Upper set

수학(mathematics)에서, 부분적으로 순서 집합(partially ordered set) $(X,\leq )$ 의 위쪽 집합(upper set, 역시 X에서 upward closed set, upset 또는 isotone 집합이라고 불림)은 다음 속성을 갖는 부분집합 $S\subseteq X$ 입니다: 만약 s가 S에 있고 X에서 x가 s보다 크면 (즉, $s<x$ 이면), x는 S에 있습니다. 다시 말해서, 이것은 S의 일부 원소에 대해 $\,\geq \,$ 인 X의 임의의 x 원소가 반드시 S의 원소이기도 함을 의미합니다. 아래쪽 집합(lower set, 역시 downward closed set, down set, decreasing set, initial segment, 또는 semi-ideal이라고 불림)이라는 용어는 S의 일부 원소에 대한 $\,\leq \,$ 인 X의 임의의 원소 x가 반드시 S의 원소이기도 하다는 속성을 갖는 X의 부분집합 S인 것으로 유사하게 정의됩니다.

Definition

$(X,\leq )$ 를 준순서화된 집합(preordered set)이라고 놓습니다. $X$ 에서 위쪽 집합(upper set, 역시 upward closed set, upset, 또는 isotone set이라고 불림)은 다음과 같은 의미에서 "위로 올라가면 닫혀 있는" 부분집합 $U\subseteq X$ 입니다:

for all

u\in U

and all

x\in X,

if

u\leq x

then

x\in U.

이중(dual) 개념은 아래쪽 집합(lower set, 역시 downward closed set, down set, decreasing set, initial segment, 또는 semi-ideal이라고 불림)이며, 다음과 같은 의미에서, "아래로 내려가면 닫혀 있는" 부분집합 $L\subseteq X$ 입니다:

for all

l\in L

and all

x\in X,

if

x\leq l

then

x\in L.

순서 아이디얼(order ideal) 또는 아이디얼(ideal)이라는 용어는 때때로 아래쪽 집합의 동의어로 사용됩니다.^[1]^[2]^[3] 이러한 용어 선택은 격자의 아래쪽 집합이 반드시 부분-격자가 아닐 수 있기 때문에 격자(lattice)의 아이디얼의 개념을 반영하지 못합니다.^[1]

Properties

모든 각 부분적으로 순서화된 집합은 자신의 위쪽 집합입니다.
위쪽 집합의 임의의 가족의 교집합(intersection)과 합집합(union)은 다시 위쪽 집합입니다.
임의의 위쪽 집합의 여집합(complement)은 아래쪽 집합이고, 그 반대도 마찬가지입니다.
부분적으로 순서화된 집합 $(X,\leq )$ 이 주어지면, 포함(inclusion) 관계로 순서화된 $X$ 의 위쪽 집합의 가족은 완비 격자(complete lattice), 위쪽 집합 격자(upper set lattice)입니다.
부분적으로 순서화된 집합 $X$ $X$ 의 임의적인 부분집합 $Y$ $Y$ 가 주어지면, $Y$ $Y$ 를 포함하는 가장 작은 위쪽 집합은 위쪽 화살표를 사용하여 $\uparrow Y$ $\uparrow Y$ 로 표시됩니다 (위쪽 클로저와 아래쪽 클로저를 참조하십시오).
- 이중적으로, $Y$ 를 포함하는 가장 작은 아래쪽 집합은 아래쪽 화살표를 사용하여 $\downarrow Y$ 로 표시됩니다.
아래쪽 집합이 만약 그것이 $\downarrow \{x\}$ 형식의 것이면 주요(principal)라고 불리며, 여기서 $x$ 는 $X$ 의 원소입니다.
유한하게 부분적으로 순서화된 집합 $X$ $X$ 의 모든 각 아래쪽 집합 $Y$ $Y$ 는 $Y$ $Y$ 의 모든 최대 원소(maximal elements)를 포함하는 가장 작은 아래쪽 집합과 같습니다.
- $\downarrow Y=\downarrow \operatorname {Max} (Y)$ , 여기서 $\operatorname {Max} (Y)$ 는 $Y$ 의 최대 원소를 포함하는 집합을 나타냅니다.
방향화된(directed) 아래쪽 집합은 순서 아이디얼(order ideal)이라고 불립니다.
내려가는 체인 조건(descending chain condition)을 만족시키는 부분 순서에 대해, 역체인과 위쪽 집합은 다음 전단사(bijections)를 통해 일-대-일로 대응됩니다: 각 역체인을 위쪽 클로저에 매핑합니다 (아래 참조); 반대로, 각 위쪽 집합을 그것의 최소 원소의 집합에 매핑합니다. 이 대응은 보다 일반적인 부분 순서에 대해 유지되지 않습니다; 예를 들어, 실수의 집합 $\{x\in \mathbb {R} :x>0\}$ 및 $\{x\in \mathbb {R} :x>1\}$ 은 모두 빈 역체인에 매핑됩니다.

Upper closure and lower closure

부분적으로 순서화된 집합 $(X,\leq )$ 의 원소 $x$ 가 주어지면, $x$ 의 위쪽 클로저(upper closure) 또는 윗방향 클로저(upward closure)는, $x^{\uparrow X},$ $x^{\uparrow },$ 또는 $\uparrow \!x$ 에 의해 표시되며, 다음과 같이 정의됩니다: $x^{\uparrow X}=\;\uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}$ 반면에 $x$ 의 아래쪽 클로저(lower closure) 또는 아래방향 클로저(downward closure)는, $x^{\downarrow X},$ $x^{\downarrow },$ or $\downarrow \!x$ 에 의해 표시되며, 다음에 의해 정의됩니다: $x^{\downarrow X}=\;\downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.$

집합 $\uparrow \!x$ 및 $\downarrow \!x$ 는, 각각, 원소로 $x$ 를 포함하는 가장 작은 위쪽 및 아래쪽 집합입니다. 보다 일반적으로, 부분집합 $A\subseteq X$ 가 주어지면, $A$ 의 위쪽/윗방향 클로저(upper/upward closure) 및 아래쪽/아래방향 클로저(lower/downward closure)를, 각각 $A^{\uparrow X}$ 및 $A^{\downarrow X}$ 에 의해 표시되며, 다음과 같이 정의합니다: $A^{\uparrow X}=A^{\uparrow }=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a$ 및 $A^{\downarrow X}=A^{\downarrow }=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.$

이 방법에서, $\uparrow x=\uparrow \{x\}$ 및 $\downarrow x=\downarrow \{x\}$ 이며, 여기서 이 형식의 위쪽 집합과 아래쪽 집합은 주요(principal)라고 불립니다. 집합의 위쪽 클로저와 아래쪽 클로저는 각각 그것을 포함하는 가장 작은 위쪽 집합과 아래쪽 집합입니다.

위쪽 클로저와 아래쪽 클로저는, $X$ 의 거듭제곱 집합에서 자신으로의 함수로 볼 때, 그것들이 모든 쿠라토프스키 클로저 공리(Kuratowski closure axioms)를 만족시키기 때문에 클로저 연산자(closure operators)의 예제입니다. 결과로써, 집합의 위쪽 클로저는 그것을 포함하는 모든 위쪽 집합의 교집합과 같고, 아래쪽 집합에 대해서도 유사합니다. (실제로, 이것은 클로저 연산자의 일반적인 현상입니다. 예를 들어, 집합의 토폴로지적 클로저(topological closure)는 그것을 포함하는 모든 닫힌 집합(closed sets)의 교집합입니다; 벡터의 집합의 스팬(span)은 그것을 포함하는 모든 부분공간(subspaces)의 교집합입니다; 그룹(group)의 부분집합에 의해 생성된 부분그룹은 그것을 포함하는 모든 부분그룹의 교차점입니다; 링(ring)의 부분집합에 의해 생성된 아이디얼은 그것을 포함하는 모든 아이디얼의 교집합입니다; 이런 식으로 계속됩니다.)

Ordinal numbers

순서-숫자(ordinal number)는 보통 모든 더 작은 순서-숫자의 집합으로 식별됩니다. 따라서 각 순서-숫자는 집합 포함에 의해 전체적으로 순서화되는 모든 순서-숫자의 클래스에서 아래쪽 집합을 형성합니다.

References

^ ^a ^b Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. pp. 20, 44. ISBN 0-521-78451-4. LCCN 2001043910.
^ Stanley, R.P. (2002). Enumerative combinatorics. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 1. Cambridge University Press. p. 100. ISBN 978-0-521-66351-9.
^ Lawson, M.V. (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. World Scientific. p. 22. ISBN 978-981-02-3316-7.

Blanck, J. (2000). "Domain representations of topological spaces" (PDF). Theoretical Computer Science. 247 (1–2): 229–255. doi:10.1016/s0304-3975(99)00045-6.
Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Convergence Foundations Of Topology. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.
Hoffman, K. H. (2001), The low separation axioms (T₀) and (T₁)

[DP-1] Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. pp. 20, 44. ISBN 0-521-78451-4. LCCN 2001043910.

[2] Stanley, R.P. (2002). Enumerative combinatorics. Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 1. Cambridge University Press. p. 100. ISBN 978-0-521-66351-9.

[3] Lawson, M.V. (1998). Inverse semigroups: the theory of partial symmetries. World Scientific. p. 22. ISBN 978-981-02-3316-7.

[1]

[2]

[3]

Definition

Properties

Upper closure and lower closure

Ordinal numbers

See also

References