Homothetic transformation
수학에서, 중심-닮음-변환(homothety, 또는 homothecy, 또는 homogeneous dilation)은 그의 중심이라 불리는 점 S와 그 비율이라고 불리는 비-영 숫자 λ에 의해 결정되는 아핀 공간(affine space)의 변환(transformation)이며, 다음과 같이 보냅니다:
다시 말하면, 그것은 S를 고정하고, 세그먼트 SN이 SM과 동일한 직선 위에 있지만, 인수 λ에 의해 스케일된 임의의 M을 다른 점 N으로 보냅니다.[1] 유클리드 기하학에서, 닮음 변환은 점을 고정하고 모든 벡터의 방향을 (만약 λ > 0이면) 보존 또는 (만약 λ < 0이면) 반전하는 닮음(similarities)입니다. 평행이동(translations)과 함께, 아핀 (또는 유클리드) 공간의 모든 닮음 변환은 그룹, 팽창(dilations) 또는 중심 닮음 변환-평행이동(homothety-translations)의 그룹을 형성합니다. 이것들은 모든 선 L의 이미지가 L에 평행한(parallel) 선이라는 속성을 가진 정확하게 아핀 변환(affine transformation)입니다.
투영 기하학(projective geometry)에서, 중심-닮음 변환은 무한대에서 직선을 점마다 불변(invariant)으로 떠나는 (즉, 주어진 타원형 대합을 고정하는) 닮음 변환입니다.[2]
유클리드 기하학에서, 비율 λ의 닮음 변환은 점들 사이의 거리에 |λ|를 곱하고 모든 넓이에 λ2을 곱합니다. 첫 번째 숫자는 확대의 배율(ratio of magnification) 또는 팽창 인수(dilation factor) 또는 스케일 인수(scale factor) 또는 유사도 비율(similitude ratio)이라고 불립니다. 이러한 변환은 만약 스케일 인수가 1을 초과하면 확대(enlargement)라고 불릴 수 있습니다. 위에서-언급한 고정된 점 S는 중심-닮음-변환 중심(homothetic center) 또는 닮음의 중심(center of similarity) 또는 유사도의 중심(center of similitude)이라고 불립니다.
프랑스 수학자 미셸 샬(Michel Chasles)에 의해 만들어진, 그 용어는 "유사한"을 의미하는 접두사 homo- (όμο)와 "위치"를 의미하는 thesis (Θέσις)의 두 가지 그리스 요소에서 파생됩니다. 그것은 같은 모양과 방향의 두 도형 사이의 관계를 설명합니다. 예를 들어, 같은 방향을 바라보는 두 개의 러시아 인형은 중심-닮음으로 고려될 수 있습니다.
Homothety and uniform scaling
만약 중심-닮음 중심(homothetic center) S가 벡터 공간의 원점(origin) O와 일치하면 (S ≡ O이면), 비율 λ를 갖는 모든 각 중심-닮음-변환은 같은 인수에 의해 균등 스케일링(uniform scaling)과 동등하며, 이것은 다음을 보냅니다:
결과로써, S ≡ O인 특정한 경우에서, 중심-닮음은 점의 공선형성 (직선이 직선으로 매핑됨)뿐만 아니라, 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 유지하는 선형 변환(linear transformation)이 됩니다.
중심 (a, b)이고 비율 λ를 갖는 중심-닮음 후 점 (x, y)의 이미지는 (a + λ(x − a), b + λ(y − b))에 의해 제공됩니다.
See also
- Scaling (geometry) a similar notion in vector spaces
- Homothetic center, the center of a homothetic transformation taking one of a pair of shapes into the other
- The Hadwiger conjecture on the number of strictly smaller homothetic copies of a convex body that may be needed to cover it
- Homothetic function (economics), a function of the form f(U(y)) in which U is a homogeneous function and f is a monotonically increasing function.
Notes
References
- Hadamard, J., Lessons in Plane Geometry
- Meserve, Bruce E. (1955), "Homothetic transformations", Fundamental Concepts of Geometry, Addison-Wesley, pp. 166–169
- Tuller, Annita (1967), A Modern Introduction to Geometries, University Series in Undergraduate Mathematics, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Co.
External links
- Homothety, interactive applet from Cut-the-Knot.