Finite difference

Original article: w:Finite difference

유한 차이(finite difference)는 형식 f (x + b) − f (x + a)의 수학적 표현입니다. 만약 유한 차이가 b − a에 의해 나뉘면, 우리는 차이 몫(difference quotient)을 얻습니다. 유한 차이에 의해 도함수(derivative)의 근사는 미분 방정식(differential equation), 특히 경계 값 문제(boundary value problem)의 수치적(numerical) 해에 대해 유한 차이 방법(finite difference method)에서 핵심적인 역할을 합니다.

차이 연산자(difference operator)는, 공통적으로 $\Delta$로 표시되며, 함수 f를 다음에 의해 정의된 함수 $\Delta [f]$로 매핑하는 연산자(operator)입니다:

$\Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).$

차이 방정식(difference equation)은 미분 방정식(differential equation)이 도함수(derivative)를 포함하는 것과 같은 방법에서 유한 차이 연산자를 포함하는 함수형 방정식(functional equation)입니다. 특히 해결 방법에서, 차이 방정식과 미분 방정식 사이에는 많은 유사점이 있습니다. 특정 재귀 관계(certain recurrence relations)는 반복 표기법을 유한 차이로 대체함으로써 차이 방정식으로 쓸 수 있습니다.

수치 해석학(numerical analysis)에서, 유한 차이가 도함수를 근사하는(approximating derivatives) 데 광범위하게 사용되었고, 용어 "유한 차이"는 종종 "도함수의 유한 차이 근사"의 축약으로 사용됩니다. 유한 차이 근사는 위에 사용된 용어에서 유한 차이 몫입니다.

유한 차이는 1715년에 브룩 테일러(Brook Taylor)에 의해 도입되었고 역시 조지 부울(George Boole) (1860), 루이스 멜빌 밀네-톰슨(L. M. Milne-Thomson) (1933), 및 카를리 요르단(Károly Jordan) (1939)에 의한 연구에서 추상적 자립 수학적 대상으로 연구되어 왔습니다. 유한 차이의 기원은 요스트 뷔르기(Jost Bürgi)의 알고리듬 중 하나(c. 1592)와 아이작 뉴턴(Isaac Newton)을 비롯한 다른 사람들에 의한 연구로 거슬러 올라갑니다. 유한 차이의 형식적 미적분은 무한소(infinitesimal)의 미적분(calculus)의 대안으로 보일 수 있습니다.

Basic types

The three types of the finite differences. The central difference about x gives the best approximation of the derivative of the function at x.

셋의 기본 유형은 공통적으로: 전방(forward), 후방(backward), 및 중앙(central) 유한 차이가 고려됩니다.

함수(function) f의 전방 차이는, $\Delta _{h}[f]$로 표시되며, 다음으로 정의된 함수입니다:

$\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).$

응용에 따라, 간격 h는 변수 또는 상수일 수 있습니다. 생략될 때, h는 1로 취합니다; 즉,

$\Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).$

역방향 차이는 x + h와 x에서 값 대신 x와 x − h에서 함수 값을 사용합니다:

$\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).$

마지막으로, 중앙 차이는 다음에 의해 제공됩니다:

$\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).$

Relation with derivatives

유한 차이는 전형적으로 수치적 미분화(numerical differentiation)에서 도함수의 근사치로 종종 사용됩니다.

점 x에서 함수 f의 도함수(derivative)는 극한(limit)에 의해 정의됩니다:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

만약 h가 영에 접근하는 것 대신에 고정된 (비-영) 값을 가지면, 위의 방정식의 오른쪽 변은 다음으로 쓰일 것입니다:

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.$

따라서, h로 나눈 전방 차이는 h가 작을 때 도함수에 접근합니다. 이 근사에서 오차는 테일러의 정리(Taylor's theorem)에서 유도될 수 있습니다. f가 두 번 미분가능이라고 가정하면, 우리는 다음을 가집니다:

${\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.$

같은 공식은 역방향 차이에 대해 유지됩니다:

${\frac {\nabla _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O(h)\to 0\quad {\text{as }}h\to 0.$

어쨌든, 중앙 차이는 보다 정확한 근사를 산출합니다. 만약 f가 세 번 미분-가능이면,

${\frac {\delta _{h}[f](x)}{h}}-f'(x)=O\left(h^{2}\right).$

중앙 차이 방법이 갖는 주요 문제는, 어쨌든, 진동 함수가 영 도함수를 산출할 수 있다는 것입니다. 만약 홀수 n에 대해 f (nh) = 1이고, 짝수 n에 대해 f (nh) = 2이면, 그것이 중심 차이 스킴(central difference scheme)으로 계산되면 f ′(nh) = 0입니다. 이것은 f의 도메인이 이산적이면 특히 문제가 됩니다. 역시 대칭 도함수(symmetric derivative)를 참조하십시오.

유한 차이가 유한 차이 근사를 의미하는 저자는 전방/후방/중심 차이를 (이전 섹션에 제공된 정의를 사용하는 대신) 이 섹션에 제공된 몫으로 정의합니다.

Higher-order differences

유사한 방법에서, 우리는 고차 도함수와 미분 연산자에 대한 유한 차이 근사치를 얻을 수 있습니다. 예를 들어, f ′(x + h/2)와 f ′(x − h/2)에 대해 위의 중앙 차이 공식을 사용하고 x에서 f ′의 도함수에 대해 중앙 창이 공식을 적용함으로써, 우리는 f의 이차 도함수의 중앙 차이 근사를 얻습니다:

이차 중앙

$f''(x)\approx {\frac {\delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

유사하게 재귀적인 방식으로 다른 차이 공식을 적용할 수 있습니다.

이차 전방

$f''(x)\approx {\frac {\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+2h)-f(x+h)}{h}}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}{h}}={\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2}}}.$

이차 후방

$f''(x)\approx {\frac {\nabla _{h}^{2}[f](x)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}-{\frac {f(x-h)-f(x-2h)}{h}}}{h}}={\frac {f(x)-2f(x-h)+f(x-2h)}{h^{2}}}.$

보다 일반적으로, n차 전방, 후방, 및 중앙 차이는 각각 다음에 의해 제공됩니다:

전방

$\Delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{n-i}{\binom {n}{i}}f{\bigl (}x+ih{\bigr )},$

또는 h = 1에 대해,

$\Delta ^{n}[f](x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}f(x+k)$

후방

$\nabla _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f(x-ih),$

중앙

$\delta _{h}^{n}[f](x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}f\left(x+\left({\frac {n}{2}}-i\right)h\right).$

이들 방정식은 (ⁿ
_i)로 표시된 합계 부호 뒤에 이항 계수(binomial coefficient)를 사용합니다. 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)의 각 행은 i의 각 값에 대해 계수를 제공합니다.

중앙 차이는, 홀수 n에 대해, 비-정수에 의해 곱해진 h를 가짐을 주목하십시오. 이것은 이산화의 구간을 변경하는 것에 해당하기 때문에 종종 문제가 됩니다. 그 문제는 δⁿ[ f ](x − h/2)와 δⁿ[ f ](x + h/2)의 평균을 취하여 해결될 수 있습니다.

수열(sequence)에 적용된 전방 차이는 때때로 수열의 이항 변환(binomial transform)이라고 불리고, 여러 가지 흥미로운 조합론적 속성을 가집니다. 전방 차이는 뇌룬드–라이스 적분(Nörlund–Rice integral)을 사용하여 평가될 수 있습니다. 이들 유형의 급수에 대해 적분 표현은 흥미로운데, 왜냐하면 그 적분은 종종 점근적 전개(asymptotic expansion) 또는 안장-점(saddle-point) 기법을 사용하여 평가될 수 있기 때문입니다; 대조적으로, 전방 차이 급수는 큰 n에 대해 이항 계수가 빠르게 증가하기 때문에 수치적으로 평가하기가 극단적으로 어려울 수 있습니다.

각 도함수를 이들 고차 차이의 관계는 간단합니다:

${\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x)={\frac {\Delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\nabla _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O(h)={\frac {\delta _{h}^{n}[f](x)}{h^{n}}}+O\left(h^{2}\right).$

고차 차이는 역시 더 나은 근사를 구성하기 위해 사용될 수 있습니다. 위에서 언급했듯이, 일-차 차이는 차수 h의 항까지 일-차 도함수를 근사합니다. 어쨌든, 다음 조합은

${\frac {\Delta _{h}[f](x)-{\frac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}[f](x)}{h}}=-{\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+3f(x)}{2h}}$

차수 h²의 항까지 f ′(x)를 근사합니다. 이것은 테일러 급수(Taylor series)에서 위의 표현을 전개하거나, 아래에 설명된 유한 차이의 미적분을 사용함으로써 입증될 수 있습니다.

만약 필요하다면, 유한 차이는 전방, 후방, 및 중앙 차이를 혼합함으로써 임의의 점을 중심으로 할 수 있습니다.

Arbitrarily sized kernels

Main article: Finite difference coefficient

Further information: Five-point stencil

선형 대수를 사용하면, 우리는 임의의 차수 도함수에 대해 평가 점의 왼쪽에 임의적인 숫자의 점과 오른쪽에 있는 (아마도 다른) 숫자의 점을 활용하는 유한 차이 근사를 구성할 수 있습니다. 이것은 평가 점 주변의 그들 점들의 합의 테일러 전개(Taylor expansion)가 원했던 도함수의 테일러 전개에 가장 근접함을 만족하는 선형 시스템을 푸는 것을 포함합니다. 그러한 공식은 육각형 또는 다이아몬드-모양의 격자에 그래픽적으로 표시될 수 있습니다.

이것은 그리드의 함수를 구별하는 데 유용하며, 여기서, 그리드의 가장자리로 접근할 때, 한쪽에서 점점 더 적은 숫자의 점을 표본화해야 합니다.

자세한 내용은 이들 문서에 설명되어 있습니다.

유한 차이 계수 계산기는 임의적인 원본과 원했던 도하수 차수가 주어진 비-표준 (및 심지어 비-정수) 원본에 대해 유한 차이 근사를 구성합니다.

Properties

• 모든 양수 k와 n에 대해

$\Delta _{kh}^{n}(f,x)=\sum \limits _{i_{1}=0}^{k-1}\sum \limits _{i_{2}=0}^{k-1}\cdots \sum \limits _{i_{n}=0}^{k-1}\Delta _{h}^{n}\left(f,x+i_{1}h+i_{2}h+\cdots +i_{n}h\right).$

• 라이프니츠 규칙(Leibniz rule):

$\Delta _{h}^{n}(fg,x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\Delta _{h}^{k}(f,x)\Delta _{h}^{n-k}(g,x+kh).$

In differential equations

Main article: Finite difference method

유한 차이의 중요한 응용은 수치 해석학(numerical analysis), 특히 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation)과 부분 미분 방정식(partial differential equation)의 수치적 해를 목표로 하는 수치적 미분 방정식(numerical differential equations)에 있습니다. 그 아이디어는 미분 방정식에 나타나는 도함수를 그것들을 근사하는 유한 차이로 대체하는 것입니다. 결과 방법은 유한 차이 방법(finite difference method)이라고 불립니다.

유한 차이 방법의 공통적인 응용은 열 공학(thermal engineering), 유체 역학(fluid mechanics), 등과 같은 계산적 과학과 공학 분야에 있습니다.

Newton's series

뉴턴 급수(Newton series)는 아이작 뉴턴(Isaac Newton)의 이름을 따서 지은 뉴턴 전방 차이 방정식(Newton forward difference equation)의 항으로 구성됩니다; 본질적으로, 그것은 1687년 그의 Principia Mathematica에서 처음 출판된 뉴턴 보간 공식(Newton interpolation formula), 즉 연속 테일러 전개의 이산 아날로그입니다,

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {x-a}{k}}\,\Delta ^{k}[f](a),$

이것은 임의의 다항(polynomial) 함수 f에 대해 그리고 많은 (전부는 아니지만) 해석적 함수(analytic function)에 대해 유지됩니다 (그것은 f가 지수 유형(exponential type) $\pi$일 때 유지되지 않습니다. 이것은 사인 함수가 $\pi$의 정수 배수에서 사라지기 때문에 쉽게 알 수 있습니다; 이 경우에서 모든 유한 차이가 영이므로 해당하는 뉴턴 급수는 동일하게 영입니다. 그래도 분명히, 사인 함수는 영이 아닙니다.) 여기서, 다음 표현은

${\binom {x}{k}}={\frac {(x)_{k}}{k!}}$

이항 계수(binomial coefficient)이고, 다음 표현은

$(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)$

"떨어지는 팩토리얼(falling factorial)" 또는 "아래쪽 팩토리얼"이고, 반면에 빈 곱(empty product) (x)₀은 1로 정의됩니다. 이 특별한 경우에서, 아래 일반화의 x, h = 1 값에서 변화에 대해 단위 단계의 가정이 있습니다.

테일러의 정리(Taylor's theorem)에 대한 이 결과의 형식적인 대응에 주목하십시오. 역사적으로, 이것과 마찬가지로 추시–방데르몽드 항등식(Chu–Vandermonde identity)은,

$(x+y)_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(x)_{n-k}\,(y)_{k},$

(그것에 따르고, 이항 정리(binomial theorem)에 해당함), 움브랄 계산(umbral calculus)의 시스템으로 성숙한 관찰에 포함됩니다.

뉴턴 급수 전개는 양자 스핀 (홀스타인–프리마코프 변환(Holstein–Primakoff transformation)을 참조), 보손 연산자 함수(bosonic operator functions) 또는 이산 세는 통계량과 같은 이산 수량에 적용될 때 테일러 급수 전개보다 우수할 수 있습니다.

실제 실습에서 뉴턴의 공식을 사용하는 방법을 설명하기 위해, 피보나치 수열(Fibonacci sequence)을 두 배로 늘린 처음 몇 개의 항 f = 2, 2, 4, ...을 생각해 보십시오. 우리는 먼저 차이 테이블을 계산하고, 그런-다음 x₀ (밑줄 친 부분)에 해당하는 차이를 다음처럼 공식에 대입함으로써 이들 값을 재현하는 다항식(polynomial)을 찾을 수 있습니다:

${\begin{matrix}{\begin{array}{|c||c|c|c|}\hline x&f=\Delta ^{0}&\Delta ^{1}&\Delta ^{2}\\\hline 1&{\underline {2}}&&\\&&{\underline {0}}&\\2&2&&{\underline {2}}\\&&2&\\3&4&&\\\hline \end{array}}&\quad {\begin{aligned}f(x)&=\Delta ^{0}\cdot 1+\Delta ^{1}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{1}}{1!}}+\Delta ^{2}\cdot {\dfrac {(x-x_{0})_{2}}{2!}}\quad (x_{0}=1)\\\\&=2\cdot 1+0\cdot {\dfrac {x-1}{1}}+2\cdot {\dfrac {(x-1)(x-2)}{2}}\\\\&=2+(x-1)(x-2)\\\end{aligned}}\end{matrix}}$

x의 값에서 비-균등 단계의 경우에서, 뉴턴은 나뉜 차이(divided differences)와,

$\Delta _{j,0}=y_{j},\qquad \Delta _{j,k}={\frac {\Delta _{j+1,k-1}-\Delta _{j,k-1}}{x_{j+k}-x_{j}}}\quad \ni \quad \left\{k>0,\;j\leq \max \left(j\right)-k\right\},\qquad \Delta 0_{k}=\Delta _{0,k}$

곱의 급수를 계산하고,

${P_{0}}=1,\quad \quad P_{k+1}=P_{k}\cdot \left(\xi -x_{k}\right),$

결과 다항식은 스칼라 곱(scalar product)입니다:

$f(\xi )=\Delta 0\cdot P\left(\xi \right)$ .

p-진수 숫자(p-adic numbers)를 갖는 해석학에서, 말러의 정리(Mahler's theorem)는 f가 다항 함수라는 가정이 f가 단지 연속이라는 가정까지 약화될 수 있다고 말합니다.

칼손의 정리(Carlson's theorem)는 뉴턴 급수에 대해, 만약 그것이 존재하면, 고유하기 위한 필요와 충분 조건을 제공합니다. 어쨌든, 뉴턴 급수는, 일반적으로, 존재하지 않습니다.

뉴턴 급수는, 스털링 급수(Stirling series)와 셀베르그 급수(Selberg series)와 함께, 일반적인 차이 급수(difference series)의 특별한 경우이며, 그것의 모두는 적절하게 스케일된 전방 차이의 관점에서 정의됩니다.

압축되고 약간 더 일반적인 형식과 등거리 노드에서, 그 공식은 다음으로 읽습니다:

$f(x)=\sum _{k=0}{\binom {\frac {x-a}{h}}{k}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}f(a+jh).$

Calculus of finite differences

순방향 차이는 함수 f를 Δ_h[ f ]에 매핑하는 차이 연산자(difference operator)라고 불리는 연산자(operator)로 고려될 수 있습니다. 이 연산자는 다음으로 됩니다:

$\Delta _{h}=T_{h}-I,$

여기서 T_h는 T_h[ f ](x) = f (x + h)에 의해 정의된 단계 h를 갖는 미는 연산자(shift operator)이고, I는 항등 연산자(identity operator)입니다.

고차의 유한 차이는 재귀적 방식에서 Δⁿ
_h ≡ Δ_h(Δ^{n − 1}
_h)로 정의될 수 있습니다. 또 다른 동등한 정의는 Δⁿ
_h = [T_h − I]ⁿ입니다.

차이 연산자 Δ_h는 선형 연산자(linear operator)이고, 이를테면 그것은 Δ_h[αf + βg](x) = α Δ_h[ f ](x) + β Δ_h[g](x)를 만족시킵니다.

그것은 역시 위에 표시된 특수한 라이프니츠 규칙(Leibniz rule), Δ_h(f (x)g(x)) = (Δ_hf (x)) g(x+h) + f (x) (Δ_hg(x))을 만족시킵니다. 유사한 명제는 후방과 중앙 차이에 대해 유지됩니다.

공식적으로 h에 관해 테일러 급수(Taylor series)를 적용하면, 다음 공식을 산출합니다:

$\Delta _{h}=hD+{\frac {1}{2!}}h^{2}D^{2}+{\frac {1}{3!}}h^{3}D^{3}+\cdots =\mathrm {e} ^{hD}-I,$

여기서 D는 연속체 도함수 연산자를 나타내고, f를 그것의 도함수 f ′로 매핑합니다. 그 전개는 양쪽 변이 충분하게 작은 h에 대해 해석적 함수(analytic function)로 행동할 때 유효합니다. 따라서, T_h = e^hD이고, 공식적으로 그 전개의 역은 다음을 산출합니다:

$hD=\log(1+\Delta _{h})=\Delta _{h}-{\tfrac {1}{2}}\Delta _{h}^{2}+{\tfrac {1}{3}}\Delta _{h}^{3}-\cdots .$

이 공식은 두 연산자가 다항식에 적용될 때 같은 결과를 제공한다는 의미에서 유지됩니다.

심지어 해석적 함수에 대해, 오른쪽 급수가 수렴하기 위한 보장은 없습니다; 그것은 점근적 급수(asymptotic series)일 수 있습니다. 어쨌든, 그것은 도함수에 대해 보다 정확한 근사를 얻기 위해 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 급수의 처음 두 항을 유지하면 고차 차이 섹션의 끝에 언급된 f ′(x)에 대한 이-차 근사를 산출합니다.

후방과 중심 차이 연산자에 대해 유사한 공식은 다음입니다:

$hD=-\log(1-\nabla _{h})\quad {\text{and}}\quad hD=2\operatorname {arsinh} \left({\tfrac {1}{2}}\delta _{h}\right).$

유한 차이의 미적분은 조합론의 움브랄 계산(umbral calculus)과 관련이 있습니다. 이 현저하게 시스템적인 대응물은 연속체 아날로그 (h → 0 극한)에 대한 움브랄 수량의 교환자(commutators)의 동일성으로 인한 것입니다,

$\left[{\frac {\Delta _{h}}{h}},x\,T_{h}^{-1}\right]=[D,x]=I.$

함수 f (x)를 포함하는 표준 미적분의 형식적 미분 관계의 많은 수는 따라서 f (xT⁻¹
_h)를 포함하는 움브랄 유한-차이 아날로그로의 시스템적 매핑입니다.

예를 들어, 단항식 xⁿ의 움브랄 아날로그는 다음이 되도록

${\frac {\Delta _{h}}{h}}(x)_{n}=n(x)_{n-1},$

위의 떨어지는 팩토리얼 (포흐하머 k-기호(Pochhammer k-symbol))의 일반화이고,

$~(x)_{n}\equiv \left(xT_{h}^{-1}\right)^{n}=x(x-h)(x-2h)\cdots {\bigl (}x-(n-1)h{\bigr )},$

따라서 (그러한 기호에서 임의적인 함수 f (x)의 전개에서 계수를 매칭함으로써) 위의 뉴턴 보간 공식이고, 등등입니다.

예를 들어, 움브랄 사인은 다음입니다:

$\sin \left(x\,T_{h}^{-1}\right)=x-{\frac {(x)_{3}}{3!}}+{\frac {(x)_{5}}{5!}}-{\frac {(x)_{7}}{7!}}+\cdots$

연속체 극한에서 처럼, Δ_h/h의 고유함수는 역시 지수적이 되게 발생하고,

${\frac {\Delta _{h}}{h}}(1+\lambda h)^{\frac {x}{h}}={\frac {\Delta _{h}}{h}}e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}}=\lambda e^{\ln(1+\lambda h){\frac {x}{h}}},$

따라서 연속체 하수의 푸리에 합은 충실하게 움브랄 푸리에 합에 쉽게 매핑됩니다, 즉, 이들 움브랄 기저 지수를 곱한 같은 푸리에 계수를 포함합니다. 이 움브랄 지수는 따라서 포흐하머 기호(Pochhammer symbol)의 지수 생성하는 함수(generating function)에 이릅니다.

따라서, 예를 들어, 디랙 델타 함수(Dirac delta function)는 그것의 움브랄 대응물, 세는-숫자 사인 함수(cardinal sine function(로 매핑하고, 등등입니다:

$\delta (x)\mapsto {\frac {\sin \left[{\frac {\pi }{2}}\left(1+{\frac {x}{h}}\right)\right]}{\pi (x+h)}},$

차이 방정식(difference equation)은 종종 미분 방정식(differential equation)을 푸는 기법과 유사한 기법으로 해결될 수 있습니다.

전방 차이 연산자의 역 연산자, 따라서 그때의 움브랄 적분은 무한 합(indefinite sum) 또는 역차이 연산자입니다.

Rules for calculus of finite difference operators

도함수를 찾는 규칙과 유사하게, 우리는 다음을 가집니다:

• 상수 규칙: 만약 c가 상수(constant)이면, 다음입니다:

$\Delta c=0$

• 선형성(Linearity): 만약 a와 b가 상수(constants)이면, 다음입니다:

$\Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g$

위의 모든 규칙은 Δ에 관해 ∇를 포함하여 임의의 차이 연산자에 같게 적용됩니다.

• 곱 규칙:

${\begin{aligned}\Delta (fg)&=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g\\\nabla (fg)&=f\,\nabla g+g\,\nabla f-\nabla f\,\nabla g\end{aligned}}$

• 몫 규칙:

$\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {1}{g}}\det {\begin{bmatrix}\nabla f&\nabla g\\f&g\end{bmatrix}}\left(\det {\begin{bmatrix}g&\nabla g\\1&1\end{bmatrix}}\right)^{-1}$

또는

$\nabla \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {g\,\nabla f-f\,\nabla g}{g\cdot (g-\nabla g)}}$

• 합계 규칙(Summation rules):

${\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}\Delta f(n)&=f(b+1)-f(a)\\\sum _{n=a}^{b}\nabla f(n)&=f(b)-f(a-1)\end{aligned}}$

참조를 보십시오.

Generalizations

• 일반화된 유한 차이(generalized finite difference)는 보통 다음처럼 정의됩니다: $$\Delta _{h}^{\mu }[f](x)=\sum _{k=0}^{N}\mu _{k}f(x+kh),$$ 여기서 μ = (μ₀, …, μ_N)는 그것의 계수 벡터입니다. 무한 차이(infinite difference)는 나아가서 일반화되며, 여기서 위의 유한 합은 무한 급수(infinite series)로 대체됩니다. 일반화의 또 다른 방법은 계수 μ_k를 점 x에 의존하게 만드는 것입니다: μ_k = μ_k(x)이고, 따라서 가중된 유한 차이(weighted finite difference)를 고려합니다. 역시 우리는 단계 h를 점 x에 의존하게 만들 수 있습니다: h = h(x). 그러한 일반화는 다른 연속성의 모듈러스(modulus of continuity)를 구성하는 데 유용합니다.
• 일반화된 차이는 다항식 링 R[T_h]으로 보일 수 있습니다. 그것은 차이 대수로 이어집니다.
• 차이 연산자는 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set)에 걸쳐 뫼비우스 역화(Möbius inversion)로 일반화합니다.
• 합성곱 연산자로: 투사 대수(incidence algebra)의 형식화를 통해, 차이 연산자와 다른 뫼비우스 역화는 뫼비우스 함수(Möbius function) μ라고 불리는 포셋 위에 함수를 갖는 합성곱(convolution)에 의해 나타낼 수 있습니다. 차이 연산자에 대해, μ는 수열 (1, −1, 0, 0, 0, …)입니다.

Multivariate finite differences

유한 차이는 하나보다 많은 변수에서 고려될 수 있습니다. 그것들은 여러 변수에서 부분 도함수(partial derivative)와 유사합니다.

일부 부분 포함수 근사는 다음입니다:

${\begin{aligned}f_{x}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-f(x-h,y)}{2h}}\\f_{y}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-f(x,y-k)}{2k}}\\f_{xx}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y)-2f(x,y)+f(x-h,y)}{h^{2}}}\\f_{yy}(x,y)&\approx {\frac {f(x,y+k)-2f(x,y)+f(x,y-k)}{k^{2}}}\\f_{xy}(x,y)&\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y-k)-f(x-h,y+k)+f(x-h,y-k)}{4hk}}.\end{aligned}}$

대안적으로, f의 계산이 가장 비용이 많이 드는 단계이고, 일차와 이차 도함수 둘 다가 계산되어야 하는 응용에 대해, 마지막 경우에 대해 보다 효율적인 공식은 다음입니다:

$f_{xy}(x,y)\approx {\frac {f(x+h,y+k)-f(x+h,y)-f(x,y+k)+2f(x,y)-f(x-h,y)-f(x,y-k)+f(x-h,y-k)}{2hk}},$

이전 넷의 방정식에 대해 아직 필요하지 않은 계산할 값은 f (x + h, y + k)와 f (x − h, y − k)뿐이기 때문입니다.

See also

• Discrete calculus
• Divided differences
• Finite-difference time-domain method (FDTD)
• Finite volume method
• FTCS scheme
• Gilbreath's conjecture
• Sheffer sequence
• Summation by parts
• Time scale calculus
• Upwind differencing scheme for convection

References

• Richardson, C. H. (1954): An Introduction to the Calculus of Finite Differences (Van Nostrand (1954) online copy
• Mickens, R. E. (1991): Difference Equations: Theory and Applications (Chapman and Hall/CRC) ISBN 978-0442001360

External links

• "Finite-difference calculus", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Table of useful finite difference formula generated using Mathematica
• D. Gleich (2005), Finite Calculus: A Tutorial for Solving Nasty Sums
• Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points