Complementary event
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| Probability theory |
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확률 이론(probability theory)에서, 임의의 사건(event) A의 여사건(complement)은 사건 [not A], 즉, A가 발생하지 않는 사건입니다.[1] 사건 A와 그 여사건 [not A]는 서로 배타적(mutually exclusive)이고 포괄적(exhaustive)입니다. 일반적으로, A와 B가 서로 배타적이고 포괄적 둘 다를 만족하는 오직 하나의 사건 B가 있습니다; 해당 사건은 A의 여사건입니다. 사건 A의 여사건은 보통 A′, Ac, A 또는 A로 표시됩니다. 하나의 사건이 주어지면, 그 사건과 그의 여사건은 베르누이 시행(Bernoulli trial)을 정의합니다: 사건이 발생했는지 또는 아닌지?
예를 들어, 만약 전형적인 동전이 던져지고 우리가 그 동전이 그의 가장자리로 떨어질 수 없다고 가정하면, 그것은 "앞면" 또는 "뒷면"을 보이며 땅에 떨어질 것입니다. 이들 두 결과(outcomes)는 서로 배타적이고 (즉, 동전이 앞면과 뒷면을 동시에 보여줄 수는 결코 없습니다) 집합적으로 포괄적이기 때문에 (즉, 이런 둘 사이에 표현되지 않은 다른 가능한 결과가 없습니다), 그들은 따라서 서로 여사건입니다. 이것은 [앞면]이 [뒷면이 아님]과 논리적으로 동등하고 [뒷면]은 [앞면이 아님]과 동등합니다.
Complement rule
확률 실험(random experiment)에서, 모든 가능한 사건 (표본 공간)의 확률은 반드시 전체 1이어야 합니다— 즉, 어떤 결과가 모든 각 시행에서 반드시 발생합니다. 여사건인 두 사건에 대해, 그들은 반드시 집합적으로 포괄적(collectively exhaustive)이며, 함께 전체 표본 공간을 채웁니다. 그러므로, 사건의 여사건의 확률은 반드시 단위(unity)에서 이벤트의 확률을 뺀 것입니다.[2] 즉, 사건 A에 대해,
동등하게, 사건과 그의 여사건의 확률은 반드시 항상 전체 1이어야 합니다. 이것은, 어쨌든, 그의 확률이 전체 1이 되는 임의의 두 사건가 서로의 여사건임을 의미하지는 않습니다; 여사건은 반드시 또한 서로 배타성(mutual exclusivity)의 조건을 충족시켜야 합니다.
Example of the utility of this concept
보통의 육-면체 주사위를 8번 던진다고 가정합니다. 우리가 적어도 한 번 "1"을 볼 확률은 무엇일까요?
다음과 같은 것이라고 말하고 싶을지도 모릅니다:
- Pr([첫 번째 시행에서 "1"] 또는 [두 번째 시행에서 "1"] 또는 ... 또는 [여덟 번째 시행에서 "1"])
- = Pr([첫 번째 시행에서 "1"] + [두 번째 시행에서 "1"] + ... + [여덟 번째 시행에서 "1"])
- = 1/6 + 1/6 + ... + 1/6.
- = 8/6 = 1.3333... (...그리고 이것은 명백하게 틀렸습니다.)
그것은 절대 옳지 않은데 왜냐하면 확률은 절대 1을 초과할 수 없기 때문입니다. 그 기법은 틀렸는데 왜냐하면 그의 가능성이 더해지는 여덟 사건이 서로 배타적이지 않기 때문입니다.
우리는 포함-제외의 원리(principle of inclusion-exclusion)에 의해 이 중첩을 해결할 수 있습니다. 또는 이 경우에서 우리는 대신에 여사건의 확률을 보다 간단히 찾고 1에서 그것을 뺍니다. 따라서:
- Pr(적어도 "1"이 한 번) = 1 − Pr("1"이 없음)
- = 1 − Pr([첫 번째에서 "1"이 없음] 그리고 [두 번째에서 "1"이 없음] 그리고 ... 그리고 [여덟 번째에서 "1"이 없음])
- = 1 − Pr([첫 번째에서 "1"이 없음] × Pr([두 번째에서 "2"이 없음] × ... × Pr([여덟 번째에서 "1"이 없음]
- = 1 −(5/6) × (5/6) × ... × (5/6)
- = 1 − (5/6)8
- = 0.7674...
See also
References
- ^ Robert R. Johnson, Patricia J. Kuby: Elementary Statistics. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-495-38386-4, p. 229 (restricted online copy, p. 229, at Google Books)
- ^ Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (2nd ed.). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Archived from the original on 2005-02-09. Retrieved 2013-07-18.
External links
- Complementary events - (free) page from probability book of McGraw-Hill