Homogeneous function

Original article: w:Homogeneous function

For homogeneous linear maps, see Graded vector space § Homomorphisms.

수학(mathematics)에서, 동차 함수(homogeneous function)는 만약 모든 그것의 인수가 스칼라(scalar)에 의해 곱해지면, 그것의 값은 동차성의 차수(degree of homogeneity), 또는 간단히 차수라고 불리는 이 스칼라의 일부 거듭제곱에 의해 곱해짐을 만족하는 여러 변수의 함수(function of several variables)입니다; 즉, 만약 $k$가 정수이면, $n$ 변수의 함수 $f$는 모든 각 $x_{1},\ldots ,x_{n},$와 $s\neq 0$에 대해 다음이면 차수 $k$의 동차입니다:

$f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})$.

예를 들어, 차수 $k$의 동차 다항식(homogeneous polynomial)은 차수 $k$의 동차 함수로 정의합니다.

위의 정의는 그것의 도메인(domain)과 코도메인(codomain)이 필드(field) $F$에 걸쳐 벡터 공간(vector space)인 함수로 확장됩니다: 두 $F$-벡터 공간 사이의 함수 $f:V\to W$는 모든 비-영 $s\in F$과 $v\in V$에 대해 다음이면 차수 $k$의 동차입니다:

$f(s\mathbf {v} )=s^{k}f(\mathbf {v} )$

(1)

이 정의는 종종 나아가서 그것의 도메인이 V가 아니지만, V에서 원뿔(cone), 즉, $\mathbf {v} \in C$를 만족하는 V의 부분집합 C가 모든 비-영 스칼라 s에 대해 $s\mathbf {v} \in C$를 의미하는 함수로 일반화될 수 있습니다.

여러 실수 변수의 함수(functions of several real variables)와 실수 벡터 공간(real vector space)의 경우에서, 동차성의 약간 더 일반적인 형식은, 양의 동차성(positive homogeneity)이라고 불리며, 종종 오직 위의 항등식이 $s>0$에 대해 유지됨을 요구하고 임의의 실수 $k$를 동차성의 차수로 허용함으로써 고려됩니다. 모든 각 동차 실수 함수는 양수적으로 동차(positevely homogeneous)입니다. 그 전환은 참이 아니지만, 동차성의 두 종류가 주어진 점 근처에서 함수의 행동을 고려함으로써 구별될 수 없다는 의미에서 지역적으로 참입니다.

실수 벡터 공간에 걸쳐 노름(norm)은 동차가 아닌 양수적으로 동차 함수의 예제입니다. 특별한 경우는 실수의 절댓값(absolute value)입니다. 같은 차수의 두 동차 다항식의 몫은 차수 영의 동차 함수의 에제를 제공합니다. 이 예제는 투영적 스킴(projective scheme)의 정의에서 기본적입니다.

Definitions

동차 함수의 개념은 원래 여러 실수 변수의 함수(functions of several real variables)에 대해 도입되었습니다. 19세기 말에서 벡터 공간(vector space)의 정의와 함께, 그 개념은 벡터 공간 사이의 함수로 자연스럽게 확장되어 왔는데, 왜냐하면 변수 값의 튜플(tuple)이 좌표 벡터(coordinate vector)로 고려될 수 있기 때문입니다. 이것이 이 기사에서 설명되는 보다 일반적인 관점입니다.

공통적으로 사용되는 두 가지 정의가 있습니다. 일반적인 정의는 임의적인 필드(fields)에 걸쳐 벡터 공간에 대해 작동하고, 정수(integer)인 동차성의 차수로 제한됩니다.

두 번째 정의는 실수(real number)의 필드 또는 보다 일반적으로 순서화된 필드(ordered field)에 걸쳐 작동한다고 가정합니다. 이 정의는 정의에서 발생하는 스케일링 인수를 양수 값으로 제한하고, 따라서 양수 동차성이라고 불리며, 혼동의 위험이 없을 때 자격격인 양수는 종종 생략됩니다. 양수 동차성은 더 많은 함수를 동차인 것으로 고려하는 것으로 이어집니다. 예를 들어, 절댓값(absolute value)과 모든 노름(norms)은 동차가 아닌 양수적으로 동차 함수입니다.

스케일링 인수를 양의 실수 값으로 제한은 역시 그것의 동차성의 차수가 임의의 실수인 동차 함수를 고려하는 것을 허용합니다.

General homogeneity

V와 W를 필드(field) F에 걸쳐 두 벡터 공간(vector space)으로 놓습니다. V에서 선형 원뿔(linear cone)은 모든 $x\in C$와 모든 비영 $s\in F$에 대해, 모든 $x\in C$에 대해 $sx\in C$를 만족하는 V의 부분집합 C입니다.

V에서 W로의 동차 함수 f는 선형 원뿔 C를 그것의 도메인(domain)으로 가지고, 일부 정수(integer) k, 모든 각 $x\in C$와 모든 각 비-영 $s\in F$에 대해 다음을 만족시키는 V에서 W로의 부분 함수(partial function)함수입니다:

$f(sx)=s^{k}f(x)$.

정수 k는 f의 동차성의 차수, 또는 간단히 차수라고 불립니다.

차수 k의 동차 함수의 전형적인 예제는 차수 k의 동차 다항식(homogeneous polynomial)에 의해 정의된 함수입니다. 두 동차 다항식의 몫에 의해 정의된 유리 함수(rational function)는 동차 함수입니다; 그것의 차수는 분자의 차수와 분모의 차수의 차이입니다; 그것의 정의의 원뿔은 도메인의 값이 영이 아닌 점의 선형 원뿔입니다.

동차 함수는 투영 기하학(projective geometry)에서 기본적인 역할을 하는데 왜냐하면 V에서 W로의 임의의 동차 함수 f는 V와 W의 투영화(projectivization) 사이에 잘-정의된 함수를 정의하기 때문입니다. 차수 영의 동차 유리 함수 (같은 차수의 두 동차 다항식의 몫에 의해 정의된 그것들)는 투영 스킴(projective scheme)의 Proj 구성(Proj construction)에서 필수적인 역할을 합니다.

Positive homogeneity

실수(real number), 또는 보다 일반적으로 순서화된 필드(ordered field)에 걸쳐 연구할 때, 공통적으로 양의 동차성을 고려하는 것이 편리하며, 그 정의는 이전 섹션에서 정의와 정확히 동일하며, "비-영 s"는 선형 원뿔과 동차 함수의 정의에서 "s > 0"로 대체됩니다.

이 변경은 양의 실수 밑을 갖는 지수(exponentiation)가 잘 정의되어 있기 때문에 임의의 실수를 그것들의 차수로 갖는 (양수적인) 동차 함수를 고려하는 것을 허용합니다.

심지어 정수 차수의 경우에서, 동차인 것없이 양수적으로 동차인 많은 유용한 함수가 있습니다. 이것은, 특히, 모두 차수 1의 양수적인 동차인 절댓값(absolute value) 함수와 노름(norms)의 경우입니다. 그것들은 동차가 아닌데 왜냐하면 $x\neq 0$이면 $|-x|=-|x|\neq |x|$이기 때문입니다. 이것은 복소수(complex) 경우에서 참으로 남게 되는데, 왜냐하면 복소수 $\mathbb {C}$의 필드와 모든 각 복소 벡터 공간이 실수 벡터 공간으로 고려될 수 있기 때문입니다.

오일러의 동차 함수 정리는 양수적인 동차 미분-가능 함수(differentiable function)의 특성화로, 동차 함수에 대한 기본 정리로 고려될 수 있습니다.

Examples

A homogeneous function is not necessarily continuous, as shown by this example. This is the function $f$ defined by $f(x,y)=x$ if $xy>0$ and $f(x,y)=0$ if $xy\leq 0.$ This function is homogeneous of degree 1, that is, $f(sx,sy)=sf(x,y)$ for any real numbers $s,x,y.$ It is discontinuous at $y=0,x\neq 0.$

Simple Example

함수 $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$는 차수 2의 동차입니다: $$f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).$$

Absolute value and norms

실수(real number)의 절댓값(absolute value)은 동차가 아닌 차수 1의 양수적인 동차 함수인데, 왜냐하면 $s>0$이면 $|sx|=s|x|$이고 $s<0$이면 $|sx|=-s|x|$이기 때문입니다.

복소수의 절댓값은 실수에 걸쳐 차수 1의 양수적인 동차 함수입니다 (즉, 복소수를 실수에 걸쳐 벡터 공간(vector space)으로 고려할 때). 그것은 실수에 걸쳐 동차가 아니고 마찬가지로 복소수에 걸쳐 동차도 아닙니다.

보다 일반적으로, 모든 각 노름(norm)과 반노름(seminorm)은 동차 함수가 아닌 차수 1의 양수적인 동차 함수입니다. 절댓값에 대해서 처럼, 만약 노름과 반-노름이 복소수에 걸쳐 벡터 공간 위에 정의되면, 이 벡터 공간은 양수적인 동차 함수의 정의를 적용하는 실수에 걸쳐 벡터 공간으로 고려되어야 합니다.

Linear functions

필드(field) F에 걸쳐 벡터 공간 사이의 임의의 선형 맵(linear map) $f:V\to W$는 선형성의 정의에 의해 차수 1의 동차입니다: 모든 $\alpha \in {F}$와 $v\in V$에 대해, $$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$$

비슷하게, 임의의 다중-선형 함수(multilinear function) $f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W$는 다중-선형성의 정의에 의해 차수 $n$의 동차입니다: 모든 $\alpha \in {F}$ and $v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}$에 대해, $$f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$$

Homogeneous polynomials

Main article: Homogeneous polynomial

$n$ 변수에서 단항식(monomials)은 동차 함수 $f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F}$를 정의합니다. 예를 들어, 다음은 $$f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,$$

차수 10의 동차인데 왜냐하면 $$f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,$$

그 차수는 변수에 대한 지수의 합입니다; 이 예제에서, $10=5+2+3.$

동차 다항식(homogeneous polynomial)은 같은 차수의 단항식의 합으로 만들어진 다항식(polynomial)입니다. 예를 들어, 다음은 $$x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$$ 차수 5의 동차 다항식입니다. 동차 다항식은 역시 동차 함수를 정의합니다.

오직 양의 값을 취하는 실수 게수를 갖는 차수 $k$의 동차 다항식이 주어지면, 우리는 그것에 거듭제곱 $1/d$을 올림으로써 차수 $k/d$의 양수적인 동차 함수를 얻습니다. 따라서 예를 들어, 다음 함수는 차수 1의 양수적인 동차이지만 동차는 아닙니다: $$\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.$$

Min/max

무게 $w_{1},\dots ,w_{n}$의 모든 각 집합에 대해, 다음 함수는 동차가 아닌 차수 1의 양수적인 동차입니다:

• $\min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)$ (Leontief utilities)
• $\max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)$

Rational functions

두 동차 다항식의 비율로 형성된 유리 함수(Rational function)는 그것들의 도메인(domain), 즉, 분모의 영(zeros)에 의해 형성된 선형 원뿔(affine cone)에서 벗어난 동차 함수입니다. 따라서, 만약 $f$가 차수 $m$의 동차이고 $g$가 차수 $n$의 동차이면, $f/g$는 $g$의 영들로부터 떨어진 차수 $m-n$의 동차입니다.

Non-examples

단일 변수의 동차 실수 함수(real functions)는 일부 상수 c에 대해 형식 $x\mapsto cx^{k}$를 가집니다. 따라서, 아핀 함수(affine function) $x\mapsto x+5$, 자연 로그(natural logarithm) $x\mapsto \ln(x)$, 및 지수 함수(exponential function) $x\mapsto e^{x}$는 동차가 아닙니다.

Euler's theorem

대략적으로 말하면, 오일러의 동차 함수 정리는 주어진 차수의 양수적인 동차 함수가 정확히 특정 부분 미분 방정식(partial differential equation)의 해라고 주장합니다. 보다 정확하게:

Euler's homogeneous function theorem — 만약 f가 차수 k의 양수적인 동차이고, $\mathbb {R} ^{n}$의 일부 열린 부분집합에서 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)인 n 실수 변수의 (부분) 함수이면, 그것은 열린 집합에서 다음 부분 미분 방정식(partial differential equation)을 만족시킵니다: $$k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$$

반대로, 이 부분 미분 방정식의 모든 각 최대 연속적인 미분 해는 차수 k의 양수적인 동차 함수입니다 (여기서 최대는 해가 더 큰 도메인을 갖는 함수로 연장될 수 없음을 의미합니다).

증명: 더 간단한 공식을 가지는 것에 대해, 우리는 $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$를 설정합니다. 첫 번째 부분은 $s$에 관한 방정식 $f(s\mathbf {x} )=s^{k}f(\mathbf {x} )$의 양쪽 변을 미분하는 것에 대해 체인 규칙(chain rule)을 사용하고 s가 1로 경향일 때 결과의 극한을 취함으로써 결과로써 생깁니다.

그 전환은 단순한 미분 방정식(differential equation)을 적분함으로써 입증됩니다. $\mathbf {x}$를 f의 도메인의 내부에서 있는 것으로 놓습니다. 1에 충분하게 근접한 s에 대해, 함수 ${\textstyle g(s)=f(s\mathbf {x} )}$는 잘 정의됩니다. 부분 미분 방정식은 다음임을 의미합니다: $$sg'(s)=kf(s\mathbf {x} )=kg(s).$$

이 선형 미분 방정식(linear differential equation)의 해는 형식 $g(s)=g(1)s^{k}$를 가집니다. 그러므로, 만약 s가 1에 충분하게 가까우면, 다음입니다: $$f(s\mathbf {x} )=g(s)=s^{k}g(1)=s^{k}f(\mathbf {x} ).$$

만약 부분 미분 방정식의 이 해가 모든 양수 s에 대해 정의되지 않으면, 함수형 방정식(functional equation)은 해를 연장하는 것을 허용하고, 부분 미분 방정식은 이 연장이 고유함을 의미합니다. 따라서, 부분 미분 방정식의 최대 해의 도메인은 선형 원뿔이고, 그 해는 차수 k의 양수적인 동차입니다. $\square$

결과로써, 만약 $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$가 연속적으로 미분-가능이고 차수 $k$의 동차이면, 그것의 일-차 부분 도함수(partial derivative) $\partial f/\partial x_{i}$는 차수 $k-1$의 동차입니다. 하나의 변수에 관한 부분 미분 방정식을 유도함으로써 오일러 정리로부터의 결과입니다.

단일 실수 변수 ($n=1$)의 함수의 경우에서, 그 정리는 차수 k의 연속적으로 미분-가능이고 양수적으로 동차 함수는 $x>0$에 대해 형식 $f(x)=c_{+}x^{k}$와 $x<0$에 대해 형식 $f(x)=c_{-}x^{k}$를 가짐을 의미합니다. 상수 $c_{+}$와 $c_{+}$는 절댓값(absolute value)에 대한 경우에서 처럼 반드시 같은 것은 아닙니다.

Application to differential equations

Main article: Homogeneous differential equation

치환 $v=y/x$은 다음 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation)을 변환합니다: $$I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,$$

여기서 $I$와 $J$는 다음 분리-가능 미분 방정식(separable differential equation)으로의 같은 차수의 동차 함수입니다: $$x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.$$

Generalizations

Homogeneity under a monoid action

위에 주어진 정의는 $X$가 모두 (벡터 공간이 아닌) 임의의 집합이고 실수는 모노이드(monoid)의 보다 일반적인 개념으로 대체될 수 있는 동차성의 다음 보다 일반적인 개념의 전문화입니다.

$M$을 항등 원소 $1\in M$을 갖는 모노이드로 놓고, $X$와 $Y$를 집합으로 놓고, $X$와 $Y$ 둘 다에 대해 $M$의 정의된 모노이드 동작이 있다고 가정합니다. $k$를 비-음의 정수로 놓고 $f:X\to Y$를 맵으로 놓습니다. 그런-다음 $f$는 만약 모든 각 $x\in X$와 $m\in M$에 대해 다음이면 $M$에 걸쳐 차수 $k$의 동차라고 말합니다: $$f(mx)=m^{k}f(x).$$

만약 게다가 절댓값이라고 불리는 $m\mapsto |m|$에 의해 표시되는 함수 $M\to M$이 있으면, $f$는 만약 모든 각 $x\in X$와 $m\in M$에 대해 다음이면 $M$에 걸쳐 차수 $k$의 양수적으로 동차라고 말합니다: $$f(mx)=|m|^{k}f(x).$$

함수가 만약 $M$에 걸쳐 차수 $1$이면 (각각, $M$에 걸쳐 차수 $1$의 절대적으로 동차이면) $M$에 걸쳐 동차입니다 (각각, $M$에 걸쳐 절대적으로 동차입니다).

보다 일반적으로, 기호 $m^{k}$에 대해, $k$가 정수가 아닌 어떤 것과 함께 $m\in M$에 대해 정의될 수 있습니다 (예를 들어, 만약 $M$이 실수이고 $k$가 비-영 실수이면 $m^{k}$는 심지어 $k$가 정수가 아닐지라도 정의됩니다). 만약 이것이 그 경우이면 $f$는 만약 같은 상등이 유지되면 $M$에 걸쳐 차수 $k$의 동차라고 불릴 것입니다: $$f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.$$

$M$에 걸쳐 차수 $k$의 절대적으로 동차임의 개념은 유사하게 일반화됩니다.

Distributions (generalized functions)

Main article: Homogeneous distribution

$\mathbb {R} ^{n}$ 위에 연속 함수 $f$가 차수 $k$의 동차인 것과 모든 컴팩트하게 지원된(compactly supported) 테스트 함수(test function) $\varphi$와 비-영 실수 $t$에 대해 다음인 것은 필요충분 조건입니다: $$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx.$$

동등하게, 변수의 변경(change of variable) $y=tx$을 하면, $f$가 차수 $k$의 동차인 것과 모든 $t$와 모든 테스트 함수 $\varphi$에 대해, 다음인 것은 필요충분 조건입니다: $$t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy.$$

마지막 표시는 분포(distributions)의 동차를 정의하는 것을 가능하게 만듭니다. 분포 $S$는 만약 모든 비-영 실수 $t$와 모든 테스트 함수 $\varphi$에 대해 다음이면 차수 $k$의 동차입니다: $$t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle$$

여기서 꺾쇠 괄호는 분포와 테스트 함수 사이의 쌍화를 나타내고, $\mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$는 실수 $t$에 의한 스칼라 나눗셈의 매핑입니다.

Glossary of name variants

$X$를 필드 $\mathbb {F}$에 걸쳐 벡터 공간(vector space)으로 놓고 $Y$를 필드 $\mathbb {G}$에 걸쳐 벡터 공간(vector space)으로 놓으며 여기서 $\mathbb {F}$와 $\mathbb {G}$는 보통 실수 $\mathbb {R}$ 또는 복소수 $\mathbb {C}$일 것입니다 (또는 아마도 단지 부분집합으로 포함할 것입니다). $f:X\to Y$를 하나의 맵으로 놓습니다. 만약 $S$가 예를 들어 $\mathbb {Z} ,[0,\infty ),{\text{ or }}\mathbb {R}$와 같은 스칼라의 집합이면, $f$는 다음이면 $S$에 걸쳐 동차라고 말합니다: $$f(sx)=sf(x)\qquad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and scalar }}s\in S,$$

반면에 그것은 $f(sx)={\overline {s}}f(x)$ (각각, $f(sx)=|s|f(x)$)이 모든 그러한 $x{\text{ and }}s$에 대해 유지하면 켤레 동차 (각각, 절대적으로 동차)라고 불립니다. 예를 들어, 벡터 공간 사이의 모든 각 덧셈 맵(additive map)은 비록 그것이 실수 $S:=\mathbb {R}$에 걸쳐 동차이지 않을 수 있을지라도, 유리수 $S:=\mathbb {Q}$에 걸쳐 동차입니다.

다음 공통적으로 만나게 되는 특별한 경우는 그들 자체의 용어를 가집니다:

1. (엄격한) 양수 동차성: 모든 $x\in X$와 모든 양의 실수 $r>0$에 대해, $f(rx)=rf(x)$.
   • 이 속성은 종종 역시 비-음의 동차성이라고 불리는데 왜냐하면 벡터 공간 또는 필드에서 함수 값에 대해, 그것은 모든 $x\in X$와 모든 비-음의 실수 $r\geq 0$에 대해 $f(rx)=rf(x)$와 논리적으로 동등(logically equivalent)하기 때문입니다. 어쨌든, 볼록 해석학(convex analysis)과 같은 필드에서 보이는 확장된 실수(extended real numbers) $[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$에서 함수 값에 대해, 곱셈 $0\cdot f(x)$은 $f(x)=\pm \infty$일 때마다 정의되지 않을 것이고 따라서 이들 명제는 반드시 교환-가능한 것은 아닙니다.
   • 이 속성은 열선형 함수(sublinear function)의 정의에서 사용됩니다.
   • 민코프스키 함수형은 이 속성을 갖는 정확하게 그들 비-음의 확장된 실수-값 함수입니다.
2. 실수 동차성: 모든 $x\in X$와 모든 실수 $r$에 대해, $f(rx)=rf(x)$.
   • 이 속성은 실수 선형 함수형(linear functional)의 정의에서 사용됩니다.
3. 동차성: 모든 $x\in X$와 모든 스칼라 $s\in \mathbb {F}$에 대해, $f(sx)=sf(x)$.
   • 이 정의는 도메인 $X$ 아래에 있는 스칼라 필드 $\mathbb {F}$에 의존함을 강조한 것입니다.
   • 이 속성은 선형 함수형(linear functional)과 선형 맵(linear map)의 정의에서 사용됩니다.
4. 켤레 동차성: 모든 $x\in X$와 모든 스칼라 $s\in \mathbb {F}$에 대해, $f(sx)={\overline {s}}f(x)$.
   • 만약 $\mathbb {F} =\mathbb {C}$이면 ${\overline {s}}$는 전형적으로 $s$의 복소 켤레(complex conjugate)를 나타냅니다. 그러나 보다 일반적으로, 예를 들어 반선형 맵semilinear map)에서 처럼, ${\overline {s}}$는 $\mathbb {F}$의 일부 두드러진 자기-동형 아래에서 $s$의 이미지가 될 수 있습니다.
   • 덧셈성(additivity)과 함께, 이 속성은 반-선형 맵(antilinear map)의 정의에서 가정됩니다. 그것은 역시 반쌍선형 형식(sesquilinear form)의 두 좌표 중 하나가 (힐베르트 공간(Hilbert space)의 안의 곱(inner product)과 같은) 이 속성을 가짐을 가정합니다.

위의 정의의 모두는 조건 $f(rx)=rf(x)$을 $f(rx)=|r|f(x)$으로 대체함으로써 일반화될 수 있으며, 이 경우에서 해당 정의는 앞 쪽에 단어 "절대" 또는 "절대적인"을 덧붙여야 합니다. 예를 들어,

5. 절대 동차성: 모든 $x\in X$와 모든 스칼라 $s\in \mathbb {F} .$에 대해, $f(sx)=|s|f(x)$.
   • 이 속성은 반노름(seminorm)과 노름(norm)의 정의에서 사용됩니다.

만약 $k$가 고정된 실수이면 위의 정의는 나아가서 조건 $f(rx)=rf(x)$을 $f(rx)=r^{k}f(x)$로 대체함으로써 일반화될 수 있으며 (그리고 유사하게, 절댓값을 사용하여 조건에 대해 $f(rx)=|r|f(x)$를 $f(rx)=|r|^{k}f(x)$로 대체함으로써, 등), 이 경우에서 동차성은 "차수 $k$의" 것으로 말합니다 (여기서 특히, 위의 정의의 모두는 "차수 $1$의" 것입니다). 예를 들어,

6. 차수의 실수 동차성 $k$: 모든 $x\in X$와 모든 실수 $r$에 대해, $f(rx)=r^{k}f(x)$.
7. 차수의 동차성 $k$: 모든 $x\in X$와 모든 스칼라 $s\in \mathbb {F}$에 대해, $f(sx)=s^{k}f(x)$.
8. 차수의 절대 실수 동차성 $k$: 모든 $x\in X$와 모든 실수 $r$에 대해, $f(rx)=|r|^{k}f(x)$.
9. 차수의 절대 동차성 $k$: 모든 $x\in X$와 모든 스칼라 $s\in \mathbb {F}$에 대해, $f(sx)=|s|^{k}f(x)$.

$\mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace$ 위에 차수 $k$의 동차인 비-영 연속 함수(continuous function)가 연속적으로 $\mathbb {R} ^{n}$로 확장되는 것과 $k>0$인 것은 필요충분 조건입니다.

See also

• Homogeneous space
• Triangle center function

Notes

Proofs

References

• Blatter, Christian (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.". Analysis II (2nd ed.) (in German). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9.

External links

• "Homogeneous function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Eric Weisstein. "Euler's Homogeneous Function Theorem". MathWorld.