임의의 두 행렬을 취하면 (그리고 그것들이 두 개의 대각화가능 행렬이라고 가정하지 않으면), 그것들은 만약 그들 중 하나가 중복 고윳값을 가지지 않으면 이미 동시에 대각화가능입니다.
• 만약 $A$와 $B$가 교환하면, 그것들은 공통 고유벡터를 가집니다. 만약 $A$가 구별되는 고윳값을 가지고, $A$와 $B$가 교환하면, $A$의 고유벡터는 $B$의 고유벡터입니다.
• 만약 행렬 중 하나가 최소 다항식이 특성 다항식(characteristic polynomial)과 일치하는 속성 (즉, 최대 차수를 가짐)을 가지면, 이는 특히 특성 다항식이 단순 근(simple roots)만 가질 때마다 발생하며, 다른 행렬은 첫 번째에서 다항식으로 쓸 수 있습니다.
• 동시에 삼각화-가능성의 직접적인 결과로, 대수적 중복도(algebraic multiplicities, 특성 다항식의 근의 중복집합)를 갖는 두 개의 교환하는 복소수 행렬 A, B의 고윳값(eigenvalues)은 두 행렬에서 임의의 다항식 $P(A,B)$의 고윳값의 중복집합이 값 $P(\alpha _{i},\beta _{i})$의 중복집합이라는 그러한 방법에서 다음과 같은 방식으로 $\alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i}$로 일치될 수 있습니다. 이 정리는 프로베니우스(Frobenius)에 기인합니다.
• 두 에르미트(Hermitian) 행렬은 만약 그것들의 고유공간이 일치하면 교환합니다. 특히, 중복 고윳값 없이 두 에르미트 행렬은 만약 그것들이 같은 고유벡터의 집합을 공유하면 교환합니다. 이것은 두 행렬의 고윳값 분해를 고려함으로써 따릅니다. $A$와 $B$를 두 개의 에르미트 행렬이라고 놓습니다. $A$와 $B$는 그것들이 $A=U\Lambda _{1}U^{\dagger }$와 $B=U\Lambda _{2}U^{\dagger }$로 쓸 수 있을 때 공통 고유공간을 가집니다. 그런 다음 다음임이 따릅니다:

  $AB=U\Lambda _{1}U^{\dagger }U\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{1}\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}\Lambda _{1}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}U^{\dagger }U\Lambda _{1}U^{\dagger }=BA.$

• 교환하는 두 행렬의 속성은 전이적(transitive)이지 않습니다: 행렬 $A$는 $B$와 $C$ 모두와 교환하지만, 여전히 $B$와 $C$는 서로 교환하지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 항등 행렬(identity matrix)은 모든 행렬과 교환하며, 그들 사이에서 모두 교환하지는 않습니다. 만약 고려되는 행렬의 집합이 중복 고윳값 없이 에르미트 행렬로 제한되면, 고유벡터 측면에서 특성화의 결과로 교환성은 전이적입니다.
• 해결-가능 리 대수(solvable Lie algebra)의 임의의 표현(representation)이 동시에 위쪽 삼각화-가능이라는 것을 보여주는 리의 정리(Lie's theorem)는 일반화로 볼 수 있습니다.
• n × n 행렬 $A$가 모든 각 다른 n × n 행렬과 교환하는 것과 그것이 스칼라 행렬, 즉, 형식 $\lambda I$의 행렬인 것은 필요충분 조건이면, 여기서 $I$는 n × n 항등 행렬이고 $\lambda$는 스칼라입니다. 다시 말해서, 곱셈 아래에서 n × n 행렬의 그룹(group)의 중심(center)은 스칼라 행렬의 부분그룹(subgroup)입니다.

Examples

• 항등 행렬은 모든 행렬과 교환합니다.
• 조르당 블록(Jordan blocks)은 밴드를 따라 같은 값을 가지는 위쪽 삼각 행렬과 교환합니다.
• 만약 두 대칭 행렬(symmetric matrices)의 곱이 대칭이면, 그것들은 교환해야 합니다. 그것은 역시 모든 각 대각 행렬이 모든 다른 대각 행렬과 교환함을 의미합니다.
• 순환 행렬(Circulant matrices)은 교환합니다. 그것들은 교환 링(commutative ring)을 형성하는데 왜냐하면 두 순환 행렬의 합은 순환 행렬이기 때문입니다.

History

교환하는 행렬의 개념은 케일리(Cayley)에 의해 행렬 이론에 대한 그의 회고록에서 소개되었으며, 이는 행렬의 첫 번째 공리화도 제공했습니다. 그것들에 대해 입증된 첫 번째 중요한 결과는 1878년 프로베니우스(Frobenius)의 위의 결과였습니다.