함수
도함수
sin
(
x
)
{\displaystyle \sin(x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
−
sin
(
x
)
{\displaystyle -\sin(x)}
tan
(
x
)
{\displaystyle \tan(x)}
sec
2
(
x
)
{\displaystyle \sec ^{2}(x)}
cot
(
x
)
{\displaystyle \cot(x)}
−
csc
2
(
x
)
{\displaystyle -\csc ^{2}(x)}
sec
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)}
sec
(
x
)
tan
(
x
)
{\displaystyle \sec(x)\tan(x)}
csc
(
x
)
{\displaystyle \csc(x)}
−
csc
(
x
)
cot
(
x
)
{\displaystyle -\csc(x)\cot(x)}
arcsin
(
x
)
{\displaystyle \arcsin(x)}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arccos
(
x
)
{\displaystyle \arccos(x)}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arctan
(
x
)
{\displaystyle \arctan(x)}
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}
arccot
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} (x)}
−
1
x
2
+
1
{\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}}
arcsec
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec} (x)}
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
arccsc
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} (x)}
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
삼각 함수의 미분화 (differentiation of trigonometric functions )는 삼각 함수(trigonometric function) 의 도함수(derivative) , 또는 변수에 관한 그의 변화율을 찾는 수학적 과정입니다. 예를 들어, 사인 함수의 도함수는 sin′(a ) = cos(a )로 쓰이며, 특정 각도 x = a 에서 sin(x )의 변화율이 해당 각도의 코사인에 의해 제공됨을 의미합니다.
원형 삼각 함수의 모든 도함수는 tan(x ) = sin(x )/cos(x )와 같은 함수에 적용된 몫 규칙(quotient rule) 을 수단으로 sin(x )와 cos(x )의 도함수로부터 구할 수 있습니다. 이들 도함수를 알면, 역 삼각 함수(inverse trigonometric functions) 의 도함수는 암시적 미분화(implicit differentiation) 를 사용하여 구해집니다.
Derivatives of trigonometric functions and their inverse functions
d
d
x
sin
(
x
)
=
cos
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}
d
d
x
cos
(
x
)
=
−
sin
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}
d
d
x
tan
(
x
)
=
(
sin
(
x
)
cos
(
x
)
)
′
=
cos
2
(
x
)
+
sin
2
(
x
)
cos
2
(
x
)
=
1
cos
2
(
x
)
=
sec
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)}
d
d
x
cot
(
x
)
=
(
cos
(
x
)
sin
(
x
)
)
′
=
−
sin
2
(
x
)
−
cos
2
(
x
)
sin
2
(
x
)
=
−
1
sin
2
(
x
)
=
−
csc
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot(x)=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}={\frac {-1}{\sin ^{2}(x)}}=-\csc ^{2}(x)}
d
d
x
sec
(
x
)
=
(
1
cos
(
x
)
)
′
=
sin
(
x
)
cos
2
(
x
)
=
1
cos
(
x
)
⋅
sin
(
x
)
cos
(
x
)
=
sec
(
x
)
tan
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}\cdot {\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)}
d
d
x
csc
(
x
)
=
(
1
sin
(
x
)
)
′
=
−
cos
(
x
)
sin
2
(
x
)
=
−
1
sin
(
x
)
⋅
cos
(
x
)
sin
(
x
)
=
−
csc
(
x
)
cot
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc(x)=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}\cdot {\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)}
d
d
x
arcsin
(
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
arccos
(
x
)
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
arctan
(
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}
d
d
x
arccot
(
x
)
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mbox{arccot}}(x)={\frac {-1}{1+x^{2}}}}
d
d
x
arcsec
(
x
)
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mbox{arcsec}}(x)={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
d
d
x
arccsc
(
x
)
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mbox{arccsc}}(x)={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
.
Proofs of derivatives of trigonometric functions Limit of sin(θ)/θ as θ tends to 0 Circle, centre O , radius 1
오른쪽 그림은 중심 O 와 반지름 r = 1을 갖는 원을 보여줍니다. 두 반지름 OA 와 OB 는 θ 라디안의 호를 만듭니다. 우리는 θ 가 영으로 경향일 때 극한을 고려하므로, 우리는 θ 가 작은 양수, 즉 첫 번째 사분면에서 0 < θ < ½ π라고 가정할 수 있습니다.
그림에서, R 1 을 삼각형 OAB , R 2 를 원형 부채꼴(circular sector) OAB , 및 R 3 를 삼각형 OAC 로 놓습니다. 삼각형 OAB 의 넓이 는 다음입니다:
A
r
e
a
(
R
1
)
=
1
2
|
O
A
|
|
O
B
|
sin
θ
=
1
2
sin
θ
.
{\displaystyle \mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.}
원형 부채꼴 OAB 의 넓이 는
A
r
e
a
(
R
2
)
=
1
2
θ
{\displaystyle \mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta }
OAC 의 넓이는 다음에 의해 제공됩니다:
A
r
e
a
(
R
3
)
=
1
2
|
O
A
|
|
A
C
|
=
1
2
tan
θ
.
{\displaystyle \mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}
각 영역은 다음 것을 포함하므로, 우리는 다음을 가집니다:
Area
(
R
1
)
<
Area
(
R
2
)
<
Area
(
R
3
)
⟺
1
2
sin
θ
<
1
2
θ
<
1
2
tan
θ
.
{\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}
게다가, 첫 번째 사분면에서 sin θ > 0 이므로, 우리는 ½ sin θ 를 통해 나눌 수 있으며, 다음을 제공합니다:
1
<
θ
sin
θ
<
1
cos
θ
⟹
1
>
sin
θ
θ
>
cos
θ
.
{\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}
마지막 단계에서 우리는 세 양의 항의 역수를 취하여, 부등식을 거꾸로 뒤집습니다.
Squeeze: The curves y = 1y = cos θ y = sin(θ )/θ 우리는 0 < θ < ½ π에 대해, 양 sin(θ )/θ 은 항상 1보다 작고 항상 cos(θ)보다 크다는 결론을 내립니다. 따라서, θ 가 0에 가까워짐에 따라, sin(θ )/θ 는 높이 1에서 천장과 높이 cos θ 에서 바닥 사이에서 "조임된(squeezed)" 것이며, 이것은 1을 향해 올라갑니다; 따라서 sin(θ )/θ 는 θ 가 양의 방향에서 0으로 경향일 때 1로 경향이어야 합니다:
lim
θ
→
0
+
sin
θ
θ
=
1
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}
θ 가 작은 음수 –½ π < θ < 0인 경우에 대해, 우리는 사인이 홀수 함수(odd function) 라는 사실을 사용합니다.
lim
θ
→
0
−
sin
θ
θ
=
lim
θ
→
0
+
sin
(
−
θ
)
−
θ
=
lim
θ
→
0
+
−
sin
θ
−
θ
=
lim
θ
→
0
+
sin
θ
θ
=
1
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}
Limit of (cos(θ)-1)/θ as θ tends to 0 마지막 섹션은 상대적으로 쉽게 이 새로운 극한을 계산하는 것을 활성화합니다. 이것은 간단한 조작을 사용함으로써 행해집니다. 이 계산에서, θ 의 부호는 중요하지 않습니다.
lim
θ
→
0
cos
θ
−
1
θ
=
lim
θ
→
0
(
cos
θ
−
1
θ
)
(
cos
θ
+
1
cos
θ
+
1
)
=
lim
θ
→
0
cos
2
θ
−
1
θ
(
cos
θ
+
1
)
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}
cos2 θ – 1 = –sin2 θ , 곱의 극한이 극한의 곱이라는 사실, 및 이전 섹션으로부터 결과 극한을 사용하여, 우리는 다음임을 찾습니다:
lim
θ
→
0
cos
θ
−
1
θ
=
lim
θ
→
0
−
sin
2
θ
θ
(
cos
θ
+
1
)
=
(
−
lim
θ
→
0
sin
θ
θ
)
(
lim
θ
→
0
sin
θ
cos
θ
+
1
)
=
(
−
1
)
(
0
2
)
=
0
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}
Limit of tan(θ)/θ as θ tends to 0 사인(sine) 함수에 대한 극한, 탄젠트 함수가 홀수 함수, 및 곱의 극한이 극한의 곱이라는 사실을 사용하여, 우리는 다음임을 찾습니다:
lim
θ
→
0
tan
θ
θ
=
(
lim
θ
→
0
sin
θ
θ
)
(
lim
θ
→
0
1
cos
θ
)
=
(
1
)
(
1
)
=
1
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}
Derivative of the sine function 우리는 극한 정의(limit definition) 로부터 사인 함수(sine function) 의 도함수를 계산합니다:
d
d
θ
sin
θ
=
lim
δ
→
0
sin
(
θ
+
δ
)
−
sin
θ
δ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}
각도 덧셈 공식(angle addition formula) sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α 을 사용하여, 우리는 다음을 가집니다:
d
d
θ
sin
θ
=
lim
δ
→
0
sin
θ
cos
δ
+
sin
δ
cos
θ
−
sin
θ
δ
=
lim
δ
→
0
(
sin
δ
δ
cos
θ
+
cos
δ
−
1
δ
sin
θ
)
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}
사인(sine) 과 코사인(cosine) 함수에 대해 극한을 사용하여:
d
d
θ
sin
θ
=
(
1
)
cos
θ
+
(
0
)
sin
θ
=
cos
θ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}
Derivative of the cosine function From the definition of derivative 우리는 다시 극한 정의로부터 코사인 함수(cosine function) 의 도함수를 계산합니다:
d
d
θ
cos
θ
=
lim
δ
→
0
cos
(
θ
+
δ
)
−
cos
θ
δ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}
각도 덧셈 공식 cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β 을 사용하여, 우리는 다음을 가집니다:
d
d
θ
cos
θ
=
lim
δ
→
0
cos
θ
cos
δ
−
sin
θ
sin
δ
−
cos
θ
δ
=
lim
δ
→
0
(
cos
δ
−
1
δ
cos
θ
−
sin
δ
δ
sin
θ
)
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}
사인(sine) 과 코사인(cosine) 함수에 대해 극한을 사용하여:
d
d
θ
cos
θ
=
(
0
)
cos
θ
−
(
1
)
sin
θ
=
−
sin
θ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}
From the chain rule 체인 규칙으로부터 코사인 함수의 도함수를 계산하기 위해, 먼저 다음 세 사실을 관찰하십시오:
cos
θ
=
sin
(
π
2
−
θ
)
{\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
sin
θ
=
cos
(
π
2
−
θ
)
{\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
d
d
θ
sin
θ
=
cos
θ
{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }
첫 번째와 두 번째는 삼각 항등식(trigonometric identities) 이고, 세 번째는 위에 입증되었습니다. 이들 세 사실을 사용하여, 우리는 다음을 쓸 수 있습니다,
d
d
θ
cos
θ
=
d
d
θ
sin
(
π
2
−
θ
)
{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
우리는 체인 규칙(chain rule) 을 사용하여 이것을 미분할 수 있습니다.
f
(
x
)
=
sin
x
,
g
(
θ
)
=
π
2
−
θ
{\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta }
d
d
θ
f
(
g
(
θ
)
)
=
f
′
(
g
(
θ
)
)
⋅
g
′
(
θ
)
=
cos
(
π
2
−
θ
)
⋅
(
0
−
1
)
=
−
sin
θ
{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta }
그러므로, 우리는 다음임을 입증했습니다:
d
d
θ
cos
θ
=
−
sin
θ
{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta }
Derivative of the tangent function From the definition of derivative 탄젠트 함수(tangent function) tan θ 의 도함수를 계산하기 위해, 우리는 첫 번째 원리(first principles) 를 사용합니다. 정의에 의해:
d
d
θ
tan
θ
=
lim
δ
→
0
(
tan
(
θ
+
δ
)
−
tan
θ
δ
)
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}
잘-알려진 각도 공식 tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) 을 사용하여, 우리는 다음을 가집니다:
d
d
θ
tan
θ
=
lim
δ
→
0
[
tan
θ
+
tan
δ
1
−
tan
θ
tan
δ
−
tan
θ
δ
]
=
lim
δ
→
0
[
tan
θ
+
tan
δ
−
tan
θ
+
tan
2
θ
tan
δ
δ
(
1
−
tan
θ
tan
δ
)
]
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}
곱의 극한이 극한의 곱이라는 사실을 사용하여:
d
d
θ
tan
θ
=
lim
δ
→
0
tan
δ
δ
×
lim
δ
→
0
(
1
+
tan
2
θ
1
−
tan
θ
tan
δ
)
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}
탄젠트(tangent) 함수에 대해 극한, 및 tan δ 는 δ 가 0으로 경향일 때 0으로 경향이라는 사실을 사용하여:
d
d
θ
tan
θ
=
1
×
1
+
tan
2
θ
1
−
0
=
1
+
tan
2
θ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}
우리는 즉시 다음임을 알 수 있습니다:
d
d
θ
tan
θ
=
1
+
sin
2
θ
cos
2
θ
=
cos
2
θ
+
sin
2
θ
cos
2
θ
=
1
cos
2
θ
=
sec
2
θ
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}
From the quotient rule 우리는 몫 규칙(quotient rule) 을 사용하여 탄젠트 함수의 도함수를 역시 계산할 수 있습니다.
d
d
θ
tan
θ
=
d
d
θ
sin
θ
cos
θ
=
(
sin
θ
)
′
⋅
cos
θ
−
sin
θ
⋅
(
cos
θ
)
′
cos
2
θ
=
cos
2
θ
+
sin
2
θ
cos
2
θ
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}
분자는 피타고라스 항등식(Pythagorean identity) 에 의해 1로 단순화될 수 있으며, 다음을 제공합니다:
1
cos
2
θ
=
sec
2
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }
그러므로,
d
d
θ
tan
θ
=
sec
2
θ
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }
Proofs of derivatives of inverse trigonometric functions 다음 도함수는 우리가 도함수를 취하기를 원하는 역 삼각 함수(inverse trigonometric function) 와 같은 변수(variable) y 를 설정함으로써 구해집니다. 암시적 미분화(implicit differentiation) 를 사용하고 그런-다음 dy /dx 에 대해 풀면, 역함수의 도함수는 y 의 관점에서 구해집니다. dy /dx 를 다시 x 의 관점으로 되게 변환하기 위해, 우리는 단위 원 위에 참조 삼각형을 그릴 수 있으며, θ 를 y 로 놓습니다. 피타고라스 정리(Pythagorean theorem) 와 정규 삼각 함수의 정의를 사용하여, 우리는 x 의 관점에서 dy /dx 를 마침내 표현할 수 있습니다.
Differentiating the inverse sine function 우리는 다음을 놓습니다:
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x\,\!}
여기서
−
π
2
≤
y
≤
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}
그런-다음
sin
y
=
x
{\displaystyle \sin y=x\,\!}
양쪽 변에
x
{\displaystyle x}
d
d
x
sin
y
=
d
d
x
x
{\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}
cos
y
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}
위의 것에서
cos
y
=
1
−
sin
2
y
{\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}
1
−
sin
2
y
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}
위의 것에서
x
=
sin
y
{\displaystyle x=\sin y}
1
−
x
2
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}
d
y
d
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Differentiating the inverse cosine function 우리는 다음을 놓습니다:
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x\,\!}
여기서
0
≤
y
≤
π
{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
그런-다음
cos
y
=
x
{\displaystyle \cos y=x\,\!}
양쪽 변에
x
{\displaystyle x}
d
d
x
cos
y
=
d
d
x
x
{\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}
−
sin
y
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1}
위의 것에서
sin
y
=
1
−
cos
2
y
{\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!}
−
1
−
cos
2
y
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}
위의 것에서
x
=
cos
y
{\displaystyle x=\cos y\,\!}
−
1
−
x
2
⋅
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}
d
y
d
x
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
Differentiating the inverse tangent function 우리는 다음을 놓습니다:
y
=
arctan
x
{\displaystyle y=\arctan x\,\!}
여기서
−
π
2
<
y
<
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}
그런-다음
tan
y
=
x
{\displaystyle \tan y=x\,\!}
양쪽 변에
x
{\displaystyle x}
d
d
x
tan
y
=
d
d
x
x
{\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}
왼쪽 변:
d
d
x
tan
y
=
sec
2
y
⋅
d
y
d
x
=
(
1
+
tan
2
y
)
d
y
d
x
{\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}}
오른쪽 변:
d
d
x
x
=
1
{\displaystyle {d \over dx}x=1}
그러므로,
(
1
+
tan
2
y
)
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}
위의 것에서
x
=
tan
y
{\displaystyle x=\tan y\,\!}
(
1
+
x
2
)
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}
d
y
d
x
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
Differentiating the inverse cotangent function 우리는 다음을 놓습니다:
y
=
arccot
x
{\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}
여기서
0
<
y
<
π
{\displaystyle 0<y<\pi }
cot
y
=
x
{\displaystyle \cot y=x}
양쪽 변에
x
{\displaystyle x}
d
d
x
cot
y
=
d
d
x
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}
왼쪽 변:
d
d
x
cot
y
=
−
csc
2
y
⋅
d
y
d
x
=
−
(
1
+
cot
2
y
)
d
y
d
x
{\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}}
오른쪽 변:
d
d
x
x
=
1
{\displaystyle {d \over dx}x=1}
그러므로,
−
(
1
+
cot
2
y
)
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}
x
=
cot
y
{\displaystyle x=\cot y}
−
(
1
+
x
2
)
d
y
d
x
=
1
{\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}
d
y
d
x
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
Differentiating the inverse secant function Using implicit differentiation 다음을 놓습니다
y
=
arcsec
x
|
x
|
≥
1
{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \ |x|\geq 1}
그런-다음
x
=
sec
y
y
∈
[
0
,
π
2
)
∪
(
π
2
,
π
]
{\displaystyle x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}
d
x
d
y
=
sec
y
tan
y
=
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}
(위의 표현에서 절댓값은 y의 구간에서 시컨트와 탄젠트의 곱이 항상 비-음이기 때문에 필요하지만, 제곱근
x
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}
d
y
d
x
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Using the chain rule 대안적으로, 아크시컨트의 도함수는 체인 규칙(chain rule) 을 사용하여 아크코사인의 도함수로부터 유도될 수 있습니다.
다음을 놓습니다:
y
=
arcsec
x
=
arccos
(
1
x
)
{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}
여기서
|
x
|
≥
1
{\displaystyle |x|\geq 1}
y
∈
[
0
,
π
2
)
∪
(
π
2
,
π
]
{\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}
그런-다음, 체인 규칙을
arccos
(
1
x
)
{\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}
d
y
d
x
=
−
1
1
−
(
1
x
)
2
⋅
(
−
1
x
2
)
=
1
x
2
1
−
1
x
2
=
1
x
2
x
2
−
1
x
2
=
1
x
2
x
2
−
1
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Differentiating the inverse cosecant function Using implicit differentiation 다음을 놓습니다:
y
=
arccsc
x
|
x
|
≥
1
{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \ |x|\geq 1}
그런-다음
x
=
csc
y
y
∈
[
−
π
2
,
0
)
∪
(
0
,
π
2
]
{\displaystyle x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
d
x
d
y
=
−
csc
y
cot
y
=
−
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}
(표현에서 절댓값은 y의 구간에서 코시컨트와 코탄젠트의 곱이 항상 비-음수이기 때문에 필요하지만, 제곱근
x
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}
d
y
d
x
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Using the chain rule 대안적으로, 아크코시컨트의 도함수는 체인 규칙(chain rule) 을 사용하여 아크코사인의 도함수로부터 유도될 수 있습니다.
다음을 놓습니다:
y
=
arccsc
x
=
arcsin
(
1
x
)
{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}
여기서
|
x
|
≥
1
{\displaystyle |x|\geq 1}
y
∈
[
−
π
2
,
0
)
∪
(
0
,
π
2
]
{\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
그런-다음, 체인 규칙을
arcsin
(
1
x
)
{\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}
d
y
d
x
=
1
1
−
(
1
x
)
2
⋅
(
−
1
x
2
)
=
−
1
x
2
1
−
1
x
2
=
−
1
x
2
x
2
−
1
x
2
=
−
1
x
2
x
2
−
1
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
See also References
Bibliography
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d296903d5dd1325c753b9fd893df4f3bbc34aaf1)
![{\displaystyle x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b42f4fa17d2b4c21b0ae845801138a0b3f120c)
![{\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf2556cec37bbe40f88711c88fe51fe767cb390)
![{\displaystyle x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cda0610f5b82dac4c3e241ea5f6f64e1d8f690)
![{\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867819ffe66500464361cfb300742fe12940cd6c)
