Animation depicting the process of completing the square. (Details , animated GIF version ) 기초 대수학(elementary algebra) 에서 제곱식을 완성 (completing the square )은 다음 형식
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
의 이차 다항식(quadratic polynomial) 을, 어떤 값 h 와 k 에 대해, 다음 형식으로 변환하는 것에 대해 기법입니다:
a
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle a(x-h)^{2}+k}
제곱식을 완성은 다음에서 사용됩니다:
수학에서, 제곱식을 완성은 이차 다항식을 포함하는 임의의 계산에 자주 적용됩니다.
Overview Background 이항(binomial) 의 제곱(square) 을 계산하는 것에 대해 기초 대수학(elementary algebra) 에서 공식은 다음입니다:
(
x
+
p
)
2
=
x
2
+
2
p
x
+
p
2
.
{\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}
예를 들어:
(
x
+
3
)
2
=
x
2
+
6
x
+
9
(
p
=
3
)
(
x
−
5
)
2
=
x
2
−
10
x
+
25
(
p
=
−
5
)
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}
임의의 완전 제곱에서, x 의 계수(coefficient) 는 숫자 p 의 두 배이고, 상수 항(constant term) 은 p 2 과 같습니다.
Basic example 다음 이차 다항식(polynomial) 을 생각해 보십시오:
x
2
+
10
x
+
28.
{\displaystyle x^{2}+10x+28.}
이 이차식은 완전 제곱식이 아닌데, 왜냐하면 28은 5의 제곱이 아니기 때문입니다:
(
x
+
5
)
2
=
x
2
+
10
x
+
25.
{\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}
어쨌든, 원래 이차를 이 제곱과 상수의 합으로 쓸 수 있습니다:
x
2
+
10
x
+
28
=
(
x
+
5
)
2
+
3.
{\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}
이것은 제곱식을 완성 으로 불립니다.
General description 임의의 일계수(monic) 이차식이 주어지면:
x
2
+
b
x
+
c
,
{\displaystyle x^{2}+bx+c,}
같은 처음 두 항을 가지는 제곱식을 형성하는 것이 가능합니다:
(
x
+
1
2
b
)
2
=
x
2
+
b
x
+
1
4
b
2
.
{\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}
이 제곱식은 원래 이차식과 오직 상수 항의 값에서 다릅니다. 그러므로, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:
x
2
+
b
x
+
c
=
(
x
+
1
2
b
)
2
+
k
,
{\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}
여기서
k
=
c
−
b
2
4
{\displaystyle k\,=\,c-{\frac {b^{2}}{4}}}
제곱식을 완성 으로 알려져 있습니다.
예를 들어:
x
2
+
6
x
+
11
=
(
x
+
3
)
2
+
2
x
2
+
14
x
+
30
=
(
x
+
7
)
2
−
19
x
2
−
2
x
+
7
=
(
x
−
1
)
2
+
6.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}
Non-monic case 다음 형식의 이차 다항식이 주어지면:
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
계수 a 를 인수로 묶어내고, 그런-다음 결과 일계수 다항식(monic polynomial) 에 대해 제곱식을 완성하는 것이 가능합니다.
예제:
3
x
2
+
12
x
+
27
=
3
(
x
2
+
4
x
+
9
)
=
3
(
(
x
+
2
)
2
+
5
)
=
3
(
x
+
2
)
2
+
15
{\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}
이것은 다음 형식에서 임의의 이차 다항식을 쓸 수 있도록 허용합니다:
a
(
x
−
h
)
2
+
k
.
{\displaystyle a(x-h)^{2}+k.}
Formula Scalar case 제곱식을 완성한 결과는 공식으로 쓸 수 있습니다. 일반적인 경우에 대해:[1]
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
h
)
2
+
k
,
where
h
=
−
b
2
a
and
k
=
c
−
a
h
2
=
c
−
b
2
4
a
.
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\;=\;a(x-h)^{2}+k,\quad {\text{where}}\quad h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}
구체적으로 특별히, a = 1일 때:
x
2
+
b
x
+
c
=
(
x
−
h
)
2
+
k
,
where
h
=
−
b
2
and
k
=
c
−
b
2
4
.
{\displaystyle x^{2}+bx+c\;=\;(x-h)^{2}+k,\quad {\text{where}}\quad h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}
Matrix case 행렬 사례는 매우 유사합니다:
x
T
A
x
+
x
T
b
+
c
=
(
x
−
h
)
T
A
(
x
−
h
)
+
k
where
h
=
−
1
2
A
−
1
b
and
k
=
c
−
1
4
b
T
A
−
1
b
{\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k\quad {\text{where}}\quad h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}
여기서
A
{\displaystyle A}
대칭(symmetric) 이어야 합니다.
만약
A
{\displaystyle A}
h
{\displaystyle h}
k
{\displaystyle k}
h
=
−
(
A
+
A
T
)
−
1
b
and
k
=
c
−
h
T
A
h
=
c
−
b
T
(
A
+
A
T
)
−
1
A
(
A
+
A
T
)
−
1
b
{\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}
Relation to the graph Graphs of quadratic functions shifted to the right by h = 0, 5, 10, and 15.
Graphs of quadratic functions shifted upward by k = 0, 5, 10, and 15.
Graphs of quadratic functions shifted upward and to the right by 0, 5, 10, and 15.
해석 기하학(analytic geometry) 에서, 임의의 이차 함수(quadratic function) 의 그래프는 xy -평면에서 포물선(parabola) 입니다. 다음 형식의 이차 다항식이 주어지면
(
x
−
h
)
2
+
k
or
a
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle (x-h)^{2}+k\quad {\text{or}}\quad a(x-h)^{2}+k}
숫자 h 와 k 는 포물선의 꼭짓점(vertex) (또는 정류점(stationary point) )의 데카르트 좌표(Cartesian coordinates) 로 해석될 수 있습니다. 즉, h 는 대칭의 축의 x -좌표이고 (즉, 대칭의 축은 방정식 x = h 를 가지고) k 는 이차 함수의 최솟값(minimum value) 입니다 (만약 a < 0이면 최댓값입니다).
이것을 보이기 위한 한 방법은 함수 ƒ (x ) = x 2 의 그래프가 꼭짓점이 원점 (0, 0)에 있는 포물선임을 주목하는 것입니다. 그러므로, 함수 ƒ (x − h ) = (x − h )2 의 그래프는, 제일-위 그림에서 보이는 것처럼, 꼭짓점이 (h , 0)에 있는 h 만큼 오른쪽으로 이동된 포물선입니다. 반대로, 함수 ƒ (x ) + k = x 2 + k 의 그래프는, 중앙 그림에서 보인 것처럼, 꼭짓점이 (0, k )에 있는 k 만큼 위쪽으로 이동된 포물선입니다. 수평 및 수직 이동 둘 다를 결합하면 ƒ (x − h ) + k = (x − h )2 + k 는,아래 그림에서 보이는 것처럼, 꼭짓점이 (h , k )에 있는 k 만큼 오른쪽으로 h 만큼 위쪽으로 이동된 포물선을 산출합니다.
Solving quadratic equations 제곱식을 완성하는 것은 임의의 이차 방정식(quadratic equation) 을 풀기 위해 사용할 수 있습니다. 예를 들면:
x
2
+
6
x
+
5
=
0
,
{\displaystyle x^{2}+6x+5=0,}
첫 번째 단계는 제곱식을 완성하는 것입니다:
(
x
+
3
)
2
−
4
=
0.
{\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}
다음으로 우리는 제곱된 형식에 대해 풉니다:
(
x
+
3
)
2
=
4.
{\displaystyle (x+3)^{2}=4.}
그런-다음 다음의 둘이고
x
+
3
=
−
2
or
x
+
3
=
2
,
{\displaystyle x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,}
따라서
x
=
−
5
or
x
=
−
1.
{\displaystyle x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.}
이것은 임의의 이차 방정식에 적용될 수 있습니다. x 2 이 1 이외의 계수를 가질 때, 첫 번째 단계는 방정식을 이 계수로 나누는 것입니다: 예를 들어 아래의 비-일계수 경우를 참조하십시오.
Irrational and complex roots 만약 근이 유리수(rational) 이면 오직 신뢰할 수 있는, 방정식 인수화(factoring) 와 관련된 방법과 달리, 제곱식을 완성하는 것은 심지어 근이 무리수 (irrational) 또는 복소수(complex) 일 때 이차 방정식의 근을 찾을 것입니다. 예를 들어, 다음 방정식을 생각해 보십시오:
x
2
−
10
x
+
18
=
0.
{\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}
제곱식을 완성하는 것은 다음을 제공합니다:
(
x
−
5
)
2
−
7
=
0
,
{\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}
따라서
(
x
−
5
)
2
=
7.
{\displaystyle (x-5)^{2}=7.}
그런 다음 다음 둘입니다:
x
−
5
=
−
7
or
x
−
5
=
7
,
{\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}},}
간결한 언어에서:
x
−
5
=
±
7
.
{\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}}.}
따라서
x
=
5
±
7
.
{\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}
복소수 근을 갖는 방정식은 같은 방식으로 처리될 수 있습니다. 예를 들어:
x
2
+
4
x
+
5
=
0
(
x
+
2
)
2
+
1
=
0
(
x
+
2
)
2
=
−
1
x
+
2
=
±
i
x
=
−
2
±
i
.
{\displaystyle {\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}
Non-monic case 비-일계수 이차를 포함하는 방정식에 대해, 그들을 풀기 위한 첫 번째 단계는 x 2 의 계수로 나누는 것입니다. 예를 들어:
2
x
2
+
7
x
+
6
=
0
x
2
+
7
2
x
+
3
=
0
(
x
+
7
4
)
2
−
1
16
=
0
(
x
+
7
4
)
2
=
1
16
x
+
7
4
=
1
4
or
x
+
7
4
=
−
1
4
x
=
−
3
2
or
x
=
−
2.
{\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}
이 절차를 이차 방정식의 일반적인 형식에 적용하면 이차 공식(quadratic formula) 으로 이어집니다.
Other applications Integration 제곱식을 완성하는 것은 다음 형식의 임의의 적분을 평가하기 위해 사용될 수 있습니다:
∫
d
x
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
다음 기본 적분을 사용합니다:
∫
d
x
x
2
−
a
2
=
1
2
a
ln
|
x
−
a
x
+
a
|
+
C
and
∫
d
x
x
2
+
a
2
=
1
a
arctan
(
x
a
)
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}
예를 들어, 다음 적분을 생각해 보십시오:
∫
d
x
x
2
+
6
x
+
13
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}
분모에서 제곱식을 완성하는 것은 다음을 제공합니다:
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
4
=
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
2
2
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}
이것은 이제 치환(substitution) u = x + 3을 사용함으로써 평가될 수 있으며, 이것은 다음을 산출합니다:
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
4
=
1
2
arctan
(
x
+
3
2
)
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}
Complex numbers 다음 표현을 생각해 보십시오:
|
z
|
2
−
b
∗
z
−
b
z
∗
+
c
,
{\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}
여기서 z 와 b 는 복소수(complex number) 이고, z * 와 b * 는, 각각, z 와 b 의 복소수 켤레(complex conjugate) 이고, c 는 실수(real number) 입니다. 항등식 |u |2 = uu * 을 사용하여 우리는 이것을 다음으로 다시-쓸 수 있을 것입니다:
|
z
−
b
|
2
−
|
b
|
2
+
c
,
{\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}
이것은 분명히 실수 양입니다. 이것은 다음이기 때문입니다:
|
z
−
b
|
2
=
(
z
−
b
)
(
z
−
b
)
∗
=
(
z
−
b
)
(
z
∗
−
b
∗
)
=
z
z
∗
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
b
b
∗
=
|
z
|
2
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
|
b
|
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}
또 다른 예제로써, 다음 표현은:
a
x
2
+
b
y
2
+
c
,
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}
여기서 a , b , c , x , 및 y 는 실수이며, a > 0 및 b > 0와 함께, 복소수의 절댓값(absolute value) 의 제곱의 관점에서 표현될 수 있습니다. 다음을 정의합니다:
z
=
a
x
+
i
b
y
.
{\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}
그런-다음
|
z
|
2
=
z
z
∗
=
(
a
x
+
i
b
y
)
(
a
x
−
i
b
y
)
=
a
x
2
−
i
a
b
x
y
+
i
b
a
y
x
−
i
2
b
y
2
=
a
x
2
+
b
y
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}
따라서
a
x
2
+
b
y
2
+
c
=
|
z
|
2
+
c
.
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}
Idempotent matrix 행렬(matrix) M 은 M 2 = M 일 때 거듭상등(idempotent) 입니다. 거듭상등 행렬은 0과 1의 거듭상등 속성을 일반화합니다. 다음 방정식의 제곱식 방법의 완성은
a
2
+
b
2
=
a
,
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}
어떤 거듭상등 2 × 2 행렬이 (a,b )-평면에서 원(circle) 에 의해 매개-변수화됨을 보여줍니다:
행렬
(
a
b
b
1
−
a
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}
a
2
+
b
2
=
a
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=a}
(
a
−
1
2
)
2
+
b
2
=
1
4
.
{\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}
(a,b )-평면에서, 이것은 중심 (1/2, 0)과 반지름 1/2을 갖는 원의 방정식입니다.
Geometric perspective 다음 방정식에 대해 제곱식을 완성을 생각해 보십시오:
x
2
+
b
x
=
a
.
{\displaystyle x^{2}+bx=a.}
x 2 이 길이 x 의 변을 가진 정사각형의 넓이를 나타내고, bx 는 변 b 와 x 를 가진 직사각형의 넓이를 나타내므로, 제곱식을 완성하는 과정은 직사각형의 시각적 조작으로 보일 수 있습니다.
x 2 와 bx 직사각형을 더 큰 정사각형으로 결합하려는 간단한 시도는 누락된 구석을 초래합니다. 위의 방정식의 각 변에 더해진 항 (b /2)2 는 정확하게 용어 "정사각형을 완성"을 도출할 때, 누락된 가장자리의 넓이입니다.
A variation on the technique 전통적으로 가르치듯이, 제곱식을 완성하는 것은 제곱식을 얻기 위해, 다음 식
u
2
+
2
u
v
{\displaystyle u^{2}+2uv}
에 세 번째 항, v 2 을 더하는 것으로 구성됩니다. 역시 우리는 제곱식을 얻기 위해, 다음 식
u
2
+
v
2
{\displaystyle u^{2}+v^{2}}
에 중간 항, 2uv 또는 −2uv 중 하나를 더할 수 있는 경우가 있습니다.
Example: the sum of a positive number and its reciprocal 다음을 씀으로써
x
+
1
x
=
(
x
−
2
+
1
x
)
+
2
=
(
x
−
1
x
)
2
+
2
{\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}
우리는 양수 x 와 그의 역수의 합이 항상 2보다 크거나 같다는 것을 봅니다. 실수 표현의 제곱은 항상 영보다 크거나 같으며, 이것은 정해진 경계를 제공합니다; 그리고 여기서 우리는 단지 x 가 1일 때 2를 달성하여, 제곱식이 사라지게 합니다.
Example: factoring a simple quartic polynomial 다음 다항식을 인수화하는 문제를 생각해 보십시오:
x
4
+
324.
{\displaystyle x^{4}+324.}
즉,
(
x
2
)
2
+
(
18
)
2
,
{\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}
그래서 중간 항은 2(x 2 )(18) = 36x 2 입니다. 따라서 우리는 다음을 얻습니다:
x
4
+
324
=
(
x
4
+
36
x
2
+
324
)
−
36
x
2
=
(
x
2
+
18
)
2
−
(
6
x
)
2
=
a difference of two squares
=
(
x
2
+
18
+
6
x
)
(
x
2
+
18
−
6
x
)
=
(
x
2
+
6
x
+
18
)
(
x
2
−
6
x
+
18
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}
(마지막 줄은 단지 항의 감소하는 차수의 관례를 따르기 위해 추가된 것입니다).
References External links
^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22c4c34904778f055746900c6f939fc3d29aff2)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e905c1705aff97d23a6f09c27d5bb99a1693007e)
^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d58b55ab950dc35a66612eabf42d288ae3c2d0a)
![{\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ee0335f9fc70a9d6f1e911da0051ad9970811c)
