Extended real number line

수학(mathematics)에서, 아핀적으로 확장된 실수 시스템(affinely extended real number system)은 실수(real number) 시스템 $ℝ$ 에 두 원소: $+ \infty$ 와 $- \infty$ (각각 양의 무한대(positive infinity)와 음의 무한대(negative infinity)로 읽음)를 추가함으로써 얻어지며, 여기서 무한대는 실제 숫자로 취급됩니다.^[1] 그것은 무한대 위에 대수를 묘사하는 것 및 미적분(calculus)과 수치 해석학(mathematical analysis), 특히 측정(measure)과 적분화(integration) 이론에서, 다양한 극한하는 동작(limiting behavior)을 묘사하는 것에 유용합니다.^[2] 아핀적으로 확장된 실수 시스템은 ${\overline {\mathbb {R} }}$ 또는 $[-\infty, +\infty]$ , 또는, $ℝ \cup {-\infty, +\infty}$ 로 표시됩니다.^[3]

그 의미가 문맥으로부터 분명할 때, 기호 $+\infty$ 는 간단히 $\infty$ 로 종종 쓰입니다.^[3]

Motivation

Limits

그것은 인수 $x$ 또는 함수 값 $f(x)$ 가 일부 의미에서 "무한히 크게" 되는 것과 같은, 함수 $f(x)$ 의 동작을 묘사하기 위해 종종 유용합니다. 예를 들어, 다음 함수를 생각해 보십시오:

f(x)=x^{-2}.

이 함수의 그래프는 y = 0에서 수평 점근선(asymptote)을 가집니다. 기하학적으로, $x$ -축을 따라 오른쪽으로 계속해서 더 멀리 이동할 때, ${\frac {1}{x^{2}}}$ 의 값은 0에 접근합니다. 이 극한하는 동작은, $x$ 에 접근하기 위한 실수가 없다는 것을 제외하고, 실수(real number)에서 함수의 극한(limit of a function)과 비슷합니다.

원소 $+\infty$ 와 $-\infty$ 를 $\mathbb {R}$ 에 연결함으로써, 그것은 $\mathbb {R}$ 에 대해 그것과 비슷한 토폴로지적(topological) 속성을 갖는 "무한대에서 극한"의 공식화를 활성화합니다.

그것을 완전히 공식적으로 만들기 위해, $\mathbb {R}$ 의 코시 수열 정의(Cauchy sequences definition)는, 모든 각 $M\in \mathbb {R}$ 은 모든 $n>N$ 에 대해 $a_{n}>M$ 인 것에 대해 대응하는 $N\in \mathbb {N}$ 과 결합된 것을 만족하는 실수의 모든 수열 $\{a_{n}\}$ 의 집합으로 $+\infty$ 를 정의하는 것을 허용합니다. $-\infty$ 의 정의는 비슷하게 구성될 수 있습니다.

Measure and integration

측정 이론(measure theory)에서, 그의 값이 무한할 수 있는 무한 측정 및 적분을 가지는 집합을 허용하는 것이 종종 유용합니다.

그러한 측정은 자연스럽게 미적분에서 비롯됩니다. 예를 들어, 구간의 보통 길이와 일치하는 측정(measure)을 $\mathbb {R}$ 에 할당하는 것에서, 이 측정은 임의의 유한 실수보다 반드시 커야 합니다. 또한, 다음처럼 부적절한 적분(improper integral)을 고려할 때,

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}

값 "무한대"가 발생합니다. 마지막으로, 다음처럼 함수의 수열의 극한을 고려하는 것이 종종 유용합니다:

f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}

함수가 무한한 값을 취하는 것 허용없이, 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)와 지배 수렴 정리(dominated convergence theorem)와 같은 그런 필수 결과는 이해가 되지 않을 것입니다.

Order and topological properties

아핀적으로 확장된 실수 시스템은 모든 $a$ 에 대해 $-\infty \leq a\leq +\infty$ 을 정의함으로써 전체 순서 집합(totally ordered set)으로 바뀔 수 있습니다. 이 순서 토폴로지(order topology)과 함께, ${\overline {\mathbb {R} }}$ 은 콤택트성(compactness)의 바람직한 속성을 가집니다: ${\overline {\mathbb {R} }}$ 의 모든 각 부분-집합은 상한(supremum)과 하한(infimum)을 가집니다^[4] (빈 집합의 하한은 $+\infty$ 이고 그의 상한은 $-\infty$ 입니다). 게다가, 이 토폴로지와 함께 ${\overline {\mathbb {R} }}$ 은 단위 구간(unit interval) $[0,1]$ 에 대한 위상-동형(homeomorphic)입니다. 따라서 토폴로지는 메트릭-가능(metrizable)이며, 이 구간 위에 보통 메트릭에 (주어진 위상-동형에 대해) 해당합니다. $\mathbb {R}$ 위에 보통 메트릭의 확장인 메트릭은 없습니다.

이 토폴로지와 함께, 집합 $U$ 가 $+\infty$ 의 이웃(neighborhood)인 것과 그것이 어떤 실수 $a$ 에 대해 집합 $\{x:x>a\}$ 을 포함하는 것은 필요충분 조건입니다. $-\infty$ 의 이웃의 개념은 비슷하게 정의될 수 있습니다. 확장된-실수 이웃의 이 특성화를 사용하여, $+\infty$ 와 $-\infty$ 로 경향이 있는 $x$ 에 대해 특별히 정의된 극한(limits), 및 $+\infty$ 와 $-\infty$ 와 같은 극한의 특별히 정의된 개념은 극한의 일반적인 토폴로지적 정의로 축소됩니다.

Arithmetic operations

$\mathbb {R}$ 의 산술 연산은 다음처럼 ${\overline {\mathbb {R} }}$ 에 부분적으로 확장될 수 있습니다:^[3]

{\begin{aligned}a+\infty =+\infty +a&=+\infty ,&a&\neq -\infty \\a-\infty =-\infty +a&=-\infty ,&a&\neq +\infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}

지수화에 대해, 거듭제곱의 극한을 참조하십시오. 여기서, " $a+\infty$ "은 " $a+(+\infty )$ "와 " $a-(-\infty )$ " 둘 다를 의미하고, " $a-\infty$ "은 " $a-(+\infty )$ "와 " $a+(-\infty )$ " 둘 다를 의미합니다.

(불확정 형식(indeterminate form)으로 불리는) 표현 $\infty -\infty ,0\times (\pm \infty )$ 및 $\pm \infty /\pm \infty$ 는 보통 정의되지-않은(undefined) 채 남겨집니다. 이들 규칙은 무한 극한(infinite limits)에 대한 법칙 위에 모델링됩니다. 어쨌든, 확률 이론 또는 측정 이론에서, $0\times \pm \infty$ 는 종종 $0$ 으로 정의됩니다.^[5]

양 및 음의 확장된 실수 둘 다를 다룰 때, 표현 $1/0$ 은 보통 정의되지-않은 채 남겨지는데, 왜냐하면, 비록 그것이 $0$ 에 수렴하는 모든 각 실수 비-영 수열 $f$ 에 대해, 역 수열 $1/f(x)$ 이 $\{\infty ,-\infty \}$ 의 모든 각 이웃에 결국 포함될지라도, 수열 $1/f$ 이 반드시 $-\infty$ 또는 $\infty$ 중 하나에 자체 수렴하는 것은 참이 아니기 때문입니다. 또 다른 방법에서 말하면, 만약 연속 함수(continuous function) $f$ 가 특정 값 $x_{0}$ 에서 영에 도달하면, 그것은 $1/f$ 이, $x$ 가 $x_{0}$ 로 경향이 있을 때 극한에서 $-\infty$ 또는 $\infty$ 중 하나로 경향이 있는 경우일 필요는 없습니다. 이것은 $x$ 가 0으로 경향이 있을 때 항등 함수(identity function) $f(x)=x$ , 및 $f(x)=x^{2}\sin(1/x)$ 의 극한에 대한 경우입니다 (후자 함수에 대해, $-\infty$ 및 $\infty$ 둘 다는, 심지어 만약 $x$ 의 오직 양의 값이 고려되면, $1/f(x)$ 의 극한이 아닙니다).

어쨌든, 오직 비-음의 값이 고려되는 문맥에서, 그것은 $1/0=+\infty$ 을 정의하는 것이 종종 편리합니다. 예를 들어, 거듭제곱 급수와 작동할 때, 계수 $a_{n}$ 을 갖는 거듭제곱 급수(power series)의 수렴의 반지름(radius of convergence)은 수열 $\{|a_{n}|^{1/n}\}$ 의 극한-상한의 역수로 종종 정의됩니다. 따라서, 만약 우리가 $1/0$ 을 값 $+\infty$ 을 취하는 것을 허용하면, 우리는 극한-상한이 $0$ 인지 아닌지 여부에 상관없이 이 공식을 사용할 수 있습니다.

Algebraic properties

이들 정의와 함께, ${\overline {\mathbb {R} }}$ 은 심지어 반-그룹이 아니며, $\mathbb {R}$ 의 경우에서 처럼, 단독으로 그룹, 링, 또는, 필드로 놓습니다. 어쨌든, 여러 편리한 속성을 가집니다:

$a+(b+c)$ 와 $(a+b)+c$ 는 서로 같거나 둘 다 정의되지 않습니다.
$a+b$ 와 $b+a$ 는 서로 같거나 둘 다 정의되지 않습니다.
$a\cdot (b\cdot c)$ 와 $(a\cdot b)\cdot c$ 는 서로 같거나 둘 다 정의되지 않습니다.
$a\cdot b$ 와 $b\cdot a$ 는 서로 같거나 둘 다 정의되지 않습니다.
$a\cdot (b+c)$ 와 $(a\cdot b)+(a\cdot c)$ 는, 만약 둘 다 정의되면, 같습니다.
만약 $a\leq b$ 및 만약 $a+c$ 와 $b+c$ 둘 다가 정의되면, $a+c\leq b+c$ 입니다.
만약 $a\leq b$ 와 $c>0$ 및 만약 $a\cdot c$ 와 $b\cdot c$ 둘 다가 정의되면, $a\cdot c\leq b\cdot c$ 입니다.

일반적으로, 모든 발생하는 표현이 정의되는 한, 산술의 모든 법칙은 ${\overline {\mathbb {R} }}$ 에서 유효합니다.

Miscellaneous

여러 함수(functions)는 극한을 취함으로써 ${\overline {\mathbb {R} }}$ 에 연속(continuity)적으로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, 우리는 다음: $\exp(-\infty )=0,\ \ln(0)=-\infty ,\ \tanh(\pm \infty )=\pm 1,\ \arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}$ 처럼 해당 함수의 극점을 정의할 수 있을 것입니다.

일부 특이점(singularities)은 추가적으로 제거될 수 있을 것입니다. 예를 들어, 함수 $1/x^{2}$ 은 $x=0$ 에 대해 $+\infty$ , $x=+\infty$ 와 $x=-\infty$ 에 대해 $0$ 에 값을 설정함으로써 (연속성의 일부 정의 아래에서) ${\overline {\mathbb {R} }}$ 에 연속적으로 확장될 수 있습니다. 다른 한편으로, 함수 $1/x$ 는 연속적으로 확장될 수 없는데, 왜냐하면 함수는 $x$ 가 아래로부터 0에 접근할 때 $-\infty$ 로 접근하고, $x$ 가 위로부터 0에 접근할 때 $+\infty$ 로 접근하기 때문입니다.

비슷하지만 다른 실수-직선 시스템, 투영적으로 확장된 실수 직선(projectively extended real line)은 $+\infty$ 와 $-\infty$ 사이를 구별하지 않습니다 (즉, 무한대는 비-부호입니다).^[6] 결과적으로, 함수는 투영적으로 확장된 실수 직선 위에 극한 $\infty$ 을 가질 수 있지만, 아핀적으로 확장된 실수 시스템에서, 예를 들어, $x=0$ 에서 함수 $1/x$ 의 경우에서, 오직 함수의 절댓값이 극한을 가집니다. 다른 한편으로

\lim _{x\to -\infty }{f(x)}

and

\lim _{x\to +\infty }{f(x)}

은 투영적으로 확장된 실제 직선 위에, 각각, 오직 오른쪽에서 극한과 왼쪽에서 극한에 해당하며, 두 개가 같은 때 전체 극한은 오직 존재합니다. 따라서 함수 $e^{x}$ 및 $\arctan(x)$ 는 투영적으로 확장된 실수 직선 위에 $x=\infty$ 에서 절대 연속적으로 만들 수 없습니다.

References

^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Infinite". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-03.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ Wilkins, David (2007). "Section 6: The Extended Real Number System" (PDF). maths.tcd.ie. Retrieved 2019-12-03.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. "Affinely Extended Real Numbers". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-03.
^ Oden, J. Tinsley; Demkowicz, Leszek (16 January 2018). Applied Functional Analysis (3 ed.). Chapman and Hall/CRC. p. 74. ISBN 9781498761147. Retrieved 8 December 2019.
^ "extended real number in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2019-12-03.
^ Weisstein, Eric W. "Projectively Extended Real Numbers". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-03.