Undefined (mathematics)

수학(mathematics)에서, 용어 정의되지-않음(undefined)은 해석 또는 (다른 값을 가정하는 경향을 가지는 불확정 형식(indeterminante form)과 같은) 값이 할당하지 않은 표현을 참조하기 위해 종종 사용됩니다.^[1]^[2] 그 용어는 문맥에 따라 여러 다른 의미를 취할 수 있습니다. 예를 들어:

수학의 다양한 가지에서, 특정 개념은 원시 개념(primitive notion:근본 원리) (예를 들어, 기하학(geometry)에서 용어 "점", "직선" 및 "각도")으로 도입됩니다. 이들 용어는 다른 개념의 관점에서 정의되지 않기 때문에, 그들은 "정의되지-않은 용어"로 참조될 수 있을 것입니다.
함수(function)는 그의 도메인(domain) 밖의 점에서 "정의되지-않는" 것이라고 말합니다 — 예를 들어, 실수(real)-값 함수 $f(x)={\sqrt {x}}$ 는 음의 $x$ 에 대해 정의되지 않습니다 (즉, 그것은 음의 인수에 값을 할당하지 않습니다).
대수학(algebra)에서, 일부 산술(arithmetic) 연산은 그의 피연산자의 특정 값에 의미를 할당할 수 없을 것입니다 (예를 들어, 영에 의한 나눗셈(division by zero)). 그런 경우에서, 그런 피연산자를 포함하는 표현(expression)은 "정의되지-않음"으로 이름-짓습니다.^[3]

Undefined terms

고대 시대에서, 기하학자가 모든 각 용어를 정의하려고 시도했습니다. 예를 들어, 유클리드(Euclid)는 점(point)을 "부분을 가지지 않는 것"으로 정의했습니다. 현대 시대에서, 수학자들이 모든 각 단어를 정의하기 위한 시도는 필연적으로 순환 정의(circular definition)를 이끄는 것을 인식하고, 그러므로 ("점"과 같은) 일부 용어를 정의되지-않은 채 남겨둡니다 (자세한 것에 대해 원시 개념(primitive notion)을 참조하십시오).

이것 보다 추상적인 접근은 유익한 일반화를 허용합니다. 토폴로지(topology)에서 토폴로지적 공간(topological space)은 특정 속성이 부여된 점의 집합(set)으로 정의될 수 있지만, 일반적인 설정에서, 이들 "점"의 본성은 완전히 정의되지 않은 채 남겨집니다. 마찬가지로, 카테고리 이론(category theory)에서, 카테고리(category)는 "대상"과 "화살표"로 구성되며, 이것은 다시 원시적이고, 정의되지-않은 용어입니다. 이것은 그러한 추상적 수학 이론이 매우 다양한 구체적인 상황에 적용되는 것을 허용합니다.

In arithmetic

표현 0/0은, 영에 의한 나눗셈(division by zero)에서 설명한 것처럼, 산술에서 정의되지 않습니다 (같은 표현은 불확정 형식(indeterminate form)을 나타내기 위해 미적분학(calculus)에서 사용됩니다).

수학자들은 0⁰이 1과 같게 정의되거나, 정의되지 않은 채 남겨지는지 여부에 관한 다른 견해를 가집니다; 자세한 내용에 대해 영의 거듭제곱에 대한 영(Zero to the power of zero)을 참조하십시오.

Values for which functions are undefined

함수(function)가 정의되는 것에 대해 숫자의 집합은 함수의 도메인(domain)으로 불립니다. 만약 숫자가 함수의 도메인에 없으면, 함수는 해당 숫자에 대해 "정의되지-않는" 것이라고 말합니다. 두 공통적인 예제는 $x=0$ 에 대해 정의되지 않는 $f(x)={\frac {1}{x}}$ , 및 음의 $x$ 에 대해 (실수 시스템에서) 정의되지-않는 $f(x)={\sqrt {x}}$ 입니다.

In trigonometry

삼각법에서, 함수 $\tan \theta$ 와 $\sec \theta$ 는 모든 $\theta =180^{\circ }\left(n-{\frac {1}{2}}\right)$ 에 대해 정의되지 않지만, 함수 $\cot \theta$ 와 $\csc \theta$ 는 모든 $\theta =180^{\circ }(n)$ 에 대해 정의되지 않습니다.

In computer science

Notation using ↓ and ↑

계산-가능성 이론(computability theory)에서, 만약 $f$ 가 $S$ 위의 부분 함수(partial function)이고 $a$ 가 $S$ 의 원소이면, 이것은 $f(a)\downarrow$ 로 쓰이고, " $f(a)$ 는 정의되지 않음"으로 읽습니다.^[4]

만약 $a$ 가 $f$ 의 도메인 안에 없으면, 이것은 $f(a)\uparrow$ 로 쓰이고, " $f(a)$ 는 정의되지 않음"으로 읽습니다.

The symbols of infinity

해석학(analysis), 측정 이론(measure theory), 및 다른 수학 분야에서, 기호 $\infty$ 는, 그의 음수, $-\infty$ 와 함께 무한 유사-숫자를 나타내기 위해 자주 사용됩니다. 그 기호는 자체에 의해 잘-정의된 의미를 가지지 않지만, $\left\{a_{n}\right\}\rightarrow \infty$ 와 같은 표현은 발산 수열(divergent sequence)의 속기이며, 이것은 일부 점에서 임의의 주어진 실수보다 결국 더 커집니다.

기호 $\pm \infty$ 와 함께 표준 산술 연산을 수행하는 것은 정의되지 않습니다. 일부 확장은, 그럼에도 불구하고, 덧셈과 곱셈의 다음 관례를 정의합니다:

$x+\infty =\infty$ $\forall x\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ .
$-\infty +x=-\infty$ $\forall x\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}$ .
$x\cdot \infty =\infty$ $\forall x\in \mathbb {R} ^{+}$ .

$\infty$ 와 함께 덧셈과 곱셈의 분별없는 확장은 다음 경우에서 존재합니다:

$\infty -\infty$
$0\cdot \infty$ (비록 측정 이론(measure theory)에서, 이것은 종종 $0$ 으로 정의될지라도)
${\frac {\infty }{\infty }}$

자세한 내용에 대해 확장된 실수 직선(extended real number line)을 참조하십시오.

Singularities in complex analysis

복소수 해석학(complex analysis)에서, 정칙 함수(holomorphic function)가 정의되지 않는, 점 $z\in \mathbb {C}$ 는 특이점(singularity)으로 불립니다. 우리는 제거-가능한 특이점(removable singularities) (즉, 함수는 정칙적으로 $z$ 로 확장될 수 있습니다), 극점(poles) (즉, 함수는 유리형적으로(meromorphically) $z$ 로 확장될 수 있습니다), 및 본질적 특이점(essential singularities) (즉, $z$ 로 유리형 확장은 존재하지 않습니다) 사이를 구별합니다.

References

^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Indeterminate". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-15.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ Weisstein, Eric W. "Undefined". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-15.
^ "Undefined vs Indeterminate in Mathematics". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-12-15.
^ Enderton, Herbert B. (2011). Computability: An Introduction to Recursion Theory. Elseveier. pp. 3–6. ISBN 978-0-12-384958-8.