Direct product

수학(mathematics)에서, 우리는 종종 이미 알려진 대상의 직접 곱(direct product)을 정의하여 새로운 것을 제공할 수 있습니다. 이것은 곱 집합 위에 적절하게 정의된 구조와 함께 놓여있는 집합(sets)의 데카르트 곱(Cartesian product)을 일반화합니다. 보다 추상적으로, 우리는 이들 개념을 형식화하는 카테고리 이론에서 곱(product in category theory)에 대해 이야기합니다.

예는 집합, 그룹(groups, 아래 설명됨), 링(rings), 및 기타 대수적 구조(algebraic structures)의 곱입니다. 토폴로지적 공간(topological spaces)의 곱은 또 다른 예제입니다.^{[dubious – discuss]}

역시 직접 합(direct sum)이 있습니다 – 일부 영역에서 이것은 상호-교환적으로 사용되고, 반면에 다른 영역에서 그것은 다른 개념입니다.

Examples

만약 우리가 $\mathbb {R}$ 을 실수의 집합으로 생각하면, 직접 곱 $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ 은 단지 데카르트 곱 $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ 입니다.
만약 $\mathbb {R}$ 을 덧셈 아래에서 실수의 그룹(group)으로 생각하면, 직접 곱 $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ 은 여전히 그것의 놓여있는 집합으로 $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ 을 가집니다. 이 예제와 이전 예제의 차이점은 $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ 이 이제 그룹이고, 따라서 우리는 그것들의 원소를 더하기 위한 방법도 설명해야 한다는 것입니다. 이것은 $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ 를 정의함으로써 수행됩니다.
만약 우리가 $\mathbb {R}$ 을 실수의 링(ring)으로 생각하면, 직접 곱 $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ 은 다시 $\{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}$ 를 그것의 놓여있는 집합으로 가집니다. 링 구조는 $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ 에 의해 정의되는 덧셈과 $(a,b)(c,d)=(ac,bd)$ 에 의해 정의되는 곱셈으로 구성됩니다.
비록 링 $\mathbb {R}$ 이 필드(field)이지만, 원소 $(1,0)$ 가 곱셈의 역원(multiplicative inverse)을 가지지 않기 때문에 $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ 은 필드가 아닙니다.

유사한 방식으로, 우리는 예를 들어 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$ 과 같이 유한하게 많은 대수적 구조의 직접 곱에 대해 이야기할 수 있습니다. 이것은 직접 곱이 동형 까지 결합적(associative)이라는 사실에 의존합니다. 즉, 같은 종류의 임의의 대수적 구조 $A,$ $B,$ 및 $C$ 에 대해 $(A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)$ 입니다. 직접 곱은 역시 동형까지 교환적(commutative)입니다, 즉 같은 종류의 임의의 대수적 구조 $A$ 와 $B$ 에 대해 $A\times B\cong B\times A$ 입니다. 우리는 무한하게 많은 대수적 구조의 직접 곱에 대해서도 이야기할 수 있습니다; 예를 들어 우리는 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb$ 로 쓰는 $\mathbb {R}$ 의 셀-수-있게(countably) 많은 복사본의 직접 곱을 취할 수 있습니다.

Group direct product

그룹 이론에서, 우리는 두 그룹 $(G,\circ )$ 와 $(H,\cdot )$ 의 직접 곱을 정의할 수 있으며, $G\times H$ 로 표시됩니다. 덧셈적으로 쓰인 아벨 그룹에 대해, 그것은 역시 $G\oplus H$ 로 표시되는 두 그룹의 직접 합(direct sum of two groups)이라고 불릴 수 있습니다.

그것은 다음처럼 정의됩니다:

새로운 그룹의 원소의 집합(set)은 $G$ 와 $H$ 의 원소의 집합의 데카르트 곱, 즉 $\{(g,h):g\in G,h\in H\}$ 입니다;
이들 원소에 대해 원소-별로 정의된 연산을 넣습니다: $(g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)$

$(G,\circ )$ 는 $(H,\cdot )$ 와 같을 수 있음을 주목하십시오.

이 구성은 새로운 그룹을 제공합니다. 그것은 (형식 $(g,1)$ 의 원소로 주어진) $G$ 와 동형적인 정규 부분그룹(normal subgroup)을 가지고, (원소 $(1,h)$ 로 구성하는) $H$ 와 동형적인 것을 가집니다.

그 반대도 유지됩니다. 다음과 같은 인식 정리가 있습니다: 만약 그룹 $K$ 가 $K=GH$ 이고 $G$ 와 $H$ 의 교집합이 오직 항등원을 포함함을 만족하는 두 개의 정규 부분-그룹 $G$ 와 $H$ 를 포함하면, $K$ 는 $G\times H$ 와 동형적입니다. 하나의 하위그룹만 정규임을 요구하는 이들 조건의 완화는 반직접 곱(semidirect product)을 제공합니다.

예제로, 차수 2의 (동형까지(up to)) 고유한 그룹, $C^{2}$ 의 두 복사본: 말하자면 $\{1,a\}$ 와 $\{1,b\}$ 를 $G$ 와 $H$ 로 취합니다. 그런-다음 $C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\}$ 이며, 원소별로 연산을 가집니다. 예를 들어, $(1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b)$ 이고 $(1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1)$ 입니다.

직접 곱과 함께, 우리는 일부 자연스러운 그룹 준동형(group homomorphisms)을 무료(free)로 얻습니다: 다음에 의해 정의된 투영 맵은 ${\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}$ 좌표 함수(coordinate functions)라고 불립니다.

역시, 직접 곱에 대한 모든 각 준동형 $f$ 는 그것의 성분 함수 $f_{i}=\pi _{i}\circ f$ 에 의해 전적으로 결정됩니다.

임의의 그룹 $(G,\circ )$ 와 임의의 정수 $n\geq 0$ 에 대해, 직접 곱을 반복된 적용은 모든 $n$ -튜플 $G^{n}$ ( $n=0$ 에 대해, 이것은 자명한 그룹임), 예를 들어 $\mathbb {Z} ^{n}$ 과 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 그룹을 제공합니다.

Direct product of modules

모듈(modules)에 대해 직접 곱 (텐서 곱(tensor product)과 혼동하지 말 것)은 위의 그룹에 대해 정의된 것과 매우 유사하며, 덧셈 연산이 성분-별로 있고, 스칼라 곱셈이 단지 모든 성분에 분포하는 데카르트 곱을 사용합니다. $\mathbb {R}$ 에서 시작하여 우리는 실수 $n$ -차원 벡터 공간의 원형적 예제, 유클리드 공간(Euclidean space) $\mathbb {R} ^{n}$ 을 얻습니다. $\mathbb {R} ^{m}$ 과 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 직접 곱은 $\mathbb {R} ^{m+n}$ 입니다.

유한 인덱스 ${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ 에 대해 직접 곱은 직접 합(direct sum) ${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}}$ 과 정식적으로 동형임을 주목하십시오. 직접 합과 직접 곱은 무한 인덱스에 대해 동형이 아니며, 여기서 직접 합의 원소는 유한한 숫자의 엔트리에 대해 모두 영입니다. 그것들은 카테고리 이론(category theory)의 의미에서 이중적입니다: 직접 합은 공동-곱(coproduct)이고, 반면에 직접 곱은 곱입니다.

예를 들어, ${\textstyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$ 와 ${\textstyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ,}$ 실수의 무한 직접 곱과 직접 합을 생각해 보십시오. 유한한 수의 비-영 원소를 갖는 수열만 $Y$ 에 있습니다. 예를 들어, $(1,0,0,0,\ldots )$ 은 $Y$ 에 있지만 $(1,1,1,1,\ldots )$ 은 아닙니다. 이들 두 수열은 모두 직접 곱 $X$ 에 있습니다. 실제로, $Y$ 는 $X$ 의 적절한 부분-집합 (즉, $Y\subset X$ )입니다.^[1]^[2]

Topological space direct product

일부 인덱스 집합, $I$ 에서 $i$ 에 대해 토폴로지적 공간(topological spaces)의 모음에 대해 직접 곱은 데카르트 곱을 다시 한 번 사용합니다: $\prod _{i\in I}X_{i}.$

토폴로지(topology)를 정의하는 것은 약간 까다롭습니다. 유한하게 많은 인수에 대해, 이것은 그렇게 하기에 명백하고 자연스러운 일입니다: 각 인수에서 열린 부분-집합의 모든 데카르트 곱의 모음이 되는 열린 집합의 기저(basis)로 취하기만 하면 됩니다: ${\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ :\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\right\}.$ 이 토폴로지는 곱 토폴로지(product topology)라고 불립니다. 예를 들어, $\mathbb {R} ^{2}$ 위에 곱 토폴로지를 $\mathbb {R}$ 의 열린 집합 (열린 구간의 서로소 합집합)에 의해 직접 정의하면, 이 토폴로지에 대해 기저는 평면에서 열린 직사각형의 모든 서로소 합집합으로 구성됩니다 (밝혀진 것처럼, 그것은 보통의 메트릭(metric) 토폴로지와 일치합니다).

무한 곱에 대해 곱 토폴로지는 비틀림(twist)을 가지고, 이것은 모든 투영 맵을 연속적으로 만들고 모든 함수를 곱으로 연속적으로 만들 수 있도록 해야 하는 것과 모든 그것의 성분 함수가 연속인 것은 필요충분 조건입니다 (즉, 곱의 카테고리적 정의를 만족시키기 위해: 사상은 여기서 연속 함수입니다): 우리는 열린 집합의 기저로서 이전과 같이 각 인수에서 열린 부분-집합의 모든 데카르트 곱의 모음으로 취하며, 단, 열린 부분집합의 모두이지만 유한하게 많은 것이 전체 인수라는 조건이 있습니다: ${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ :\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.$

이 경우에서, 더 자연스럽게 들리는 토폴로지는 이전과 같이 무한하게 많은 열린 부분-집합의 곱을 취하는 것이고, 이것은 약간 흥미로운 토폴로지, 상자 토폴로지(box topology)를 생성합니다. 어쨌든 그것의 곱 함수가 연속적이지 않은 많은 연속 성분 함수의 예제를 찾는 것은 그리 어렵지 않습니다 (예제 등에 대해서는 별도의 입력 상자 토폴로지 참조하십시오). 비틀림을 필요로 하는 문제는 궁극적으로 열린 집합의 교집합이 토폴로지의 정의에서 유한하게 많은 집합에 대해서만 열려 있는 것을 보장되는 사실에 근거를 두고 있습니다.

(곱 토폴로지를 갖는) 곱은 그것들의 인수의 속성을 보존하는 측면에서 좋습니다; 예를 들어, 하우스도르프 공간의 곱은 하우스도르프입니다; 연결된 공간의 곱은 연결된 것이고, 컴팩트 공간의 곱은 컴팩트입니다. 티호노프의 정리(Tychonoff's theorem)라고 불리는 마지막 것은 선택의 공리(axiom of choice)에 대한 또 다른 동등성입니다.

더 많은 속성과 동등한 형식화에 대해, 별도의 엔트리 곱 토폴로지(product topology)를 참조하십시오.

Direct product of binary relations

이항 관계(binary relations) $R$ 과 $S$ 를 갖는 두 집합의 데카르트 곱에서, $(a,b)T(c,d)$ 를 $aRc$ 와 $bSd$ 로 정의합니다. 만약 $R$ 과 $S$ 가 모두 반사적(reflexive), 비-반사적(irreflexive), 전이적(transitive), 대칭적(symmetric), 또는 반-대칭적(antisymmetric)이면, $T$ 도 마찬가지일 것입니다.^[3] 유사하게, $T$ 의 전체성(totality)은 $R$ 과 $S$ 로부터 상속됩니다. 속성을 조합하면 역시 준순서(preorder)와 동치 관계(equivalence relation)에도 적용됨이 따라옵니다. 어쨌든, 만약 $R$ 과 $S$ 가 연결된 관계(connected relations)이면, $T$ 는 연결된 것일 필요는 없습니다; 예를 들어, $\mathbb {N}$ 과 자체 위에 $\,\leq \,$ 의 직접 곱은 $(1,2)$ 와 $(2,1)$ 과 관련되지 않습니다.

Direct product in universal algebra

만약 $\Sigma$ 가 고정된 서명(signature)이고, $I$ 가 임의적인 (아마도 무한한) 인덱스 집합이고, $\left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}$ 가 $\Sigma$ 대수의 인덱스된 가족(indexed family)이면, 직접 곱 ${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$ 은 다음과 같이 정의되는 $\Sigma$ 대수입니다:

$\mathbf {A}$ 의 우주 집합 $A$ 는 $\mathbf {A} _{i}$ 의 우주 집합 $A_{i}$ 의 데카르트 곱이며, 형식적으로: ${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
각 $n$ 과 각 $n$ -항 연산 기호 $f\in \Sigma$ 에 대해, $\mathbf {A}$ 에서 해석 $f^{\mathbf {A} }$ 는 성분-별로 정의되며, 형식적으로: 모든 $a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A$ 와 각 $i\in I$ 에 대해, $f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)$ 의 $i$ -번째 성분은 $f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right)$ 로 정의됩니다.

각 $i\in I$ 에 대해, $i$ -번째 투영 $\pi _{i}:A\to A_{i}$ 은 $\pi _{i}(a)=a(i)$ 에 의해 정의됩니다. 그것은 $\Sigma$ 대수 $\mathbf {A}$ 와 $\mathbf {A} _{i}$ 사이의 전사 준동형(surjective homomorphism)입니다.^[4]

특별한 경우로서, 만약 인덱스 집합 $I=\{1,2\}$ 이면, 두 $\Sigma$ 대수 $\mathbf {A} _{1}$ 과 $\mathbf {A} _{2}$ 의 직접 곱이 얻어지며, $\mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}$ 로 씁니다. 만약 $\Sigma$ 가 단지 하나의 이항 연산 $f$ 을 포함하며, 그룹의 직접 곱의 위의 정의는 얻어지며, 표기법 $A_{1}=G,A_{2}=H,$ $f^{A_{1}}=\circ ,\ f^{A_{2}}=\cdot ,\ {\text{ and }}f^{A}=\times$ 을 사용합니다. 유사하게, 모듈의 직접 곱의 정의는 여기서 포함됩니다.

Categorical product

직접 곱은 임의적인 카테고리(category)로 추상화될 수 있습니다. 카테고리에서, 집합 $I$ 에 의해 인덱스된 대상 $(A_{i})_{i\in I}$ 의 모음이 주어지면, 이들 대상의 곱(product)은 만약 $B$ 가 모든 $i\in I$ 에 대해 사상 $f_{i}\colon B\to A_{i}$ 를 갖는 임의의 다른 대상이면, 그 $p_{i}$ 를 갖는 그 합성이 모든 각 $i$ 에 대해 $p_{i}$ 와 같은 고유한 사상(morphisms) $B\to A$ 가 존재함을 만족하는 모든 $i\in I$ 에 대해 사상 $p_{i}\colon A\to A_{i}$ 와 함께 대상 $A$ 입니다. 그러한 $A$ 와 $(p_{i})_{i\in I}$ 가 항상 존재하는 것은 아닙니다. 만약 그것들이 존재하면, $(A,(p_{i})_{i\in I})$ 는 동형까지 고유하고, $A$ 는 $\prod _{i\in I}A_{i}$ 로 표시됩니다.

그룹의 카테고리의 특별한 경우에서, 곱은 항상 존재합니다: $\prod _{i\in I}A_{i}$ 의 놓여있는 집합은 $A_{i}$ 의 놓여있는 집합의 데카르트 곱이고, 그룹 연산은 성분-별 곱셈이고, (준동형 또는)사상 $p_{i}\colon A\to A_{i}$ 은 각 튜플을 $i$ -번째 좌표로 보내는 투영입니다.

Internal and external direct product

일부 저자는 내부 직접 곱(internal direct product)과 외부 직접 곱(external direct product) 사이를 구분합니다. 만약 $A,B\subseteq X$ 이고 $A\times B\cong X$ 이면, 우리는 $X$ 는 $A$ 와 $B$ 의 내부 직접 곱이라고 말하고, 만약 $A$ 와 $B$ 가 부분-대상이 아니면, 우리는 이것이 외부 직접 곱이라고 말합니다.

Notes

^ Weisstein, Eric W. "Direct Product". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2018-02-10.
^ Weisstein, Eric W. "Group Direct Product". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2018-02-10.
^ "Equivalence and Order" (PDF).
^ Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. Here: Def.7.8, p.53 (=p. 67 in pdf file)

References

Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

[1] Weisstein, Eric W. "Direct Product". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2018-02-10.

[2] Weisstein, Eric W. "Group Direct Product". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2018-02-10.

[3] "Equivalence and Order" (PDF).

[4] Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar, 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. Here: Def.7.8, p.53 (=p. 67 in pdf file)

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