Coproduct

카테고리 이론(category theory)에서, 공동-곱(coproduct), 또는 카테고리적 합(categorical sum)은 집합(sets)의 서로소 합집합(disjoint union)과 토폴로지적 공간의 서로소 합집합, 그룹(groups)의 자유 곱(free product), 및 모듈과 벡터 공간의 직접 합(direct sum)을 예제로 포함하는 구성입니다. 대상의 가족의 공동-곱은 본질적으로 가조게서 각 대상이 사상(morphism)을 인정하는 "가장 구체적인" 대상입니다. 그것은 카테고리적 곱(categorical product)으로의 카테고리-이론적 이중 개념(dual notion)으로, 이는 그 정의가 곱과 동일하지만 모든 화살표가 반전됨을 의미합니다. 겉으로 보기에 이름과 표기법의 무해한 변경에도 불구하고, 공동곱은 전형적으로 곱과 크게 다를 수 있습니다.

Definition

$C$ 를 카테고리(category)라고 놓고 $X_{1}$ 과 $X_{2}$ 를 $C$ 의 대상이라고 놓습니다. 대상은 만약 다음 보편적 속성(universal property)을 만족시키는 사상 $i_{1}:X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}$ 과 $i_{2}:X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}$ 가 존재하면 $X_{1}\sqcup X_{2},$ 또는 $X_{1}\oplus X_{2},$ 또는 때때로 간단히 $X_{1}+X_{2}$ 라고 쓰는 $X_{1}$ 과 $X_{2}$ 의 공동곱이라고 불립니다: 임의의 대상 $Y$ 와 임의의 사상 $f_{1}:X_{1}\to Y$ 과 $f_{2}:X_{2}\to Y$ 에 대해, $f_{1}=f\circ i_{1}$ 과 $f_{2}=f\circ i_{2}$ 를 만족하는 고유한 사상 $f:X_{1}\sqcup X_{2}\to Y$ 가 존재합니다. 즉, 다음 다이어그램이 교환(commutes)합니다:

이 다이어그램을 교환하게 만드는 고유한 화살표는 $f_{1}\sqcup f_{2},$ $f_{1}\oplus f_{2},$ $f_{1}+f_{2},$ 또는 $\left[f_{1},f_{2}\right]$ 로 표시될 수 있습니다. 사상 $i_{1}$ 과 $i_{2}$ 는 정식의 단사(canonical injection)라고 불리지만, 그것들은 단사(injections) 또는 심지어 단사-사상(monic)일 필요가 없습니다.

공동곱의 정의는 집합 $J$ 에 의해 인덱스된 대상의 임의적인 가족(family)으로 확장될 수 있습니다. 가족 $\left\{X_{j}:j\in J\right\}$ 의 공동곱은 임의의 대상 $Y$ 와 사상 $f_{j}:X_{j}\to Y$ 의 임의의 모음에 대해, $f_{j}=f\circ i_{j}$ 를 만족하는 고유한 사상 $f:X\to Y$ 가 존재함을 만족하는 사상(morphisms) $i_{j}:X_{j}\to X$ 의 모음과 함께 대상입니다. 즉, 다음 다이어그램은 각 $j\in J$ 에 대해 교환(commutes)합니다:

가족 $\left\{X_{j}\right\}$ 의 공동-곱 $X$ 는 종종 $\coprod _{j\in J}X_{j}$ 또는 $\bigoplus _{j\in J}X_{j}$ 으로 표시됩니다.

때때로 사상 $f:X\to Y$ 은 개별 $f_{j}$ 에 대한 종속성을 나타내기 위해 $\coprod _{j\in J}f_{j}$ 로 표시될 수 있습니다.

Examples

집합의 카테고리(category of sets)의 공동곱은 단순히 포함 맵인 맵 $i_{j}$ 를 갖는 서로소 합집합(disjoint union)입니다. 직접 곱(direct products)과 달리, 다른 카테고리에서 공동곱은 집합에 대한 개념을 모두 명백하게 기반으로 두는 것은 아닌데, 왜냐하면 합집합이 연산을 보존하는 것에 관해 제대로 작동하지 않고 (예를 들어, 두 그룹의 합집합이 그룹일 필요는 없습니다), 따라서 다른 카테고리에서 공동곱은 범주는 서로 크게 다를 수 있기 때문입니다. 예를 들어, 자유 곱(free product)이라고 불리는 그룹의 카테고리(category of groups)에서 공동곱은 매우 복잡합니다. 다른 한편으로, 아벨 그룹의 카테고리에서 (그리고 벡터 공간에 대해서도 동일하게), 직접 합(direct sum)이라고 불리는 공동곱은 오직 유한하게(finitely) 많은 비-영 항을 가지는 직접 곱의 원소로 구성됩니다. (그것은 따라서 유한하게 많은 이수의 경우에서 직접 곱과 정확하게 일치합니다.)

교환 링(commutative ring) R이 주어지면, 교환 R-대수의 카테고리의 공동곱은 텐서 곱(tensor product)입니다. (비-교환) R-대수의 카테고리에서, 공동곱은 텐서 대수의 몫입니다 (결합 대수의 자유 곱을 참조하십시오).

토폴로지적 공간(topological spaces)의 경우에서, 공동곱은 그것들의 서로소 합집합 토폴로지를 갖는 서로소 합집합입니다. 즉, 그것은 놓여있는 집합의 서로소 합집합이고, 열린 집합(open sets)은 꽤 분명한 의미에서 각 공간에서 열려 있는 집합입니다. 호모토피 이론(homotopy theory)에서 기본인 점화 공간(pointed spaces)의 카테고리에서, 공동곱은 쐐기 합(wedge sum)입니다 (이는 공통 기준 점에서 기준 점을 갖는 공간의 모음을 결합하는 것입니다).

서로소 합집합의 개념은 위의 예에 은밀히 내포되어 있습니다: 아벨 그룹의 직접 합은 "거의" 서로소 합집합 (공통 영과 함께 모든 비-영 원소의 서로소 합집합)에 의해 생성된 그룹이며, 벡터 공간에 대해서도 유사합니다: 그 공간은 "거의" 서로소 합집합에 의해 스팬됩니다; 그룹을 위한 자유 곱은 서로 다른 집합의 두 원소가 교한할 수 없는 유사한 "거의 서로소" 합집합에서 모든 문자의 집합에 의해 생성됩니다. 이 패턴은 보편적 대수의 의미에서 임의의 다양체에 대해 유지됩니다.

짧은 맵을 갖는 바나흐 공간의 카테고리에서 공동곱은 $l 1$ 합이며, 이는 "거의 서로소" 합으로 쉽게 개념화될 수 없지만, 단위 공에 의해 거의 서로소로 생성된 단위 공이 보조인자입니다.^[1]^{[improve translation]}

포셋 카테고리(poset category)의 공동곱은 접합 연산(join operation)입니다.

Discussion

위에서 주어진 공동곱 구성은 실제로 카테고리 이론에서 공동-극한(colimit)의 특별한 경우입니다. 카테고리 $C$ 에서 공동곱은 이산 카테고리(discrete category) $J$ 에서 $C$ 로의 모든 함수자(functor)의 공동극한으로 정의될 수 있습니다. 일반적으로 모든 각 가족 $\lbrace X_{j}\rbrace$ 가 공동곱을 가질 것은 아니지만, 만약 그렇다면, 공동곱은 강력한 의미에서 고유합니다: 만약 $i_{j}:X_{j}\rightarrow X$ 와 $k_{j}:X_{j}\rightarrow Y$ 가 가족 $\lbrace X_{j}\rbrace$ 의 두 공동곱이면, (공동곱의 정의에 의해) 각 $j\in J$ 에 대해 $f\circ i_{j}=k_{j}$ 임을 만족하는 고유한 동형(isomorphism) $f:X\rightarrow Y$ 가 존재합니다.

임의의 보편적 속성(universal property)과 마찬가지로, 공동곱은 보편적 사상으로 이해될 수 있습니다. $\Delta :C\rightarrow C\times C$ 를 각 대상 $X$ 에 순서화된 쌍(ordered pair) $\left(X,X\right)$ 를 할당하고 각 사상 $f:X\rightarrow Y$ 에 쌍 $\left(f,f\right)$ 를 할당하는 대각 함수자(diagonal functor)라고 놓습니다. 그런-다음 $C$ 에서 공동곱 $X+Y$ 는 $C\times C$ 에서 대상 $\left(X,Y\right)$ 로부터 함수자 $\Delta$ 에 대한 보편적 사상에 의해 제공됩니다.

빈 집합(empty set)에 의해 인덱스된 공동곱 (즉, 빈 공동곱(empty coproduct))은 $C$ 에서 초기 대상(initial object)과 같습니다.

만약 $J$ 가 $J$ 로 인덱스된 가족에 대해 모든 공동곱이 존재함을 만족하는 집합이면, 공동곱이 함수자 $C^{J}\rightarrow C$ 로 바뀌도록 호환-되는 방식으로 곱을 선택할 수 있습니다. 가족 $\lbrace X_{j}\rbrace$ 의 공동곱은 그런-다음 종종 다음에 의해 표시됩니다:

\coprod _{j\in J}X_{j}

그리고 맵 $i_{j}$ 는 자연스러운 단사(natural injections)로 알려져 있습니다.

$\operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)$ 가 $C$ 에서 $U$ 로부터 $V$ 까지의 모든 사상의 집합 (즉, $C$ 에서 hom-set)을 나타내는 것으로 놓으면, 우리는 전단사(bijection)에 의해 제공된 자연스러운 동형(natural isomorphism)을 가집니다:

\operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)

이때 전단사는 다음 사상의 모든 각 튜플(tuple)을

(f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)

(집합(Set), 집합의 카테고리(category of sets)에서 곱, 이는 데카르트 곱(Cartesian product)이므로, 사상의 튜플입니다) 다음 사상으로 매핑합니다:

\coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).

이 맵이 전사(surjection)라는 것은 다이어그램의 교환성에서 따라옵니다: 모든 사상 $f$ 는 다음 튜플의 공동곱입니다:

(f\circ i_{j})_{j\in J}.

그것이 단사이라는 것은 그러한 맵의 고유성을 규정하는 보편적 구성에서 따라옵니다. 동형의 자연성은 역시 다이어그램의 결과입니다. 따라서 반변 hom-functor는 공동곱을 곱으로 변경합니다. 또 다른 방법으로 말하면, 반대 카테고리(opposite category) $C^{\operatorname {op} }$ 에서 집합(Set)로의 함수자로 보이는 hom-functor는 연속적입니다; 그것은 극한을 보존합니다 ( $C$ 에서 공동곱은 $C^{\operatorname {op} }$ 에서 곱입니다).

만약 $J$ 가 유한 집합, 말하자면 $J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace$ 이면, 대상 $X_{1},\ldots ,X_{n}$ 의 공동곱은 종종 $X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}$ 으로 표시됩니다. 모든 유한한 공동곱이 $C$ 에 존재하고, 공동곱 함수자가 위와 같이 선택되었고, 0은 빈 공동곱에 해당하는 $C$ 의 초기 대상(initial object)을 나타낸다고 가정합니다. 우리는 그런-다음 자연스러운 동형(natural isomorphisms)을 가집니다:

X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z

X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X

X\oplus Y\cong Y\oplus X.

이들 속성은 교환 모노이드(monoid)의 속성과 형식적으로 유사합니다; 유한한 공동곱을 갖는 카테고리는 대칭 모노이드 카테고리(monoidal category)의 예제입니다.

만약 카테고리가 영 대상(zero object) $Z$ 를 가지면, 우리는 고유한 사상 $X\rightarrow Z$ (왜냐하면 $Z$ 가 종료(terminal)이기 때문에), 따라서 사상 $X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y$ 을 가집니다. $Z$ 가 역시 초기이기 때문에, 우리는 이전 단락에서와 같이 정식의 동형 $Z\oplus Y\cong Y$ 을 가집니다. 우리는 따라서 사상 $X\oplus Y\rightarrow X$ 와 $X\oplus Y\rightarrow Y$ 를 가지며, 이를 통해 우리는 정식의 사상 $X\oplus Y\rightarrow X\times Y$ 을 추론합니다. 이것은 임의의 유한한 공동곱에서 해당하는 곱으로의 정식의 사상으로의 귀납법에 의해 확장될 수 있습니다. 이 사상은 일반적으로 동형일 필요가 없습니다; Grp에서 그것은 적절한 전사사상(epimorphism)이고 반면에 Set_* (점화 집합의 카테고리)에서 그것은 적절한 단사-사상(monomorphism)입니다. 임의의 전-덧셈 카테고리(preadditive category)에서, 이 사상은 동형이고 해당하는 대상은 이중-곱(biproduct)으로 알려져 있습니다. 모든 유한한 공동곱을 갖는 카테고리는 반-덧셈의 카테고리(semiadditive category)로 알려져 있습니다.