Degeneracy (mathematics)

수학(mathematics)에서, 퇴화 경우(degenerate case)는 클래스의 나머지 부분과 질적으로 다른 (및 보통 보다 더 단순한) 대상의 클래스의 극한하는 경우(limiting case)이고,^[1] 용어 퇴화(degeneracy)는 퇴화 경우가 되는 조건입니다.^[2]

합성 또는 구조화된 대상의 많은 클래스의 정의는 종종 부등식을 암시적으로 포함합니다. 예를 들어, 삼각형(triangle)의 각도(angle)와 변 길이는 양수로 가정됩니다. 이들 불평등 중 하나 또는 여러 개가 상등이 되는 극한하는 경우는 퇴화입니다. 삼각형의 경우에서, 우리는 만약 적어도 한 변의 길이 또는 각도가 영이면 퇴화 삼각형을 가집니다. 동등하게, 그것은 "선분"이 됩니다.^[3]

종종, 퇴화 경우는 대상 (또는 개체의 어떤 부분)의 보통의 차원(dimension) 또는 카디널리티(cardinality)에 대한 변경이 발생하는 예외적인 경우입니다. 예를 들어, 삼각형은 차원 2의 대상이고, 퇴화 삼각형은 그것의 차원을 일로 만드는 직선(line)에 포함됩니다.^[3] 이것은 원의 경우와 유사하며, 그것의 차원은 그것이 점으로 퇴화할 때 2에서 0으로 축소됩니다.^[1] 또 다른 예제로, 매개변수(parameter)에 의존하는 방정식의 시스템(system of equations)의 해 집합(solution set)은 일반적으로 고정된 카디널리티와 차원을 가지지만, 카디널리티 및/또는 차원은 퇴화 경우라고 불리는 일부 예외적인 값에 대해 다를 수 있습니다. 그러한 퇴화 경우에서, 그 해 집합은 퇴화라고 불립니다.

일부 합성 대상의 클래스에 대해, 퇴화 경우는 특별하게 연구된 속성에 따라 다릅니다. 특히, 대상의 클래스는 종종 방정식 시스템에 의해 정의되거나 특성화될 수 있습니다. 대부분의 시나리오에서, 주어진 대상의 클래스는 여러 다른 방정식의 시스템에 의해 정의될 수 있고, 이들 다른 방정식의 시스템은 같은 비-퇴화 경우를 특성화하는 동안 다른 퇴보 경우로 이어질 수 있습니다. 이것은 각 특정 상황에서 (만약 필요하다면) 그 개념이 널리 사용되고 정의된다는 사실에도 불구하고, 퇴화의 일반적인 정의가 없는 이유일 수 있습니다.

퇴화 경우는 따라서 그것을 비-일반(non-generic)으로 만드는 특별 특색을 가집니다. 어쨌든, 모든 비-일반 경우가 퇴화인 것은 아닙니다. 예를 들어, 직각 삼각형(right triangle), 이등변 삼각형(isosceles triangle), 및 등변 삼각형(equilateral triangle)은 비-일반이고 비-퇴화입니다. 사실, 퇴화 경우는 종종 대상 또는 일부 구성 공간(configuration space)에서 특이(singularities)에 해당합니다. 예를 들어, 원뿔 단면(conic section)이 퇴화인 것과 그것이 특이점 (예를 들어, 점, 직선, 교차 직선)을 가지는 것은 필요충분 조건입니다.^[4]

In geometry

Conic section

퇴화 원뿔형은 기약 곡선(irreducible curve)이 됨에 실패한 원뿔 단면(conic section) (차수 이의 다항 방정식(polynomial equation)으로 정의되는 이-차 평면 곡선(plane curve))입니다.

점(point)은 퇴화 원(circle), 즉 반지름 0을 갖는 원입니다.^[1]
직선(line)은 만약 포물선이 접 평면(tangent plane)에 놓이면 포물선(parabola)의 퇴화 경우입니다. 역 기하학(inversive geometry)에서, 직선은 무한 반지름을 갖는 원(circle)의 퇴화 경우입니다.
두 평행(parallel) 직선은 역시 퇴화 포물선을 형성합니다.
선분(line segment)은 반보조 축(semiminor axis)이 영으로 가고, 초점(foci)이 끝점으로 가고, 이심률(eccentricity)이 일로 가는 타원(ellipse)의 퇴화 경우로 보일 수 있습니다.
원은 이심률(eccentricity)이 0으로 접근하고 초점이 병합될 때 퇴화 타원으로 생각될 수 있습니다.^[1]
타원은 역시 단일 점으로 퇴화될 수 있습니다.
쌍곡선(hyperbola)은 공통 점근선(asymptote)으로 해당 직선을 갖는 쌍곡선의 가족을 통해 한 점에서 교차하는 두 선으로 퇴화될 수 있습니다.

Triangle

퇴화 삼각형(triangle)은 공선형(collinear) 꼭짓점과 영 넓이를 가지고,^[3] 따라서 두 번 덮인 선분과 일치합니다 (만약 셋의 꼭짓점이 모두 같지 않으면; 그렇지 않으면, 삼각형이 단일 점으로 퇴화합니다). 만약 셋의 꼭짓점이 쌍별로 구별되면, 그것은 둘의 0° 각도와 하나의 180° 각도를 가집니다. 만약 두 꼭짓점이 같으면, 그것은 하나의 0° 각도와 둘의 비-정의된 각도를 가집니다.

Rectangle

선분은 길이 0의 한 변을 가지는 직사각형(rectangle)의 퇴화 경우입니다.
임의의 비-빈 부분집합 $S\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}$ 에 대해, 경계진, 축-정렬된 퇴화 직사각형이 있습니다: $R\triangleq \left\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:x_{i}=c_{i}\ ({\text{for }}i\in S){\text{ and }}a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\ ({\text{for }}i\notin S)\right\}$ 여기서 $\mathbf {x} \triangleq \left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right]$ 이고 $a i$ , $b i$ , $c i$ 는 (모든 $i$ 에 대해 $a i \leq b i$ 를 갖는) 상수입니다. $R$ 의 퇴화 변의 숫자는 부분집합 $S$ 의 원소의 숫자입니다. 따라서, 퇴화 "변"이 하나만큼 적거나 $n$ 만큼 많을 수 있습니다 (이 경우에서 $R$ 은 한원소 점으로 줄어듭니다).

Convex polygon

볼록 다각형(convex polygon)은 만약 적어도 둘의 연속 변이 적어도 부분적으로 일치하거나, 적어도 한 변이 영 길이를 가지거나, 적어도 하나의 각도가 180°이면 퇴화입니다. 따라서 n 변의 퇴화 볼록 다각형은 더 적은 변을 갖는 다각형처럼 보입니다. 삼각형의 경우에서, 이 정의는 위에 주어져 왔던 정의와 일치합니다.

Convex polyhedron

볼록 다면체(convex polyhedron)는 만약 둘의 인접한 패싯이 공통-평면(coplanar)에 있거나 둘의 가장자리가 정렬되면 퇴화입니다. 사면체(tetrahedron)의 경우에서, 이것은 모든 그것의 꼭짓점(vertices)이 같은 평면(plane)에 놓여, 그것에 영의 부피(volume)를 제공한다고 말하는 것과 동등합니다.

Standard torus

자체-교차가 허용되는 문맥에서, 구(sphere)는 회전의 축이 생성하는 원의 외부가 아니라 중심을 통과하는 퇴화 표준 토러스(standard torus)입니다.
토러스는 그것의 보조 반지름이 0으로 갈 때 원으로 퇴화됩니다.

Sphere

구의 반지름이 영이 갈 때, 영 부피의 결과하는 퇴화 구는 점(point)입니다.

Other

다른 예제에 대해 일반적인 위치(general position)를 참조하십시오.

Elsewhere

단일 점을 포함하는 집합은 퇴화 연속체(continuum)입니다.
이각형(digon)과 일각형(monogon)과 같은 대상은 다각형(polygon)의 퇴화 경우로 보일 수 있습니다: 일반적인 추상 수학적 의미에서 유효하지만, 다각형의 원래 유클리드 개념의 일부는 아닙니다.
오직 하나의 값을 취할 수 있는 확률 변수(random variable)는 퇴화 분포(degenerate distribution)를 가집니다; 만약 해당 값이 실수 0이면, 그것의 확률 밀도는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)입니다.
다항식(polynomial)의 근(root)은 때때로 만약 그것이 중복 근(multiple root)을 가지면 퇴화라고 말해지는데, 왜냐하면 일반적으로 $n$ 번째 차수 다항식의 $n$ 근이 모두 구별되기 때문입니다.^[1] 이 사용법은 고유문제로 이어집니다: 퇴화 고윳값(eigenvalue)은 특성 다항식(characteristic polynomial)의 다중 근입니다.
양자 역학(quantum mechanics)에서, 해밀턴 연산자(Hamiltonian operator)의 고윳값에서 임의의 그러한 종복성(multiplicity)은 퇴화 에너지 수준(degenerate energy level)을 발생시킵니다. 보통 임의의 그러한 퇴화는 시스템에서 일부 놓여있는 대칭(symmetry)을 나타냅니다.

References

^ ^a ^b ^c ^d ^e Weisstein, Eric W. "Degenerate". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-29.
^ "Definition of DEGENERACY". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-11-29.
^ ^a ^b ^c "Mathwords: Degenerate". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.
^ "Mathwords: Degenerate Conic Sections". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.

[:1-1] Weisstein, Eric W. "Degenerate". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-29.

[2] "Definition of DEGENERACY". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-11-29.

[:2-3] "Mathwords: Degenerate". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.

[4] "Mathwords: Degenerate Conic Sections". www.mathwords.com. Retrieved 2019-11-29.

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