Elementary function

수학(mathematics)에서, 기본 함수(elementary function)는 유한하게(finitely) 많은 다항(polynomial), 유리(rational), 삼각(trigonometric), 쌍곡형(hyperbolic), 및 지수(exponential) 함수의 합(sums), 곱(products), 및 합성(compositions)을 취하는 것으로 정의되는 단일 변수(variable) (전형적으로 실수(real) 또는 복소수(complex))의 함수이며, 가능한 그것들의 역함수(inverse functions) (예를 들어, 아크사인(arcsin), 로그(log), 또는 x^1/n)를 포함합니다.^[1]

기본 함수는 조제프 리우빌(Joseph Liouville)에 의해 1833년부터 1841년까지 일련의 논문에서 소개했습니다.^[2]^[3]^[4] 기본 함수의 대수적(algebraic) 처리는 1930년대 조셉 펠스 라이드(Joseph Fels Ritt)에 의해 시작되었습니다.^[5]

Examples

Basic examples

단일 변수 $x$ 의 기본 함수는 다음을 포함합니다:

상수 함수: $2,\ \pi ,\ e,$ 등.
$x$ 의 유리 거듭제곱: $x,\ x^{2},\ {\sqrt {x}}\ (x^{\frac {1}{2}}),\ x^{\frac {2}{3}},$ 등.
지수 함수: $e^{x},\ a^{x}$
로그: $\ln x,\ \log _{a}x$
삼각 함수: $\sin x,\ \cos x,\ \tan x,$ 등.
역 삼각 함수: $\arcsin x,\ \arccos x,$ 등.
쌍곡 함수: $\sinh x,\ \cosh x,$ 등.
역 쌍곡 함수: $\operatorname {arsinh} x,\ \operatorname {arcosh} x,$ 등.
이전 함수의 임의의 유한 수를 더하거나 빼거나 곱하거나 나뉘어서 얻어진 모든 함수^[6]
이전에 나열된 함수 중 유한 수를 합성(composing)함으로써 얻어진 모든 함수

${\sqrt {z}}$ 와 $\log z$ 와 같은 단일 복소 변수 $z$ 의 특정 기본 함수는 다중값(multivalued)일 수 있습니다. 추가적으로, 함수의 특정 클래스는 마지막 두 규칙을 사용하여 다른 것들에 의해 얻어질 수 있습니다. 예를 들어, 덧셈, 뺄셈, 및 나눗셈으로 구성된 지수 함수 $e^{z}$ 는 쌍곡 함수를 제공하고, 반면에 $z^{i}$ 를 갖는 초기 합성은 대신 삼각 함수를 제공합니다.

Composite examples

기본 함수의 예제는 다음을 포함합니다:

덧셈, 예를 들어, ( $x$ +1)
곱셈, 예를 들어, (2 $x$ )
다항 함수
${\frac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\ln x)^{2}}}\right)$
$-i\ln \left(x+i{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$

마지막 함수는 전체 복소 평면(complex plane)에서, $\arccos x$ , 역 코사인(inverse cosine)과 같습니다.

모든 단항식(monomial), 다항식(polynomial), 및 유리 함수(rational function)는 기본입니다. 절댓값 함수(absolute value function)는, 실수 $x$ 에 대해, 역시 기본인데 왜냐하면 그것이 $x$ : ${\textstyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$ 의 거듭제곱과 근의 합성으로 표현될 수 있습니다.

Non-elementary functions

기본이 아닌함수의 예제는 오차 함수(error function)입니다:

$\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,$

즉각적으로 명확하지 않을 수 있지만 리시 알고리듬(Risch algorithm)을 사용하여 입증될 수 있는 사실입니다.

역시 리우빌 함수(Liouvillian function) 및 비-기본 적분(Nonelementary integral)의 예제를 참조하십시오.

Closure

기본 함수의 집합이 산술 연산과 합성 아래에서 닫혀 있다(closed)는 정의에서 직접 따릅니다. 기본 함수는 미분(differentiation) 아래에서 닫혀 있습니다. 그것들은 극한과 무한 합 아래에서 닫혀 있지 않습니다. 중요하게도, 기본 함수는 리우빌의 정리(Liouville's theorem)에서 볼 수 있듯이 적분(integration) 아래에서 닫히지 않으며, 비기본 적분(Nonelementary integral)을 참조하십시오. 리우빌 함수(Liouvillian function)는 기본 함수로 정의되고, 재귀적으로, 리우빌 함수의 적분으로 정의됩니다.

Differential algebra

기본 함수, 또는 기본 형식에서 함수의 수학적 정의는 미분 대수(differential algebra)의 문맥에서 고려됩니다. 미분 대수는 도함수 (미분화의 대수적 버전)의 여분의 연산을 갖는 대수입니다. 도함수 연산을 사용하여 새로운 방정식은 쓸 수 있고 그것들의 해는 대수의 확장(extensions)에 사용될 수 있습니다. 유리 함수(rational function)의 필드(field)로 시작함으로써, 두 가지 특별한 유형의 초월적 확장(로그 및 지수)은 기본 함수를 포함하는 타워를 구축하는 필드에 더해질 수 있습니다.

미분 필드 F는 도함수 맵 u → ∂u와 함께 필드 F₀ (예를 들어 유리수(rationals) Q에 걸쳐 유리 함수)입니다. (여기서 ∂u는 새로운 함수입니다. 때때로 표기법 u′가 사용됩니다.) 도함수화는 미분화의 속성을 포착하므로, 기본 필드의 임의의 두 원소에 대해, 도함수화는 선형입니다:

\partial (u+v)=\partial u+\partial v

그리고 라이프니츠 곱 규칙(Leibniz product rule)을 만족시킵니다:

\partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v\,.

원소 h는 만약 ∂h = 0이면 상수입니다. 만약 기본 필드가 유리수에 걸쳐 있으면, 필요된 초월적 상수를 추가하기 위해 필드를 확장할 때 주의를 기울여야 합니다.

미분 필드 F의 미분 확장 F[u]의 함수 u는 만약 그 함수 u가 다음이면 F에 걸쳐 기본 함수입니다:

F에 걸쳐 대수적(algebraic)입니다, 또는
지수, 즉, a ∈ F에 대해 ∂u = u ∂a입니다, 또는
로그, 즉, a ∈ F에 대해 ∂u = ∂a / a입니다.

(역시 리우빌의 정리(Liouville's theorem)를 참조하십시오)

Notes

^ Spivak, Michael. (1994). Calculus (3rd ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 359. ISBN 0914098896. OCLC 31441929.
^ Liouville 1833a.
^ Liouville 1833b.
^ Liouville 1833c.
^ Ritt 1950.
^ Ordinary Differential Equations. Dover. 1985. p. 17. ISBN 0-486-64940-7.

References

Liouville, Joseph (1833a). "Premier mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique". Journal de l'École Polytechnique. tome XIV: 124–148.
Liouville, Joseph (1833b). "Second mémoire sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique". Journal de l'École Polytechnique. tome XIV: 149–193.
Liouville, Joseph (1833c). "Note sur la détermination des intégrales dont la valeur est algébrique". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 10: 347–359.
Ritt, Joseph (1950). Differential Algebra. AMS.
Rosenlicht, Maxwell (1972). "Integration in finite terms". American Mathematical Monthly. 79 (9): 963–972. doi:10.2307/2318066. JSTOR 2318066.

External links

[1] Spivak, Michael. (1994). Calculus (3rd ed.). Houston, Tex.: Publish or Perish. p. 359. ISBN 0914098896. OCLC 31441929.

[2] Liouville 1833a.

[3] Liouville 1833b.

[4] Liouville 1833c.

[5] Ritt 1950.

[6] Ordinary Differential Equations. Dover. 1985. p. 17. ISBN 0-486-64940-7.

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