Geometric representation (Argand diagram) of z and its conjugate z̅ in the complex plane. The complex conjugate is found by reflecting z across the real axis. 수학(mathematics) 에서, 복소수(complex number) 의 복소수 켤레 (complex conjugate )는 같은 실수(real) 부분과 크기는 같지만 부호(sign) 는 반대인 허수(imaginary) 부분을 갖는 숫자입니다.[1] a 와 b 가 실수이면,)
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
a
−
b
i
{\displaystyle a-bi}
극 형식(polar form) 에서,
r
e
i
φ
{\displaystyle re^{i\varphi }}
r
e
−
i
φ
{\displaystyle re^{-i\varphi }}
오일러의 공식(Euler's formula) 을 사용하여 보일 수 있습니다.
복소수와 그의 켤레의 곱은 실수:
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
r
2
{\displaystyle r^{2}}
복소수 켤례는 다항식(polynomials) 의 근을 찾는 것에 대해 중요합니다. 복소 켤레 근 정리(complex conjugate root theorem) 에 따르면, 만약 복소수가 실수 계수를 가진 하나의 변수에서 다항식 (예를 들어, 이차 방정식(quadratic equation) 또는 삼차 방정식(cubic equation) )에 대한 근이면, 그의 켤레도 근입니다.
Notation 복소수
z
{\displaystyle z}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
∗
{\displaystyle z^{*}\!}
괄선(vinculum) 은 복소수 켤레의 일반화로 생각할 수 있는 행렬(matrix) 의 켤레 전치(conjugate transpose) 에 대해 표기법과 혼동을 피합니다. 두 번째는 물리학(physics) 에서 선호되며, 여기서 칼표(dagger) (†)가 켤레 전치에 사용되지만, 막대-표기법은 순수 수학(pure mathematics) 에서 보다 공통적입니다. 만약 복소수가 2×2 행렬로 표시 되면, 표기법은 동일합니다. 일부 문헌에서, 이전에 알려진 숫자의 복소수 켤레는 "c.c."로 약칭됩니다. 예를 들어
e
i
φ
+
c.c.
{\displaystyle e^{i\varphi }+{\text{c.c.}}}
e
i
φ
+
e
−
i
φ
{\displaystyle e^{i\varphi }+e^{-i\varphi }}
Properties 다음 속성은, 달리 명시하지 않은 한, 모든 복소수 z 와 w 에 적용되고, z 와 w 를 형식 a + bi 로 씀으로써 증명될 수 있습니다.
임의의 두 복소수 z , w 에 대해:
켤레화는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈에 걸쳐 분배적(distributive) 입니다.
z
+
w
¯
=
z
¯
+
w
¯
z
−
w
¯
=
z
¯
−
w
¯
z
w
¯
=
z
¯
w
¯
(
z
w
)
¯
=
z
¯
w
¯
,
if
w
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z+w}}&={\overline {z}}+{\overline {w}}\\{\overline {z-w}}&={\overline {z}}-{\overline {w}}\\{\overline {zw}}&={\overline {z}}\;{\overline {w}}\\{\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}&={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad {\text{if }}w\neq 0\\\end{aligned}}}
실수는 켤레화의 유일한 고정된 점(fixed point) 입니다. 복소수는 만약 그의 허수 부분이 영이면 복소수 켤레와 같습니다.
z
¯
=
z
⇔
z
∈
R
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z}}&=z~\Leftrightarrow ~z\in \mathbb {R} \\\end{aligned}}}
모듈러스를 갖는 컬레화의 합성은 모듈러스 단독과 동등합니다.
|
z
¯
|
=
|
z
|
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\overline {z}}\right|&=\left|z\right|\\\end{aligned}}}
켤레화는 인볼루션(involution) 입니다; 즉, 복소수 z 의 켤레의 켤레는 z 입니다.
z
¯
¯
=
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\overline {z}}}&=z\\\end{aligned}}}
복소수와 그의 켤레의 곱은 숫자의 모듈러스의 제곱과 같습니다. 이것은 직교 좌표에서 주어진 복소수의 역수의 쉬운 계산을 허용합니다.
z
z
¯
=
|
z
|
2
z
−
1
=
z
¯
|
z
|
2
,
∀
z
≠
0
{\displaystyle {\begin{aligned}z{\overline {z}}&={\left|z\right|}^{2}\\z^{-1}&={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad \forall z\neq 0\end{aligned}}}
켤레화는 정수 거듭-제곱에 대한 지수화, 지수 함수, 및 비-영 인수에 대해 자연 로그와 함께 합성 아래에서 교환적(commutative) 입니다.
z
n
¯
=
(
z
¯
)
n
,
∀
n
∈
Z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {z^{n}}}&=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad \forall n\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}}
exp
(
z
¯
)
=
exp
(
z
)
¯
{\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}\,\!}
만약 z 가 비-영이면
log
(
z
¯
)
=
log
(
z
)
¯
{\displaystyle \log \left({\overline {z}}\right)={\overline {\log(z)}}\,\!}
만약
p
{\displaystyle p}
실수(real) 계수를 가진 다항식(polynomial) 이고,
p
(
z
)
=
0
{\displaystyle p(z)=0}
p
(
z
¯
)
=
0
{\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}
복소 켤레 근 정리(Complex conjugate root theorem) 를 참조하십시오 ).
일반적으로, 만약
φ
{\displaystyle \varphi \,}
정칙 함수(holomorphic function) 이고,
φ
(
z
)
{\displaystyle \varphi (z)\,}
φ
(
z
¯
)
=
φ
(
z
)
¯
.
{\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}
C
{\displaystyle \mathbb {C} \,}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
σ
(
z
)
=
z
¯
{\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}\,}
C
{\displaystyle \mathbb {C} \,}
벡터 공간(vector space) 으로 고려하면, 위상동형 사상(homeomorphism) 이고 (여기서
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
반-선형(antilinear) 입니다. 비록 그것이 잘-행동된(well-behaved) 함수라고 보일지라도, 그것은 정칙(holomorphic) 이 아닙니다; 그것은 방향을 뒤집는 반면에 정칙 함수는 방향을 지역적으로 유지합니다. 그것은 전단사(bijective) 이고 산술 연산과 호환되고, 따라서 필드(field) 자기-동형(automorphism) 입니다. 그것은 실수를 고정된 상태로 유지하기 때문에, 필드 확장(field extension)
C
/
R
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }
갈루아 그룹(Galois group) 의 원소입니다. 이 갈루아 그룹은 오직 두 원소:
σ
{\displaystyle \sigma \,}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
Use as a variable 한번 복소수
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z=x+yi}
z
=
r
e
i
θ
{\displaystyle z=re^{i\theta }}
z -변수의 부분을 다시-생성하기에 충분합니다:
실수 부분:
x
=
Re
(
z
)
=
z
+
z
¯
2
{\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}
허수 부분:
y
=
Im
(
z
)
=
z
−
z
¯
2
i
{\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}
모듈러스(Modulus) (또는 절댓값) :
r
=
|
z
|
=
z
z
¯
{\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}
편각(Argument) :
e
i
θ
=
e
i
arg
z
=
z
z
¯
{\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}}}
θ
=
arg
z
=
1
i
ln
z
z
¯
=
ln
z
−
ln
z
¯
2
i
{\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}
게다가,
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
{
z
∣
z
r
¯
+
z
¯
r
=
0
}
{\displaystyle \left\{z\mid z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}
은 원점을 통과하고
r
¯
{\displaystyle {\overline {r}}}
z
⋅
r
¯
{\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}
z
{\displaystyle z}
r
¯
{\displaystyle {\overline {r}}}
u = exp(b i)
z
−
z
0
z
¯
−
z
0
¯
=
u
2
{\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}
은
z
0
{\displaystyle z_{0}}
u 를 통과하는 직선에 평행한 직선을 결정합니다.
변수로 z 의 켤레의 이들 사용은 프랭크 몰리(Frank Morley) 와 그의 아들 프랭크 비거 몰리와 함께 쓴 책 Inversive Geometry (1933)에서 묘사됩니다.
Generalizations 다른 실수 대수, 이중 숫자(dual numbers) , 및 분할-복소수(split-complex number) 는 복소 켤레를 사용하여 역시 분석됩니다.
복소수의 행렬에 대해
A
B
¯
=
(
A
¯
)
(
B
¯
)
{\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right)}
A
¯
{\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
[2]
(
A
B
)
∗
=
B
∗
A
∗
{\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*}}
A
∗
{\textstyle \mathbf {A} ^{*}}
A
{\textstyle \mathbf {A} }
켤레 전치(conjugate transpose) 를 나타냅니다.
복소수 행렬(matrices) 의 켤레 전치(conjugate transpose) (또는 인접)를 취하는 것은 복소수 켤레를 일반화합니다. 훨씬 더 일반적인 것은 (무한-차원이 가능한) 복소 힐베르트 공간(Hilbert space) 위에 연산자에 대해 인접 연산자(adjoint operator) 의 개념입니다. 이것 모든는 C*-대수(C*-algebra) 의 *-연산에 의해 포함됩니다.
우리는 쿼터니언(quaternion) 및 분할-쿼터니언(split-quaternion) 에 대해 켤레화를 역시 정의할 수 있습니다:
a
+
b
i
+
c
j
+
d
k
{\textstyle a+bi+cj+dk}
a
−
b
i
−
c
j
−
d
k
{\textstyle a-bi-cj-dk}
모든 이들 일반화는 만약 인수가 반전되면 오직 곱셈적입니다:
(
z
w
)
∗
=
w
∗
z
∗
.
{\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}
평면 실수 대수의 곱셈은 교환적(commutative) 이므로, 이 반전은 그곳에서 필요하지 않습니다.
복소수(complex number) 에 걸쳐 벡터 공간(vector spaces)
V
{\textstyle V}
φ
2
=
id
V
{\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,}
φ
2
=
φ
∘
φ
{\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }
id
V
{\displaystyle \operatorname {id} _{V}\,}
V
{\displaystyle V\,}
항등 맵(identity map) 입니다,모든
v
∈
V
{\displaystyle v\in V\,}
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} \,}
φ
(
z
v
)
=
z
¯
φ
(
v
)
{\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}
모든
v
1
∈
V
{\displaystyle v_{1}\in V\,}
v
2
∈
V
{\displaystyle v_{2}\in V\,}
φ
(
v
1
+
v
2
)
=
φ
(
v
1
)
+
φ
(
v
2
)
{\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}
임의의 반-선형 맵(antilinear map)
φ
:
V
→
V
{\textstyle \varphi :V\rightarrow V\,}
복소 켤레화 , 또는 실수 구조(real structure) 라고 불립니다. 인볼루션
φ
{\displaystyle \varphi }
반-선형(antilinear) 이며, 그것은 절대
V
{\displaystyle V}
물론,
φ
{\textstyle \varphi }
V 가 같은 벡터(vector) 를 원래 공간에서 취하고 스칼라를 실수로 제한함으로써 얻어진 실수 형식을 가짐을 주목하면,
V
{\textstyle V}
R
{\textstyle \mathbb {R} }
V
{\displaystyle V}
실수 구조(real structure) 를 실제로 정의합니다.[3]
이 개념의 한 예제는 위에 정의된 복소 행렬의 켤레 전치 연산입니다. 그것은 일반적인 복소 벡터 공간 위에 복소 켤레화의 정식의 (canonical )
See also Notes References Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (antilinear maps are discussed in section 3.3).
