Homogeneous polynomial

수학(mathematics)에서, 동차 다항식(homogeneous polynomial)은, 때때로 오래된 교과서에서 quantic이라고 불리며, 그의 비-영 항 모두가 같은 차수(degree)를 가지는 다항식(polynomial)입니다.^[1] 예를 들어, $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$ 은, 두 변수에서, 차수 5의 동차 다항식입니다; 각 항에서 지수의 합은 항상 5입니다. 다항식 $x^{3}+3x^{2}y+z^{7}$ 은 동차가 아닌데, 왜냐하면 지수의 합이 항에서부터 항까지 일치하지 않기 때문입니다. 다항식이 동차인 것과 그것이 동차 함수(homogeneous function)인 것은 필요충분 조건입니다. 대수적 형식(algebraic form), 또는 간단히 형식(form)은 동차 다항식에 의해 정의된 함수(function)입니다.^[2] 이진 형식(binary form)은 두 변수에서 형식입니다. 형식(form)은 벡터 공간(vector space) 위에 정의된 역시 함수이며, 이것은 임의의 기저(basis)에 걸쳐 좌표의 동차 함수로 표현될 수 있습니다.

차수 0의 다항식은 항상 동차입니다; 그것은 단순히 계수의 필드(field) 또는 링(ring)의 원소이며, 보통 상수 또는 스칼라라고 불립니다. 차수 1의 형식은 선형 형식입니다.^[3] 차수 2의 형식은 이차 형식(quadratic form)입니다. 기하학(geometry)에서, 유클리드 거리(Euclidean distance)는 이차 형식의 제곱근(square root)입니다.

동차 다항식은 수학과 물리학에서 유비쿼터스입니다.^[4] 그들은 대수 기하학에서 기본적인 역할을 하는데, 왜냐하면 투영적 대수 다양체(projective algebraic variety)는 동차 다항식의 집합의 공통적인 영들의 집합으로 정의되기 때문입니다.

Properties

동차 다항식은 동차 함수(homogeneous function)로 정의합니다. 이것은, 만약 다변수 다항식(multivariate polynomial) P가 차수 d의 동차이면, P의 계수(coefficient)를 포함하는 임의의 필드(field)에서 모든 각 $\lambda$ 에 대해 다음입니다:

P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,

.

반대로, 만약 위의 관계가 무한하게 많은 $\lambda$ 에 대해 참이면, 다항식은 차수 d의 동차입니다.

특히, 만약 P가 동차이면, 모든 각 $\lambda$ 에 대해 다음입니다:

P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,

이 속성은 투영 다양체(projective variety)의 정의에서 기본적입니다.

임의의 비-영 다항식은, 다른 차수의 동차 다항식의 합으로, 고유한 방법에서, 분해될 수 있으며, 이것은 다항식의 동차 성분(homogeneous components)이라고 불립니다.

필드(field) (또는 보다 일반적으로, 링(ring)) K에 걸쳐 다항식 링(polynomial ring) $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 이 주어지면, 차수 d의 동차 다항식은, 공통적으로 $R_{d}$ 으로 나타내는, 벡터 공간(vector space) (또는 모듈(module))을 형성합니다. 위의 고유한 분해는 $R$ 이 $R_{d}$ 의 직접 합(direct sum) (모든 비-음의 정수(nonnegative integer)에 걸쳐 합)임을 의미합니다.

벡터 공간 (또는 자유 모듈(free module)) $R_{d}$ 의 차원은 n 변수에서 차수 d의 다른 단항식의 숫자입니다 (즉 n 변수에서 차수 d의 동차 다항식에서 비-영 항의 최대 숫자입니다). 그것은 이항 계수(binomial coefficient)와 같습니다:

{\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.

동차 다항식은 동차 함수에 대해 오일러의 항등식(Euler's identity for homogeneous functions)을 만족시킵니다. 즉, 만약 $P$ 가 불확정 $x_{1},\ldots ,x_{n},$ 에서 차수 $d$ 의 동차 다항식이면, 우리는, 어느 쪽이든 계수의 교환 링(commutative ring)이며, 다음을 가집니다:

dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},

여기서 $\textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}$ 는 $x_{i}$ 에 관한 $P$ 의 형식적인 부분 도함수(formal partial derivative)를 표시합니다.

Homogenization

비-동차 다항식 P(x₁,...,x_n)은 추가적인 변수 x₀를 도입하고 때때로 ^hP로 표시되는 동차 다항식을 정의함으로써 동차화될 수 있습니다:^[5]

{^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),

여기서 d는 P의 차수(degree)입니다. 예를 들어, 만약 다음이면:

P=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,

다음입니다:

^{h}\!P=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.

동차 다항식은 추가적인 변수 x₀ = 1를 설정함으로써 탈-동차화될 수 있습니다. 즉,

P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).

References

^ D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Using Algebraic Geometry, 2nd ed., page 2. Springer-Verlag, 2005.
^ However, as some authors do not make a clear distinction between a polynomial and its associated function, the terms homogeneous polynomial and form are sometimes considered as synonymous.
^ Linear forms are defined only for finite-dimensional vector space, and have thus to be distinguished from linear functionals, which are defined for every vector space. "Linear functional" is rarely used for finite-dimensional vector spaces.
^ Homogeneous polynomials in physics often appear as a consequence of dimensional analysis, where measured quantities must match in real-world problems.
^ D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Using Algebraic Geometry, 2nd ed., page 35. Springer-Verlag, 2005.

External links

Media related to Homogeneous polynomials at Wikimedia Commons
Weisstein, Eric W. "Homogeneous Polynomial". MathWorld.

[1] D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Using Algebraic Geometry, 2nd ed., page 2. Springer-Verlag, 2005.

[2] However, as some authors do not make a clear distinction between a polynomial and its associated function, the terms homogeneous polynomial and form are sometimes considered as synonymous.

[3] Linear forms are defined only for finite-dimensional vector space, and have thus to be distinguished from linear functionals, which are defined for every vector space. "Linear functional" is rarely used for finite-dimensional vector spaces.

[4] Homogeneous polynomials in physics often appear as a consequence of dimensional analysis, where measured quantities must match in real-world problems.

[5] D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Using Algebraic Geometry, 2nd ed., page 35. Springer-Verlag, 2005.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Properties

Homogenization

See also

References

External links