Continued fraction

Original article: w:Continued fraction

"Recurring fraction" redirects here. It is not to be confused with Repeating decimal.

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}}$

A finite continued fraction, where $n$ is a non-negative integer, $a_{0}$ is an integer, and $a_{i}$ is a positive integer, for $i=1,\ldots ,n$.

수학(mathematics)에서, 연속된 분수(continued fraction)는 한 숫자를 그것의 정수 부분(integer part)과 또 다른 숫자의 역수(reciprocal)의 합으로 표현, 그런-다음 이 다른 숫자를 그것의 정수 부분과 또 다른 역수의 합으로 표현, 이런 식으로 계속하는 반복적(iterative) 과정을 통해 얻어진 표현(expression)입니다. 유한 연속된 분수 (또는 종료된 연속된 분수)에서, 반복/재귀(recursion)는 정수를 또 다른 연속된 분수의 위치에서 사용함으로써 유한하게 많은 단계 후에 종료됩니다. 대조적으로, 무한 연속된 분수는 무한 표현(infinite expression)입니다. 두 경우에서, 첫 번째가 아닌 수열에서 모든 정수는 양수(positive)여야 합니다. 정수 $a_{i}$는 연속된 분수의 계수(coefficient) 또는 항(terms)이라고 불립니다.

연속된 분수는 정수 또는 실수(real number)에 대해 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm)과 관련된 수많은 주목할-만한 속성을 가집니다. 모든 각 유리수(rational number) $p$/$q$는 유한 연속된 분수로 두 개의 밀접하게 관련된 표현을 가지며, 그것의 계수 a_i는 유클리드 알고리듬을 $(p,q)$에 적용함으로써 결정될 수 있습니다. 무한 연속된 분수의 수치 값은 무리수(irrational)입니다; 그것은 정수의 그것의 무한 수열로부터 유한 연속된 분수에 대해 값의 수열의 극한(limit)으로 정의됩니다. 수열의 각 유한 연속된 분수는 정수의 무한 연속된 분수의 정의하는 수열의 유한 접두사(prefix)를 사용함으로써 얻습니다. 게다가, 모든 각 무리수 $\alpha$는 고유한 무한 연속된 분수의 값이며, 그것의 계수는 비-정수비율가능(incommensurable) 값 $\alpha$와 1에 적용된 유클리드 알고리듬의 비-종료하는 버전을 사용하여 발견될 수 있습니다. 실수 (유리수와 무리수)를 표현하는 이 방법은 그것들의 연속된 분수 표현(continued fraction representation)이라고 불립니다.

일반적으로 모든 분수의 분자(numerator)는 1이라고 가정합니다. 만약 임의의 값 및/또는 함수(functions)는 분모에서 하나 이상의 분자 또는 정수 자리에 사용되면, 결과 표현은 일반화된 연속된 분수(generalized continued fraction)입니다. 첫 번째 형식을 일반화된 연속된 분수와 구별하는 것이 필요할 때, 전자는 단순(simple) 또는 정규 연속된 분수(regular continued fraction)라고 불리거나, 정식의 형식(canonical form)이라고 말할 수 있습니다.

용어 연속된 분수는 그들의 해석적 이론(analytic theory)에서 발생하는 유리 함수(rational function)의 표현을 역시 나타낼 수 있습니다. 이 용어의 사용에 대해, 파데 근사(Padé approximation) 및 체비쇼프 유리 함수(Chebyshev rational functions)를 참조하십시오.

Motivation and notation

예를 들어, 약 4.4624인, 유리수(rational number) 415/93를 생각해 보십시오. 첫 번째 근사(approximation)로, 4로 시작하여, 이것은 정수 부분(integer part)입니다; 415/93 = 4 + 43/93. 분수 부분은 93/43의 역수(reciprocal)이며 약 2.1628입니다. 정수 부분, 2를 사용하고, 4 + 1/2 = 4.5의 두 번째 근사를 얻기 위해 역수에 대해 근사로; 93/43 = 2 + 7/43. 남아있는 분수 부분, 7/43은 43/7의 역수이고, 43/7는 약 6.1429입니다. 93/43에 대해 근사로 2 + 1/6를 얻기 위해 근사로 6을 사용하고, 4 + 1/2 + 1/6, 약 4.4615이며, 세 번째 근사로; 43/7 = 6 + 1/7. 최종적으로, 분수 부분, 1/7은 7의 역수이므로, 이 계획에서 그것의 근사, 7은 정확한 것이고 (7/1 = 7 + 0/1) 정확한 표현을 생성합니다; 415/93에 대해 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7.

표현 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7은 415/93의 연속된 분수 표현이라고 불립니다. 이것은 축약된 표기법 415/93 = [4; 2, 6, 7]에 의해 나타낼 수 있습니다. (오직 첫 번째 코마를 세미콜론에 의해 대체하는 것이 관례적입니다.) 일부 오래된 교과서는 (n + 1)-튜플에서 모두 코마, 예를 들어, [4, 2, 6, 7]을 사용합니다.

만약 시작하는 숫자가 유리수이면, 이 과정은 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm)과 정확히 유사합니다. 특히, 그것은 종료해야 하고 숫자의 유한 연속된 분수 표현을 생성합니다. 만약 시작하는 숫자가 무리수(irrational)이면, 그 과정은 무한적으로 계속됩니다. 이것은 근사의 수열을 생성하며, 그것의 모두는 유리수이고, 이것들은 극한으로 시작하는 숫자로 수렴됩니다. 이것은 숫자의 (무한) 연속된 분수 표현입니다. 무리수의 연속된 분수 표현의 예제는 다음입니다:

• √19 = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...] (OEIS에서 수열 A010124). 패턴은 6의 주기를 갖는 무한적으로 반복됩니다.
• e = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...] (OEIS에서 수열 A003417). 패턴은 2가 각 주기에서 항 중 하나에 더해진다는 점을 제외하고 3의 주기를 갖는 무한적으로 반복됩니다.
• π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...] (OEIS에서 수열 A001203). 패턴이 이 표현에서 발견되지 않았습니다.
• ϕ = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] (OEIS에서 수열 A000012). 황금 비율(golden ratio), 유리적으로 근사하기 "가장 어려운" 무리수. 참조: 황금 비율 φ의 속성(A property of the golden ratio φ).

연속된 분수는, 어떤 방법에서, 십진 표현(decimal representation)과 같은 다른 표현보다 실수(real number)의 보다 "수학적으로 자연스러운" 표현이고, 그것들은 여러 바람직한 속성을 가집니다:

• 유리수에 대해 연속된 분수 표현은 유한하고 오직 유리수는 유한 표현을 가집니다. 반대로, 유리수의 십진 표현은 유한, 예를 들어 137/1600 = 0.085625, 또는 반복하는 주기를 갖는 무한, 예를 들어 4/27 = 0.148148148148...일 것이니다.
• 모든 각 유리수는 본질적으로 고유한 연속된 분수 표현을 가집니다. 각 유리수는 정확히 두 방법에서 표현될 수 있는데, 왜냐하면 [a₀;a₁,... a_n−1,a_n] = [a₀;a₁,... a_n−1,(a_n−1),1]이기 때문입니다. 보통 첫 번째, 더 짧은 것이 정식의 표현(canonical representation)으로 선택됩니다.
• 무리수의 연속된 분수 표현은 고유합니다.
• 그것의 연속된 분수가 결국 반복하는 실수는 정확하게 이차 무리수(quadratic irrational)입니다.

예를 들어, 반복하는 연속된 분수 [1;1,1,1,...]는 황금 비율(golden ratio)이고, 반복하는 연속된 분수 [1;2,2,2,...]가 2의 제곱근(square root of 2)입니다. 반대로, 이차 무리수의 십진 표현은 분명히 무작위(random)입니다. 완전 제곱이 아닌, 모든 (양의) 정수의 제곱근은 이차 무리수이며, 따라서 고유한 주기적 연속된 분수입니다.

• 숫자의 연속된 분수 표현을 찾는 것, 즉 연속된 분수 표현을 자름으로써, 생성된 연속하는 근사는 특정 의미에서 (아래에 설명됨) "가능한 최선"입니다.

Basic formula

연속된 분수는 다음 형식의 표현입니다:

$a_{0}+{\cfrac {b_{1}}{a_{1}+{\cfrac {b_{2}}{a_{2}+{\cfrac {b_{3}}{a_{3}+{_{\ddots }}}}}}}}$

여기서 a_i와 b_i는 임의의 복소수일 수 있습니다. 보통 그것들은 정수임이 요구됩니다. 만약 모든 i에 대해 b_i = 1이면, 그 표현은 단순 연속된 분수라고 불립니다. 만약 그 표현이 유한 개수의 항을 포함하면, 그것은 유한 연속된 분수라고 불립니다. 만약 그 표현이 무한한 숫자의 항을 포함하면, 그것은 무한 연속된 분수라고 불립니다.

따라서, 다음의 모두는 유효한 유한 단순 연속된 분수를 묘사합니다:

유한 단순 연속된 분수의 예제

공식	숫자	비고
$\ a_{0}$	$\ 2$	모든 정수는 퇴화 경우(degenerate case)입니다.
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}}}$	$\ 2+{\cfrac {1}{3}}$	가장 단순한 가능한 분수의 형식
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}}}}}$	$\ -3+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{18}}}}$	첫 번째 정수는 음수일 수 있습니다.
$\ a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}$	$\ {\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{102}}}}}}$	첫 번째 정수는 영일 수 있습니다.

Calculating continued fraction representations

실수 r을 생각해 보십시오. $i=\lfloor r\rfloor$를 r의 정수 부분(integer part)로 놓고 $f=r-i$를 r의 분수 부분(fractional part)으로 놓습니다. 그런-다음 r의 연속된 분수 표현은 $[i;a_{1},a_{2},\ldots ]$이며, 여기서 $[a_{1};a_{2},\ldots ]$는 $1/f$의 연속된 분수 표현입니다.

숫자 r의 연속도니 분수 표현을 계산하기 위해, r의 정수 부분 (기술적으로 바닥(floor))을 내려 쓰십시오. 이 정수 부분을 r로부터 빼십시오. 만약 그 차이가 0이면, 중지하십시오; 그렇지 않으면 그 차이의 역수(reciprocal)를 구하고 반복하십시오. 그 절차가 정지하는 것과 r이 유리수인 것은 필요충분 조건입니다. 이 과정은 그 숫자가 유리수일 때 유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm)을 사용하여 효율적으로 구현될 수 있습니다. 아래 테이블은 수자 3.245에 대해 이 절차의 구현을 보여주며, 결과로 연속된 분수 표현 [3; 4,12,4]을 초래합니다.

$3.245={\frac {649}{200}}$에 대해 연속된 분수 찾기

단계	실수	정수 부분	분수 부분	단순화	f의 역수
1	$r={\frac {649}{200}}$	$i=3$	$f={\frac {649}{200}}-3$	$={\frac {49}{200}}$	${\frac {1}{f}}={\frac {200}{49}}$
2	$r={\frac {200}{49}}$	$i=4$	$f={\frac {200}{49}}-4$	$={\frac {4}{49}}$	${\frac {1}{f}}={\frac {49}{4}}$
3	$r={\frac {49}{4}}$	$i=12$	$f={\frac {49}{4}}-12$	$={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{f}}={\frac {4}{1}}$
4	$r=4$	$i=4$	$f=4-4$	$=0$	중지
$3.245={\frac {649}{200}}=[3;4,12,4]$에 대해 연속된 분수 형식 = 3 + 1/4 + 1/12 + 1/4

Notations

정수 $a_{0}$, $a_{1}$, 등은 연속된 분수의 계수 또는 항이라고 불립니다. 우리는 다음 연속된 분수를

$x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}}}}}}}$

카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 표기법에서

$x=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {3}{\mathrm {K} }}}~{\frac {1}{a_{i}}}$

또는 다음으로

$x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]$,

또는 프링스하임(Pringsheim)의 표기법에서 다음으로

$x=a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}},$

또는 또 다른 관련된 표기법에서 다음으로

$x=a_{0}+{1 \over a_{1}+{}}{1 \over a_{2}+{}}{1 \over a_{3}{}}$,

축약할 수 있습니다.

때때로 다음처럼 각진 괄호가 사용됩니다:

$x=\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle .$

사각형과 각진 괄호에서 세미콜론은 때때로 코마에 의해 대체됩니다.

우리는 무한 단순 연속된 분수를 극한(limits)으로 역시 정의할 수 있습니다:

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}].$

이 극한은 임의의 $a_{0}$의 선택과 양의 정수 $a_{1},a_{2},\ldots$에 대해 존재합니다.

Finite continued fractions

모든 각 유한 연속된 분수는 유리수(rational number)를 나타내고, 모든 각 유리수는 첫 번째 계수가 정수이고 다른 계수가 양의 정수라는 조건과 함께 유한 연속된 분수로 정확하게 두 가지 방법으로 표현될 수 있습니다. 이들 두 표현은 그들의 마지막 항을 제외하고는 일치합니다. 더 긴 표현에서 연속된 분수에서 마지막 항은 1입니다; 더 짧은 표현은 마지막 1을 버리지만, 새로운 마지막 항을 1만큼 증가시킵니다. 짧은 표현에서 마지막 원소는 따라서 만약 존재하면 항상 1보다 큽니다. 기호에서:

[a₀; a₁, a₂, ..., a_{n − 1}, a_n, 1] = [a₀; a₁, a₂, ..., a_{n − 1}, a_n + 1].

[a₀; 1] = [a₀ + 1].

Of reciprocals

양의 유리수와 그 역수(reciprocal)의 연속된 분수 표현은 숫자가 각각 일보다 작거나 큰지 여부에 따라 한 자리 왼쪽 또는 오른쪽으로 이동하는 것을 제외하고는 동일합니다. 달리 말해서, 그 숫자는 $[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$에 의해 표현하고 $[0;a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}]$는 역수입니다.

예를 들어 만약 $a$가 정수이고 $x<1$이면

$x=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}$ 및 ${\frac {1}{x}}=a+{\frac {1}{b}}$.

만약 $x>1$이면

$x=a+{\frac {1}{b}}$ 및 ${\frac {1}{x}}=0+{\frac {1}{a+{\frac {1}{b}}}}$.

연속된 분수의 나머지를 생성하는 마지막 숫자는 $x$와 그것의 역수 둘 다에 대해 같습니다.

예를 들어,

$2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]$ 및 ${\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]$.

Infinite continued fractions and convergents

모든 각 무한 연속된 분수는 무리수(irrational)이고, 모든 각 무리수는 정확히 한 가지 방법으로 무한 연속된 분수로 표현될 수 있습니다.

무리수에 대해 무한 연속된 분수 표현은 유용한데 왜냐하면 그것의 초기 세그먼트가 숫자에 대한 유리 근사를 제공하기 때문입니다. 이들 유리수는 연속된 분수의 수렴(convergents)이라고 불립니다. 연속된 분수에서 항이 클수록, 근사되려는 유리수에 대한 해당하는 수렴이 더 가깝습니다. π와 같은 숫자는 이따금 그들의 연속된 분수에 큰 항을 가지며, 이것은 그것들을 유리수로 근사하는 것을 쉽게 만듭니다. e와 같은 다른 숫자는 그들의 연속된 분수에서 초기에 오직 작은 항을 가지며, 이것은 유리적으로 근사하는 것을 더 어렵게 만듭니다. 황금 비율(golden ratio) ϕ는 모든 곳에서 1과 같은 항–가능한 가장 작은 값–을 가지며, 이것은 ϕ를 유리적으로 근사하는 것을 가장 어려운 숫자로 만듭니다. 이러한 의미에서, 따라서, 그것은 모든 무리수 중 "가장 무리적"입니다. 짝수로 수렴은 원래 숫자보다 작지만, 홀수로 수렴은 더 큽니다.

연속된 분수 [a₀; a₁, a₂, ...]에 대해, (0에서 3까지 숫자-붙여진) 처음 네 개의 수렴은 다음입니다:

a₀/1, a₁a₀ + 1/a₁, a₂(a₁a₀ + 1) + a₀/a₂a₁ + 1, a₃(a₂(a₁a₀ + 1) + a₀) + (a₁a₀ + 1)/ a₃(a₂a₁ + 1) + a₁.

세 번째 수렴의 분자는 두 번째 수렴의 분자에 세 번째 계수를 곱하고, 첫 번째 수렴의 분자를 더함으로써 형성됩니다. 분모는 비슷하게 형성됩니다. 그러므로, 각 수렴은 연속된 분수의 관점에서 지속성(continuants)으로 불리는 특정 다변수 다항식(multivariate polynomial)의 비율로 명시적으로 표현될 수 있습니다.

만약 연속하는 수렴이, 분자 h₁, h₂, ... 및 분모 k₁, k₂, ...와 함께 구해지면, 관련된 재귀 관계는 다음입니다:

h_n = a_nh_{n − 1} + h_{n − 2},

k_n = a_nk_{n − 1} + k_{n − 2}.

연속하는 수렴은 다음 공식에 의해 제공됩니다:

h_n/k_n = a_nh_{n − 1} + h_{n − 2}/a_nk_{n − 1} + k_{n − 2}.

따라서 새로운 항을 유리적 근사로 통합하기 위해, 오직 두 개의 이전 수렴이 필요합니다. (처음 두 항에 대해 요구된) 초기 "수렴"은 ⁰⁄₁ 및 ¹⁄₀입니다. 예를 들어, 여기서 [0;1,5,2,2]에 대해 수렴입니다.

n	−2	−1	0	1	2	3	4
an			0	1	5	2	2
hn	0	1	0	1	5	11	27
kn	1	0	1	1	6	13	32

정수의 제곱근에 대한 연속적인 근사를 생성하기 위해 바빌로니아 방법(Babylonian method)을 사용할 때, 만약 우리가 가장 낮은 정수를 첫 번째 근사로 시작하면, 모든 생성된 유리수는 연속된 분수에 대해 수렴의 목록에서 나타납니다. 구체적으로 특별히, 근사는 위치 0, 1, 3, 7, 15, ... , 2^k−1, ...에서 수렴하는 목록에 나타날 것입니다. 예를 들어, √3에 대해 연속된 분수 확장은 [1;1,2,1,2,1,2,1,2,...]입니다. 수렴을 바빌로니아 방법에서 유도된 근사와 비교하면:

n	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7
an			1	1	2	1	2	1	2	1
hn	0	1	1	2	5	7	19	26	71	97
kn	1	0	1	1	3	4	11	15	41	56

x₀ = 1 = 1/1

x₁ = 1/2(1 + 3/1) = 2/1 = 2

x₂ = 1/2(2 + 3/2) = 7/4

x₃ = 1/2(7/4 + 3/7/4) = 97/56

Properties

베르 공간(Baire space)은 자연수의 무한 수열에 대한 토폴로지적 공간입니다. 무한 연속된 분수는 베르 공간에서 (실수에 대한 보통의 토폴로지(usual topology)에서 상속된 부분-공간 토폴로지를 갖는) 무리적 실수의 공간으로 위상-동형(homeomorphism)을 제공합니다. 무한 연속된 분수는 역시 이차 무리수(quadratic irrational)와 이원적 유리(dyadic rational) 사이의 맵과 다른 무리수에서 이진 숫자의 무한 문자열의 집합 (즉, 칸토어 집합(Cantor set))로의 맵을 제공합니다; 이 맵은 민코프스키 물음 표식(Minkowski question mark) 함수라고 불립니다. 그 매핑은 흥미로운 자기-유사 프랙탈(fractal) 속성을 가집니다; 이것들은 변환에서 정수 값을 갖는 뫼비우스 변환(Möbius transformation)의 부분-그룹 인 모듈러 그룹(modular group)에 의해 제공됩니다. 대략적으로 말하면, 연속된 분수 수렴은 (쌍곡선) 위쪽 반-평면(upper half-plane)에 작용하는 뫼비우스 변환으로 취할 수 있습니다; 이것이 프랙탈 자체-대칭으로 이어지는 것입니다.

Some useful theorems

만약 $a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$가 양의 정수의 무한 수열이면, 수열 $h_{n}$ 및 $k_{n}$을 재귀적으로 정의합니다:

$h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}$			$h_{-1}=1$		$h_{-2}=0$
$k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}$			$k_{-1}=0$		$k_{-2}=1$

정리 1. 임의의 양의 실수 $z$에 대해

$\left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n-1},z\right]={\frac {zh_{n-1}+h_{n-2}}{zk_{n-1}+k_{n-2}}}.$

정리 2. [$a_{0}$; $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots$]의 수렴은 다음에 의해 제공됩니다:

$\left[a_{0};a_{1},\,\dots ,a_{n}\right]={\frac {h_{n}}{k_{n}}}.$

정리 3. 만약 연속된 분수에 대한 $n$-번째 수렴이 $h_{n}$/$k_{n}$이면, 다음입니다:

$k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}.$

따름정리 1: 각 수렴은 그것의 가장 낮은 항에 있습니다 (만약 $h_{n}$ 및 $k_{n}$가 비-자명한 공통 약수인 것에 대해, 그것은 $k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}$를 나눌 것인데, 이것은 불가능입니다).

따름정리 2: 연속적인 수렴 사이의 차이는 그것의 분자가 단위인 분수입니다:

${\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}={\frac {h_{n}k_{n-1}-k_{n}h_{n-1}}{k_{n}k_{n-1}}}={\frac {(-1)^{n+1}}{k_{n}k_{n-1}}}.$

따름정리 3: 연속된 분수는 교대하는 항의 급수와 동등합니다:

$a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{k_{n}k_{n+1}}}.$

따름정리 4: 다음 행렬은

${\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\end{bmatrix}}$

양의 또는 음의 일의 행렬식(determinant)을 가지고, 따라서 $2\times 2$ 유니-모듈러 행렬(unimodular matrices) $\mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} )$에 속합니다.

정리 4. 각 ($s$번째) 수렴은 임의의 앞서는 ($r$번째) 수렴보다 후속 ($n$번째) 수렴이 더 가깝습니다. 기호에서, 만약 $n$번째 수렴이 $[a_{0};a_{1},\ldots ,a_{n}]=x_{n}$로 취해지면, 모든 $r<s<n$에 대해 다음입니다:

$\left|x_{r}-x_{n}\right|>\left|x_{s}-x_{n}\right|$.

따름정리 1: ($n$번째 앞의) 짝수 수렴은 연속적으로 증가하지만, 항상 $x_{n}$보다 더 작습니다.

따름정리 2: ($n$번째 앞의) 홀수 수렴은 연속적으로 감소하지만, 항상 $x_{n}$보다 더 큽니다.

정리 5.

${\frac {1}{k_{n}(k_{n+1}+k_{n})}}<\left|x-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}\right|<{\frac {1}{k_{n}k_{n+1}}}.$

따름정리 1: 수렴은 그것의 분모가 수렴의 그것보다 더 작은 임의의 분수보다 연속된 분수의 극한에 더 가깝습니다.

따름정리 2: 큰 항 바로 앞의 연속된 분수를 종료함으로써 얻어진 수렴은 연속된 분수의 극한에 대한 가까운 근사입니다.

Semiconvergents

만약 다음이

${\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}},{\frac {h_{n}}{k_{n}}}$

연속적인 수렴이면, 다음 형식의 임의의 분수는

${\frac {h_{n-1}+mh_{n}}{k_{n-1}+mk_{n}}},$

여기서 $m$은 $0\leq m\leq a_{n+1}$임을 만족하는 정수이며, 준-수렴(semiconvergents), 이차 수렴(secondary convergents), 또는 중간 분수(intermediate fractions)라고 불립니다. $(m+1)$-번째 준-수렴은 $m$-번째 것과 수렴 ${\tfrac {h_{n}}{k_{n}}}$의 미디언트(mediant)와 같습니다. 때때로 그 용어는 수렴이 일종의 반수렴인 것이 아니라, 반 수렴인 것이 수렴인 것 (즉, $0<m<a_{n+1}$)의 가능성을 배제한다는 의미로 취합니다.

준-수렴은 수렴 ${\tfrac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}$ ($m=0$에 해당함)과 ${\tfrac {h_{n+1}}{k_{n+1}}}$ ($m=a_{n+1}$에 해당함) 사이의 분수의 단조 수열(monotonic sequence)을 표현함을 따릅니다. 연속적인 준-수렴 ${\tfrac {a}{b}}$과 ${\tfrac {c}{d}}$은 속성 $ad-bc=\pm 1$을 만족시킵니다.

만약 실수 $x$에 대한 유리적 근사(rational approximation) ${\tfrac {p}{q}}$가, 값 $\left|x-{\tfrac {p}{q}}\right|$가 더 작은 분모를 갖는 임의의 근사의 것보다 더 작은 것을 만족하면, ${\tfrac {p}{q}}$는 $x$의 연속된 분수 확장의 준-수렴입니다. 그 전환은 어쨌든 참이 아닙니다.

Best rational approximations

See also: Diophantine approximation and Padé approximant

우리는 실수 x를 유리수 n/d로 최상의 유리 근사, 즉 더 작거나 같은 분모를 갖는 임의의 근사보다 x에 더 가까운 것을 정의하는 것을 선택할 수 있습니다. x에 대해 단순 연속된 분수는 이들 세 가지 규칙을 적용함으로써 x에 대해 최상의 유리 근사의 모두를 생성하기 위해 사용될 수 있습니다:

1. 연속된 분수를 잘라내고, 마지막 항을 선택한 양 (영일 수 있음)만큼 줄입니다.
2. 감소된 항은 그것의 원래 값의 절반보다 작을 수 없습니다.
3. 만약 마지막 항이 짝수이면, 그것의 값의 절반은 오직 해당하는 준-수렴이 이전 수렴보다 더 나으면 허용됩니다. (아래를 참조하십시오.)

예를 들어, 0.84375는 연속된 분수 [0;1,5,2,2]를 가집니다. 여기서 그것의 최상의 유리 근사의 모두입니다.

연속된 분수	[0;1]	[0;1,3]	[0;1,4]	[0;1,5]	[0;1,5,2]	[0;1,5,2,1]	[0;1,5,2,2]
유리 근사	1	3/4	4/5	5/6	11/13	16/19	27/32
십진 값	1	0.75	0.8	~0.83333	~0.84615	~0.84211	0.84375
오차	+18.519%	−11.111%	−5.1852%	−1.2346%	+0.28490%	−0.19493%	0%

추가적인 항이 포함됨에 따라 분모에서 엄격하게 단조적 증가는 알고리듬에 제한, 분모의 크기에 대한 또는 근사의 근접성을 강제를 허용합니다.

위에 언급된 "절반 규칙"은 a_k가 짝수일 때, 절반된 항 a_k/2이 허용되는 것과 |x − [a₀ ; a₁, ..., a_{k − 1}]| > |x − [a₀ ; a₁, ..., a_{k − 1}, a_k/2]|인 것과 필요충분 조건임을 요구합니다. 이것은 다음과 동등합니다:

[a_k; a_{k − 1}, ..., a₁] > [a_k; a_{k + 1}, ...].

x로 수렴은 위에서 정의된 의미보다 더 강한 의미에서 "최상의 근사"입니다. 즉, n/d가 x에 대해 수렴하는 것과 |dx − n|가 c ≤ d를 갖는 모든 유리 근사 m/c에 대해 유사한 표현 사이에 가장 작은 값을 가지는 것과 필요충분 조건입니다; 즉, 우리는 c < d인 한 |dx − n| < |cx − m|를 가집니다. (역시 k → ∞일 때 |d_kx − n_k| → 0임을 주목하십시오.)

Best rational within an interval

0 < x < y에 대해, 구간 (x, y) 이내에 떨어지는 유리수는 x와 y에 대해 연속된 분수로 찾아질 수 있습니다. x와 y 둘 다는 무리수이고 다음입니다:

x = [a₀; a₁, a₂, ..., a_{k − 1}, a_k, a_{k + 1}, ...]

y = [a₀; a₁, a₂, ..., a_{k − 1}, b_k, b_{k + 1}, ...]

여기서 x와 y는 a_k−1까지 연속된 분수 확장을 가지며, 구간 (x, y) 이내에 떨어지는 유리수는 유한 연속된 분수에 의해 제공됩니다:

z(x,y) = [a₀; a₁, a₂, ..., a_{k − 1}, min(a_k, b_k) + 1]

이 유리수는 (x, y)에서 다른 유리수가 더 작은 분자 또는 더 작은 분모를 가지지 않을 것이라는 의미에서 최상이 될 것입니다.

만약 x가 유리수이면, 그것은 유한한 x₁와 x₂인 두 연속된 분수 표현을 가질 것이고, 비슷하게 유리수 y는 두 표현, y₁과 y₂을 가질 것입니다. 이들 표현의 임의의 것에서 마지막을 초과하는 계수는 +∞로 해석되어야 합니다; 최상의 유리수는 z(x₁, y₁), z(x₁, y₂), z(x₂, y₁), 또는 z(x₂, y₂) 중 하나일 것입니다.

예를 들어, 십진 표현 3.1416은 구간 [3.14155, 3.14165)에서 임의의 숫자에서 반올림될 수 있습니다. 3.14155 및 3.14165의 연속된 분수 표현은 다음입니다:

3.14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]

3.14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]

그리고 이들 둘 사이의 최상의 유리수는 다음입니다:

[3; 7, 16] = 355/113 = 3.1415929....

따라서, 355/113는, 3.1416으로 반올림될 수 있는 다른 유리수는 더 작은 분자 또는 분모를 가질 수 없을 것이라는 의미에서, 반올림된 십진수 3.1416에 해당하는 최상의 유리수입니다.

Interval for a convergent

다음 유리수는, 이것은 두 방법에서 유한 연속된 분수로 표현될 수 있으며,

z = [a₀; a₁, ..., a_{k − 1}, a_k, 1] = [a₀; a₁, ..., a_{k − 1}, a_k + 1]

숫자의 연속된 분수 확장에 대해 수렴의 하나인 것과 그 숫자가 엄격하게 다음 사의의 것입니다:

x = [a₀; a₁, ..., a_{k − 1}, a_k, 2] 및

y = [a₀; a₁, ..., a_{k − 1}, a_k + 2]

숫자는 x와 y는 z에 대해 두 표현에서 마지막 계수를 증가시킴으로써 형성됩니다. 그것은 k가 짝수일 때, x < y이고, k가 홀수일 때, x > y인 경우입니다.

예를 들어, 숫자 355/113는 다음 연속된 분수 표현을 가지고

355/113 = [3; 7, 15, 1] = [3; 7, 16]

따라서 355/113는 엄격하게 다음 사이에 임의의 숫자의 수렴입니다:

[3; 7, 15, 2]	=	688/219 ≈ 3.1415525
[3; 7, 17]	=	377/120 ≈ 3.1416667

Comparison

x = [a₀; a₁, ...] 및 y = [b₀; b₁, ...]를 생각해 보십시오. 만약 k가 a_k가 b_k와 같지 않은 것에 대해 가장 작은 인덱스이면, (−1)^k(a_k − b_k) < 0일 때 x < y이고 그렇지 않을 때 y < x입니다.

만약 그러한 k가 없지만, 하나의 확장이 나머지 것보다 더 작으면, 말하자면 0 ≤ i ≤ n에 대해 a_i = b_i를 갖는 x = [a₀; a₁, ..., a_n] 및 y = [b₀; b₁, ..., b_n, b_{n + 1}, ...]이면, n이 짝수일 때 x < y이고 n이 홀수일 때 y < x입니다.

Continued fraction expansions of π

π의 수렴을 계산하기 위해, 우리는 a₀ = ⌊π⌋ = 3를 정할 수 있으며, u₁ = 1/π − 3 ≈ 7.0625 및 a₁ = ⌊u₁⌋ = 7, u₂ = 1/u₁ − 7 ≈ 15.9966 및 a₂ = ⌊u₂⌋ = 15, u₃ = 1/u₂ − 15 ≈ 1.0034를 정의할 수 있습니다. 이렇게 계속하면, 우리는 다음으로 π의 무한 연속된 분수를 결정할 수 있습니다:

[3;7,15,1,292,1,1,...] (OEIS에서 수열 A001203).

π의 네 번째 수렴은 [3;7,15,1] = 355/113 = 3.14159292035...이며, 때때로 Milü라고 불리며, 이것은 π의 참 값에 꽤 가깝습니다.

발견된 몫이, 위에서 처럼, [3;7,15,1]이라고 가정하십시오. 다음은 우리가 연속된 분수를 개발없이 이들 몫에서 발생하는 수렴하는 분수를 즉시 내려서 기록할 수 있는 규칙입니다.

첫 번째 몫은, 단위로 나뉘는 것으로 가정하며, 첫 번째 분수를 제공할 것이며, 이것은 너무 작은, 즉, 3/1일 것입니다. 그런-다음 이 분수의 분자와 분모에 두 번째 몫을 곱하고 분자에 1을 더하여, 우리는 두 번째 분수, 22/7를 가져야 하며, 이것은 너무 클 것입니다. 이런 방법으로 이 분수의 분자와 분모를 세 번째 몫에 곱하고, 분자에 이전 분수의 분자를 더하고, 분모를 이전 분수의 분모를 더하여, 우리는 세 번째 분수를 가져야 하며, 이것은 너무 작을 것입니다. 따라서, 세 번째 몫은 15이며, 우리는 분자에 대해, (22 × 15 = 330) + 3 = 333를 가지고, 분모에 대해, (7 × 15 = 105) + 1 = 106를 가집니다. 세 번째 수렴은, 따라서, 333/106입니다. 우리는 네 번째 수렴에 대해 같은 방식으로 진행합니다. 네 번째 몫은 1이며, 우리는 333 곱하기 1은 333임을 말하고, 이것에 22를 더하여, 이전 분수의 분자는 355입니다; 비슷하게, 106 곱하기 1은 106이고, 이것에 7을 더하여 113입니다. 이 방법에서, 네 번째 몫 [3;7,15,1]를 사용함으로써, 우리는 네 번째 분수를 획득합니다:

3/1, 22/7, 333/106, 355/113, ....

The following Maple code will generate continued fraction expansions of Pi

요약하자면, 그 패턴은 다음입니다:

$Numerator_{i}=Numerator_{(i-1)}\cdot Quotient_{i}+Numerator_{(i-2)}$

$Denominator_{i}=Denominator_{(i-1)}\cdot Quotient_{i}+Denominator_{(i-2)}$

이들 수렴은 π의 참 값보다 번갈아 더 작고 더 크고, π에 점점 더 가까워집니다. 주어진 수렴과 π 사이의 차이는 해당 수렴과 그 다음 수렴의 분모들의 곱의 역수보다 작습니다. 예를 들어, 분수 22/7는 π보다 크지만, 22/7 − π는 1/7 × 106 = 1/742보다 작습니다 (사실, 22/7 − π는 단지 1/791 = 1/7 × 113보다 더 많습니다).

앞서 말한 속성의 시연은 만약 우리가 수렴 분수 중 하나와 그것에 다음으로 인접한 분수 사이의 차이를 구하면, 우리는 분자가 항상 단위이고 분모가 두 분모의 곱인 분수를 얻어야 한다는 사실에서 추론됩니다. 따라서 22/7와 3/1 사이의 차이는, 증가에서, 1/7입니다; 333/106과 22/7 사이에서 차이는, 감소에서, 1/742입니다; 355/113과 333/106 사이의 차이는, 증가에서, 1/11978입니다; 이런 식으로 계속됩니다. 그 결과, 차이의 이 급수를 사용함으로써, 우리는 분자가 모두 단위이고 분모가 연속적으로 모든 각 두 인접한 분모의 곱인 분수의 두 번째 급수를 수단으로, 여기에 관련된 분수를 또 다른 것에서 매우 간단한 방식으로 표현할 수 있습니다. 위에 쓰인 분수 대신에, 우리는 따라서 다음 급수를 가집니다:

3/1 + 1/1 × 7 − 1/7 × 106 + 1/106 × 113 − ...

첫 번째 항은, 위에서 본 것처럼, 첫 번째 분수입니다; 첫 번째와 두 번째는 함께 두 번째 분수, 22/7를 제공합니다; 첫 번째, 두 번째와 세 번째는 세 번째 분수 333/106를 제공하고, 따라서 나머지도 그런 방식입니다; 그 결과 급수 전체가 원래 값과 동등하다는 것입니다.

Generalized continued fraction

Main article: Generalized continued fraction

일반화된 연속된 분수는 다음 형식의 표현입니다:

$x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}$

여기서 a_n (n > 0)는 부분 분자, b_n는 부분 분모이고, 선행하는 항 b₀는 연속된 분수의 정수 부분이라고 불립니다.

일반화된 연속된 분수의 사용을 묘사하기 위해, 다음 예제를 생각해 보십시오. π의 간단한 연속된 분수의 부분 분모의 수열은 임의의 분명한 패턴을 보이지 않습니다:

$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots ]$

또는

$\pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

어쨌든, π에 대해 여러 일반화된 연속된 분수는, 다음을 만족하는, 완벽하게 규칙적인 구조를 가집니다:

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}$

$\displaystyle \pi =2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1/2+{\cfrac {1}{1/3+{\cfrac {1}{1/4+\ddots }}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}$

$\displaystyle \pi =2+{\cfrac {4}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\ddots }}}}}}}}$

이들의 처음 둘은 π = 4 arctan (1)를 갖는 아크탄젠트(arctangent) 함수의 특별한 경우입니다.

$\pi =3+{\cfrac {1^{3}}{6+{\cfrac {1^{3}+2^{3}}{6+{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}{6+{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}}{6+{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}}{6+\ddots }}}}}}}}}}$

세제곱으로 구성된 위의 $\pi$의 연속된 분수는 닐라간터(Nilakantha) 급수와 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)의 업적을 사용합니다.

Other continued fraction expansions

Periodic continued fractions

Main article: Periodic continued fraction

주기적 연속된 분수를 갖는 숫자는 유리 계수를 갖는 이차 방정식(quadratic equation)의 정확하게 무리수 해(irrational solutions)입니다; 유리 해는 이전에 말한 것처럼 유한 연속된 분수 확장을 가집니다. 가장 간단한 예제는 황금 비율(golden ratio) φ = [1;1,1,1,1,1,...] 및, √2 = [1;2,2,2,2,...]이지만, √14 = [3;1,2,1,6,1,2,1,6...] 및 √42 = [6;2,12,2,12,2,12...]입니다. 정수의 모든 무리 제곱근은 주기에 대해 특별한 형식을 가집니다; (√2에 대해) 빈 문자열 또는 (√14에 대해) 1,2,1과 같은, 대칭 문자열은 선행하는 정수의 두 배만큼 따릅니다.

A property of the golden ratio φ

φ에 대해 연속도니 분수 확장은 1보다 더 큰 임의의 정수를 사용하지 않기 때문에, φ는 유리수로 근사하는 것이 가장 "어려운" 실수 중 하나입니다. 후르비츠의 정리(Hurwitz's theorem)는 임의의 무리수 k가 다음과 함께 무한하게 많은 유리수 m/n으로 근사화될 수 있음을 말합니다:

$\left|k-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.$

사실상 모든 실수 k는 결국 k로부터 그것의 거리가 이 극한보다 훨씬 더 작은 수렴 m/n를 무한하게 많이 가지지만, φ에 대한 수렴 (즉, 숫자 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 등)은 φ로부터 떨어져 거의 정확한 ${\scriptstyle {1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}}$의 거리를 유지하는, 일관되게 "경계를 향하며", 따라서 예를 들어, π에 대한 355/113와 같이 매우 인상적인 근사를 생성할 수 없습니다. 그것은 역시 형식 a + bφ/c + dφ의 모든 각 실수는, 여기서 a, b, c, 및 d는 a d − b c = ±1를 만족하는 정수이며, 황금 비율 φ와 이 속성을 공유한다는 것; 그리고 모든 다른 실수는 더 가깝게 근사될 수 있음을 보일 수 있습니다.

Regular patterns in continued fractions

π의 단순 연속된 분수 확장에서 식별-가능한 패턴은 없지만, e, 자연 로그의 밑수에 대해 하나가 있으며,

$e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ],$

이것은 양의 정수 n에 대해 이 일반적인 표현의 특별한 경우입니다:

$e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.$

또 다른, 보다 복잡한 패턴은 양의 홀수 n에 대해 이 연속된 분수 확장에 나타납니다:

$e^{2/n}=\left[1;{\frac {n-1}{2}},6n,{\frac {5n-1}{2}},1,1,{\frac {7n-1}{2}},18n,{\frac {11n-1}{2}},1,1,{\frac {13n-1}{2}},30n,{\frac {17n-1}{2}},1,1,\dots \right]\,\!,$

n = 1에 대해 특별한 경우를 가집니다:

$e^{2}=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,12,54,14,1,1\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1\dots ]\,\!.$

이 종류의 다른 연속된 분수는 다음입니다:

$\tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]$

여기서 n은 양의 정수입니다; 역시, 정수 n에 대해:

$\tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,$

n = 1에 대해 특별한 경우를 가집니다:

$\tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.$

만약 I_n(x)가 수정된, 또는 쌍곡형, 첫 번째 종류의 베셀 함수(Bessel function)이면, 우리는 다음에 의해 유리수 p/q에 대한 함수를 정의할 수 있습니다:

$S(p/q)={\frac {I_{p/q}(2/q)}{I_{1+p/q}(2/q)}},$

이것은 가장 낮은 항에서 p and q와 함께 모든 유리수에 대해 정의됩니다. 그런-다음 모든 비-음의 유리수에 대해, 우리는 음의 유리수에 대해 비슷한 공식과 함께 다음을 가집니다:

$S(p/q)=[p+q;p+2q,p+3q,p+4q,\dots ],$

특히 우리는 다음을 가집니다:

$S(0)=S(0/1)=[1;2,3,4,5,6,7,\dots ].$

그 공식의 많은 것이 가우스의 연속된 분수(Gauss's continued fraction)를 사용하여 입증될 수 있습니다.

Typical continued fractions

대부분의 무리수는 그것들의 연속된 분수 확장에서 주기적 또는 규칙적 동작을 갖지 않습니다. 그럼에도 불구하고, 킨친(Khinchin)은 거의 모든(almost all) 실수 x에 대해, (i = 1, 2, 3, ...에 대해) a_i가 놀라운 속성을 가지고 있음을 입증했습니다: 그것들의 기하 평균(geometric mean)은 x의 값과 독립적인 상수 (킨친의 상수(Khinchin's constant), K ≈ 2.6854520010...로 알려져 있음)로의 경향이 있습니다. 폴 레비(Paul Lévy)는 거의 모든 실수의 연속된 분수 확장의 n번째 수렴의 분모의 n번째 근이 점근적 극한, 레비의 상수(Lévy's constant)로 알려진 대략적으로 3.27582에 접근함을 보였습니다. 로크스의 정리(Lochs' theorem)는 거의 모든 실수의 연속된 분수 확장의 n번째 수렴은 단지 n 십진 자리의 평균 정확도로 숫자를 결정합니다.

Applications

Square roots

일반화된 연속된 분수는 제곱근을 계산하는 것에 대해 방법에서 사용됩니다.

다음 항등식은

${\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}$

(1)

임의의 제곱근에 대해 일반화된 연속된 분수로 재귀를 통해 이어집니다:

${\sqrt {x}}=1+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\ddots }}}}}}}$

(2)

Pell's equation

연속된 분수는 펠의 방정식(Pell's equation)의 해에서 필수적인 역할을 합니다. 예를 들어, 임의의 양의 정수 p와 q, 및 비-제곱 n에 대해, 만약 p² − nq² = ±1이면, p/q가 √n에 대해 규칙적인 연속된 분수의 수렴임은 참입니다. 그 전환은 만약 √n에 대해 규칙적인 연속된 분수의 주기가 1이고, 일반적으로 주기가 펠의 방정식에 대한 해를 제공하는 수렴을 설명하면 유지됩니다.

Dynamical systems

연속된 분수는 역시 민코프스키의 물음 표식 함수(Minkowski's question mark function)와 모듈러 그룹(modular group) 감마를 갖는 망델브로 집합(Mandelbrot set)에서 보이는 페리 분수(Farey fractions)를 함께 묶는 동역학적 시스템(dynamical system)의 연구에서 역할을 합니다.

연속된 분수에 대해 역방향 미는 연산자(shift operator)는 가우스 맵(Gauss map)이라고 불리는 맵 h(x) = 1/x − ⌊1/x⌋이며, 이것은 연속된 분수 확장의 자릿수를 잘라냅니다: h([0; a₁, a₂, a₃, ...]) = [0; a₂, a₃, ...]. 이 맵의 전송 연산자(transfer operator)는 가우스–쿠즈민–비어징 연산자(Gauss–Kuzmin–Wirsing operator)라고 불립니다. 연속된 분수에서 자릿수 분포는 이 연산자의 영 번째 고유벡터(eigenvector)에 의해 제공되고, 가우스–쿠즈민 분포(Gauss–Kuzmin distribution)라고 불립니다.

Eigenvalues and eigenvectors

랭크쏘스 알고리듬(Lanczos algorithm)은 큰 희소 행렬의 고윳값과 고유벡터를 반복적으로 근사하기 위해 연속된 분수 확장을 사용합니다.

Networking applications

연속된 분수는 원천과 목적지 사이의 경로를 찾기 위해 무선 네트워크 가상화(network virtualization)에 대해 최적화 문제를 모델링하는 것에서 역시 사용되어 왔습니다.

Examples of rational and irrational numbers

Number	r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
123	ar	123
	ra	123
12.3	ar	12	3	3
	ra	12	37/3	123/10
1.23	ar	1	4	2	1	7
	ra	1	5/4	11/9	16/13	123/100
0.123	ar	0	8	7	1	2	5
	ra	0	1/8	7/57	8/65	23/187	123/1 000
ϕ = √5 + 1/2	ar	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	ra	1	2	3/2	5/3	8/5	13/8	21/13	34/21	55/34	89/55	144/89
−ϕ = −√5 + 1/2	ar	−2	2	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	ra	−2	−3/2	−5/3	−8/5	−13/8	−21/13	−34/21	−55/34	−89/55	−144/89	−233/144
√2	ar	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
	ra	1	3/2	7/5	17/12	41/29	99/70	239/169	577/408	1 393/985	3 363/2 378	8 119/5 741
1⁄√2	ar	0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2
	ra	0	1	2/3	5/7	12/17	29/41	70/99	169/239	408/577	985/1 393	2 378/3 363
√3	ar	1	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
	ra	1	2	5/3	7/4	19/11	26/15	71/41	97/56	265/153	362/209	989/571
1⁄√3	ar	0	1	1	2	1	2	1	2	1	2	1
	ra	0	1	1/2	3/5	4/7	11/19	15/26	41/71	56/97	153/265	209/362
√3⁄2	ar	0	1	6	2	6	2	6	2	6	2	6
	ra	0	1	6/7	13/15	84/97	181/209	1 170/1 351	2 521/2 911	16 296/18 817	35 113/40 545	226 974/262 087
3√2	ar	1	3	1	5	1	1	4	1	1	8	1
	ra	1	4/3	5/4	29/23	34/27	63/50	286/227	349/277	635/504	5 429/4 309	6 064/4 813
e	ar	2	1	2	1	1	4	1	1	6	1	1
	ra	2	3	8/3	11/4	19/7	87/32	106/39	193/71	1 264/465	1 457/536	2 721/1 001
π	ar	3	7	15	1	292	1	1	1	2	1	3
	ra	3	22/7	333/106	355/113	103 993/33 102	104 348/33 215	208 341/66 317	312 689/99 532	833 719/265 381	1 146 408/364 913	4 272 943/1 360 120
Number	r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

ra: 연속된 분수를 a_r까지 확장함으로써 얻어진 유리 근사

History

• 기원전 300년에, 유클리드의 원론(Euclid 's Elements)은 곱에 의한 것으로 연속된 분수를 생성하는 최대 공통 약수(greatest common divisor)에 대해 알고리듬을 포함합니다.
• 499년에, 아리아바타(Aryabhata)는 연속된 분수를 사용하는 불확정 방정식의 해를 포함합니다.
• 1572년에 라파엘 봄벨리(Rafael Bombelli), L'Algebra Opera – 연속된 분수와 관련된 제곱근의 추출에 대해 방법
• 1613년에 피에트로 카탈디(Pietro Cataldi), Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri – 연속된 분수에 대해 첫 번째 표기법

카탈디는 다음 분수가 가는 곳을 인식하는 점을 갖는 $a_{0}$ & ${\frac {n_{1}}{d_{1}\cdot }}$ & ${\frac {n_{2}}{d_{2}\cdot }}$ & ${\frac {n_{3}}{d_{3}\cdot }}$으로 연속된 분수를 나타냈습니다.

• 1695년에 존 월리스(John Wallis), Opera Mathematica – 용어 "연속된 분수(continued fraction)"의 도입
• 1737년에 레온하르트 오일러(Leonhard Euler), De fractionibus continuis dissertatio – 연속된 분수의 속성에 대한 최초의 그당시에-포괄적 설명을 제공하고, 숫자 e가 무리수라는 첫 번째 증명을 포함했습니다.
• 1748년에 오일러, Introductio in analysin infinitorum. Vol. I, Chapter 18 – 특정 형식의 연속 분수와 일반화된 무한 급수(infinite series)의 동등성을 입증, 모든 각 유리수가 유한 연속된 분수로 쓸 수 있음을 입증했었고, 무리수의 연속된 분수가 무한임을 입증했습니다.
• 1761년에 요한 램버트(Johann Lambert) – tan(x)에 대해 연속된 분수를 사용하여 π의 무리성의 첫 번째 증명을 제공했습니다.
• 1768년에 조제프-루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange) – 봄벨리의 것과 유사한 연속된 분수를 사용하여 펠의 방정식에 대한 일반적인 해를 제공했습니다.
• 1770년에 라그랑주 – 이차 무리수(quadratic irrationals)가 주기적 연속된 분수(periodic continued fraction)로 확장된다는 것을 입증했습니다.
• 1813년에 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss), Werke, Vol. 3, pp. 134–138 – 초기하 함수(hypergeometric function)를 포함하는 교묘한 항등식을 통해 매우 일반적인 복소-값 연속된 분수(complex-valued continued fraction)를 도출했습니다.
• 1828년에 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)는 이차 무리수에 대해 연속된 분수의 주기성을 입증했습니다.
• 1892년에 앙리 파데(Henri Padé)는 파데 근사(approximant)를 정의했습니다.
• 1972년에 빌 가스퍼(Bill Gosper) – 연속된 분수 산술에 대해 최초의 정확한 알고리듬.

See also

• Complete quotient
• Computing continued fractions of square roots
• Egyptian fraction
• Engel expansion
• Euler's continued fraction formula
• Generalized continued fraction
• Infinite compositions of analytic functions
• Infinite product
• Infinite series
• Iterated binary operation
• Mathematical constants by continued fraction representation
• Restricted partial quotients
• Stern–Brocot tree
• Śleszyński–Pringsheim theorem

References

• Siebeck, H. (1846). "Ueber periodische Kettenbrüche". J. Reine Angew. Math. Vol. 33. pp. 68–70.
• Heilermann, J. B. H. (1846). "Ueber die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche". J. Reine Angew. Math. Vol. 33. pp. 174–188.
• Magnus, Arne (1962). "Continued fractions associated with the Padé Table". Math. Z. Vol. 78. pp. 361–374.
• Chen, Chen-Fan; Shieh, Leang-San (1969). "Continued fraction inversion by Routh's Algorithm". IEEE Trans. Circuit Theory. Vol. 16, no. 2. pp. 197–202. doi:10.1109/TCT.1969.1082925.
• Gragg, William B. (1974). "Matrix interpretations and applications of the continued fraction algorithm". Rocky Mountain J. Math. Vol. 4, no. 2. p. 213. doi:10.1216/RJM-1974-4-2-213.
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• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766
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External links

• "Continued fraction", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• An Introduction to the Continued Fraction
• Linas Vepstas Continued Fractions and Gaps (2004) reviews chaotic structures in continued fractions.
• Continued Fractions on the Stern-Brocot Tree at cut-the-knot
• The Antikythera Mechanism I: Gear ratios and continued fractions
• Continued fraction calculator, WIMS.
• Continued Fraction Arithmetic Gosper's first continued fractions paper, unpublished. Cached on the Internet Archive's Wayback Machine
• Weisstein, Eric W. "Continued Fraction". MathWorld.
• Continued Fractions by Stephen Wolfram and Continued Fraction Approximations of the Tangent Function by Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project.
• OEIS sequence A133593 ("Exact" continued fraction for Pi)
• A view into "fractional interpolation" of a continued fraction {1; 1, 1, 1, ...}
• Best rational approximation through continued fractions