Embedding

Original article: w:Embedding

"Isometric embedding" redirects here. For related concepts for metric spaces, see isometry.

For embeddings of graphs in two-dimensional manifolds, see graph embedding.

For other uses, see Embedding (disambiguation).

수학(mathematics)에서, 삽입(embedding 또는 imbedding)은 부분그룹(subgroup)인 그룹(group)과 같은 또 다른 사례 내에 포함된 일부 수학적 구조(mathematical structure)의 한 사례입니다.

어떤 대상 $X$가 또 다른 대상 $Y$에 삽입되었다고 말할 때, 삽입은 일부 단사(injective)와 구조-보존하는 맵 $f:X\rightarrow Y$에 의해 제공됩니다. "구조-보존하는"의 정확한 의미는 $X$와 $Y$가 사례인 수학적 구조의 종류에 따라 다릅니다. 카테고리 이론(category theory)의 용어에서, 구조-보존하는 맵은 사상(morphism)이라고 불립니다.

맵 $f:X\rightarrow Y$가 삽입이라는 사실은 종종 "구부러진 화살표" (U+21AA ↪ RIGHTWARDS ARROW WITH HOOK)를 사용하여 표시됩니다; 따라서: $f:X\hookrightarrow Y.$ (다른 한편, 이 표기법은 때때로 포함 맵(inclusion maps)에 대해 예약됩니다.)

$X$와 $Y$가 주어지면, $Y$에서 $X$의 여러 다른 삽입이 가능할 수 있습니다. 관심 있는 많은 경우에서, 정수에서 자연수, 유리수에서 정수, 실수에서 유리수, 및 복소수에서 실수의 삽입과 같은 표준 (또는 "정식의") 삽입이 있습니다. 그러한 경우에서, $X\subseteq Y$가 되도록 $Y$에 포함된 이미지 $f(X)$를 갖는 도메인 $X$를 식별하는 것이 공통적입니다.

Topology and geometry

General topology

일반적인 토폴로지(general topology)에서, 삽입은 그것의 이미지 위로의 위상-동형(homeomorphism)입니다. 보다 명시적으로, 토폴로지적 공간(topological spaces) $X$와 $Y$ 사이의 단사 연속 맵 $f:X\to Y$는 $f$가 $X$와 $f(X)$ 사이의 위상동형을 산출하면 토폴로지적 삽입(topological embedding)입니다 (여기서 $f(X)$는 $Y$에서 상속된 부분공간 토폴로지를 전달합니다). 직관적으로 그때에, 삽입 $f:X\to Y$를 통해 $X$를 $Y$의 부분공간으로 취급할 수 있습니다. 모든 각 삽입은 단사적이고 연속적입니다. 단사적, 연속적이고 열린 또는 닫힌 모든 각 맵은 삽입입니다; 어쨌든, 열린 것도 아니고 닫힌 것도 아닌 삽입도 있습니다. 후자는 이미지 $f(X)$가 $Y$에서 열린 집합도 아니고 닫힌 집합도 아니면 발생합니다.

주어진 공간 $Y$에 대해, 삽입 $X\to Y$의 존재는 $X$의 토폴로지적 불변(topological invariant)입니다. 이를 통해 하나는 공간에 삽입될 수 있고 다른 하나는 그렇지 않으면 두 개의 공간은 구별될 수 있습니다.

Related definitions

만약 함수 $f:X\to Y$의 도메인이 토폴로지적 공간(topological space)이면, 그 함수는 제한 $f{\big \vert }_{U}:U\to Y$가 단사임을 만족하는 이 점의 일부 이웃(neighborhood) $U$가 존재하면 한 점에서 지역적으로 단사적이라고 말합니다. 그것은 그 도메인의 모든 각 점 주위에 지역적으로 단사이면 지역적으로 단사적(locally injective)이라고 불립니다. 유사하게, 지역적 (토폴로지적, 각각, 매끄러운) 삽입은 그 도메인에서 모든 각 점이 그 제한이 (토폴로지적, 각각, 매끄러운) 삽입인 이웃을 가지는 함수입니다.

모든 각 단사 함수는 지역적으로 단사적이지만 그 전환은 아닙니다. 지역적 미분동형, 지역적 위상동형, 및 매끄러운 몰입(immersions)은 모두 반드시 단사일 필요는 없는 지역적 단사 함수입니다. 역 함수 정리(inverse function theorem)는 연속적으로 미분-가능한 함수에 대해 (무엇보다도) 지역적 단사가 되기 위한 충분 조건을 제공합니다. 지역적 단사 함수 $f:X\to Y$의 모든 각 올(fiber)은 반드시 그것의 도메인 $X$의 이산 부분공간입니다.

Differential topology

미분 토폴로지(differential topology)에서: $M$과 $N$을 매끄러운 매니폴드라고 놓고 $f:M\to N$을 매끄러운 맵이라고 놓습니다. 그런-다음 $f$는 만약 그것의 도함수(derivative)가 모든 곳에서 단사이면 몰입(immersion)이라고 불립니다. 삽입, 또는 매끄러운 삽입은 위에서 언급한 토폴로지적 의미 (즉, 그것의 이미지 위로의 위상동형)에서 삽입인 몰입으로 정의됩니다.

다른 말로, 삽입의 도메인은 그것의 이미지로의 미분동형적(diffeomorphic)이고, 특히 삽입의 이미지는 부분매니폴드여야 합니다. 몰입은 정확하게 지역적 삽입입니다. 즉, 임의의 점 $x\in M$에 대해, $f:U\to N$가 삽입임을 만족하는 이웃 $x\in U\subset M$가 있습니다.

도메인 매니폴드가 컴팩트일 때, 매끄러운 삽입의 개념은 단사적 몰입의 개념과 동등합니다.

중요한 경우는 $N=\mathbb {R} ^{n}$입니다. 여기서 관심은 $M$의 차원 $m$ 측면에서 삽입에 대해 $n$이 얼마나 커야 하는지에 있습니다. 휘트니 삽입 정리(Whitney embedding theorems)는 $n=2m$이 충분하고, 가능한 최상의 선형 경계라고 말합니다. 예를 들어, 차원 $m$의 실수 투영 공간(real projective space) $RP^{m}$은, 여기서 $m$은 2의 거듭제곱이며, 삽입을 위해 $n=2m$를 요구합니다. 어쨌든, 이것은 몰입에는 적용되지 않습니다; 예를 들어, $RP^{2}$는 자기-교차를 가지는 보이의 표면(Boy's surface)에 의해 명시적으로 표시된 것처럼 $\mathbb {R} ^{3}$에서 몰입일 수 있습니다. 로만 표면(Roman surface)은 교차-틈(cross-caps)을 포함할 때 몰입에 실패합니다.

삽입은 만약 그것이 경계(boundaries)와 관련하여 잘 행동하면 적절한(proper) 것입니다: 맵 $f:X\rightarrow Y$는 다음임을 만족하도록 요구됩니다:

• $f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y$, 그리고
• $f(X)$는 $f(\partial X)$의 임의의 점에서 $\partial Y$에 횡단합니다(transverse).

첫 번째 조건은 $f(\partial X)\subseteq \partial Y$와 $f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y$를 가지는 것과 동등합니다. 두 번째 조건은, 대략적으로 말하자면, $f(X)$가 $Y$의 경계에 접하지 않는다는 것입니다.

Riemannian and pseudo-Riemannian geometry

리만 기하학(Riemannian geometry)과 유사-리만 기하학에서: $(M,g)$와 $(N,h)$를 리만 매니폴드 또는 보다 일반적으로 유사-리만 매니폴드라고 놓습니다. 등거리적 삽입(isometric embedding)은 $g$가 $f$에 의한 $h$의 당김(pullback)과 같다, 즉, $g=f^{*}h$라는 의미에서 (유사-)메트릭을 보존하는 매끄러운 삽입 $f:M\rightarrow N$입니다. 즉, g=f*h입니다. 명시적으로, 임의의 두 접 벡터 $v,w\in T_{x}(M)$에 대해, 다음을 가집니다:

$g(v,w)=h(df(v),df(w)).$

유사하게, 등거리적 몰입(isometric immersion)은 (유사)-리만 메트릭을 보존하는 (유사)-리만 매니폴드 사이의 몰입입니다.

동등하게, 리만 기하학에서, 등거리적 삽입 (몰입)은 곡선(curves)의 길이를 보존하는 매끄러운 삽입 (몰입)입니다 (비고. 내쉬 삽입 정리).

Algebra

일반적으로, 대수적 카테고리(algebraic category) $C$에 대해, 두 $C$-대수적 구조 $X$와 $Y$ 사이의 삽입은 단사적인 $C$-사상 $e:X\rightarrow Y$입니다.

Field theory

필드 이론(field theory)에서, 필드(field) $F$에 있는 필드 $E$의 삽입(embedding)은 링 준동형(ring homomorphism) $\sigma :E\rightarrow F$입니다.

$\sigma$의 커널(kernel)은 조건 $1=\sigma (1)=1$ 때문에 전체 필드 $E$가 될 수 없는 $E$의 아이디얼(ideal)입니다. 더욱이, 그것들의 유일한 아이디얼은 영 아이디얼과 전체 필드 자체라는 것은 잘 알려진 필드의 속성입니다. 그러므로, 커널은 $0$이므로, 필드의 임의의 삽입은 단사-사상(monomorphism)입니다. 따라서, $E$는 $F$의 부분필드(subfield) $\sigma (E)$와 동형적(isomorphic)입니다. 이것은 필드의 임의적인 준동형에 대한 그 이름 삽입을 정당화합니다.

Universal algebra and model theory

Further information: Substructure (mathematics) and Elementary equivalence

만약 $\sigma$가 시그니처(signature)이고 $A,B$가 $\sigma$-구조 (보편 대수(universal algebra)에서 $\sigma$-대수 또는 모델 이론에서 모델이라고도 불림)이면, 맵 $h:A\to B$는 다음의 모두가 유지되면 정확하게 $\sigma$-삽입입니다:

• $h$는 단사적입니다,
• 모든 각 $n$-항 함수 기호 $f\in \sigma$와 $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n}$에 대해, $h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))$을 가집니다,
• 모든 각 $n$-항 관계 기호 $R\in \sigma$와 $a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n}$에 대해, $A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})$와 $B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))$는 필요충분 조건임을 가집니다.

여기서 $A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})$은 $(a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}$와 동등한 모델 이론적 표기법입니다. 모델 이론에서, 기본 삽입(elementary embedding)의 더 강력한 개념도 있습니다.

Order theory and domain theory

순서 이론(order theory)에서, 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered sets)의 삽입은 다음임을 만족하는 부분적으로 순서화된 집합 $X$와 $Y$ 사이의 함수 $F$입니다:

$\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).$

$F$의 단사성(Injectivity)은 이 정의에서 빠르게 따릅니다. 도메인 이론(domain theory)에서, 추가적인 요구 사항은 다음과 같습니다:

$\forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq y\}$는 방향화된(directed) 것입니다.

Metric spaces

메트릭 공간(metric spaces)의 매핑 $\phi :X\to Y$는 만약 모든 각 $x,y\in X$와 어떤 상수 $L>0$에 대해 다음이면 (왜곡(distortion) $C>0$을 갖는) 삽입이라고 불립니다:

$Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)$

Normed spaces

중요한 특별한 경우는 노름화된 공간(normed spaces)의 경우입니다; 이 경우에서 선형 삽입을 고려하는 것이 자연스럽습니다.

유한-차원 노름화된 공간(normed space) $(X,\|\cdot \|)$에 대해 물을 수 있는 기본적인 질문 중 하나는 다음과 같습니다: 힐베르트 공간 $\ell _{2}^{k}$가 상수 왜곡을 갖는 $X$에 선형적으로 삽입될 수 있음을 만족하는 최대 차원 $k$는 무엇입니까?

그 답은 드보레츠키의 정리(Dvoretzky's theorem)에 의해 제공됩니다.

Category theory

카테고리 이론(category theory)에서, 모든 카테고리에 적용할 수 있는 삽입의 만족스럽고 일반적으로 수용되는 정의가 없습니다. 모든 동형-사상과 삽입의 모든 합성은 삽입이고, 모든 삽입은 단사-사상이라고 예상할 수 있습니다. 다른 전형적인 요구 사항은 다음과 같습니다: 임의의 극단 단사-사상(extremal monomorphism)은 삽입이고 삽입은 당김(pullbacks) 아래에서 안정적입니다.

이상적으로 주어진 대상의 모든 삽입된 부분-대상(subobjects)의 클래스는, 동형사상까지, 작은 것이어야 하고, 따라서 순서화된 집합이어야 합니다. 이 경우에서, 카테고리는 삽입의 클래스와 관련하여 잘 강화되었다고 합니다. 이를 통해 카테고리에서 새로운 지역적 구조 (예를 들어, 클로저 연산자)를 정의할 수 있습니다.

구체적 카테고리(concrete category)에서, 삽입은 $A$의 놓여있는 집합에서 $B$의 놓여있는 집합으로의 단사 함수인 사상 $f:A\rightarrow B$이고, 역시 다음과 같은 의미에서 초기 사상(initial morphism)입니다: 만약 $g$가 대상 $C$의 놓여있는 집합에서 $A$의 놓여있는 집합으로의 함수이고, $f$와의 합성이 사상 $fg:C\rightarrow B$이면, $g$ 자체가 사상입니다.

카테고리에 대한 인수-분해 시스템(factorization system)은 역시 삽입의 개념을 발생시킵니다. 만약 $(E,M)$이 인수분해 시스템이면, 특히 카테고리가 $M$에 관해 잘 강화될 때 $M$에서 사상은 삽입으로 여길 수 있습니다. 구체적 이론은 종종 $M$이 이전 의미에서 삽입으로 구성되는 인수분해 시스템을 가집니다. 이것은 이 기사에 제공된 대부분의 예제의 경우입니다.

카테고리 이론에서 흔히 그렇듯이, 몫으로 알려진 이중(dual) 개념이 있습니다. 위의 모든 속성은 이중화될 수 있습니다.

삽입은 삽입 함수자(embedding functor)를 참조할 수도 있습니다.

See also

• Ambient space
• Closed immersion
• Cover
• Dimension reduction
• Flat (geometry)
• Immersion
• Johnson–Lindenstrauss lemma
• Submanifold
• Subspace
• Universal space

References

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External links

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• Embedding of manifolds on the Manifold Atlas