Equilateral triangle

Original article: w:Equilateral triangle

"Equilateral" redirects here. For other uses, see Equilateral (disambiguation).

Equilateral triangle
Type	Regular polygon
Edges and vertices	3
Schläfli symbol	{3}
Coxeter–Dynkin diagrams
Symmetry group	D3
Area	${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$
Internal angle (degrees)	60°

기하학(geometry)에서, 등변 삼각형(equilateral triangle)은 모든 세 변이 같은 길이를 가지는 삼각형(triangle)입니다. 친숙한 유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 등변 삼각형은 역시 등각(equiangular)입니다; 즉, 모든 셋의 내부 각도(angle)는 역시 서로 합동(congruent)이고 각각 60°입니다. 그것은 역시 정규 다각형(regular polygon)이므로, 역시 정규 삼각형(regular triangle)으로 참조됩니다.

Principal properties

An equilateral triangle. It has equal sides ($a=b=c$), equal angles ($\alpha =\beta =\gamma$), and equal altitudes ($h_{a}=h_{b}=h_{c}$).

등변 삼각형의 한 변의 공통 길이를 $a$로 표시하면, 우리는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 사용하여 다음임을 결정할 수 있습니다:

• 넓이는 $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$입니다,
• 둘레는 $p=3a\,\!$입니다,
• 둘레접하는 원(circumscribed circle)의 반지름은 $R={\frac {a}{\sqrt {3}}}$입니다,
• 내접된 원(inscribed circle)의 반지름은 $r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a$ or $r={\frac {R}{2}}$입니다,
• 삼각형의 기하 중심은 둘레접하는 원과 내접된 원의 중심입니다.
• 임의의 변에서 고도(altitude)는 $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$입니다.

둘레접하는 원의 반지름을 R로 표시하면, 우리는 삼각법(trigonometry)을 사용하여 다음임을 결정할 수 있습니다:

• 삼각형의 넓이는 $\mathrm {A} ={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}R^{2}$입니다.

이러한 양의 대부분은 반대쪽 변에서 각 꼭짓점의 고도 ("h")와 간단한 관계를 가집니다:

• 넓이는 $A={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}$입니다,
• 각 변에서 중심의 높이, 또는 아포팀(apothem)은 ${\frac {h}{3}}$입니다,
• 세 꼭짓점에 둘레접하는 원의 반지름은 $R={\frac {2h}{3}}$입니다,
• 내접된 원의 반지름은 $r={\frac {h}{3}}$입니다.

등변 삼각형에서, 고도, 각의 이등분선, 수직 이등분선, 및 각 변의 중앙선은 일치합니다.

Characterizations

변 a, b, c, 반둘레(semiperimeter) s, 넓이(area) T, 외반지름(exradii) r_a, r_b, r_c (각각 a, b, c에 접합)을 가지는 삼각형 ABC이, 여기서 R과 r은 각각 둘레원(circumcircle)과 내원(incircle)의 반지름이며, 등변인 것과 다음 아홉 카테고리에서 명제 중 임의의 하나가 참인 것은 필요충분(iff) 조건입니다. 따라서 이것들은 등변 삼각형에 대한 고유한 속성이고, 그것들 중 임의의 하나가 사실이라는 것을 아는 것은 우리가 등변 삼각형을 가짐을 의미합니다.

Sides

• $\displaystyle a=b=c$
• $\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}={\frac {\sqrt {25Rr-2r^{2}}}{4Rr}}$

Semiperimeter

• $\displaystyle s=2R+(3{\sqrt {3}}-4)r\quad$ (블론던(Blundon))
• $\displaystyle s^{2}=3r^{2}+12Rr$
• $\displaystyle s^{2}=3{\sqrt {3}}T$
• $\displaystyle s=3{\sqrt {3}}r$
• $\displaystyle s={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R$

Angles

• $\displaystyle A=B=C=60^{\circ }$
• $\displaystyle \cos {A}+\cos {B}+\cos {C}={\frac {3}{2}}$
• $\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}={\frac {1}{8}}$

Area

• $\displaystyle T={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4{\sqrt {3}}}}\quad$ (바이첸뵈크(Weitzenböck))
• $\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{^{\frac {2}{3}}}$

Circumradius, inradius, and exradii

• $\displaystyle R=2r\quad$ (채플-오일러(Chapple-Euler))
• $\displaystyle 9R^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$
• $\displaystyle r={\frac {r_{a}+r_{b}+r_{c}}{9}}$
• $\displaystyle r_{a}=r_{b}=r_{c}$

Equal cevians

세 종류의 체바선은 등변 삼각형에 대해 (오직 그것에 대해) 일치하고, 같습니다:

• 셋의 고도(altitude)는 같은 길이를 가집니다.
• 셋의 중앙선(median)은 같은 길이를 가집니다.
• 셋의 각도 이등분선(angle bisector)은 같은 길이를 가집니다.

Coincident triangle centers

등변 삼각형의 모든 각 삼각형 중심(triangle center)은 도형중심(centroid)과 일치하며, 이것은 등변 삼각형이 중심 중 일부를 연결하는 오일러 직선(Euler line)을 가지지 않는 유일한 삼각형임을 의미합니다. 일부 삼각형 중심 쌍에 대해, 그것들이 일치한다는 사실은 그 삼각형이 등변임을 확인하기에 충분합니다. 특히:

• 삼각형이 만약 둘레중심(circumcenter), 내중심(incenter), 도형중심, 또는 직교중심(orthocenter) 중 임의의 둘이 일치하면 등변입니다.
• 삼각형은 역시 만약 그것의 둘레중심이 나겔 점(Nagel point)과 일치하면, 또는 만약 그것의 내중심이 아홉-점 중심(nine-point center)과 일치하면 등변입니다.

Six triangles formed by partitioning by the medians

임의의 삼각형에 대해, 셋의 중앙선(medians)은 삼각형을 여섯의 더 작은 삼각형으로 분할합니다.

• 삼각형이 등변인 것과 더 작은 삼각형 중 임의의 셋이 같은 둘레 또는 같은 반지름을 가지는 것은 필요충분 조건입니다.
• 삼각형이 등변인 것과 더 작은 삼각형 중 임의의 셋의 둘레중심이 도형중심으로부터 같은 거리를 가지는 것은 필요충분 조건입니다.

Points in the plane

• 삼각형이 등변인 것과 그 평면에서 모든 각 점 P에 대해, 삼각형의 변에 대한 거리 p, q, 및 r과 꼭짓점까지의 거리 x, y, z와 함께, 다음인 것은 필요충분 조건입니다:

$4(p^{2}+q^{2}+r^{2})\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}.$

Notable theorems

Visual proof of Viviani's theorem

1.	Nearest distances from point P to sides of equilateral triangle ABC are shown.
2.	Lines DE, FG, and HI parallel to AB, BC and CA, respectively, define smaller triangles PHE, PFI and PDG.
3.	As these triangles are equilateral, their altitudes can be rotated to be vertical.
4.	As PGCH is a parallelogram, triangle PHE can be slid up to show that the altitudes sum to that of triangle ABC.

몰리의 삼등분선 정리(Morley's trisector theorem)는, 임의의 삼각형에서, 인접한 각도 삼등분선(angle trisectors)의 셋의 교차점이 등변 삼각형을 형성한다는 말합니다.

나폴레옹의 정리(Napoleon's theorem)는, 만약 등변 삼각형이 임의의 삼각형의 변 위에, 모두 바깥쪽으로, 또는 모두 안쪽으로 구성되면, 해당 등변 삼각형 자체의 중심은 등변 삼각형을 형성한다고 말합니다.

삼각형에 대해 같은-둘레 부등식의 버전은 주어진 둘레(perimeter)를 갖는 모든 삼각형 중에서 가장 큰 넓이(area)의 삼각형이 등변이라고 말합니다.

비비아니의 정리(Viviani's theorem)는 변에서 거리 d, e, f와 고도 h를 갖는 등변 삼각형에서 임의의 내부 점 P에 대해, P의 위치와 독집적으로 다음임을 말합니다:

$d+e+f=h$.

폼페이우의 정리(Pompeiu's theorem)는, 만약 P가 등변 삼각형 ABC 평면에서 임의적인 점이지만 둘레원(circumcircle) 위에 있지 않으면, 변의 길이 PA, PB, 및 PC를 갖는 삼각형이 존재한다고 말합니다. 즉, PA, PB, 및 PC는 그것들 중 임의의 둘의 합이 세 번째 것보다 크다는 삼각형 부등식(triangle inequality)을 만족시킵니다. 만약 P가 둘레원 위에 있으면 둘의 작은 것의 합이 가장 긴 것과 같고 그 삼각형은 하나의 직선으로 퇴화되며, 이 경우는 반 슈텐의 정리(Van Schooten's theorem)로 알려져 있습니다.

Other properties

오일러의 부등식(Euler's inequality)에 의해, 등변 삼각형은 임의의 삼각형의 내반지름에 대한 둘레반지름의 가장 작은 비율 R/r을 가집니다: 구체적으로 특별히, R/r = 2입니다.

주어진 원에 내접된 모든 삼각형 중 가장 큰 넓이의 삼각형은 등변입니다; 그리고 주어진 원 주위에 둘레접된 모든 삼각형 중 가장 작은 넓이의 삼각형은 등변입니다.

등변 삼각형의 넓이에 대한 내원의 넓이의 비율, ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$은 임의의 비-등변 삼각형의 그것보다 더 큽니다.

등변 삼각형의 둘레의 제곱에 대한 넓이의 비율, ${\frac {1}{12{\sqrt {3}}}}$은 임의의 다른 삼각형에 대해 그것보다 더 큽니다.

만약 선분이 등변 삼각형을 같은 둘레를 갖고 넓이 A₁과 A₂를 갖는 두 영역으로 분할하면, 다음입니다:

${\frac {7}{9}}\leq {\frac {A_{1}}{A_{2}}}\leq {\frac {9}{7}}.$

만약 삼각형이 복소수 꼭짓점 z₁, z₂, 및 z₃를 갖는 복소 평면(complex plane)에 배치되면, 1의 비-실수 세제곱근 중 하나 $\omega$에 대해, 그 삼각형이 등변인 것과 다음인 것은 필요충분 조건입니다:

$z_{1}+\omega z_{2}+\omega ^{2}z_{3}=0.$

등변 삼각형의 내부에서 한 점 P가 주어지면, 꼭짓점으로부터의 거리의 합과 변으로부터의 거리의 합의 비율은 2보다 크거나 같으며, P가 도형중심일 때 상등을 유지합니다. 다른 삼각형에서 이 비율이 2만큼 작은 점이 없습니다. 이것은 에릐되시–모델 부등식(Erdős–Mordell inequality)입니다; 그것의 더 강력한 변형은 배로의 부등식(Barrow's inequality)이며, 이것은 변에 대한 수직 거리를 P에서 ∠APB, ∠BPC, 및 ∠CPA의 각도 이등분선(angle bisector)이 변을 교차하는 점까지의 거리로 대체합니다 (A, B, 및 C는 꼭짓점입니다).

평면에서 임의의 점 P에 대해, 꼭짓점 A, B, 및 C에서 각각 거리 p, q, 및 t과 함께,

$\displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}.$

평면에서 임의의 점 P에 대해, 꼭짓점에서 거리 p, q, 및 t와 함께,

$\displaystyle p^{2}+q^{2}+t^{2}=3(R^{2}+L^{2})$

및

$\displaystyle p^{4}+q^{4}+t^{4}=3[(R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2}L^{2}],$

여기서 R은 둘레접된 반지름이고 L은 점 P와 등변 삼각형의 도형중심 사이의 거리입니다.

등변 삼각형의 내접된 원 위에 임의의 점 P에 대해, 꼭짓점에서 거리 p, q, 및 t와 함께,

$\displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}$

및

$\displaystyle 16(p^{4}+q^{4}+t^{4})=11a^{4}.$

둘레원의 보조 호 BC 위에 임의의 점 P에 대해, A, B, 및 C에서 각각 거리 p, q, 및 t와 함께,

$\displaystyle p=q+t$

및

$\displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2};$

게다가, 만약 변 BC 위의 점 D가 PA를 길이 z를 가지는 DA와 길이 y를 가지는 PD로 선분 PD와 DA로 나누면, 다음입니다:

$z={\frac {t^{2}+tq+q^{2}}{t+q}},$

이것은 역시 t ≠ q이면 ${\tfrac {t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}}$과 같습니다; 그리고

${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{t}}={\frac {1}{y}},$

이것은 광학 방정식(optic equation)입니다.

삼각형이 등변인 것과 상등을 유지하는 수많은 삼각형 부등식(triangle inequalities)이 있습니다.

등변 삼각형은 그것의 중심에 대한 순서 3의 회전적 대칭(rotational symmetry)과 3의 반사(reflection)의 직선을 가지는 가장 대칭적 삼각형입니다. 그것의 대칭 그룹(symmetry group)은 순서 6의 이면체 그룹(dihedral group of order 6) D₃입니다.

등변 삼각형은 슈타이너 타원(Steiner inellipse)이 원 (특히, 그것이 내원)인 유일한 삼각형입니다.

정수-변 등변 삼각형은 도 단위로 측정할 때 정수 변과 셋의 유리 각을 갖는 유일한 삼각형입니다.

등변 삼각형은 (고도(altitudes)의 다리에서 꼭짓점을 갖는) 직교 삼각형(orthic triangle)과 닮은 유일한 예각 삼각형입니다 (칠각 삼각형(heptagonal triangle)은 유일한 둔각 삼각형입니다).

A regular tetrahedron is made of four equilateral triangles.

등변 삼각형은 많은 다른 기하학적 구조에서 발견됩니다. 중심이 반지름 너비로 떨어져 있는 원의 교차 점은 한 쌍의 등변 아치이며, 그것의 각각은 등변 삼각형으로 내접될 수 있습니다. 그것들은 정규이고 균등 다면체(polyhedra)의 면을 형성합니다. 다섯의 플라톤의 고체(Platonic solid) 중 셋은 등변 삼각형으로 구성됩니다. 특히, 정규 사면체(regular tetrahedron)는 면에 대해 넷의 등변 삼각형을 가지고 삼-차원 모양의 유사체로 고려될 수 있습니다. 평면은 삼각형 타일링(triangular tiling)을 제공하는 등변 삼각형을 사용하여 타일링될 수 있습니다.

Geometric construction

Construction of equilateral triangle with compass and straightedge

등변 삼각형은 3이 페르마 소수이기 때문에 직선자와 컴퍼스(straightedge and compass)를 사용하여 쉽게 구성될 수 있습니다. 직선을 그리고 컴퍼스의 점을 직선의 한쪽 끝에 놓고 그 점에서 선분의 다른 점으로 호를 그립니다. 직선의 다른 쪽에서도 반복합니다. 마지막으로 두 개의 호가 교차하는 지점을 선분의 각 끝과 연결합니다.

대안적인 방법은 반지름 r을 갖는 원을 그리고 컴퍼스의 점을 원 위에 놓고 반지름이 같은 또 다른 원을 그리는 것입니다. 두 원은 두 점에서 교차할 것입니다. 등변 삼각형은 원의 두 중심과 교점 중 하나를 취함으로써 구성될 수 있습니다.

두 방법 모두 부산물은 물고기 풍선(vesica piscis)의 형성입니다.

결과 그림이 등변 삼각형이라는 증명은 유클리드의 원론 제1권의 첫 번째 제안입니다.

Derivation of area formula

변 길이 a의 관점에서 넓이 공식 $A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$은 직접 피타고라스 정리 또는 심각법을 사용하여 유도될 수 있습니다.

Using the Pythagorean theorem

삼각형의 넓이는 한 변의 절반에 그 변의 높이 h를 곱한 것입니다:

$A={\frac {1}{2}}ah.$

An equilateral triangle with a side of 2 has a height of √3, as the sine of 60° is √3/2.

등변 삼각형의 높이에 의해 형성된 직각 삼각형의 각각의 다리는 밑변 a의 절반이고. 빗변은 등변 삼각형의 변 a입니다. 등변 삼각형의 높이는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 사용하여 구할 수 있습니다:

$\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}$

따라서

$h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.$

넓이 공식 (1/2)ah에 h를 대입하면 등변 삼각형에 대해 넓이 공식을 제공합니다:

$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.$

Using trigonometry

삼각법(trigonometry)을 사용하여, 두 변 a와 b, 및 그들 사이의 각도 C를 갖는 삼각형의 넓이는 다음입니다:

$A={\frac {1}{2}}ab\sin C.$

등변 삼각형의 각 각도는 60°이므로,

$A={\frac {1}{2}}ab\sin 60^{\circ }.$

60°의 사인은 ${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$입니다. 따라서

$A={\frac {1}{2}}ab\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}={\frac {\sqrt {3}}{4}}ab={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$

왜냐하면 등변 삼각형의 모든 변은 같기 때문입니다.

In culture and society

등변 삼각형은 인공 구조물에 자주 나타납니다:

• 모양은 게이트웨이 아치(Gateway Arch)의 교차-단면과 같은 현대 건축에서 나타납니다.
• 깃발과 문장에서 그것의 응용은 니카라과의 국기(flag of Nicaragua)와 필리핀의 국기(flag of the Philippines)를 포함합니다.
• 그것은 양보 표지판(yield sign)을 비롯한 다양한 도로 표지판(road signs)의 모양입니다.

See also

• Almost-equilateral Heronian triangle
• Isosceles triangle
• Ternary plot
• Trilinear coordinates

External links

• Weisstein, Eric W. "Equilateral Triangle". MathWorld.